Aula_6 Conjuntos e Probabilidade Atual

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 
UNIDADE ACADÊMICA DE AGRONOMIA E TECNOLOGIA DE ALIMENTOS 
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA 
Probabilidades 
Profª Railene Hérica Carlos Rocha 
Desenvolvida por volta de 1872 pelo matemático alemão de 
origem russa, Georg Cantor (1845 - 1918) e aperfeiçoada no 
início do século XX por outros matemáticos. 
Teoria dos conjuntos: 
Fenômenos estudados pela Estatística: são aqueles que 
mesmo em condições normais de experimentação variam de 
uma observação para outra, dificultando a previsão de 
resultados futuros. 
Fenômenos aleatórios Modelo probabilístico 
Existe um elemento de acaso ou 
de incerteza 
Impossível por antecipação ----- O que ocorrerá? 
 
 Possível ----- O que pode ocorrer? 
 
 
 
 
 
. Contração de um novo empregado 
 
. Previsão do tempo 
 
. Custo de produção 
 
. Loterias, cassinos de jogos, esportes organizados 
 
Exemplos 
Probabilidades: auxiliam a 
desenvolver estratégias 
. Aplicação de dinheiro na poupança 
 
. Plantio no inverno 
 
. Dirigir em alta velocidade 
 
. Etc. 
 
Exemplos 
2. Conjuntos 
2.1 Conceitos preliminares ... 
Conjunto: Grupo, coleção ou classe; 
Elemento: Objetos ou “coisas” que constituem os conjuntos; 
Pertinência: Associada a idéia de constituir o conjunto (pertencer). 
Conjunto: Letras maiúsculas (A, B, C,...) 
Elemento: Letras minúsculas (a, b, c,...) 
Pertinência:  (pertence) e  (não pertence) 
Notação: 
2.2 Representação de um conjunto 
Exemplo: Considere o conjunto, D, formado pelos 
elementos dó, ré, mi, fá, sol, lá, e si. 
Representação Tabular 
 
D = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si} 
Representação através do 
Diagrama de Euler-Venn 
 
 
Representação através de 
 uma propriedade 
 
D = {x|x é nota musical } 
 re fa la 
do mi sol si 
D 
Enumeração dos seus elementos. 
Apresentados entre chaves, 
separados por vírgula e sem 
repetição. 
O conjunto é representado por uma 
propriedade que descreve todos os 
elementos do conjunto. 
Os elementos são simbolizados por 
pontos inteiros em uma região 
plana, limitada por uma região 
fechada. 
2.3 Simbologia utilizada em conjunto 
 = pertence 
 = não pertence 
 = está contido 
 = não está contido 
 
= tal que 
 = contém 
 = existe 
 = para todo 
2.4 Tipos de conjunto 
a) Universo: (U) 
b) Vazio: { } e Ø 
c) Unitário: S = {x|x é par ‹ 4} 
 A = { 2 } 
d) Binário: S = {x|x é par ‹ 6} 
 A = { 2,4 } 
e) Finito: enumerável 
 D = {a, e, i, o ,u} 
f) Infinito Y = {2, 4, 6, 8, ...} 
g) Conjunto enumerável 
É aquele conjunto que é finito ou que seus elementos 
podem ser arranjados em forma de seqüência, e neste caso 
é chamado de infinito enumerável. 
Seja N o conjunto dos números inteiros não negativos. 
 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9, 10,...} 
 O conjunto n é infinito enumerável 
Exemplo: 
h) Conjunto não enumerável 
É aquele conjunto que é infinito, e que seus elementos não 
são arranjados em forma de seqüência. 
Exemplo: 
Seja F o intervalo unitário de números reais, isto é: 
 F = {x | 0  x  1} 
 
i) Conjunto das partes 
 
 Seja um conjunto A finito. É possível construir um 
novo conjunto cujos elementos sejam todos subconjuntos 
possíveis de A. Esse novo conjunto é denominado conjunto 
das partes de A. 
 
