Exercicio 02

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1 Exerc´ıcios
1. Use o Teorema Fundamental do Ca´lculo (T.F.C.) para achar a derivada das seguintes
func¸o˜es.
a) g(y) =
∫ y
2
t2 sin(t) dt ; b) g(u) =
∫ u
−1
1
x+ x2
dx ; c) F (x) =
∫ 2
x
cos(t2) dt ;
d) F (x) =
∫ 10
x
tan(θ) dθ ; e) h(x) =
∫ 1
x
2
arctan(t) dt ; f) y =
∫ √x
3
cos(t)
t
dt ;
g) y =
∫ cos(x)
1
(t+ sin(t)) dt ; h) y =
∫ 0
ex
[sin(t)]3 dt ; i) f(x) =
∫ x2
0
t2 + 4
2t
dt .
2. Utilize o T.F.C. para calcular as integrais definidas abaixo, ou explique porque elas na˜o
existem.
a)
∫ 3
−1
x5 dx ; b)
∫ 2
1
x−2 dx ; c)
∫ 8
2
(4x+ 3) dx ;
d)
∫ 4
0
√
x dx ; e)
∫ 1
0
x
3
7 dx ; f)
∫ 2
1
3
t4
dt ;
g)
∫ 1
−1
3
t4
dt ; h)
∫ 1
0
(3 + x
√
x) dx ; i)
∫ ln 6
ln 3
8ex dx ;
j)
∫ e
1
xn dx ; com n real; l)
∫ 2
0
f(x) dx ; onde, f(x) =
{
x4, se 0 ≤ x ≤ 1,
x5, se 1 ≤ x ≤ 2.
3. Na figura 1, a a´rea B e´ treˆs vezes a a´rea A. Expresse b em termos de a.
Figura 1: Referente a questa˜o 3.
2
Figura 2: Referente a questa˜o 5.
4. Determine a curva y = f(x) no plano xy que passa pelo ponto (9, 4) cujo coeficiente
angular em cada ponto e´ 3
√
x.
5. Calcule as integrais de f(x) abaixo, interpretando-as em termos de a´rea. A func¸a˜o f(x)
esta´ definida no intervalo [0, 9] de acordo com a figura 2.
a)
∫ 2
0
f(x) dx ; b)
∫ 5
0
f(x) dx ; c)
∫ 7
5
f(x) dx ; d)
∫ 9
0
f(x) dx .
6. Seja v(t) = 3t− 5 a velocidade de um corpo em m/s, encontre:
a) o deslocamento no intervalo 0 ≤ t ≤ 3.
b) a distaˆncia percorrida no intervalo 0 ≤ t ≤ 3.
7. Seja a(t) = 2t+ 3 a acelerac¸a˜o de um corpo em m/s2, encontre:
a) a velocidade no instante t.
b) a distaˆncia percorrida no intervalo 0 ≤ t ≤ 3, sabendo que v(0) = −4 m/s.
8. Uma empresa tem o nu´mero de vendas por dia (vd), de uma determinada pec¸a, no ano
de 2013, dado por: vd = t
2 + t, onde [t] = dia. Quantas pec¸as foram vendidas em todo o ano
de 2013?
9. Suponha a taxa de crescimento populacional de uma colmeia dada por dn
dt
= n′(t), onde
t esta´ em semanas. Se a populac¸a˜o inicial de abelhas e´ 100, o que representa:
100 +
∫ 15
0
n′(t)dt.
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10. Verifique, por diferenciac¸a˜o, que as integrac¸o˜es abaixo esta˜o corretas. Suponha k uma
constante.
a)
∫
x√
x2 + 1
dx =
√
x2 + 1 + k ; b)
∫
x cos(x) dx = x sin(x) + cos(x) + k ;
c)
∫
tan(x) dx = − ln[cos(x)] + k ; d)
∫
sec2(x) dx = tan(x) + k ;
e)
∫
sec(x) tan(x) dx = sec(x) + k .
11. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a)
∫
(1− t)(2 + t2) dt ; b)
∫
3
√
x dx ; c)
∫
sin(x)
1− sin2(x) dx ;
d)
∫ √
5√
x
dx ; e)
∫ (
1
t2
− 1
t4
)
dt ; f)
∫
x2 + 1√
x
dx ;
g)
∫
[2ex + 4 cos(x)] dx ; h)
∫
1 + cos2(θ)
cos2(θ)
dθ .