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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 
UNIDADE ACADÊMICA DE AGRONOMIA E TECNOLOGIA DE ALIMENTOS 
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA BÁSICA 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E 
DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE 
PROBABILIDADE 
Profª Railene Hérica Carlos Rocha 
1.INTRODUÇÃO 
• Distribuição de freqüência de amostras 
• Distribuição de probabilidade de população 
• Pesquisas empíricas 
• Variáveis de uma população: teórica e 
praticamente 
A1 
2.Variáveis aleatórias 
• Espaço amostral: elementos numéricos ou não 
 . Seja є um experimento aleatório e S o espaço 
amostral associado ao experimento. Uma 
função X que associe a cada elemento s S um 
número real X (s) é denominada variável 
aleatória 
 
 . Uma variável aleatória (v.a) é uma função com 
valores numéricos, cujo valor é determinado 
por fatores de chance. 
A1 
Exemplo: 
 
a) X: Número de caras obtidas no lançamento de duas 
moedas (variável aleatória) 
 Então: є = lançamento das duas moedas 
 S: {cc, ck, kc,kk} c=cara e k=coroa 
 Variável x: 0,1 e 2 
 
b) X: Número de clientes que entram num supermercado 
entre 10h e 12h 
 Variável x: 0,1,2,3,4,5,6,…. 
 
c) X: altura dos alunos entre 1,60m e 1,70m 
 
 A1 
2.1 Classificação das variáveis aleatórias 
2.1.1 Variáveis aleatórias discretas 
 Seja X uma variável aleatória. Se o número de 
valores possíveis de X for finito ou infinito numerável, 
denominaremos X de variável aleatória discreta 
 Ex 1: Número de ervas daninhas num canteiro. 
 Ex 2: Número de frutos de uma árvore. 
 Ex 3: Número de meninos numa família de 4 filhos. 
 Ex 4: Número de plantas sadias numa amostra de 5 plantas 
A1 
2.1.2 Variáveis aleatórias contínuas 
Seja X uma variável aleatória. Se o contradomínio 
de X é um intervalo, ou uma coleção de intervalos, 
denominaremos X de variável aleatória contínua 
Ex 1: Seja X a duração de vida (h) de uma lâmpada. 
 Ex 2: Altura das plantas de milho de uma lavoura. 
 Ex 3: Área foliar de café numa lavoura. 
 Ex 4: Produção de plantas de feijão numa parcela. 
A1 
Importância da distinção entre 
VAD e VAC? 
 A utilização de diferentes modelos de 
probabilidade depende do tipo de variável 
aleatória. 
3. Função de Probabilidade Discreta 
 a) p (xi) ≥ 0 para todos xi 
 
 b) Σ p (xi) = 1 
i=1 
∞ 
Função de probabilidade da variável aleatória X 
A1 
A distribuição de probabilidade de X é dada pelos pares [Xi: p (Xi)], 
i =1,2,3,4 … e poderá ser expressa por uma tabela, gráfico ou 
fórmula. 
Exemplo 1 
Encontrar a distribuição discreta de probabilidade da 
variável número de caras encontradas no lançamento de três 
moedas 
є = lançamento das três moedas 
S: {ccc, cck, ckk, ckc, kck, kcc, kkc, kkk} 
c=cara e k=coroa 
 X: Variável (número de caras): 0,1, 2 e 3 
X = 0 – kkk (1/8) 
X = 1 – kkc, kck, ckk (3/8) 
X = 2 – cck, ckc, kcc (3/8) 
X = 3 – ccc (1/8) 
A1 
Tabela e gráfico: 
Quadro 
Uma variedade de feijão apresenta 25% das plantas resistentes à ferrugem. 
Logo uma planta desta variedade pode ser: 
Exemplo 2 
Resistente → R → P(R) = 0,25 ou 1/4. 
Doente → D → P(D) = 0,75 ou 3/4. 
Para uma amostra de n = 2 plantas dessa variedade resistente a ferrugem, o espaço amostral é: 
S = {RR, RD, DR, DD}. 
As probabilidades dos pontos amostrais são: 
P(RR) = 1/4 x 1/4 = 1/16 
 P(DR) = 3/4 x 1/4 = 3/16 Variável X: 0, 1 e 2 
P(RD) = 1/4 x 3/4 = 3/16 
P(DD) = 3/4 x 3/4 = 9/16 
A1 
X → número de plantas sadias que podem ocorrer 
f(x) = probabilidade do resultado de x. 
 
X 0 1 2 
p(x) 9/16 6/16 1/16 
p(xi) 
A1 
4. Função de distribuição acumulada 
Se X for uma variável aleatória discreta, defini-se Função 
de Distribuição Acumulada em um ponto x como a soma 
das probabilidades dos valores xi menores ou iguais a x. 
F(x) = Σ p(xi) 
xi ≤ x 
A1 
Exemplo 
Com os dados do exemplo 1, calcular: 
a) F(1) = 
b) F(1,5) = 
c) F(2,5) = 
d) F(3) = 
e) F(0,5) = 
 
