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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE UNIDADE ACADÊMICA DE AGRONOMIA E TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: ESTATÍSTICA BÁSICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE Profª Railene Hérica Carlos Rocha 1.INTRODUÇÃO • Distribuição de freqüência de amostras • Distribuição de probabilidade de população • Pesquisas empíricas • Variáveis de uma população: teórica e praticamente A1 2.Variáveis aleatórias • Espaço amostral: elementos numéricos ou não . Seja є um experimento aleatório e S o espaço amostral associado ao experimento. Uma função X que associe a cada elemento s S um número real X (s) é denominada variável aleatória . Uma variável aleatória (v.a) é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance. A1 Exemplo: a) X: Número de caras obtidas no lançamento de duas moedas (variável aleatória) Então: є = lançamento das duas moedas S: {cc, ck, kc,kk} c=cara e k=coroa Variável x: 0,1 e 2 b) X: Número de clientes que entram num supermercado entre 10h e 12h Variável x: 0,1,2,3,4,5,6,…. c) X: altura dos alunos entre 1,60m e 1,70m A1 2.1 Classificação das variáveis aleatórias 2.1.1 Variáveis aleatórias discretas Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X for finito ou infinito numerável, denominaremos X de variável aleatória discreta Ex 1: Número de ervas daninhas num canteiro. Ex 2: Número de frutos de uma árvore. Ex 3: Número de meninos numa família de 4 filhos. Ex 4: Número de plantas sadias numa amostra de 5 plantas A1 2.1.2 Variáveis aleatórias contínuas Seja X uma variável aleatória. Se o contradomínio de X é um intervalo, ou uma coleção de intervalos, denominaremos X de variável aleatória contínua Ex 1: Seja X a duração de vida (h) de uma lâmpada. Ex 2: Altura das plantas de milho de uma lavoura. Ex 3: Área foliar de café numa lavoura. Ex 4: Produção de plantas de feijão numa parcela. A1 Importância da distinção entre VAD e VAC? A utilização de diferentes modelos de probabilidade depende do tipo de variável aleatória. 3. Função de Probabilidade Discreta a) p (xi) ≥ 0 para todos xi b) Σ p (xi) = 1 i=1 ∞ Função de probabilidade da variável aleatória X A1 A distribuição de probabilidade de X é dada pelos pares [Xi: p (Xi)], i =1,2,3,4 … e poderá ser expressa por uma tabela, gráfico ou fórmula. Exemplo 1 Encontrar a distribuição discreta de probabilidade da variável número de caras encontradas no lançamento de três moedas є = lançamento das três moedas S: {ccc, cck, ckk, ckc, kck, kcc, kkc, kkk} c=cara e k=coroa X: Variável (número de caras): 0,1, 2 e 3 X = 0 – kkk (1/8) X = 1 – kkc, kck, ckk (3/8) X = 2 – cck, ckc, kcc (3/8) X = 3 – ccc (1/8) A1 Tabela e gráfico: Quadro Uma variedade de feijão apresenta 25% das plantas resistentes à ferrugem. Logo uma planta desta variedade pode ser: Exemplo 2 Resistente → R → P(R) = 0,25 ou 1/4. Doente → D → P(D) = 0,75 ou 3/4. Para uma amostra de n = 2 plantas dessa variedade resistente a ferrugem, o espaço amostral é: S = {RR, RD, DR, DD}. As probabilidades dos pontos amostrais são: P(RR) = 1/4 x 1/4 = 1/16 P(DR) = 3/4 x 1/4 = 3/16 Variável X: 0, 1 e 2 P(RD) = 1/4 x 3/4 = 3/16 P(DD) = 3/4 x 3/4 = 9/16 A1 X → número de plantas sadias que podem ocorrer f(x) = probabilidade do resultado de x. X 0 1 2 p(x) 9/16 6/16 1/16 p(xi) A1 4. Função de distribuição acumulada Se X for uma variável aleatória discreta, defini-se Função de Distribuição Acumulada em um ponto x como a soma das probabilidades dos valores xi menores ou iguais a x. F(x) = Σ p(xi) xi ≤ x A1 Exemplo Com os dados do exemplo 1, calcular: a) F(1) = b) F(1,5) = c) F(2,5) = d) F(3) = e) F(0,5) = Quadro A1 Exercícios 1. Construa a tabela e o gráfico da