Exercício 5

Prévia do material em texto

14
5 Exerc´ıcios
Resumo: Integrais Impro´prias.
a) Se
∫ t
a
f(x) dx existe para cada nu´mero t ≥ a, enta˜o∫ ∞
a
f(x) dx = lim
t→∞
∫ t
a
f(x) dx,
desde que o limite exista (como nu´mero).
b) Se
∫ b
t
f(x) dx existe para cada nu´mero t ≤ b, enta˜o∫ b
−∞
f(x) dx = lim
t→−∞
∫ b
t
f(x) dx,
desde que o limite exista (como nu´mero).
As integrais impro´prias
∫∞
a
f(x) dx e
∫ b
−∞ f(x) dx sa˜o chamadas convergentes se os limites
correspondentes existem, e divergentes se os limites na˜o existem.
c) Se
∫∞
a
f(x) dx e
∫ b
−∞ f(x) dx sa˜o convergentes, enta˜o definimos∫ ∞
−∞
f(x) dx =
∫ a
−∞
f(x) dx+
∫ ∞
a
f(x) dx.
Na parte c) qualquer nu´mero real a pode ser usado.
d) Dada a integral
∫ b
a
f(x) dx, se o integrando (f(x)) possui uma descontinuidade em c,
onde c e´ qualquer valor dentro do intervalo de integrac¸a˜o (a ≤ c ≤ b), a integral tambe´m e´
dita impro´pria e deve ser caracterizada como divergente ou convergente atrave´s dos limites
laterais (t→ c+ ou t→ c−).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Questo˜es.
1. Quais das seguintes integrais e´ impro´pria? Justifique?
a)
∫ ∞
1
x4e−x
4
dx ; b)
∫ pi
2
0
secx dx ; c)
∫ 2
1
1
2x− 1 dx ;
d)
∫ 2
1
ln(x− 1) dx ; e)
∫ 1
2
0
1
2x− 1 dx .
15
2. Encontre a a´rea A(t) sob a curva y = 1
x3
de x = 1 a x = t e calcule o valor nume´rico para
t = 10, 100 e 1000. Enta˜o encontre a a´rea total abaixo dessa curva para x ≥ 1.
Dica: Na u´ltima parte aplique o limite apropriado em A(t).
3. Determine se cada integral e´ convergente ou divergente. Avalie aquelas que sa˜o conver-
gentes.
a)
∫ ∞
−∞
xe−x
2
dx ; b)
∫ ∞
0
1
(x+ 2)(x+ 3)
dx ; c)
∫ ∞
1
lnx
x
dx ;
d)
∫ 3
0
1√
x
dx ; e)
∫ ∞
−∞
e−|x| dx .
4. a) Mostre que
∫∞
−∞ x dx e´ divergente.
b) Mostre que
lim
t→∞
∫ t
−t
x dx = 0.
Isso mostra que na˜o podemos definir∫ ∞
−∞
f(x) dx = lim
t→∞
∫ t
−t
f(x) dx.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Noc¸o˜es de Equac¸o˜es Diferenciais
1. a) O que e´ uma equac¸a˜o diferencial?
b) O que e´ a ordem de uma eqac¸a˜o diferencial?
c) O que e´ uma condic¸a˜o inicial?
d) O que e´ uma equac¸a˜o diferencial separa´vel? Como voceˆ a resolve?
Dica: Pesquise as respostas em livros ou outra fonte. Aproveite para se aprofundar nas
ideias gerais do assunto.
16
2. Mostre que y = 2 + e−x
3
e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial y′ + 3x2y = 6x2.
3. a) Para quais valores de k a func¸a˜o y = sin kt satisfaz a equac¸a˜o diferencial y′′+ 9y = 0?
b) Para aqueles valores de k, verifique que todo membro da famı´lia de func¸o˜es
y = A sin kt+B cos kt,
e´ tambe´m uma soluc¸a˜o.
4. Encontre a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial que satisfaz a condic¸a˜o inicial dada.
a)
dy
dx
= y2 + 1, y(1) = 0; b) xe−t
dx
dt
= t, x(0) = 1; c)
dy
dt
= ky, y(0) = y0.
d) Supondo que na letra c a equac¸a˜o diferencial modela o crescimento populacional, qual o
significado de y0?
5. A figura mostra um circuito contendo uma forc¸a eletromotriz, um capacitor com capa-
citaˆncia de C farads (F ) e um resistor com uma resisteˆncia de R ohms (Ω).
Figura 4: Referente a questa˜o 5
A queda de voltagem atrave´s do capacitor e´ Q/C, onde Q e´ a carga (em coulombs); nesse
caso a Lei de Kirchhoff fornece
RI +
Q
C
= ε(t).
Mas I = dQ
dt
; assim, temos
R
dQ
dt
+
1
C
Q = ε(t).
17
Suponha que a resisteˆncia e´ 5Ω, a capacitaˆncia e´ 0, 05F , a pilha fornece uma voltagem constante
de 60V e a carga inicial e´ Q(0) = 0 C. Encontre a carga e a corrente no tempo t.