Aulas e exercicios Parte I

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 
UNIDADE ACADÊMICA DE AGRONOMIA E TECNOLOGIA DE ALIMENTOS 
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA BÁSICA 
Teoria da decisão estatística 
Profª Railene Hérica Carlos Rocha 
 Teoria da amostragem 
 
 Distribuições amostrais 
 
Teoria da amostragem 
 
1. INTRODUÇÃO 
. AMOSTRAGEM 
. CENSO 
Com reposição: > 5% tamanho da população 
2. VANTAGENS 
 
 a) Da amostragem 
- A população pode ser infinita, então o censo se tornaria impossível; 
 
- Uma amostra pode ser mais atualizada do que um censo 
 (tempo – informação rápida); 
 
- Testes destrutivos 
 
- O custo de um censo pode ser proibitivo em populações grandes (amostragem 
tem custo menor); 
 
- A precisão pode sofrer no caso de um censo de uma grande população 
(amostragem envolve menor número de observações). 
b) Do Censo 
-A população pode ser tão pequena que o custo e o tempo de um censo sejam 
pouco maiores do que uma amostra; 
 
 
 
-Se o tamanho da amostra é grande comparado ao da população, o esforço 
adicional requerido por um censo pode ser pequeno; 
 
 
 
-Se exige precisão completa (pequenas populações), o censo é o único método 
aceitável. 
 
 
 
Ex.: Sala de aula com 20 alunos 
Ex.: Grande variabilidade entre os itens de uma população 
Ex.: Banco: não realizaria a amostragem dos seus guichês, mas sim a 
contagem do R$ em todos eles. 
3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
a) População: conjunto de indivíduos que apresentam em comum determinadas 
características definidas para o estudo. 
Finita: quando apresenta um número definido de elementos 
 (N0 de operário de uma fábrica). 
 
 Infinita: apresenta um número infinito de elementos 
 (microrganismos no solo) 
 utilização de amostras 
 
 Real: população que existe de fato no instante em que estar sendo estudada 
 (alunos registrados na disciplina de estatística neste semestre). 
Hipotética: aquela que não é real no sentido de não existir no momento 
em que estar sendo estudada, mas que poderá existir no futuro 
 (novo tratamento de AIDS). 
b) Amostra: É um subconjunto da população. 
 Tem que ter representatividade na população. 
Amostragem com reposição: é quando se faz um sorteio e devolvem-se os 
elementos retirados para população, podendo estes ser sorteado 
novamente. 
 
EX: amostras de aves de uma reserva. 
Amostragem sem reposição: é quando se faz um sorteio e não há 
devolução dos elementos retirados da população, havendo uma única 
chance dos elementos serem sorteados. 
 
EX: Sorteio de um animal e este tem que ser abatido. 
4. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
São critérios segundo os quais os elementos da população 
serão selecionados para a amostra 
a) Amostragem probabilística: 
 
Quando todos os indivíduos da população têm probabilidade conhecida e 
não nula de pertencer à amostra 
b) Amostragem não probabilística: 
 
Quando alguns indivíduos da população têm probabilidade desconhecida 
ou nula de pertencer à amostra. 
4.1. Amostragem probabilística 
4.1.1. Amostragem aleatória simples: 
Aplicada em populações homogêneas e de tamanho conhecido. 
Suponha: População N --- amostra de tamanho “n” 
Amostras simples de 
tamanho “n” 
Enumeram-se todos os indivíduos da população e 
sorteia-se os indivíduos que comporão a amostra; 
Neste tipo de amostragem podem ser retiradas N 
amostras diferentes com reposição ou amostras 
diferentes sem reposição 
Exemplo: 
Suponha um hospital que trata de 5 tipos de doenças A, B, C, D e E. 
Deseja-se fazer um estudo em 3 dessas doenças. De quantas maneiras 
podemos escolher esses 3 tipos? 
 
a) Solução matemática: 
b) Solução prática: 
Tabela de números 
aleatórios: 
- 10 algarismos (0 a 9) são 
distribuídos ao acaso 
 
- Podem ser lidos isoladamente ou em 
grupos 
 
- Podem ser lidos em qualquer ordem 
 
- A probabilidade de qualquer algarismo 
ou combinação de algarismos é igual ao 
outro 
Exemplo: 
Uma loja queria selecionar aleatoriamente 20 clientes de uma lista de 830. 
Finalidade estimar a freqüência de compras dos clientes. 
1 - Numera a população de 1 a 830 (número tomados 3 algarismos). 
 