distribuição de probabilidade para a variável aleatória: número de coroas obtidas no lançamento de duas moedas 2. Faça X a variável aleatória soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados. Determine: a) Tabela de distribuição de probabilidade de X b) P(3≤ X ≤10) c) P (X > 7) d) P(X ≤ 5) e) F (4) f) F (8) g) F (5) h) F (1) i) F (12) A1 5. Valor esperado ou média de uma variável aleatória discreta (esperança matemática) Seja X uma variável aleatória discreta, com valores x1, x2, ...,xk, o valor esperado de X (ou esperança matemática de X), ou simplesmente média de X é definido como: µ (x) = E [x] = ∑ xip(xi) Semelhança: média de uma variável discreta e fórmula da média amostral x = ∑ xiFi = ∑ xi fi = ∑ xifi n n n n n i=1 i=1 i=1 Onde: Fi / n = fi Média amostral: A1 À medida que o tamanho da amostra aumenta, a freqüência relativa fi = Fi/n aproxima-se de P(xi), ou seja, a média amostral aproxima-se da média populacional. Para a amostra de duas plantas de feijão (X → número de plantas sadias que podem ocorrer). (Xi) 0 1 2 f (xi) 9/16 6/16 1/16 Exemplo : µ (x) = E [x] = ∑ f (xi) xi = 0 . 9/16 + 1 . 6/16 + 2 . 1/16 = 0,5 plantas sadias. Significado: Tomando um grande número de amostras de 2 plantas de feijão desta variedade, contando-se em cada amostra o número de plantas sadias, em média se obterá 0,5 plantas sadias. A1 6. Variância e Desvio Padrão de uma Variável Aleatória Discreta A variância é uma medida de dispersão – Avalia o grau de homogeneidade dos valores da variável em torno da média. σ2 (x) = Var [x] = E [(x - µ (x)) 2] σ2 (x) = E [x 2] - µ2(x) Desenvolvendo o quadrado da diferença, obtemos a fórmula prática: Onde: E [x 2] = ∑ xi 2 p(xi) e µ (x) = ∑ xi p(xi) A1 O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância: σ (x) = σ2 (x) Exemplo 1: Para a amostra de duas plantas de feijão (x → número de plantas sadias que podem ocorrer). (Xi) 0 1 2 p (xi) 9/16 6/16 1/16 E [x 2] = ∑ xi2 p(xi) = 02 . (9/16) + 12 . (6/16) + 22 . (1/16) = = 0 + 6/16 + 4/16 = 10/16. μ (x) = ∑ xi p(x) = 0 . (9/16) + 1 . (6/16) + 2 . (1/16) = = 0 + 6/16 + 2/16 = 8/16 = 1/2 σ2 (x) = E [x 2] - µ2(x) A1 10/16 – (1/2)2 = 10/16 – 1/4 = 10 - 4/16 = 6/16 = 3/8 = 0,375 plantas/m2. σ = √0,375 = 0,612 plantas. σ2 (x) = E [x 2] - µ2(x) 1. Suponha que o gerente de uma loja tenha construído a seguinte distribuição para vendas de fogões por semana. Calcular a média, variância e o desvio padrão. Xi vendas 0 1 2 3 4 p (xi) 0,20 0,30 0,30 0,15 0,05 Exercício E [x 2] = ∑ xi 2 p(xi) = σ2 (x) = E [x 2] - µ2(x) μ (x) = ∑ xi p(x) = A1 2. Considere a distribuição de probabilidades: Determine P (µ - σ < X < µ + σ ) 3. A empresa equilibrada S.A vende três produtos, cujos lucros e probabilidades de venda estão anotados na tabela a seguir: a) Qual o lucro médio por unidade vendida e o desvio padrão . b) Qual o lucro total esperado num mês em que foram vendidas 5.000 unidades. X -1 0 1 p (X) 0,375 0,25 0,375 Produto A B C Lucro unitário (US$) 15 20 10 Probabilidade de Venda (%) 20 30 50 4. Uma Companhia de seguros transporta seus produtos utilizando dois tipos de containers: Um do tipo A comdimensões 8 x 10 x 30 m e outro do tipo B medindo 10 x 12 x 35 m. Se 40% de seu transporte for feito no container do tipo A e o restante no container do tipo B, qual será o volume médio transportado em cada container, supondo que eles estejam sempre cheios. 