 P(A) =  x|x  A  
Exemplo: A =  a,b  Subconjuntos de A = , a, b,  a,b  
 P (A) =  , a, b,  a,b   
2.4.1 Subconjunto 
Considere: B = Todas as pessoas brasileiras; 
 C = Todos os homens brasileiros; 
 D = Todas as mulheres brasileiras 
H e M são 
subconjuntos 
de B 
2.5 Operações em conjunto 
a) UNIÃO ( U ): A união de dois conjuntos A e B é o conjunto 
formado pelos elementos pertencentes a A ou a B. 
A  B = x|x  A ou x  B 
Figura 1. Diagrama da operação união entre dois conjuntos A e B. 
Exemplos: 
1) Sejam os eventos A e B dados por: 
 A = {1, 3, 5, 6} 
 B = {2, 4, 6} 
 Temos que: 
 A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  
2) Sejam os conjuntos D e E dados abaixo, então temos: 
 D = {20, 1, 10} 
 E = {1, 20} 
 D E = {1, 10, 20}, isto é, se E  D, D E = D 
 
 
  
Figura 2. Diagrama da operação união entre um conjunto D e um subconjunto E. 
Propriedades da União: 
1) A  A = A,  A; 
2) A  Ø = A,  A; 
3) A  B = B  A,  A, B; 
4) (A  B)  C = A(B  C),  A, B, C; 
5) A  B = A  B = B,  A, B. 
b) INTERSEÇÃO (A  B): A interseção de dois conjuntos A e B é 
o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e a B. 
A  B = x|x  A ou x  B 
1) Sejam os eventos A e B dados por: 
 A = {1, 3, 5, 6} 
 B = {2, 4, 6} 
 Temos que: 
 A  B = {6} 
Exemplos: 
2) Sejam os conjuntos B e C, então temos que: 
 B = {2, 4, 6} 
 C = {1, 10, 20} 
 A  C = Ø 
Figura 3. Diagrama de dois 
conjuntos A e B disjuntos, 
incompatíveis ou mutuamente 
exclusivos. 
Figura 4. Diagrama da operação 
interseção entre dois conjuntos 
A e B. 
Figura 5. Diagrama entre um conjunto D e um subconjunto E. 
1) A  A = A,  A; 
2) A  Ø = Ø,  A; 
3) A  B = B  A,  A, B; 
4) (A  B)  C = A  (B  C),  A, B, C; 
5) A  B  A  B = A,  A, B. 
 B  A  A  B = B,  A, B. 
Propriedades da Interseção: 
c) COMPLEMENTAR (AC): Dado o conjunto A contido no conjunto 
universo U, chama-se complementar de A ao conjunto dos 
elementos de U que não pertencem a A. Indica-se por A = Ac. 
Operação: complementação. A região hachurada na figura abaixo 
representa o complementar de A. 
A = AC = x|x  U e x  A 
Exemplos: 1) Sejam os conjuntos universo U e A dados por: 
 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20} 
 A = {1, 3, 5, 6} 
Então temos que: Ac = A = {2, 4, 10, 20} 
2) Sejam os conjuntos universo U = N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} e 
A = N* = {1, 2, 3,4, 5, 6, ...}, então Ac = A= {0} 
Propriedades da Complementação: 
1) A  Ac = U; 
2) A  Ac = Ø; 
3) Uc = Ø ; Øc = U; 
4) (Ac)c = A. 
d) DIFERENÇA (A/B): Chama-se diferença A – B ao conjunto 
dos elementos do conjunto Universo U que pertencem a A e 
não pertencem a B. 
(A – B) = x  U | x  A e x  B 
Figura 6. Diagrama da operação 
diferença entre dois conjuntos A e B. 
Figura 7. Diagrama da operação 
diferença entre um conjunto B e um 
subconjunto A. 
(B - A) = x  U | x  B e x  A 
Ou 
1) Sejam os conjuntos A e B, então temos que: 
 A = {1, 3, 5, 6} 
 B = {2, 4, 6} 
A – B =A\B = {1, 3, 5} 
Exemplos: 
2) Sejam os conjuntos H e L, então temos que: 
 U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20} 
 H = {0, 2, 4, 6, ...} 
 L = {1, 3, 5, 7, ...} 
 H – L = H 
3) Sejam os conjuntos F e G, então temos que: 
 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20} 
 F = {1, 2, 3, 4, 5} 
 G = {1, 2, 3} 
 G – F = Ø 
Propriedades da Diferença: 
1) A - A = Ø,  A; 
2) A - Ø = A,  A; 
3) Ø – A = Ø,  A; 
4) B  A  B – A = Ø,  A, B; 
5) A  B  A - B  B - A,  A, B; 
6) A  B = Ø  A – B = A,  A, B. 
 3. Conceitos de probabilidade 
(experimento, espaço amostral, evento) 
a) Experimento: É todo processo que gere dados brutos. 
 
 Experimento determinístico: resultados previsíveis. 
 