2 – Escolhe-se um digito qualquer na tabela a partir do qual iremos considerar 
os grupos de 3 algarismos. 
 
3 - Qualquer seqüência de 3 algarismos lido na tabela servirá. 
 
4 - Lendo os 3 primeiros algarismos da última coluna da tabela 6.1 
percorrendo a coluna de cima para baixo. 
(473, 828, 920, 923, 380, 272, 750 ... 982) 
 
5 - Números sorteados superar o tamanho da população N ou for repetido 
(abandona-se o número sorteado). 
4.1.2. Amostragem estratificada: 
Utilizada quando a população a ser estudada é heterogênea 
0
0 
Divide-se a população em estratos (sub-populações) que sejam 
homogêneos dentro de si, e heterogêneos entre si; 
 
Aplicam-se uma das outras técnicas de amostragem para retirar a amostra 
dos estratos (representativa). 
 
Estimativas obtidas com amostragem estratificada são mais precisas que as 
estimativas calculadas com base em amostragem aleatória simples; 
 
Grupos homogêneos apresentam menor variabilidade. 
Classificação quanto ao tamanho das sub-amostras ni: 
 Proporcional: quando o tamanho da amostra retirado em cada 
estrato ni é proporcional ao tamanho do estrato. 
Uniforme: quando de k estratos retiram amostras de tamanho n, 
independentemente do tamanho do estrato. 
Exemplo: 
Consideremos um estudo realizado em propriedades rurais de um 
município composto por 1000 propriedades rurais distribuídas quanto a sua 
área, e que neste município sejam amostradas 50 propriedades, conforme 
a tabela abaixo: 
4.1.3. Amostragem sistemática 
É uma simplificação da amostragem aleatória simples; 
Ocorre quando a seleção dos elementos que constituirão a amostra é feita 
por um sistema imposto pelo pesquisador; 
Apenas o primeiro elemento da amostra será sorteado, e os demais serão 
retirados em uma progressão aritmética, com razão k, em que: 
k = N/n, onde: 
N = tamanho da população. 
n = tamanho da amostra. 
Exemplo: 
A escolha de 3 elementos, em uma população com 5 elementos A, B, 
C, D e E poderá ser feita supondo a escolha: 
4.1.4. Amostragem por conglomerados 
É a amostragem por área 
 
A população apresenta uma subdivisão natural em grupos menores 
(conglomerados) sorteia-se um número suficiente desses grupos e todos os 
elementos destes terão que compor a amostra. 
 
Divide-se a área ocupada pela população em partes de estudo. 
Exemplo: 
Para uma cidade, cada unidade amostral pode ser um bairro, uma rua, 
um quarteirão, um condomínio, etc. 
4.2. Amostragem não probabilística 
Característica: impossibilidade da aplicação de fórmulas 
estatísticas para calcular erros de amostra. 
Erro de amostra: É a diferença que poderá ocorrer quando 
analisamos os resultados de uma amostra, e o que obteríamos se 
examinássemos toda a população. 
A amostragem não probabilística é usada nas 
seguintes situações: 
1 – Pré-teste de questionários 
2 – Quando se trata de uma população homogênea 
3 – Quando o fator facilidade operacional é requerido 
Amostras não probabilísticas não garantem a representatividade da população 
4.2.1. Amostragem intencional 
Pesquisador 
Está interessado na 
opinião de determinados 
elementos da população; 
 
Não se dirige a massa de 
pessoas da população, e sim 
a alguém representante da 
mesma; 
Escolhe deliberadamente certoselementos da população para 
formar a amostra, baseado em 
um pré-julgamento. 
 Utilidade: Quando é necessário incluir um pequeno número de unidades na 
amostra 
Exemplo: 
Pesquisa de mercado para lançar uma nova marca de leite longa vida 
tipo A. O pesquisador selecionará indivíduos com poder aquisitivo 
médio/alto, que são os principais consumidores deste produto (público 
alvo), embora toda a população independentemente do poder aquisitivo 
possa ser consumidora deste produto. 
4.2.2. Amostragem por quotas 
Forma mais usual de amostragem não probabilística 
 
Utilizada em levantamentos de mercado e sondagem de opinião pública 
É feita pela fixação do tamanho da amostra e posteriormente a estratificação 
É fácil a posteriori verificar o erro amostral sofrido pelo tamanho da amostra. 
Fases: 
• Classificação da população em termos das propriedades relevantes para 
o estudo 
 