Quadro 
A1 
Exercícios 
1. Construa a tabela e o gráfico da distribuição de probabilidade para a variável 
aleatória: número de coroas obtidas no lançamento de duas moedas 
2. Faça X a variável aleatória soma dos pontos obtidos no lançamento de dois 
dados. Determine: 
a) Tabela de distribuição de probabilidade de X 
b) P(3≤ X ≤10) 
c) P (X > 7) 
d) P(X ≤ 5) 
e) F (4) 
f) F (8) 
g) F (5) 
h) F (1) 
i) F (12) A1 
5. Valor esperado ou média de uma variável aleatória 
discreta (esperança matemática) 
Seja X uma variável aleatória discreta, com valores x1, x2, ...,xk, o 
valor esperado de X (ou esperança matemática de X), ou 
simplesmente média de X é definido como: 
µ (x) = E [x] = ∑ xip(xi) 
Semelhança: média de uma variável 
discreta e fórmula da média amostral 
x = ∑ xiFi = ∑ xi fi = ∑ xifi 
 
n n 
n n n 
i=1 i=1 i=1 
Onde: Fi / n = fi 
Média amostral: 
A1 
À medida que o tamanho da amostra aumenta, a freqüência 
relativa fi = Fi/n aproxima-se de P(xi), ou seja, a média amostral 
aproxima-se da média populacional. 
Para a amostra de duas plantas de feijão (X → número de 
plantas sadias que podem ocorrer). 
(Xi) 0 1 2 
f (xi) 9/16 6/16 1/16 
Exemplo : 
µ (x) = E [x] = ∑ f (xi) xi = 0 . 9/16 + 1 . 6/16 + 2 . 1/16 = 
0,5 plantas sadias. 
Significado: Tomando um grande número de amostras de 2 plantas 
de feijão desta variedade, contando-se em cada amostra o número de 
plantas sadias, em média se obterá 0,5 plantas sadias. 
A1 
6. Variância e Desvio Padrão de uma Variável 
Aleatória Discreta 
A variância é uma medida de dispersão – Avalia o grau de 
homogeneidade dos valores da variável em torno da média. 
σ2 (x) = Var [x] = E [(x - µ (x))
2] 
σ2 (x) = E [x 2] - µ2(x) 
Desenvolvendo o quadrado da diferença, obtemos a fórmula prática: 
Onde: 
E [x 2] = ∑ xi
2 p(xi) e µ (x) = ∑ xi p(xi) 
A1 
O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância: 
σ (x) = σ2 (x) 
Exemplo 1: 
 Para a amostra de duas plantas de feijão (x → número de 
 plantas sadias que podem ocorrer). 
(Xi) 0 1 2 
p (xi) 9/16 6/16 1/16 
E [x 2] = ∑ xi2 p(xi) = 02 . (9/16) + 12 . (6/16) + 22 . (1/16) = = 0 + 6/16 + 
4/16 = 10/16. 
 
μ (x) = ∑ xi p(x) = 0 . (9/16) + 1 . (6/16) + 2 . (1/16) = = 0 + 6/16 + 2/16 
= 8/16 = 1/2 
σ2 (x) = E [x 2] - µ2(x) 
A1 
10/16 – (1/2)2 = 10/16 – 1/4 = 10 - 4/16 = 6/16 = 3/8 = 0,375 plantas/m2. 
 
σ = √0,375 = 0,612 plantas. 
σ2 (x) = E [x 2] - µ2(x) 
1. Suponha que o gerente de uma loja tenha construído a seguinte distribuição 
para vendas de fogões por semana. Calcular a média, variância e o desvio padrão. 
Xi vendas 0 1 2 3 4 
p (xi) 0,20 0,30 0,30 0,15 0,05 
Exercício 
E [x 2] = ∑ xi 2 p(xi) = 
σ2 (x) = E [x 2] - µ2(x) 
μ (x) = ∑ xi p(x) = 
A1 
2. Considere a distribuição de probabilidades: 
 
 
 
 
 
Determine P (µ - σ < X < µ + σ ) 
 
3. A empresa equilibrada S.A vende três produtos, cujos lucros e probabilidades de venda 
estão anotados na tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 
a) Qual o lucro médio por unidade vendida e o desvio padrão . 
b) Qual o lucro total esperado num mês em que foram vendidas 5.000 unidades. 
X -1 0 1 
p (X) 0,375 0,25 0,375 
Produto A B C 
Lucro unitário (US$) 15 20 10 
Probabilidade de Venda (%) 20 30 50 
4. Uma Companhia de seguros transporta seus produtos utilizando dois tipos de containers: 
Um do tipo A comdimensões 8 x 10 x 30 m e outro do tipo B medindo 10 x 12 x 35 m. Se 
40% de seu transporte for feito no container do tipo A e o restante no container do tipo B, 
qual será o volume médio transportado em cada container, supondo que eles estejam sempre 
cheios. 
7. Função de Probabilidade Contínua 
A2 
A2 
Exemplo 1: O tempo gasto, em minutos, para a realização de uma reação 
química é um variável aleatória contínua com função dada por: 
f(x) = x/4 para 1 ≤ x ≤ 3 
0 para outros valores de X 
p/ x = 1 f(x) = 1/4 
p/ x = 3 f(x) = 3/4 
x dx →X1+1 = X2 → /2 → X2/2 
A área sob a função f(x) entre 1 e 3 vale 1. 
A2 
Logo a área sob a função entre 2 e 3 é menor que 1 expressando 
uma probabilidade. 
P(2<x<3) = 
Exemplo 2: 
 Seja: 
a) Encontre o valor de K na função para que f(x) seja uma função densidade de 
probabilidade. 
b) Encontre p (1 ≤ X ≤ 2). 
A2 
12
1
12
9
13
130
12
9
103
2
0
2
3
6/1
1)(
2
6/1
16/1
1)6/1(
1)6/1(
22
3
0
3
0
2
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
k
k
k
k
xk
x
dxkxdx
kdxdxx
dxkx
a) Valor de K? 
A2 
b) p (1 ≤ X ≤ 2). 
%67,41
12
5
)21(
12
1
0
12
4
12
12
1
2
0
2
2
6/1
)(
2
6/1
12
1
)6/1()
12
1
6/1()
12
1
6/1()21(
22
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
ouxP
xk
x
dxdxxdxxdxxxP
A2 
8. Função de distribuição acumulada 
para variável aleatória contínua 
Idem a definição de função acumulada para v. a. d. 
 Desta forma a função acumulada para variável aleatória 
 contínua será dada por: 
F(x) = f(x) dx 
9. Valor esperado ou média de uma variável 
aleatória contínua (esperança matemática) 
µ (x) = E [x] = ∫ x f(x) dx 
∞+ 
-∞ 
∞+ 
A2 
σ2 (x) = E [x 2] - µ2(x) 
10. Variância e Desvio Padrão de uma Variável 
Aleatória Contínua 
E [x2] = ∫ x2 f(x)dx 
-∞ 
∞+ 
µ (x) = E [x] = ∫ x f(x) dx 
∞+ 
-∞ 
Onde: 
σ (x) = √ σ2 (x) 
A2 
O tempo gasto, em minutos, para a realização de uma reação 
química é um variável aleatória contínua com função dada por: 
 