7. Função de Probabilidade Contínua A2 A2 Exemplo 1: O tempo gasto, em minutos, para a realização de uma reação química é um variável aleatória contínua com função dada por: f(x) = x/4 para 1 ≤ x ≤ 3 0 para outros valores de X p/ x = 1 f(x) = 1/4 p/ x = 3 f(x) = 3/4 x dx →X1+1 = X2 → /2 → X2/2 A área sob a função f(x) entre 1 e 3 vale 1. A2 Logo a área sob a função entre 2 e 3 é menor que 1 expressando uma probabilidade. P(2<x<3) = Exemplo 2: Seja: a) Encontre o valor de K na função para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade. b) Encontre p (1 ≤ X ≤ 2). A2 12 1 12 9 13 130 12 9 103 2 0 2 3 6/1 1)( 2 6/1 16/1 1)6/1( 1)6/1( 22 3 0 3 0 2 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 k k k k xk x dxkxdx kdxdxx dxkx a) Valor de K? A2 b) p (1 ≤ X ≤ 2). %67,41 12 5 )21( 12 1 0 12 4 12 12 1 2 0 2 2 6/1 )( 2 6/1 12 1 )6/1() 12 1 6/1() 12 1 6/1()21( 22 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ouxP xk x dxdxxdxxdxxxP A2 8. Função de distribuição acumulada para variável aleatória contínua Idem a definição de função acumulada para v. a. d. Desta forma a função acumulada para variável aleatória contínua será dada por: F(x) = f(x) dx 9. Valor esperado ou média de uma variável aleatória contínua (esperança matemática) µ (x) = E [x] = ∫ x f(x) dx ∞+ -∞ ∞+ A2 σ2 (x) = E [x 2] - µ2(x) 10. Variância e Desvio Padrão de uma Variável Aleatória Contínua E [x2] = ∫ x2 f(x)dx -∞ ∞+ µ (x) = E [x] = ∫ x f(x) dx ∞+ -∞ Onde: σ (x) = √ σ2 (x) A2 O tempo gasto, em minutos, para a realização de uma reação química é um variável aleatória contínua com função dada por: f(x) = x/4 para x Є (1,3) 0 para x (1,3) Exemplo : Calcule o tempo médio para a realização desta reação ? A2 Exercício A variável aleatória contínua “x” deste exercício representa o consumo em gramas de ração de crescimento diário, em uma granja avícola. Seja f (x) = kx se 0 ≤ x ≤ 1 0 em qualquer outro caso a) K, a fim de que f(x) seja uma função densidade de probabilidade b) O gráfico de f(x) c) P (0 ≤ x ≤ ½) d) E(X) e) VAR (X) f) P (x =1/2) Determinar : 11. Distribuições Teóricas de Probabilidades Distribuições Discretas de Probabilidades Bernoulli Binomial Poisson Distribuições Contínuas de Probabilidades Uniforme Normal t de Student Qui-quadrado A3 11.1 Distribuições Discretas de Probabilidades a) Distribuição de Bernoulli Seja um experimento aleatório em que só pode ocorrer “sucesso” ou “fracasso”. A variável aleatória tal que X = 1, se ocorrer sucesso, e X = 0, se ocorrer fracasso, tem distribuição de Bernoulli. Sendo p a probabilidade de ocorrer sucesso, a probabilidade de ocorrer fracasso será q = 1 – p. A3 A função probabilidade da distribuição de Bernoulli pode ser descrita por: X P(x) 0 1 - p 1 p 1 Medidas para uma distribuição de Bernoulli: Média : Onde : p + q = 1 ppqxPxXE i i i .1.0)()( 1 0 pqppppXVar ppqxPxXE XEXEXVar i i i )1()( 10)()( )]([)()( 2 22 1 0 22 22Variância : A3 Exemplo 1: Lançamento de uma moeda. Eventos {C e K); X: aparecer C (p). p (x = 1) = p = 1/2 p (x = 0) = q = 1 – p = 1 - 1/2 = 1/2. (moeda não viciada). A3 A distribuição de Bernoulli pode ser escrita como P (x = 1) = p e P (x = 0) = 1 – p ou da forma matemática: P (X = x) = px (1 – p)1 – x, para x = 0 ou x =1. Exemplo 2 : Uma droga cura 15 % dos pacientes. Administra-se a droga a um paciente. Qual a probabilidade do paciente se curar? E a probabilidade de não se curar? X será 0 se o paciente não se curar X será 1 se o paciente se curar Para x = 0, = p(x=0) = 0,150 x (1 – 0,15)1 – 0 = 0,85 Para x = 1, = p(x=1) = 0,151 x (1 – 0,15)1 – 1 = 0,15 Quadro A3 b) Distribuição de Binomial ou seqüência de Bernoulli É uma generalização da distribuição de Bernoulli para o caso da probabilidade do número de sucessos quando são realizadas “n” tentativas do mesmo tipo É a distribuição discreta mais importante Aplicada em situações que envolvem duas classes ou categorias, os dados são nominais e independentes O experimento é repetido n vezes (sucesso ou fracasso). É útil para determinar a probabilidade de certo número de sucessos num conjunto de observações A3 . Respostas do