• Determinação da proporção (%) da população para cada característica 
relevante ao estudo 
 
• Fixação de cotas para cada observador a quem cabe a responsabilidade 
de selecionar os entrevistados 
4.2.3. Amostragem acidental 
Empregada quando se deseja obter informações de maneira rápida e 
barata. 
Exemplo: 
• Solicitar às pessoas que voluntariamente testem um produto e 
que em seguida respondam a uma entrevista; 
• Parar pessoas no supermercado e colher suas opiniões 
 
• Colocar linhas de telefone adaptadas para que durante um programa de 
televisão os telespectadores possam dar suas opiniões 
4.2.4. Amostragem a esmo 
O pesquisador, para simplificar o processo, busca ser aleatório, sem 
realizar o sorteio buscando um dispositivo aleatório qualquer. 
- Ex: retirada de 100 parafusos de uma caixa contendo 10000. 
(retirada a esmo). 
Em populações homogêneas: os resultados são equivalentes aos da 
amostragem probabilística. 
4.2.5. Amostragem por tipicidade 
Utiliza-se um subgrupo que seja típico, em relação à população como um todo. 
Exemplo: 
Informações sobre saúde no esporte: Escolhem-se atletas de determinada 
modalidade esportiva para obter informações e generalizá-las. 
5. PROCEDIMENTOS PARA REALIZAR A AMOSTRAGEM 
ALEATÓRIA SIMPLES: 
Sejam: 
N = tamanho da população 
n = tamanho da amostra 
n0 = primeira aproximação para o tamanho da amostra. 
E0 = erro amostral tolerável. 
- Conhecendo o tamanho N da população podemos corrigir o cálculo anterior. 
Exemplo: 
Suponha que a universidade deseja investigar o nível de satisfação dos 
alunos quanto ao seu serviço. Realizou-se uma pesquisa entre os alunos. 
Para minimizar as despesas uma amostra deve ser extraída da população 
de 3000 alunos. Supondo um erro amostral de 5 %, qual deve ser o 
tamanho da amostra? 
N = 3000 E0 = 5 % n = ? 
6. PROCEDIMENTOS PARA REALIZAR A AMOSTRAGEM 
ESTRATIFICADA 
Estratificar uma população é dividi-la em “L” sub- populações denominadas 
estratos, tais que: 
n1 + n2 +n3 + n4 +...+ nL = n 
Onde os estratos são mutuamente exclusivos 
Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória de cada 
sub-população; 
Se as diversas sub-amostras tiverem tamanhos proporcionais ao respectivo 
número de elementos nos estratos, teremos a estratificação proporcional. 
Exemplo: 
Com o objetivo de levantar o estilo de liderança preferido por uma escola, 
vamos realizar um levantamento por amostragem. 
Suponha: 
Preferência quanto ao estilo de liderança homogêneo dentro de cada 
categoria 
A realização de uma amostragem aleatória estratificada proporcional por 
categoria 
Obter uma amostra global de tamanho n=10. 
Total da população: 50 
7. PROCEDIMENTOS PARA REALIZAR A AMOSTRAGEM 
SISTEMÁTICA 
Seja N a população e n a amostra. 
Calcula-se o intervalo de amostragem (N/n) ou o inteiro mais próximo “k”. 
Sorteia-se utilizando a tabela de números aleatórios um número x entre 1 e k. 
Exemplo: 
 Seja N = 500 e n = 50. 
 
 Então: 
 
 k = N/n = 500/50 = 10, ou seja, k = 10. 
Sorteia-se um número de 1 a 10. Seja (x =3) o número sorteado, 
logo os elementos sorteados por: 
 
 3, 13, 23, 33, ... serão os componentes da amostra 
8. PROCEDIMENTO PARA REALIZAR A AMOSTRAGEM POR 
CONGLOMERADOS 
Dividir a população em conglomerados; 
Selecionar aleatoriamente os conglomerados; 
Pesquisar todos os indivíduos dos conglomerados selecionados. 
Exercícios: 
1. Em que circunstância é a amostragem preferível a um censo completo? 
2. Defina “amostra aleatória”. 
3. Descreva os métodos de obtenção de uma amostra aleatória. 
4. Explique as características: 
 
a) Da amostragem por conglomerados; 
b) Da amostragem estratificada; 
c) Da amostragem sistemática. 
 