f(x) = x/4 para x Є (1,3) 
 0 para x (1,3) 
Exemplo : 
Calcule o tempo médio para a realização desta reação ? 
 
A2 
Exercício 
A variável aleatória contínua “x” deste exercício representa o consumo em 
gramas de ração de crescimento diário, em uma granja avícola. 
Seja f (x) = kx se 0 ≤ x ≤ 1 
 0 em qualquer outro caso 
a) K, a fim de que f(x) seja uma função densidade de probabilidade 
b) O gráfico de f(x) 
c) P (0 ≤ x ≤ ½) 
d) E(X) 
e) VAR (X) 
f) P (x =1/2) 
 
Determinar : 
11. Distribuições Teóricas de 
Probabilidades 
Distribuições Discretas 
de Probabilidades 
Bernoulli 
Binomial 
 Poisson 
Distribuições Contínuas 
de Probabilidades 
Uniforme 
Normal 
t de Student 
Qui-quadrado 
A3 
11.1 Distribuições Discretas de Probabilidades 
a) Distribuição de Bernoulli 
Seja um experimento aleatório em que só pode 
ocorrer “sucesso” ou “fracasso”. A variável aleatória 
tal que X = 1, se ocorrer sucesso, e X = 0, se ocorrer 
fracasso, tem distribuição de Bernoulli. Sendo p a 
probabilidade de ocorrer sucesso, a probabilidade de 
ocorrer fracasso será q = 1 – p. 
A3 
A função probabilidade da distribuição de Bernoulli 
pode ser descrita por: 
X P(x) 
0 1 - p 
1 p 
1 
Medidas para uma distribuição de Bernoulli: 
Média : 
Onde : p + q = 1 
ppqxPxXE
i
i
i
.1.0)()(
1
0
pqppppXVar
ppqxPxXE
XEXEXVar
i
i
i
)1()(
10)()(
)]([)()(
2
22
1
0
22
22Variância : 
A3 
Exemplo 1: 
 Lançamento de uma moeda. 
 Eventos {C e K); 
 X: aparecer C (p). 
 p (x = 1) = p = 1/2 
 p (x = 0) = q = 1 – p = 1 - 1/2 = 1/2. 
 (moeda não viciada). 
A3 
A distribuição de Bernoulli pode ser escrita como P (x = 1) = p e P (x = 0) = 1 – p 
ou da forma matemática: 
P (X = x) = px (1 – p)1 – x, para x = 0 ou x =1. 
Exemplo 2 : Uma droga cura 15 % dos pacientes. Administra-se a droga a um 
paciente. Qual a probabilidade do paciente se curar? E a probabilidade de não 
se curar? 
 
X será 0 se o paciente não se curar 
X será 1 se o paciente se curar 
 
Para x = 0, = p(x=0) = 0,150 x (1 – 0,15)1 – 0 = 0,85 
Para x = 1, = p(x=1) = 0,151 x (1 – 0,15)1 – 1 = 0,15 
Quadro 
A3 
b) Distribuição de Binomial ou seqüência de Bernoulli 
É uma generalização da distribuição de Bernoulli para o caso da 
probabilidade do número de sucessos quando são realizadas “n” tentativas do 
mesmo tipo 
É a distribuição discreta mais importante 
Aplicada em situações que envolvem duas classes ou categorias, os 
dados são nominais e independentes 
O experimento é repetido n vezes (sucesso ou fracasso). 
É útil para determinar a probabilidade de certo número de sucessos 
num conjunto de observações 
A3 
. Respostas do tipo V ou F 
. Produtos manufaturados classificados como perfeitos ou defeituosos 
. Alunos de uma escola vacinados ou não vacinados 
. Exames do tipo passa ou não passa 
. Fumantes e não fumantes em um grupo de adultos 
. Atirar em um alvo, atingi-lo ou não 
. O resultado final contratado e não contratado para um emprego 
Exemplos de experiências binomiais: 
A3 
São realizadas n provas do mesmo tipo (idênticas) 
Cada prova admite dois resultados possíveis, um chamado 
sucesso e o outro fracasso 
As probabilidades p, de sucesso, e 1 – p = q, de fracasso, 
permanecem constantes em todas as provas 
 Os resultados das provas são independentes 
Hipóteses a serem atendidas para a utilização da 
distribuição Binomial 
A3 
Métodos para obter as probabilidades para uma v.a. 
distribuída binomialmente : 
 