 Ex.: A água em um recipiente a certa temperatura passa 
 do estado líquido para o gasoso. 
Experimento aleatório: Os resultados não são previsíveis, 
mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo 
fenômeno. 
Exemplos: - Lançamento de uma moeda honesta 
 - Lançamento de umdado 
 - Retirada de uma carta de baralho de 52 cartas 
 - Determinação da vida útil de um componente eletrônico 
b) Espaço amostral (S): conjunto de todos os resultados 
possíveis de um experimento. 
Exemplo 1: Jogar um dado e observar o número 
mostrado na face superior. S = ? 
Exemplo 2: Jogar duas moedas e observar o 
resultado. S = ? 
c) Evento (E): Qualquer subconjunto do espaço amostral S de 
um experimento aleatório. 
Se E = S, E é chamado evento certo; 
Se E  S e E é um subconjunto unitário, E é 
chamado evento elementar; 
Se E = Ø, E é chamado evento impossível. 
Tipos de eventos 
Eventos simples: formado por um único elemento do espaço 
amostral. 
 
Evento composto: formado por mais de um elemento do espaço 
amostral 
Eventos mutuamente excludentes 
Dois eventos A e B não podem ocorrer simultaneamente, 
A ∩ B=Ø. 
Eventos não excludentes: Ocorre se A e B ocorrerem, A ∩ B. 
Eventos independentes: a ocorrência de um evento não possui 
efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro. 
P(A∩B) = P(A) . P(B) 
Eventos dependentes: Se (A) e (B) são eventos, deseja-se 
definir uma quantidade denominada probabilidade condicional do 
evento (A) dado que o evento (B) ocorre, ou sob a forma 
simbólica: 
P (A/B) = P (A∩B) 
 P(B) 
Exemplo: 
Se dois dados são lançados, qual a probabilidade de 
que cada um mostre no mínimo 5 pontos? 
 A1= 5 ou 6 no lançamento do 1º dado 
A2= 5 ou 6 no lançamento do 2º dado 
Espaço amostral para cada dado: 
S1={1, 2, 3, 4, 5, 6} S2={1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 P(A1) = 2 P(A2) = 2 
 6 6 
P(A1∩A2) = P(A1). P(A2) 
 = 2 . 2 = 4 
 6 6 36 
Solução direta pela contagem dos pontos do espaço amostral: 
Seja o evento: 
A={(5,5), (5,6), (6,5), (6,6)} 
 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
S= (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
n=36 
Evento impossível: Não ocorre em qualquer realização de um 
experimento 
 
 P (A) = Ø 
Evento certo (S): Ocorre em qualquer realização de um 
experimento A = S 
 
 Ex: No lançamento de um dado, sairá a face 1,2,3,4,5 ou 6 
1. A probabilidade de qualquer evento A é representada por 
um número entre 0 e 1,00: 
 
 0,00 ≤ P(A) ≤ 1,00 
 
2. A probabilidade representada pelo espaço amostral é de 
100%: 
 
 P (qualquer evento do espaço amostral) = 1,00 
 
 
3. A probabilidade de não ocorrência de um evento é 1,00 
menos a probabilidade de sua ocorrência: 
 
 1,00 – P(A) = P(A´) ou P(A) + P(A´) = 1,00 
Lembre-se!!! 
4. Probabilidade e suas leis 
- Origens: 
A – Clássico: os resultados são igualmente prováveis. 
 Ex: lançamento de uma moeda, jogo de dados etc. 
 
B – Empírico: se baseia na freqüência relativa de ocorrência de um 
evento num grande número de provas repetidas. 
Número vendido Número de dias 
0 3 
1 2 
2 5 
3 6 
16 
Ex: Arquivos de uma companhia imobiliária revelam que num período 
de 16 dias, a freqüência de casas vendidas por dia foi de: 
 
P (3) = 6/16 
C – Subjetivo: utiliza estimativas pessoais de probabilidades 
baseado num certo grau de crença. 
 
 Ex: Que nota receberá em seu próximo exame? 
Definição: 
Seja A um evento associado a um determinado experimento, 
a sua probabilidade é verificada por: 
P (A) = nº de maneiras que ocorre o evento A = #A 
 nº de maneira que ocorre o espaço amostral #S 
Exemplos: 
 a) Lança-se um dado. Qual a probabilidade de sair um número 
ímpar? Qual a probabilidade de sair o número 2? 
 b) Uma carta é extraída ao acaso de um baralho. Qual a 
probabilidade de sair um ás? 
 