5. O que é amostragem probabilística e quando deve ser usada? 
 
6. Os empregados de uma firma têm etiquetas de identificação numeradas 
consecutivamente de 101 a 873. Deve-se escolher um comitê de segurança de 
10 pessoas, selecionadas aleatoriamente. Use a tabela de números aleatórios 
para escolher os números das etiquetas. Comece na segunda coluna e leia de 
cima para baixo. 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
 
1. INTRODUÇÃO 
Finalidade da amostragem 
Variações nas amostras aleatórias 
Distribuições de probabilidade --- Normal 
 --- Binomial 
Distribuições amostrais 
Qual a aproximação da estatística amostral do 
verdadeiro valor do parâmetro populacional? 
Fatores a serem considerados: 
1 – Estatística considerada: 
Variabilidade de diferentes estatísticas amostrais 
Diferentes distribuições de probabilidades 
2 – Tamanho da amostra: 
3 – Variabilidade na própria população 
Distribuição amostral é uma distribuição de 
probabilidade que indica até que ponto uma 
estatística amostral (média, desvio padrão, 
proporção) tende a variar devido a variações 
casuais na amostragem aleatória (grau de 
incerteza associada a cada inferência). 
2. Conceitos 
* Estimador ou estatística: 
Dada a amostra aleatória (X1, X2,..., Xn), estimador ou 
estatística é qualquer variável aleatória em função dos 
elementos amostrais 
µ σ2 
* Estimativa: 
O valor numérico de um estimador é chamado estimativa 
de seu respectivo parâmetro. 
Exemplos: 
Uma amostra aleatória de retornos de 100 ações apontou média de 
2,5% e desvio padrão de 1,7%. 
 
 
 A estimativa do retorno médio dessas ações é de 2,5%, e 
a estimativa do desvio padrão é de 1,7%. 
Estimativas Vistas diariamente 
 
 
 
 . Valores médios dos preços de veículos; 
 . Retornos de investimentos de diversas aplicações: 
 . Preços médios de imóveis 
 . Índices de cotação de ações. 
 3. Efeito do tamanho da 
amostra sobre uma 
distribuição amostral 
4. Distribuições de médias amostrais 
Escaniar a figura da pg. 179 W. St. 
É função da 
média e do 
desvio padrão 
da população 
e do tamanho 
da amostra 
A média de uma distribuição amostral é sempre 
exatamente igual à média populacional 
Exemplo 
Suponhamos três itens numa população: 
 X1, X2, X3 
 
Provar que a média populacional é igual a média da 
distribuição amostral, considerando todas as amostras de 
2 itens. 
Quadro: 
W.St. 180 
O desvio padrão tende a decrescer quando o tamanho da 
amostra aumenta. 
A média, ou valor esperado, da média amostral será igual à 
média da população 
Outras características: 
Amostras maiores tendem a ser mais confiáveis que amostras 
menores 
Desvio padrão da distribuição amostral das médias: 
W.St. 180 
µ x µ = 
Se a população é infinita, ou se a amostragem é com 
reposição,então o desvio padrão da distribuição 
amostral das médias é dado por : 
 = ____ 
 √n 
 
 = desvio padrão da distribuição amostral 
x 
 = desvio padrão da população 
 
 n = tamanho da amostra 
x 
Em qualquer 
população, o 
do tamanho 
das amostras 
extraídas 
resultará em 
variabilidade 
entre as 
possíveis 
médias 
amostrais. 
Média da distribuição amostral das médias: 
Se a população é finita, ou se a amostragem é sem 
reposição, então o desvio padrão da distribuição 
amostral das médias é dada por: 
 = ____ 
 √n 
x * (N – n/ N – 1) √ 
Teorema do limite central 
Forma da distribuição amostral 
Se 
uma população tem distribuição 
normal (para qualquer tamanho de 
amostra) 
uma população tem distribuição 
não-normal (desde que a amostra 
seja grande) 
Distribuição das 
médias amostrais 
Distribuição normal 
Distribuição 
aproximadamente normal 
N: nº elem pop. 
n: nº elem amostra 
A amostra deve consistir de 30 ou mais observações 
Distribuição normal 
Regra prática 
Distribuição Normal 
(utilização) 
Médias amostrais 
Proporções em 
grandes amostras 
Escaniar a figura da pg. 182 W. St. 
Exemplo 
Uma população muito grande (infinita) tem média 20,0 e desvio padrão 
1,4. Extrai-se uma amostra de 49 observações. 
 