tipo V ou F . Produtos manufaturados classificados como perfeitos ou defeituosos . Alunos de uma escola vacinados ou não vacinados . Exames do tipo passa ou não passa . Fumantes e não fumantes em um grupo de adultos . Atirar em um alvo, atingi-lo ou não . O resultado final contratado e não contratado para um emprego Exemplos de experiências binomiais: A3 São realizadas n provas do mesmo tipo (idênticas) Cada prova admite dois resultados possíveis, um chamado sucesso e o outro fracasso As probabilidades p, de sucesso, e 1 – p = q, de fracasso, permanecem constantes em todas as provas Os resultados das provas são independentes Hipóteses a serem atendidas para a utilização da distribuição Binomial A3 Métodos para obter as probabilidades para uma v.a. distribuída binomialmente : . Utilização da fórmula binomial; . Utilização de tabelas de probabilidades binomiais A Fórmula Binomial Especificar n (número de provas). x (número de sucessos). p (probabilidade de sucesso em cada prova). A3 Exemplo: (W. St) p = 0,80; q = 0,20. Probabilidade de 3 sucessos e 1 falha em 4 observações. Disposição Probabilidade SSSF (0,8)(0,8)(0,8)(0,2) = 0,1024 SSFS (0,8)(0,8)(0,2)(0,8) = 0,1024 SFSS (0,8)(0,2)(0,8)(0,8) = 0,1024 FSSS (0,2)(0,8)(0,8)(0,8) = 0,1024 = 0,4096 Cada situação tem a mesma probabilidade de ocorrência, os fatores são os mesmos, apenas a ordem é diferente! Nº de maneiras como a situação pode ocorrer Probabilidades binomiais: Probabilidade de uma dessas maneiras A3 A fórmula do calculo da probabilidade de certo número x de sucesso em n provas é dada por: P (X = x) = n = número de provas ou repetições do experimento x = número de sucessos n – x = número de fracassos p = probabilidade de sucesso em cada prova q = 1 – p = probabilidade de fracasso em cada prova. = número de combinações de n elementos, tomados x a x. A3 Uma suspensão contendo organismos de Leishmania é preparada e quando uma determinada quantidade é inoculada em ratos, 30% deles se tornam infectados. Se 3 ratos forem inoculados independentemente, qual a probabilidade de: Exemplo : r.c a) Nenhum rato ficar infectado? b) 1 rato ficar infectado? c) 2 ratos ficarem infectado? d) Todos os ratos ficarem infectados? P (X = x) = Quadro A3 1) No lançamento de uma moeda 2 vezes, observe o número de caras. Pede-se: a) Qual a probabilidade de se obter 1 cara? b) Qual a probabilidade de se obter 2 caras? c) Quala probabilidade de se obter 2 coroas? Exercício: 2) Sabe-se que 4 % de peças produzidas por uma certa máquina são defeituosas. Em um lote de 5 peças calcular a probabilidade de: a) Exatamente 1 peça ser defeituosa? b) Menos de 2 serem defeituosas? A3 Medidas para a distribuição Binomial Média ou valor esperado: µ (x) = E [x] = np Variância: σ2 (x) = Var [x] = npq Desvio padrão: σ (x) = √npq Moda: N0 inteiro compreendido entre np + p e np – p * Média = µ (x) = 10 (0,3) = 3 * Variância: σ2 (x) = 10 (0,3) (0,7) = 2,1 * Desvio padrão: σ (x) = √2,1 = 1,45 * Moda = np + p = 10 (0,3) + 0,3 = 3,3 np – p = 10 (0,3) – 0,3 = 2,7 Logo M0 = 3 (inteiro entre 2,7 e 3,3) A4 Exemplo: Considere n=10 e p = 0,3 Uso de tabelas Binomiais (Instrumento prático) As tabelas dão as probabilidades de resultados individuais de uma variável aleatória Dão as probabilidades de um conjunto de resultados a) As tabelas dão as probabilidades de resultados individuais de uma variável aleatória Dois tipos Há interesse na determinação da probabilidade de um único valor numa distribuição binomial. É necessário: n (n0 de observações); p (probabilidade de sucesso); x (n0 especificado de sucessos). A4 Parte de uma Tabela Binomiais Individual p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 8 0 . . . . . . 1 . . . . . . 2 . . . . . . 3 . . . . . . 