 P(ás) = 4/52 = 1/13 = 0,076 = 7,6 %. 
 
 
4.1 Probabilidade e chance 
 
 
Probabilidade: compara o número de resultados favoráveis 
com o número total de resultados possíveis. 
Chance: compara o número de resultados favoráveis com o número 
de casos desfavoráveis. 
 
Ex1: Suponhamos que uma urna contém 10 bolas, 8 vermelhas e 2 
verdes. 
A probabilidade de escolher uma verde numa única extração é: 
 
 
 A chance a favor de verde é de 
 
 A chance a favor da vermelha é de ??? 
 
P(verde) = 2/10 = 1/5. 
2 : 8, ou seja, 1 : 4. 
A chance a favor de um evento é igual à razão do número de 
resultados favoráveis para o número de resultados não-favoráveis 
Chance 
Experimento Evento P (evento) A favor Contra 
Lançar uma 
moeda uma vez 
Cara 
Lançar um dado 
uma vez 
Face 3 
Extrair 1 carta 
de um baralho de 
52 cartas 
6 
vermelho 
Extrair 1 carta 
de um baralho de 
52 cartas 
Valete de 
ouro 
1/2 1:1 1:1 
 
1/6 1:5 5:1 
 
 
2/52 2:50 50:2 
 
 
1/52 1:51 51:1 
Exercício... 
 
Na tabela abaixo, para cada experimento, determine a P 
(evento), a favor e contra 
Probabilidade do espaço amostral 
 
 
S = 1. Isto é, P(S) = 1 ou P(S) = 100 % 
 
P (A) + P(A’) = 1 
 
EX: Jogar uma moeda. Probabilidade de: C ou K é 1,0. 
Probabilidade de um evento complementar 
 
 
Consiste de todos os resultados no espaço amostral que não façam 
parte do evento 
EX: evento E: ocorrência do número 3 ou 4 no único lançamento 
de um dado. 
 
p = Pr {E} = 2/6 = 1/3 ( faz parte do evento) 
 
q = Pr {não E} = 1 – 1/3 = 2/3 (não faz parte do evento) 
Matemática da probabilidade 
Ocorrência de “ambos” os eventos: P (A e B) 
 
Ocorrência de “um ou outro”: P (A ou B) 
 
Exemplos: 
 
 Considere dois elevadores de um edifício 
 
 a) Qual a probab. de um elevador estar em serviço? 
 
 b) Qual a probab. de ambos estarem em serviço? 
 
 c) Qual a probab. De um ou outro estar em serviço? 
Eventos independentes: a ocorrência de um não influencia a 
ocorrência do outro. 
 
 EX: lançamento de dois dados. 
 
Se dois eventos são independentes então a probabilidade de 
ocorrência de ambos é igual ao produto de suas probabilidades 
individuais. 
 
P(A ⋂ B) = P(A) x P(B) 
 
 
Ex1: lançamento de duas moedas S={cc, ck, kc, kk} 
 
 Qual a probabilidade de ambas darem cara? 
 
 produto das probabilidades 
 
 P(cc) = P (c). P (c)= 1/2 x 1/2 = 1/4. 
Exercício: 
 
1. Suponhamos que queiramos estender este resultado ao acaso 
de três moedas. Qual a probabilidade de três caras? 
 
 
2. Um terço dos eleitores de certa comunidade é constituído de 
mulheres, e 40% dos eleitores votaram na última eleição 
presidencial. Supondo que esses dois eventos sejam 
independentes, determine a probabilidade de escolher 
aleatoriamente um eleitor da lista geral, que seja mulher e 
que tenha votado na última eleição presidencial. 
 
 
 
 
P (mulher que votou na última eleição) = 1/3 . (0,40) = 0,133 
Eventos compostos 
 
Ocorrência de ambos os eventos E1 e E2. 
 
 
Pr {E2 E1} = Pr {E1} Pr {E2} → Eventos Independentes. 
↓ 
 
Ex: lançamento de um dado e duas moedas. Qual a 
probabilidade de obter um cinco e duas coroas em um único 
lançamento. 
 
P(5KK) = P (5 ∩ K ∩ K) = P (5) x P (K) x P (K) = 
 
Adição de probabilidades 
 
A probabilidade de ocorrência do evento A, ou de B, ou de 
ambos: P(A, B ou ambos)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
A e B mutuamente exclusivos (ocorrência de um deles exclui a dos 
outros): P(A ou B)= P(A) + P(B). 
Ex: Probabilidadede retirar uma carta vermelha ou um Rei, 
onde A = {carta vermelha} e B = {Rei}. 
 