 . Utilização da fórmula binomial; 
 . Utilização de tabelas de probabilidades binomiais 
A Fórmula Binomial 
Especificar n (número de provas). 
x (número de sucessos). 
p (probabilidade de sucesso em cada prova). 
A3 
Exemplo: (W. St) 
 
 p = 0,80; q = 0,20. Probabilidade de 3 sucessos e 1 falha em 4 observações. 
Disposição Probabilidade 
SSSF (0,8)(0,8)(0,8)(0,2) = 0,1024 
SSFS (0,8)(0,8)(0,2)(0,8) = 0,1024 
SFSS (0,8)(0,2)(0,8)(0,8) = 0,1024 
FSSS (0,2)(0,8)(0,8)(0,8) = 0,1024 
= 0,4096 
Cada situação tem a mesma probabilidade de ocorrência, os fatores são os 
mesmos, apenas a ordem é diferente! 
 
 Nº de maneiras como a situação pode ocorrer 
Probabilidades binomiais: 
 Probabilidade de uma dessas maneiras 
A3 
A fórmula do calculo da probabilidade de certo número x 
de sucesso em n provas é dada por: 
P (X = x) = 
n = número de provas ou repetições do experimento 
x = número de sucessos 
n – x = número de fracassos 
p = probabilidade de sucesso em cada prova 
q = 1 – p = probabilidade de fracasso em cada prova. 
 = número de combinações de n elementos, tomados x a x. 
A3 
Uma suspensão contendo organismos de Leishmania é preparada e quando uma 
determinada quantidade é inoculada em ratos, 30% deles se tornam infectados. Se 
3 ratos forem inoculados independentemente, qual a probabilidade de: 
Exemplo : r.c 
a) Nenhum rato ficar infectado? 
 
b) 1 rato ficar infectado? 
 
c) 2 ratos ficarem infectado? 
 
d) Todos os ratos ficarem infectados? 
P (X = x) = 
Quadro 
A3 
1) No lançamento de uma moeda 2 vezes, observe o número de caras. 
 Pede-se: 
a) Qual a probabilidade de se obter 1 cara? 
b) Qual a probabilidade de se obter 2 caras? 
c) Quala probabilidade de se obter 2 coroas? 
Exercício: 
2) Sabe-se que 4 % de peças produzidas por uma certa máquina são defeituosas. 
Em um lote de 5 peças calcular a probabilidade de: 
 a) Exatamente 1 peça ser defeituosa? 
 b) Menos de 2 serem defeituosas? 
A3 
Medidas para a distribuição Binomial 
Média ou valor esperado: µ (x) = E [x] = np 
Variância: σ2 (x) = Var [x] = npq 
Desvio padrão: σ (x) = √npq 
Moda: N0 inteiro compreendido entre np + p e np – p 
* Média = µ (x) = 10 (0,3) = 3 
* Variância: σ2 (x) = 10 (0,3) (0,7) = 2,1 * Desvio padrão: σ (x) = √2,1 = 1,45 
* Moda = np + p = 10 (0,3) + 0,3 = 3,3 
 np – p = 10 (0,3) – 0,3 = 2,7 
 Logo M0 = 3 (inteiro entre 2,7 e 3,3) 
A4 
Exemplo: Considere n=10 e p = 0,3 
Uso de tabelas Binomiais (Instrumento prático) 
As tabelas dão as probabilidades 
de resultados individuais de uma 
variável aleatória 
Dão as probabilidades de um 
conjunto de resultados 
a) As tabelas dão as probabilidades de resultados individuais de uma variável 
aleatória 
Dois tipos 
Há interesse na determinação da probabilidade de um único valor numa 
distribuição binomial. 
É necessário: n (n0 de observações); 
 p (probabilidade de sucesso); 
 x (n0 especificado de sucessos). 
A4 
Parte de uma Tabela Binomiais Individual 
p 
n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 
8 0 . . . . . . 
1 . . . . . . 
2 . . . . . . 
3 . . . . . . 
4 . . . . . . 
5 . . . . . 0,0467 
. . . . . . . 
8 . . . . . . 
Exemplo: Qual a probabilidade de obter exatamente 5 sucessos em 
8 observações. P (sucesso) = 0,30. 
A4 
b) As tabelas dão as probabilidades de um conjunto de resultados 
Muitos problemas requerem probabilidades combinadas. 
Exemplo: Qual a probabilidade de 4 ou menos caras em 10 jogadas de uma moeda. 
Tabela individual: P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) 
Tabela de probabilidades acumuladas: Valores somados - eficiente, poupa 
tempo e erros de cálculo. 
É necessário: n (n0 de observações) 
 p (probabilidade de sucesso) 
 x (n0 especificado de sucessos) 
As probabilidades do corpo da tabela estendem-se para x ou menos 
sucessos. 
W. St 
pg111 
A4 
Parte de uma Tabela Binomial Acumulada 
n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 
1 0 . . . . . . . . 
1 . . . . . . . . 
2 0 . . . . . . . . 
1 . . . . . . . . 
2 . . . . . . . . 
3 0 . . . . . . . . 
1 . . . . . . . . 
2 . . . . . . . 0,9360 
3 . . . . . . . . 
Exemplo : Qual a probabilidade de dois ou menos sucessos (0, 1 ou 2) em três 
observações, com p = 0,40. 
A4 
A4 
Representação Gráfica da Distribuição Binomial 
Usa-se histograma quando a variável aleatória é número de sucessos e um 
gráfico em barras no caso de percentagem de sucessos 
A4 
Parâmetros da Distribuição Binomial 
p (probabilidade de sucesso) 
n (número de observações ou provas) 
Cada par (p, n) caracteriza uma única distribuição ou um único espaço amostral 
p = 0,5 
(simétrica) 
p > 0,5 
(assimétrica à direita) 
p < 0,5 
(assimétrica à esquerda) 
A tendência para assimetria diminui à medida que n aumenta. 
A4 
b) Distribuição de Poisson 
Modelo probabilístico útil para descrever probabilidades do número 
de ocorrências num campo ou intervalo contínuo (tempo ou espaço). 
Exemplos 
Defeitos por centímetro quadrado 
Número de acidentes por dia 
Número de clientes por hora 
Número de chamadas telefônicas por minuto 
 