4 . . . . . . 5 . . . . . 0,0467 . . . . . . . 8 . . . . . . Exemplo: Qual a probabilidade de obter exatamente 5 sucessos em 8 observações. P (sucesso) = 0,30. A4 b) As tabelas dão as probabilidades de um conjunto de resultados Muitos problemas requerem probabilidades combinadas. Exemplo: Qual a probabilidade de 4 ou menos caras em 10 jogadas de uma moeda. Tabela individual: P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) Tabela de probabilidades acumuladas: Valores somados - eficiente, poupa tempo e erros de cálculo. É necessário: n (n0 de observações) p (probabilidade de sucesso) x (n0 especificado de sucessos) As probabilidades do corpo da tabela estendem-se para x ou menos sucessos. W. St pg111 A4 Parte de uma Tabela Binomial Acumulada n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 1 0 . . . . . . . . 1 . . . . . . . . 2 0 . . . . . . . . 1 . . . . . . . . 2 . . . . . . . . 3 0 . . . . . . . . 1 . . . . . . . . 2 . . . . . . . 0,9360 3 . . . . . . . . Exemplo : Qual a probabilidade de dois ou menos sucessos (0, 1 ou 2) em três observações, com p = 0,40. A4 A4 Representação Gráfica da Distribuição Binomial Usa-se histograma quando a variável aleatória é número de sucessos e um gráfico em barras no caso de percentagem de sucessos A4 Parâmetros da Distribuição Binomial p (probabilidade de sucesso) n (número de observações ou provas) Cada par (p, n) caracteriza uma única distribuição ou um único espaço amostral p = 0,5 (simétrica) p > 0,5 (assimétrica à direita) p < 0,5 (assimétrica à esquerda) A tendência para assimetria diminui à medida que n aumenta. A4 b) Distribuição de Poisson Modelo probabilístico útil para descrever probabilidades do número de ocorrências num campo ou intervalo contínuo (tempo ou espaço). Exemplos Defeitos por centímetro quadrado Número de acidentes por dia Número de clientes por hora Número de chamadas telefônicas por minuto Carros que passam por um cruzamento durante uma certa hora do dia Colônias de bactérias numa dada cultura por mm², numa plaqueta de microscópio A4 1. A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o campo de observação 2. A probabilidade de mais de uma ocorrência num único ponto é aproximadamente zero 3. O número de ocorrências em qualquer intervalo é independente do número de ocorrências em outros intervalos A distribuição de Poisson baseia-se nas seguintes hipóteses: A4 Parâmetros da Distribuição de Poisson Caracterizada por um único parâmetro: a média Sabendo-se que uma variável aleatória (v.a) tem resultados distribuídos segundo Poisson, e conhecendo o número médio de ocorrências por unidade, podemos determinar a probabilidade de qualquer dos resultados possíveis. Métodos para obter as probabilidades para uma v.a. distribuída em Poisson : . Utilização da fórmula de Poisson; . Utilização de tabelas de probabilidades de Poisson A4 A fórmula de Poisson A probabilidade de realizar (observar) qualquer número de dado de ocorrências por unidade de medida (minuto, hora, centímetro, etc.) é dada pela fórmula: onde: λ = taxa de freqüência por unidade de tempo, área, etc. t = é o número de unidades (tempo, área...) e = base dos logaritmos naturais (2,71828) X = número de ocorrências (sucesso) A4 A quantidade λt representa o número médio de ocorrência no intervalo t, assim: μ = λt A variância: λ t, ou seja, σ2 = λ t. Desvio padrão: √σ2 = √ λ t A4 Exemplo : 1. Experiências passadas indicam que há em média 2 chamadas por hora em certo telefone. Calcular as probabilidades de em uma hora, o telefone receber, nenhuma chamada, uma, duas, ... Quadro 2. Suponhamos que os navios cheguem a um porto à razão de λ = 2 navios/hora, e que essa razão seja bem aproximada por um processo de Poisson. Observando o