a) Qual a média da distribuição amostral? 
b) Qual o desvio padrão da distribuição amostral? 
c) Qual a percentagem de médias amostrais que diferem para mais 
ou para menos de 0,2 da média populacional? 
W.St. 183 
Quadro: 
20,2 – 20,0 /0,2 = 1σ proporção: (0,5 – 0,3413 = 0,1587) 
 
19,8 -20 /0,2 = -1 σ proporção: (0,5 – 0,3413 = 0,1587) 
 total = 0,3174 
 
5. Distribuições de proporções amostrais 
Indica a probabilidade de determinado conjunto de proporções 
amostrais, dados o tamanho da amostra e a proporção populacional. 
Tamanho da amostra ≤ 20 Tabela de probabilidades binomiais 
 
 > 20 Aproximação da Normal com a Binomial 
Converter o número de sucessos em porcentagens 
 População (componentes eletrônicos produzidos por uma empresa). 
 
Consideremos: Probabilidade de um c.e defeituoso: dada por p. 
 
 Todas as amostras possíveis de tamanho n extraídas desta população 
 
 Para cada amostra estatística p da proporção de componentes defeituosos. 
Obtemos: uma distribuição amostral de proporções com média µP e desvio padrão σP. 
Exemplo: 
p = p 
p = proporção populacional 
 
p = média da distribuição amostral das proporções 
Média da distribuição amostral das proporções: 
Desvio padrão da distribuição amostral das proporções: 
σp = √pq/n (amostras com reposição). 
σp = √pq/n * √N – n / N – 1 (Amostras sem reposição) 
N: nº elem. população 
n: nº elem. amostra 
Exemplo: 
W.St. 186 
Um varejista compra copos diretamente da fábrica em grandes lotes. Os copos 
vêm embrulhados individualmente. Periodicamente o varejista inspeciona os 
lotes para determinar a proporção dos quebrados. Se um grande lote contém 
10% de quebrados, qual a probabilidade de o varejista obter uma amostra de 
100 copos com 17% ou mais defeituosos? 
σp = √pq/n 
σp = √0,10 .0,90/100 
σp = √ 0,3/10 = 0,03 
Podemos usar esse resultado para determinar a 
variação relativa: 
17% - 10% / 3% = 7% / 3% = 2,33 = z 
6. Distribuição amostral do número de ocorrência 
Semelhante a distribuição amostral das proporções 
Contagem de dados e 
não, mensurações. 
Uso de tabelas binomiais 
(n < 20) 
Aproximação pela normal 
Distribuição amostral de proporções --- Valores --- (%) 
 
 
Distribuição amostral do n. de ocorrência --- Valores --- (Contagem) 
Ambas 
Exemplo: 
Suponha que uma pesquisa recente tenha revelado que 60% de uma 
população de adultos do sexo masculino consta de não fumantes. Tomada uma 
amostra de 600, calcule a média e o desvio padrão da distribuição amostral. 
média = np = 600(0,60) = 360 
Desvio padrão = √600(0,60)(0,40) 
σp = √np (1 – p) 
= √144 = 12 
Temos n = 600, p = 0,60 1- p = 0,40 
Exercícios: 
1. A média de uma distribuição amostral de médias é 50,0 e seu desvio padrão é 10,0. Suponha normal a 
distribuição amostral. 
 a. Que percentagem de médias amostrais estará entre 45,0 e 55,0 ? 
 b. Que percentagem de médias amostrais estará entre 42,5 e 57,5 ? 
 c. Que percentagem de médias amostrais será menor que a média populacional? 
 
2. Determine a média da distribuição de médias amostrais, dada cada uma das seguintes médias populacionais: 
 a. 5,01 b. 18,41 c. 199,5 d. 0,008 
 
3. Calcule o desvio padrão da distribuição amostral de médias para cada um dos casos seguintes: 
 a. σx = 5, n = 6 
 b. σx = 1, n = 36 
 c. σx = 2, n = 40 
 d. σx = 6,2, n = 100 
 
4. Determine a média da distribuição de proporções amostrais, quando a proporção na população é: 
 a. 30% b. 43% c. 50% d. 72,3% 
 
5. Determine o desvio padrão da distribuição amostral de proporções para n =100 e uma proporção populacional 
de: 
 a. 10% b. 20% c. 40% d. 50% 
 