 
Carros que passam por um cruzamento durante uma certa hora do 
dia 
Colônias de bactérias numa dada cultura por mm², numa plaqueta de 
microscópio 
A4 
1. A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o campo de 
observação 
2. A probabilidade de mais de uma ocorrência num único ponto é 
aproximadamente zero 
3. O número de ocorrências em qualquer intervalo é independente do 
número de ocorrências em outros intervalos 
A distribuição de Poisson baseia-se nas seguintes hipóteses: 
A4 
Parâmetros da Distribuição de Poisson 
Caracterizada por um único parâmetro: a média 
Sabendo-se que uma variável aleatória (v.a) tem resultados distribuídos 
segundo Poisson, e conhecendo o número médio de ocorrências por 
unidade, podemos determinar a probabilidade de qualquer dos resultados 
possíveis. 
Métodos para obter as probabilidades para uma v.a. distribuída em 
Poisson : 
 
 . Utilização da fórmula de Poisson; 
 . Utilização de tabelas de probabilidades de Poisson 
A4 
A fórmula de Poisson 
A probabilidade de realizar (observar) qualquer número de dado de 
ocorrências por unidade de medida (minuto, hora, centímetro, etc.) é dada 
pela fórmula: 
onde: 
λ = taxa de freqüência por unidade de tempo, área, etc. 
t = é o número de unidades (tempo, área...) 
e = base dos logaritmos naturais (2,71828) 
X = número de ocorrências (sucesso) 
A4 
A quantidade λt representa o número médio de 
ocorrência no intervalo t, assim: μ = λt 
A variância: λ t, ou seja, σ2 = λ t. 
Desvio padrão: √σ2 = √ λ t 
A4 
Exemplo : 
1. Experiências passadas indicam que há em média 2 chamadas por hora em certo 
telefone. Calcular as probabilidades de em uma hora, o telefone receber, nenhuma 
chamada, uma, duas, ... 
Quadro 
2. Suponhamos que os navios cheguem a um porto à razão de λ = 2 navios/hora, e 
que essa razão seja bem aproximada por um processo de Poisson. Observando o 
processo durante um período de meia hora (t = ½), determine a probabilidade de: 
 
 a) Não chegar nenhum navio; 
 b) Chegarem 3 navios 
λ = taxa de freqüência por unidade de tempo, área, etc. 
t = é o número de unidades (tempo, área...) 
e = base dos logaritmos naturais (2,71828) 
X = número de ocorrências (sucesso) 
A4 
1.Suponhamos que os defeitos em fios para tear possam ser aproximados por um 
processo de Poisson com 0,2 defeitos por metro (λ =0,2). Inspecionam-se pedaços de fio 
de 6 metros de comprimento, determine a probabilidade de menos de 2 (isto é, 0 ou 1) 
defeito. 
 
 
2. Na revisão tipográfica de um livro achou-se em média 1,5 erros por página. Das 800 
páginas de um livro, estimar quantas não precisam ser modificadas por não apresentarem 
erros. 
 
 
3. Caminhões chegam a um depósito a razão de 2,8 caminhões/hora. Determine a 
probabilidade de chegarem três ou mais caminhões: 
 a) Num período de 30 minutos. 
 b) Num período de 1 hora. 
 a) Num período de 2 horas. 
Exercício : 
A4 
Uso de tabelas de Poisson (Instrumento prático) 
Tabela individual 
Distribuição de Poisson só depende da média: as probabilidades 
são dadas com base na média. 
μ 
x 2,1 2,2 2,3 2,4 ... 
0 . . . . . 
1 . . . . . 
2 . . . . . 
3 . . 0,2033 . . 
. . . . . . 
Exemplo: Para μ =2,3; x = 3 → p = 0,2033 
μ: n 0 médio de ocorrências por unidade → Topo). 
x (resultados possíveis na coluna lateral). 
Corpo da tabela: dá as probabilidades de exatamente x ocorrências por unidade. 
A4 
A4 
Tabela acumulada 
Dá somas de probabilidades: probabilidades de x ou menos ocorrências, 
 conhecida a média do processo. 
μ Probabilidade 
desejada para 
Inclui os 
resultados 
Cálculos P(x) 
0,8 X ≤ 1 0,1 Ler diretamente 0,809 
1,2 X < 3 0,1,2 p (x ≤ 2) 0,879 
2,0 X ≥ 3 4,5,6... 1 – p(x ≤ 3) 0,143 
A4 
Distribuição de Poisson com aproximação da Binomial 
Método alternativo 
Adequado quando o número de observações for grande e a 
probabilidade de sucesso, p, está próximo de 0 ou 1. 
Razões para a escolha deste método alternativo: 
A distribuiçãobinomial descreve adequadamente muitas situações de 
interesse 
 