processo durante um período de meia hora (t = ½), determine a probabilidade de: a) Não chegar nenhum navio; b) Chegarem 3 navios λ = taxa de freqüência por unidade de tempo, área, etc. t = é o número de unidades (tempo, área...) e = base dos logaritmos naturais (2,71828) X = número de ocorrências (sucesso) A4 1.Suponhamos que os defeitos em fios para tear possam ser aproximados por um processo de Poisson com 0,2 defeitos por metro (λ =0,2). Inspecionam-se pedaços de fio de 6 metros de comprimento, determine a probabilidade de menos de 2 (isto é, 0 ou 1) defeito. 2. Na revisão tipográfica de um livro achou-se em média 1,5 erros por página. Das 800 páginas de um livro, estimar quantas não precisam ser modificadas por não apresentarem erros. 3. Caminhões chegam a um depósito a razão de 2,8 caminhões/hora. Determine a probabilidade de chegarem três ou mais caminhões: a) Num período de 30 minutos. b) Num período de 1 hora. a) Num período de 2 horas. Exercício : A4 Uso de tabelas de Poisson (Instrumento prático) Tabela individual Distribuição de Poisson só depende da média: as probabilidades são dadas com base na média. μ x 2,1 2,2 2,3 2,4 ... 0 . . . . . 1 . . . . . 2 . . . . . 3 . . 0,2033 . . . . . . . . Exemplo: Para μ =2,3; x = 3 → p = 0,2033 μ: n 0 médio de ocorrências por unidade → Topo). x (resultados possíveis na coluna lateral). Corpo da tabela: dá as probabilidades de exatamente x ocorrências por unidade. A4 A4 Tabela acumulada Dá somas de probabilidades: probabilidades de x ou menos ocorrências, conhecida a média do processo. μ Probabilidade desejada para Inclui os resultados Cálculos P(x) 0,8 X ≤ 1 0,1 Ler diretamente 0,809 1,2 X < 3 0,1,2 p (x ≤ 2) 0,879 2,0 X ≥ 3 4,5,6... 1 – p(x ≤ 3) 0,143 A4 Distribuição de Poisson com aproximação da Binomial Método alternativo Adequado quando o número de observações for grande e a probabilidade de sucesso, p, está próximo de 0 ou 1. Razões para a escolha deste método alternativo: A distribuiçãobinomial descreve adequadamente muitas situações de interesse A maioria das tabelas está limitada a n ≤ 20 A fórmula binomial pode exigir esforço substancial para a obtenção de uma solução exata. A5 Vantagem da aproximação: A precisão é pouco afetada e o trabalho necessário é consideravelmente menor. Procedimento Determinação da média da distribuição Binomial. Esta média é considerada a média do processo para a distribuição de Poisson (μ = np). A5 Exemplo: Determinar a probabilidade de haver 4 peças defeituosas numa amostra de 300 extraída de um grande lote onde há 2 % de peças defeituosas. n = 300; p = 0,02 Fora do âmbito das tabelas binomiais Alternativas: 1 - Apelar para uma tabela binomial mais extensa 3 – Utilizar a distribuição de Poisson: μ = np. μ = np = 300.(0,02) = 6 4 – Chega-se ao mesmo resultado utilizando-se Tabela de Poisson: μ = 6, p(x = 4) = 0,135. A5 Comparação entre as distribuições Binomial e Poisson Binomial Poisson Observações Contagem de sucessos ou falhas Contagem de sucessos somente Parâmetros n e p μ Exercício : g.a.m 1. Em um cruzamento de duas avenidas de tráfego intenso, a probabilidade de um carro sofrer acidente é de 0,0001. Se entre as 17 h e 19 h passam 1.000 veículos nesse cruzamento, qual é a probabilidade de que dois ou mais acidentes ocorram durante esse período? 