6. Explique por que, ao trabalhar com proporções, a distribuição normal é usada para 20 ou mais observações, 
quando a binomial seria teoricamente correta. Quando é a binomial preferível à normal? 
Teoria da Estimação 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 
UNIDADE ACADÊMICA DE AGRONOMIA E TECNOLOGIA DE ALIMENTOS 
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA BÁSICA 
Profª Railene Hérica Carlos Rocha 
Processo que consiste em utilizar dados amostrais para 
estimar os valores de parâmetros populacionais 
desconhecidos. 
Qualquer característica de uma população pode ser 
estimada a partir de uma amostra aleatória 
1. Introdução 
2. Estimador e estimativa 
Estimador Estatística 
Estimativa Cada valor assumido por um estimador 
Notação: 
= parâmetro a ser estimado 
 T = um estimador de 
 t = uma dada estimativa 
2. 1 Qualidades de um bom estimador 
 Justeza ou não-tendenciosidade: 
Um estimador T é justo (ou não-tendencioso, não-viciado ou 
não-viesado), se sua média for o próprio parâmetro que se 
pretende estimar. 
θ μ (T) = 
 Consistência: 
Ou seja, 
 
 Sendo um estimador consistente, com amostras grandes 
é possível tornar o erro de estimação tão pequeno quanto se 
queira. 
 
 Se o estimador for justo, a condição de consistência 
equivale a dizer que sua variância tende a zero quando o 
tamanho da amostra tende a infinito. 
Eficiência: 
Dados dois estimadores T1 e T2, definimos eficiência de um parâmetro em 
relação a outro, para um mesmo tamanho de amostra por: 
E = var (T1 /T2) 
Se a eficiência E < 1 T1 é menos eficiente do que T2 
Se a eficiência E > 1 T1 é mais eficiente do que T2 
Suficiência: 
Um estimador é suficiente se contém o máximo possível de informação com 
referência ao parâmetro por ele estimado. 
Estimador ideal justo, consistente, eficiente e suficiente. 
Tipos de estimativas 
Estimativa pontual 
(Estimativa única de um parâmetro 
populacional) 
Estimativa intervalar 
(Dá um intervalo de valores possíveis, no qual se 
admite que esteja o parâmetro populacional) 
 
 Pontual 
 
 
1. O americano médio consome 40lb 
de carne por ano. 
2. Um carro típico de 6 cilindros faz 15 
milhas por galão. 
 
 
1.Vinte e dois por cento da população 
se opõe a um aumento do limite de 
velo cidade.2. A proporção de estudantes fumantes 
é 43%. 
 
 
1. O desvio padrão da quilometragem de 
um pneu radial é de 2.000 milhas. 
2. O desvio padrão da temperatura numa 
piscina não aquecida é da ordem de 
5°F. 
 Intervalar 
 
1. O consumo médio de carne no país 
está entre 30 e 50lb por pessoa por 
ano. 
2. Um carro típico de 6 cilindros faz 
entre 12 e 18 milhas por galão. 
 
1. Entre 18% e 26% da população há 
oposição a um aumento do limite da 
velocidade. 
2. A proporção de estudantes fumantes 
está entre 37% e 49%. 
 
 
1. O desvio padrão da quilometragem de 
um pneu radial está entre 1.500 e 
2.500 milhas. 
2. O desvio padrão da temperatura numa 
piscina não aquecida está entre 2°F 
e 8°F. 
Exemplos 
Tipos de estimativas 
Parâmetro 
populacional 
Média 
Proporção 
Desvio padrão 
a) Estimativa pontual 
O valor da média ( ) é uma estimativa por ponto da média populacional (µ). 
N = 20.000 alunos; n = 200 alunos; 
 = 7,2. 
Exemplo: 
Logo: 
= 7,2 é uma estimativa pontual da verdadeira nota média dos 
20.000 alunos. 
Em geral: é insuficiente (não possui uma medida do possível erro 
cometido na estimação). 
Quando a estatística amostral origina uma única estimativa (valor) do 
parâmetro populacional que se quer estimar. 
Estimativa por ponto da variância da população: 
1º Caso: Quando se conhece a média µ da população. 
2º Caso: Quando a média µ da população é desconhecida. 
estimativa 
. 
Estimativa por ponto da proporção da população 
Proporção p: o estimador será a proporção p’. 
 p’ é estimador justo de p → µ (p’) = p. 
b) Estimativa intervalar 
Quando a partir da estatística amostral construímos um intervalo de 
valores possíveis no qual se admite que esteja contido o parâmetro 
populacional com dado nível de confiança ou probabilidade (1 – α 
%). (intervalo de confiança). 
f(x)
f(z)
Exemplo: W.St 196 
 
 Suponha uma amostra de alunos graduados, com idade média 
de 24,2 anos. 
 
