Exercicio 04

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4 Exerc´ıcios
Resumo: Volume de um So´lido de Revoluc¸a˜o.
Seja S um so´lido que esta´ entre a e b, o qual foi obtido pela rotac¸a˜o de uma regia˜o no plano
xy em torno de um eixo tambe´m no plano xy. Se a a´rea da sec¸a˜o transversal (fatia t´ıpica) de S
e´ dada por A(x) = pi(r(x))2, onde r e´ o raio da sec¸a˜o transversal e A(x) e´ uma func¸a˜o cont´ınua,
enta˜o o volume de S e´
V =
∫ b
a
A(x) dx.
Em algumas situac¸o˜es e´ mais conveniente tomar a varia´vel como sendo y ao inve´s de x.
Nesses casos teremos:
V =
∫ d
c
A(y) dy,
onde o so´lido de revoluc¸a˜o esta´ limitado no eixo y por c e d.
Se a sec¸a˜o transversal e´ uma arruela, devemos encontrar o raio interno e o raio externo
fazendo um esboc¸o da figura do so´lido. A a´rea da arruela sera´ calculada subtraindo a a´rea do
disco interno da a´rea do disco externo, ou seja:
A = pi(raio externo)2 − pi(raio interno)2.
Em seguida, integra-se a a´rea A nos limites apropriados para encontrar o volume V do so´lido.
Obs.: Se a rotac¸a˜o da regia˜o do plano xy e´ realizada em torno de um eixo que na˜o seja
x = 0 ou y = 0, mas ainda paralelo a um destes eixos, o raio sera´ dado pela func¸a˜o que de-
limita o so´lido (f(x) ou f(y)) somado com a “distaˆncia” do novo eixo de rotac¸a˜o (eixo de
revoluc¸a˜o) a` origem.
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Questo˜es.
1. Encontre o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o ao redor do eixo y da regia˜o delimitada
por x = 0 e y = x2 de 0 ate´ 1.
2. Encontre o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas y = x e
y = x2 em torno da reta y = 2.
3. Mostre que o volume de uma esfera de raio r e´
V =
4
3
pir3.
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Dica: Desenhe a esfera com seu centro na origem e utilize o teorema de Pita´goras para
encontrar o raio da “fatia t´ıpica” em func¸a˜o de x e do raio da esfera.
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Resumo: Comprimento de arco.
Se f ′ for cont´ınua em [a, b], enta˜o o comprimento da curva y = f(x), a ≤ x ≤ b, e´
L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2 dx =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx.
Se for mais conveniente escrever x = f(y) ao inve´s de y = f(x), pela inversa˜o dos pape´is,
podemos escrever
L =
∫ d
c
√
1 + [f ′(y)]2 dy =
∫ d
c
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy,
onde a curva esta´ agora limitada ao intervalo c ≤ x ≤ d.
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Questo˜es.
1. Calcule o comprimento de arco da para´bola semicu´bica y2 = x3 entre os pontos (1, 1) e
(3,
√
27).
2. Calcule o comprimento de arco da para´bola y2 = x de (0, 0) a (1, 1).
3.a) Ache a func¸a˜o comprimento de arco para a curva y = x2 − ln(x)
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tomando P0(1, 1)
como ponto inicial.
Dica: Como na˜o foi indicado um ponto final, a integrac¸a˜o deve ser feita do valor inicial
ate´ uma varia´vel qualquer. O resultado na˜o sera´ um nu´mero mas sim uma func¸a˜o.
b) Utilize a expressa˜o encontrada na letra a para calcular o comprimento de arco ao longo
da curva de (1, 1) a (3, f(3)).