A maioria das tabelas está limitada a n ≤ 20 
 
A fórmula binomial pode exigir esforço substancial para a obtenção de uma 
solução exata. 
A5 
Vantagem da aproximação: 
 
 A precisão é pouco afetada e o trabalho necessário é consideravelmente 
menor. 
Procedimento 
Determinação da média da distribuição Binomial. 
Esta média é considerada a média do processo para a distribuição de Poisson 
(μ = np). 
A5 
Exemplo: Determinar a probabilidade de haver 4 peças defeituosas numa 
amostra de 300 extraída de um grande lote onde há 2 % de peças defeituosas.
 
n = 300; p = 0,02 Fora do âmbito das tabelas binomiais 
Alternativas: 
 
 
 
1 - Apelar para uma tabela binomial mais extensa 
3 – Utilizar a distribuição de Poisson: μ = np. 
 
 
μ = np = 300.(0,02) = 6 
4 – Chega-se ao mesmo resultado utilizando-se Tabela de Poisson: 
 μ = 6, p(x = 4) = 0,135. 
A5 
Comparação entre as distribuições Binomial e Poisson 
Binomial Poisson 
Observações Contagem de 
sucessos ou falhas 
Contagem de 
sucessos somente 
Parâmetros n e p μ 
Exercício : g.a.m 
1. Em um cruzamento de duas avenidas de tráfego intenso, a probabilidade de 
um carro sofrer acidente é de 0,0001. Se entre as 17 h e 19 h passam 1.000 
veículos nesse cruzamento, qual é a probabilidade de que dois ou mais 
acidentes ocorram durante esse período? 
 
1. Certo posto de bombeiros recebe em média três chamadas por dia. Calcular a 
probabilidade de : 
 a) Receber quatro chamadas num dia; 
 b) Receber três ou mais chamadas num dia. 
A5 
11.2 Distribuições Contínuas de Probabilidades 
Característica de uma variável aleatória contínua: 
A5 
a) Distribuição uniforme 
Quando uma variável aleatória pode tomar qualquer valor numa escala contínua 
entre dois pontos, de modo que nenhum valor seja mais provável que outro. 
Graficamente: retângulo limitado por dois pontos a e b. 
Altura do retângulo = 1 e a área 100 %. 
a) Distribuição uniforme 
A5 
A área sob o retângulo, entre dois pontos c e d = % área total 
compreendida entre c e d 
P (c ≤ x ≤ d) = 
b - a 
d - c 
b) Probabilidade 
Média e variância da distribuição uniforme 
a + b 
2 
μ = 
(b –a)2 
12 
σ2 = 
A5 
Exemplo : rc 
Um vendedor comparece diariamente ao escritório da firma entre 3 e 4 horas 
(nenhum momento seja mais provável que outro ∆T). Qual a probabilidade deste 
comparecer exatamente entre (3:00 e 3:15 h) ? Qual a média e variância da 
distribuição? 
Tempo: (contínua) → probabilidade do comparecimento entre dois 
pontos no tempo = razão do intervalo / intervalo de 1 hora. 
P (c ≤ X ≤ d) = X – A / B – A. 
P = 3:15 – 3:00 / 4:00 – 3:00 = 15 / 60 = 0,25 
A5 
Média: μ = a + b / 2 = 3 + 4 / 2 =3,5 ou 3:30 min. 
 
σ2x = (b – a)
2/12 = (4 – 3)2/12 = 0,083 h x 60 = 5 min2 
 
σx = √(b – a)
2/12 = √ 5 = 2,24 min. 
Exercício : w.s 135 
1. As vendas de gasolina num depósito de atacado acusam a média de 40.000 galões 
diários, com um mínimo de 30.000 galões. Supondo adequada a distribuição uniforme, 
determine a venda diária máxima. 
 
A5 
 Razões da utilização 
 
Representa com boa aproximação as freqüências observadas de 
muitos fenômenos naturais e físicos 
Serve para aproximar distribuições como a Binomial se n for 
grande 
 
As distribuições tanto da médias quanto das proporções em 
grandes amostras tendem a ser distribuidas normalmente 
 
 
amostragem 
b) Distribuição normal 
A6 
 Características das curvas normais 
 
 
Tem forma de sino 
 
É simétrica em relação a média 
 
Prolonga-se de –∞ a +∞ 
 
A equação da curva normal é especificada pela μ e σ. Há uma curva 
normal para cada combinação de μ e σ 
 
 Se o valor da μ mudar a posição da curva é alterada. 
 
 Se o valor da σ mudar altera-se a dispersão da distribuição. 
A6 
A6 
A área total sobre a curva normal é considerada como 1 ou 100% 
A probabilidade de observar valor inferior ou superior a média é de 50 %. 
 
A v.a X pode assumir qualquer valor real 
 
 Probabilidade de uma v.c. tomar um valor entre dois pontos = área c.n. 
 