 Sabemos que: Este é um dos valores da distribuição amostral 
 
 Qual a aproximação está a 24,2 da média populacional? 
Exemplo: 
O intervalo [1,60 m; 1,64 m] contém a altura média dos 
moradores do município X, com intervalo de confiança de 95 %. 
 
Risco de erro (5 %) → 95 % desse intervalo conter o 
verdadeiro parâmetro populacional. 
Interpretação: 
Limites de confiança 
Determinam um intervalo de confiança no qual 
deverá estar o verdadeiro valor do parâmetro 
A estimação por intervalo consiste na fixação de dois valores tais 
que (1 - α) seja a probabilidade de que o intervalo, por eles 
determinado, contenha o verdadeiro valor do parâmetro. 
Fatores que influenciam na amplitude de um 
intervalo de confiança: 
: É a probabilidade de erro na estimação por intervalo. α 
e = 
a) Intervalo de confiança da média populacional 
quando o desvio padrão (σ) é conhecido: 
P (- Zα/2 ≤ Zi ≤ + Zα/2) = 1- α. 
 
 
Substituindo o valor de Zi: 
Populações infinitas: 
Populações finitas: 
PROCEDIMENTO: 
 
1. Fixa-se o valor de 1 – α 
2. Tabela de distribuição normal padrão: valor das abscissas que 
deixam α/2 em cada uma das caudas 
3 . (média amostral); σ (desvio padrão da população); n (tamanho da 
amostra) → constrói-se o intervalo. 
A duração de vida de uma peça é tal que σ = 5 h. Foram amostradas 
aleatoriamente 100 peças, obtendo média de 500 h. Construa um IC para a 
verdadeira duração média da peça com nível de 95 % de confiança. 
Exemplo 1: 
quadro 
Interpretação: 
Exemplo 2: 
Considere os dados do exercício anterior para uma população N=1000 peças 
Interpretação: 
B - Intervalo de confiança da média populacional quando o desvio 
padrão σ é desconhecido: 
Amostra pequena e não se conhece o valor do desvio padrão populacional 
σ → substitui-se por S (desvio padrão amostral) 
quadro 
A amostra (9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9) foi extraída de uma população normal. 
Construa um IC para média ao nível de 95 % de probabilidade. 
Exemplo 3: 
quadro 
9; α/2 = 
Substituindo os valores na fórmula: 
Interpretação: 
C - Intervalo de confiança para soma ou diferença entre 
médias populacionais µ1 e µ2 
1 – Desvios padrões σ1 e σ2 conhecidos: 
Interpretação: 
2 – Desvios padrões σ1 e σ2 desconhecidos e supostamente iguais: 
α 
quadro Interpretação: 
3 – Desvios padrões σ1 e σ2 desconhecidos e supostamente diferentes 
α 
Interpretação: 
quadro 
D - Intervalo de confiança da proporção da população: 
Se as amostras são grandes (n ≥ 30), a distribuição 
amostral de proporções que tem distribuição binomial, 
poderá ser aproximada de uma distribuição normal de 
mesma média e variância. (n ≥ 30; p = 0,5). 
Interpretação: 
E - Intervalo de confiança para soma e diferença de duas 
proporções populacionais p1 e p2: 
Interpretação: 
quadro 
F – Intervalo de confiança da variância da população σ2 
O estimador de σ2 é S2 
 
S2 tem distribuição Qui - Quadrado 
admitindo que a população tenha distribuição normal σ2 
P (X2 inf ≤ X2 n -1 ≤ X
2 sup) 
Substituindo o valor de X2 n – 1 e resolvendo as duas inequações para σ
2, 
obtemos o intervalo: 
Ex: Admita distribuição normal com n = 10, S2 = 4 e que se deseja construir um 
intervalo de confiança para a variância populacional ao nível de 90 %. 
G – Intervalo de confiança para o desvio padrão da população σ 
Ex.: Com os dados do exemplo anterior, construa o IC para o 
desvio padrão populacional. 
Exercícios (Teoria da Estimação) 
 Para a média populacional: 
 
1. Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-
se para uma medida uma média de 5,2 mm. Sabendo que as médias têm 
distribuição normal com desvio padrão populacional de 1,2 mm, construa 
intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%. 
 