 
- A e B não são mutuamente exclusivos (rei de ouro e 
copas). 
 
P(A, B, ou ambos)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
Ex: Probabilidade de retirar uma carta de espadas ou dama de 
ouros, onde A = {carta de espada} e B = {dama de ouros}. 
 
 - A e B são mutuamente exclusivos, pois P(A ∩ B) = Ø. 
 P(A ou B)= P(A) + P(B) 
Probabilidade condicional 
 
Denomina-se probabilidade condicional a probabilidade de 
ocorrer determinado evento sob uma dada condição. 
↓ 
Eventos: A e B → Probabilidade de B ocorrer depois de A 
ter acontecido → P {B | A}. 
 
 
 
 
Ex: 10 rótulos de papel (distinguidos pelo número e pela cor). 
Numerados por 1, 2 e 3 (amarelos) e os restantes ( brancos). 
 
 
* Na urna e retirados ao acaso: P (A)= 1/10. 
↓ 
• Retirando um rótulo ao acaso e se for amarelo qual a 
probabilidade de ser aquele com número 1? 
 
P (R1 e amarelo) = 1/10 = 1/3. 
 3/10 
 
 Eventos A e B não independentes: 
 
 P (A/B) = P (A x B) / P (B) = P (A ∩ B) / P (B). 
Ex: uma carta é retirada de um baralho. Qual a 
probabilidade de ser um rei preto, dado que a carta 
retirada foi uma figura (valete, dama ou rei)? 
A = {rei preto} e B = {figura}. 
 
-- No baralho, existem dois reis pretos , os quais 
são também figuras. 
Exercícios ...ws.75 
1. Joga-se um par de dados: 
 
a. Qual a probabilidade de ambas as faces serem seis? 
b. Qual a probabilidade de ambas as faces serem dois? 
 
2. As falhas de diferentes máquinas são independentes umas das outras. 
Se há quatro máquinas, e se suas respectivas probabilidades de falha 
são 1%, 2%, 5% e 10% em determinado dia, calcule as probabilidades: 
a. De todas falharem em determinado dia. 
b. De nenhuma falhar. 
 
3. Um florista garante: “90% das sementes contidas neste pacote 
germinarão”. Supondo que cada semente tenha 90% de probabilidade 
de germinar e que cada pacote contenha 5 sementes, calcule: 
a. A probabilidade de nenhuma semente do pacote germinar. 
b. A probabilidade de todas germinarem. 
 
a. 1/36 
b. 1/36 
a. 0,000001 
b. 0,83 
a. (1 – 0,90)5 
b. 0,905 
4. As probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 acidentes em um dia de 
semana entre 1 e 6 horas da manhã são, respectivamente 0,08, 0,15, 
0,20, 0,25, 0,18, 0,07, 0,04 e 0,01. Determine as seguintes 
probabilidades para um dia qualquer da semana naquele horário: 
 
a. Menos de 3 acidentes 
b. 3 ou menos acidentes 
c. Exatamente 3 acidentes 
d. Nenhum acidente 
e. Mais de 7 acidentes 
 
5. Bob aguarda com ansiedade o resultado de dois exames que acaba de 
fazer. Ele estima em 0,80 a probabilidade de obter A em língua inglesa, 
e em 0,40 a probabilidade de obter A em filosofia. Determine as 
seguintes probabilidades: 
a. Grau A em ambos os exames 
b. Nenhum exame 
c. A em inglês, não A em filosofia 
d. Nenhum dos resultados anteriores 
 
 
Eventos mutuamente exclusivos 
P(A ou B) = P(A) + P(B) 
Eventos independentes 
P(A ⋂ B) = P(A) x P(B) 
5. Teorema de Bayes 
Sua utilidade consiste em permitir-nos calcular a probabilidade a 
“Posteriori” P(A/B), em termos das informações a “Priori” P(A) e P(B). 
 
- Casos de revisão de probabilidades a medida que forem 
obtidas novas informações. 
Gaveta 1 Gaveta 2 Gaveta 3 
2 moedas de $ 
0,50 
2 moedas de $ 
1,00 
1 moeda de $ 0,50 
e 1 de $ 1,00 
P (G1) = P (G2) = P (G3) – probabilidade a priori 
Ex: E1 = Gaveta 1; E2 = Gaveta 2; E3 = Gaveta 3. 
 A = moeda de $ 1,00. 
 