 A área sob a curva entre um ponto qualquer e a média é função somente do 
número de desvios padrões que aquele ponto dista da média. 
A6 
A distribuição normal tem densidade dada por : 
P (a < x < b) = 
Onde: 
 A média (μ ) e a variância (σ) são os parâmetros desta distribuição 
A6 
Propriedades da distribuição normal 
A distribuição normal é simétrica em relação 
à média (μ) 
 f(μ – σ) = f(μ + σ) 
A função f(x) assume valor máximo para x = μ 
 
 
A função f(x) é duplamente assintótica ao eixo 
das abscissas. 
Lim f(X) = 0 → - ∞ lim f (x) = 0 → + ∞ 
 
 
A função f(x) admite 2 pontos de inflexão: x = 
μ ± σ 
 
 
A6 
Média
16,0
Mediana
16,0
Moda
16,0
0
5
10
15
20
0 4 8 12 16 20 24 28 32
A6 
f(x)
f(z)
Significado: Se uma variável tem d.n, 68 % dos valores cairão no intervalo de 
1σ a contar de cada lado da média. 
A6 
Distribuição normal padronizada (Z) w.s 141 
Trabalha com valores relativos ao invés de valores reais 
Toma a μ como ponto de referencia e o σ como medida de afastamento (escala Z) 
μ = 100,0 
σ = 10,0 
Z = número de desvios padrões a contar da média 
XI = valor arbitrário 
μ = média da distribuição normal 
σ = desvio padrão 
A6 
Tabela normal padronizada (Z) w.s 141 
Serve para achar a área sob a curva (porção sombreada) 
 
A média passa a servir como ponto de referência (origem) e o desvio padrão 
(Z), como unidade de medida 
 
Área sob a curva entre μ + σ = μ – σ. 
A tabela é simétrica, é lida em unidades de Z (nº de desvios padrões a 
contar da média) 
A6 
Tabela normal padronizada 
A6 
Exemplo 1: 
Numa variedade de milho onde a altura é uma variável aleatória X com 
distribuição normal de média 200 cm e variância 100 cm2. Qual a 
probabilidade de uma planta dessa variedade ter altura entre 190 e 195 cm? 
 
P (190 <x<195) = ? 
 
A6 
A6 
A6 
A6 
A6 
A6 
1. Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, calcule as 
probabilidades: 
 
a) P (z > 1,17) 
b) P (z < 1,17) 
c) P ( -1,17 < z < 0) 
d) P (2,05 < z < 2,93) 
e) P (-0,85 < z < 1,75) 
f) P (0 < z < 3,42) 
Exemplos: g.a.m. 125 
Quadro 
A6 
2. O salário semanal dos operários da indústria de construção civil é 
distribuído normalmente em torno de uma média de $ 80, com desvio 
padrão de $5. 
a) Encontrar a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado: 
 I. Entre $ 80 e $ 83 
 II. Entre $ 75 e $ 80 
 III. Entre $ 74 e $ 82 
 IV. Acima de $ 85 
 V. Abaixo de $ 73 
 
b) De uma amostra de 500 operários da indústria de construção, quantos 
esperaríamos que ganhassem salários acima de $ 85? 
 
g.a.m. 129 Quadro 
A6 
c) Distribuição normal com aproximação da binomial 
Tabelas distribuição Binomial raramente vão de n > 20 
 
 
DN: usada como aproximação das probabilidades Binomiais 
A DN funciona bem quando a probabilidade de sucesso p = 0,5 
e com o aumento de n. 
 
 
Quanto maior for o valor de n melhor será a aproximação. 
A7 
Graficamente se n é grande a aparência da distribuição 
binomial é a seguinte: 
A7 
Distribuição normal: Contínua 
Distribuição binomial: Discreta 
Os valores não inteiros de uma variável contínua são arredondadospara 
o inteiro mais próximo 
 
As probabilidades associadas a valores não-inteiros são consideradas 
como probabilidades de inteiros 
Exemplo: 
 
 Valores contínuos do intervalo: 2,5 a 3,5 3 
 Valores contínuos do intervalo: 6,5 a 7,5 7 
? 
A7 
Exemplo: Considere n = 20 e p = 0,40. Determine P (X=3). 
Devemos primeiro determinar a μ e σ da distribuição binomial. 
Normal (μ e σ) 
μ = np = 20 x 0,4 = 8,0 
σ = √np (1 – p) = √20 x 0,4 (0,6) = 2,2. 
X = 3 (intervalo entre 2,5 a 3,5 na DN) 
 
Determinar: probabilidade de um valor entre μ e 2,5. 
Z1 = 2,5 – 8 / 2,2 = - 2,50 → P1 = 0,4938 
↓ 
 Determinar: probabilidade de um valor entre μ e 3,5. 
Z2 = 3,5 – 8 / 2,2 = - 2,05 → P2 = 0,4798 
↓ 
P (X = 3) = P1 – P2 = 0,4938 – 0,4798 = 0,0140. 
 
0, 0140 próximo de 0,0124 (erro de apenas 0,0016). 
 P (X=3) = 
 = 0,0124 
Pela Distribuição Binomial: 
A7 
d) Distribuição t de student 
Modelo de distribuição contínua que se assemelha a DNP 
 
Importante papel na inferência estatística (n < 30) 
Características 
 
Distribuição simétrica em relação à média (μ = 0, não normal). 
 