2. De uma distribuição normal de σ2 = 1,96, obteve-se a seguinte amostra: 25,2; 
26,0; 26,4; 27,1; 28,2; 28,4. Determine o intervalo de confiança para a média 
da população, sendo α = 0,05 e α = 0,10. 
 
3. Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribuição 
normal com σ = 15 cm. Foi retirada uma amostra aleatória de 100 alunos, 
obtendo-se x = 175 cm. Construa, ao nível de 95%, o intervalo para a 
verdadeira altura média dos alunos. 
 
4. Uma amostra proveniente de população normal é composta pelos seguintes 
elementos: 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 15, 15. 
Construa os intervalos de confiança para a média aos níveis de confiança de 
97,5% e de 75%. Compare os resultados e comente as diferenças de 
amplitudes. 
5 
6 
 Para a variância populacional: 
 
 
1. Suponha que uma amostra aleatória de 10 observações, aponte S2 = 
2,25. Quais os limites de confiança, a 80%, para a verdadeira 
variância? Qual foi a hipótese admitida para a distribuição de 
probabilidade da população? 
 
2. Sendo X uma população tal que X= N( μ, σ2 ), em que μ e σ2 são 
desconhecidos. Uma amostra de tamanho 15 forneceu os valores ∑Xi 
= 8,7 e ∑Xi2 = 27,3. Determine um intervalo de confiança de 95% 
para . 
 
3. Qual é o intervalo de confiança que conterá com 90% a verdadeira 
variância de uma população normal que resultou ∑Xi = 700,8 e ∑Xi2 
= 23.436,80, de uma amostra de 30 elementos? 
σ2 
 Para a proporção populacional: 
 
1. Uma centena de componentes foi ensaiada, e 39 deles funcionaram 
mais de 1.000 horas. Determine um intervalode confiança de 95% 
para a proporção de componentes que funcionam mais de 1.000 
horas. 
 
2. Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra-nos que 25% deles 
são casas de aluguel. Qual é o intervalo de confiança da proporção de 
casas de aluguel? Admita um erro de 2%. 
 
3. Uma amostra aleatória de 300 habitantes de uma cidade mostrou 
que 180 desejavam a água fluorada. Encontre os limites de confiança 
de 90% e 95% para a proporção da população favorável à fluoração. 
4 
Dimensionamento de amostras 
 
Objetivo: 
 
Calcular qual o tamanho mínimo que devemos coletar, de 
modo que, o erro ao estimarmos o parâmetro θ seja menor do 
que um valor pré-estabelecido. 
A – Amostragem aleatória simples com reposição e σ conhecido: 
Zα/2 = valor da tabela correspondente a 
área sob a distribuição normal padrão, 
fixando um nível de confiança de 1 – α. 
σ = desvio padrão da população. 
e = erro amostrai absoluto permissível 
n = tamanho da amostra aleatória simples. 
B – Amostra aleatória simples sem reposição e σ conhecido: 
Zα/2 = valor da tabela correspondente a área 
sob a distribuição normal padrão, fixando 
um nível de confiança de 1 – α. 
σ = desvio padrão da população. 
 
e = erro amostral absoluto permissível 
 
n = tamanho da amostra aleatória simples. 
 
N = tamanho da população. 
EX: Qual o tamanho da amostra que devemos retira de uma 
população com 5000 observações cujo desvio padrão é igual a 5, 
com 95 % de confiança e precisão de 0,4. 
. 
C – Amostragem aleatória simples com reposição e σ desconhecido 
tα/2 = valor da tabela correspondente a área sob a distribuição t 
(Student) com n – 1 graus de liberdade para determinado nível de 
confiança 1 – α. 
 
S = desvio padrão da amostra. 
 
e = erro amostral absoluto permissível 
 
n = tamanho da amostra aleatória simples. 
D – Amostra aleatória simples sem reposição e σ desconhecido 
tα/2 = valor da tabela correspondente à área sob a distribuição t (Student) com n – 1 
graus de liberdade para determinado nível de confiança 1 – α. 
 
S = desvio padrão da amostra. 
 
e = erro amostral absoluto permissível 
 
n = tamanho da amostra aleatória simples (população). 
E - Amostragem das proporções com reposição 
F - Amostragem das proporções sem reposição 
Exercícios (Dimensionamento de amostras) 
1 
2 
4 
5 
6 
3