 P(G1) = P(G2)=P(G3) = 1/3 
 
Retira-se uma moeda ao acaso de uma gaveta, e verifica-se que 
a moeda é de $ 1,00. 
 
Probabilidade a priori: ajustada em função desta informação 
-Processo utilizado para obter probabilidades a posteriori 
 ( teorema de Bayes). 
Relaciona resultados a priori P (Ei) com probabilidade a 
posteriori P (Ei/A). 
Ex: E1 = gaveta 1; E2 = Gaveta 2; E3 = Gaveta 3; A = moeda de $ 1,00. 
Logo: 
 P(E1/A) 
1/3 + 1/6 = 1/2. 
6.Técnicas de contagem 
6.1 O princípio da multiplicação 
Exemplo: Teste de 3 questões do tipo “V” ou “F” 
 Estudante --- Não estudou: palpite 
 
 
 todos os resultados possíveis 
Diagrama em árvore 
Nº Questões Total de resultados 
 1 2 = 2 
 2 2 x 2 = 4 
 3 2 x 2 x 2 = 8 
quadro 
Qual a 
probabilidade 
do estudante 
acertas as 3 
questões? 
Exemplo: Qual a probabilidade de um estudante acertar 20 
questões do tipo “V” ou “F”, considerando que o mesmo irá 
chutar as alternativas, com base no seu palpite? 
 
Princípio da multiplicação 
 
 
Serve de base para outras duas técnicas 
 
 
Permutações (arranjos) Combinações 
 
 
De um modo geral, se há n decisões seqüenciais com x 
escolhas, o número total de resultados possíveis é xn 
6.2 Permutações, arranjos e combinações 
Arranjo ou permutação: a ordem em que os 
elementos se dispõem é importante. 
 
Ex.: Respostas a um teste de múltipla escolha 
 
Combinação: a ordem não interessa 
 
Ex.: Uma equipe formada por duas pessoas, Marta 
e Paula. É a mesma equipe formada por Paula e 
Marta. 
 
Ex.: Soma ou produto de dois números 
 
 10 + 5 = 5 + 10 10 x 5 = 5 x 10 
Exemplo 1: Suponhamos que haja 4 times de futebol em um 
torneio. De quantas maneiras pode apresentar-se o resultado 
final, 1º, 2º, 3º e 4º lugar? 
 
 
 E se houvesse 6 times? 
 
 
 
quadro 
Fatorial ! 
Exemplo 2: Se há sete cavalos num páreo, quantos arranjos há 
considerando 1º, 2º e 3º lugares? 
 
 Utilizando o princípio da multiplicação? 
 
 
 Utilizando arranjos? 
A n,x = n! 
 (n-x)! 
Permutações distinguíveis: 
 
Exemplo 1: Suponhamos que haja 3 moedas de R$0,10 centavos 
e 2 moedas de R$ 0,20 centavos, quantas permutações 
distinguíveis é possível se obter? 
P n
n1, n2, n3, ..., nk = n! 
 (n1 !) (n2 !) (n3!) ... nk ! 
quadro 
Exemplo 2: Quantas permutações distintas de 3 letras podemos 
formar com as letras R R R R U U U N? 
quadro 
Combinações: Quando não interessa a ordem 
De um modo geral, para grupamentos de tamanho x extraídos de 
uma lista de n itens, o número de combinações possíveis é: 
 
Exemplo 1: Quantos comitês distintos, de 3 pessoas cada um, 
podemos formar com um grupo de 10 pessoas? 
 
 
Exemplo 2: De quantas maneiras podemos formar um comitê de 1 
mulher e 2 homens, de um total de 4 mulheres e 6 homens? 
 
quadro 
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Exercícios ...ws.75 
1. Um cardápio oferece cinco tipos de carne ou peixe, três de salada, dois 
de batatas e quatro de vegetais. Quantos jantares é possível formar, 
com um tipo de cada um? 
 
2. Um vendedor de automóveis deseja impressionar os possíveis 
compradores com o número de combinações diferentes possíveis. Um 
modelo pode ser dotado de três tipos de motor, dois tipos de 
transmissão, cinco cores externas e duas internas. Quantas são as 
escolhas possíveis? 
 
3. De quantas maneiras podemos escolher um comitê de cinco pessoas 
dentre oito? 
 
4. Joga-se uma moeda sete vezes. De quantas maneiras podem ocorrer os 
seguintes resultados? 
 
a. Cinco caras b. Quatro caras c. Todas caras d. Uma cara