Assemelha-se a distribuição normal (+ dispersa). 
 
Área sob a curva é de 1 ou 100 %. 
 
Amostras grande (n > 30) Sx ≈ σx (t próximo da DN). 
 
A distribuição t possui um parâmetro chamado G.L. φ. 
 
Para valores de φ < 30 a distribuição t apresenta maior dispersão que a normal . 
A7 
Estatística t 
 
 = média amostral μ = média populacional 
 Sx = desvio padrão amostral 
n = tamanho da amostra 
A7 
Tabela da distribuição t 
φ (G.L. e uma área α na cauda direita da curva). 
n -1 graus de liberdade e α = 0,05, 0,01... 
A tabela dá as abscissas da distribuição para diversas áreas (probabilidades) na cauda. 
 
Área α 
Grau de liberdade 0,1 0,05 0,025 
1 3,0777 6,3138 12,7062 
2 1,8856 2,9200 4,3027 
3 1,6377 2,3534 3,1824 
. . . . 
9 1,833 
A7 
Exemplo: Admita n = 10 e φ = 9; e α = 0,05 
 
Simetria em relação à origem t0 
Condição de simetria 
 
t 0,05, 10 = 1,833 
↓ 
A abscissa 1,833 deixará 0,05 = 5 % da área (probabilidade) à direita. 
↓ 
A abscissa - 1,833 deixará 0,05 = 5 % da área (probabilidade) à esquerda. 
A7 
Parâmetros da distribuição t de Student 
Média: E (t) = μ = 0. 
V (t) = σ2 = φ / φ - 2, φ > 2 
σ (t) = √ φ / φ -2 
Exemplo: Considere uma distribuição t com parâmetro φ = 18. Encontre a média, 
variância e desvio padrão. 
 
 Média: µ (t18) = E (t) = 0. 
 Variância: σ2 (t18) = φ / φ -2 = 18 / 18 – 2 = 1,13. 
 Desvio padrão: σ (t18) = √1,13 = 1,06. 
A7 
Exemplo: Determine os valores tabelados ou críticos sob as curvas da distribuição 
t de Student. 
 
 
a) Para φ = 5 e α = 0,01 
 
b) Para φ = 10 e α = 0,05 
 
c) Para φ = 2 e α = 0,10 
A7 
e) Distribuição de Qui-Quadrado 
Se x1, x2,... xφ, são variáveis aleatórias independentes com distribuições 
normais de médias: µ1, µ2,...µφ, e variâncias σ1
2, σ2
2,...σφ
2, então a variável: 
 
 Xφ
2 = ∑ (xi - µi/σi)
2 = ∑ Zi
2, 
Tem distribuição Qui-Quadrado com φ graus de liberdade. 
 
φ ≥ 1 (número inteiro) → denominado grau de liberdade. 
X2 > 0 A7 
Média da distribuição: E [Xφ2] = µ (Xφ2) = φ. 
Variância da distribuição: Var [Xφ2] = σ2 (Xφ2) = 2φ. 
A área sob a curva vale 1 ou 100 %. 
Tabela do Qui - Quadrado 
Área α 
Grau de liberdade 0,01 0,05 0,95 
1 0,000 0,004 3,841 
. . . . 
9 . . 16,919 
Admita o parâmetro φ = 9, α = 0,05 → valor de 16,9. 
A7 
Direita: X2 superior = Tabela : 1ª coluna 25, 1ª linha 0,025 = 40,6 
Esquerda: X2 inferior = Tabela : 1ª coluna 25, 1ª linha (1 – 0,025) = 0,975 = 13,1 
 
 
Exemplo: φ = 25, α1 = 0,025 e α2 = 0,975 
A7 
Exemplo: Considere uma distribuição Qui-Quadrado com parâmetro 18. 
 Encontre a média, a variância e o desvio padrão. 
Média: µ (X2 18) = 18. 
Variância: σ2 (X2 18) = 2φ = 2 x 18 = 36. 
Desvio padrão: σ (X2 18) = √36 = 6. 
48,1801,0;7
2
92,1605,0;9
2
99,2510,0;18
2
Exemplo : Determine os valores tabelados ou críticos sob as curvas da distribuição X2. 
 
a) Para φ = 7 e α = 0,01 
 
b) Para φ = 9 e α = 0,05 
 
c) Para φ = 18 e α = 0,10 
 
A7 
Exercícios em sala: 
1. Faça z uma variável com distribuição normal padronizada e, com o auxílio da tabela , 
encontre: 
a) P (-0,85 < z < 0) 
b) P (-1,48 < z < 2,05) 
c) P (0,72 < z < 1,89) 
d) P (z ≥ 1,08) 
e) P (z ≥ - 0,66) 
f) P (|z| ≤ 0,5) 
 
2. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média de 65,3 kg e desvio 
padrão 5,5 kg. Encontre o número de alunos que pesam: 
 a) entre 60 e 70 kg 
 b) mais que 63,2 kg. 
 
3. Determine os valores tabelados ou críticos sob as curvas das distribuições de qui-quadrado 
(X2) e t de “Student”. 
 a) t para g.l = 5 e α = 0,01 
 b) t para g.l = 10 e α = 0,05 
 c) t para g. l = 2 e α = 0,10 
 d) X2 para g.l = 7 e α = 0,01 
 e) X2 para g.l= 9 e α = 0,05 
 f) X2 para g.l = 18 e α = 0,10 
 A7