1. Certo posto de bombeiros recebe em média três chamadas por dia. Calcular a probabilidade de : a) Receber quatro chamadas num dia; b) Receber três ou mais chamadas num dia. A5 11.2 Distribuições Contínuas de Probabilidades Característica de uma variável aleatória contínua: A5 a) Distribuição uniforme Quando uma variável aleatória pode tomar qualquer valor numa escala contínua entre dois pontos, de modo que nenhum valor seja mais provável que outro. Graficamente: retângulo limitado por dois pontos a e b. Altura do retângulo = 1 e a área 100 %. a) Distribuição uniforme A5 A área sob o retângulo, entre dois pontos c e d = % área total compreendida entre c e d P (c ≤ x ≤ d) = b - a d - c b) Probabilidade Média e variância da distribuição uniforme a + b 2 μ = (b –a)2 12 σ2 = A5 Exemplo : rc Um vendedor comparece diariamente ao escritório da firma entre 3 e 4 horas (nenhum momento seja mais provável que outro ∆T). Qual a probabilidade deste comparecer exatamente entre (3:00 e 3:15 h) ? Qual a média e variância da distribuição? Tempo: (contínua) → probabilidade do comparecimento entre dois pontos no tempo = razão do intervalo / intervalo de 1 hora. P (c ≤ X ≤ d) = X – A / B – A. P = 3:15 – 3:00 / 4:00 – 3:00 = 15 / 60 = 0,25 A5 Média: μ = a + b / 2 = 3 + 4 / 2 =3,5 ou 3:30 min. σ2x = (b – a) 2/12 = (4 – 3)2/12 = 0,083 h x 60 = 5 min2 σx = √(b – a) 2/12 = √ 5 = 2,24 min. Exercício : w.s 135 1. As vendas de gasolina num depósito de atacado acusam a média de 40.000 galões diários, com um mínimo de 30.000 galões. Supondo adequada a distribuição uniforme, determine a venda diária máxima. A5 Razões da utilização Representa com boa aproximação as freqüências observadas de muitos fenômenos naturais e físicos Serve para aproximar distribuições como a Binomial se n for grande As distribuições tanto da médias quanto das proporções em grandes amostras tendem a ser distribuidas normalmente amostragem b) Distribuição normal A6 Características das curvas normais Tem forma de sino É simétrica em relação a média Prolonga-se de –∞ a +∞ A equação da curva normal é especificada pela μ e σ. Há uma curva normal para cada combinação de μ e σ Se o valor da μ mudar a posição da curva é alterada. Se o valor da σ mudar altera-se a dispersão da distribuição. A6 A6 A área total sobre a curva normal é considerada como 1 ou 100% A probabilidade de observar valor inferior ou superior a média é de 50 %. A v.a X pode assumir qualquer valor real Probabilidade de uma v.c. tomar um valor entre dois pontos = área c.n. A área sob a curva entre um ponto qualquer e a média é função somente do número de desvios padrões que aquele ponto dista da média. A6 A distribuição normal tem densidade dada por : P (a < x < b) = Onde: A média (μ ) e a variância (σ) são os parâmetros desta distribuição A6 Propriedades da distribuição normal A distribuição normal é simétrica em relação à média (μ) f(μ – σ) = f(μ + σ) A função f(x) assume valor máximo para x = μ A função f(x) é duplamente assintótica ao eixo das abscissas. Lim f(X) = 0 → - ∞ lim f (x) = 0 → + ∞ A função f(x) admite 2 pontos de inflexão: x = μ ± σ A6 Média 16,0 Mediana 16,0 Moda 16,0 0 5 10 15 20 0 4 8 12 16 20 24 28 32 A6 f(x) f(z) Significado: Se uma variável tem d.n, 68 % dos valores cairão no intervalo de 1σ a contar de cada lado da média. A6 Distribuição normal padronizada (Z) w.s 141 Trabalha com valores relativos ao invés de valores reais Toma a μ como ponto de referencia e o σ como medida de afastamento (escala Z) μ = 100,0 σ = 10,0 Z = número de desvios padrões a contar da média XI = valor arbitrário μ = média da distribuição normal σ = desvio padrão A6 Tabela normal padronizada (Z) w.s 141 Serve para achar a área sob a curva (porção sombreada) A média passa a servir como ponto de referência (origem) e o desvio padrão (Z), como unidade de medida Área sob a curva entre μ + σ = μ – σ. A tabela é simétrica, é lida em unidades de Z (nº de desvios padrões a contar da média) A6 Tabela normal padronizada A6 Exemplo 1: Numa variedade de milho onde a altura é uma variável aleatória X com distribuição normal de média 200 cm e variância 100 cm2. Qual a probabilidade de uma planta dessa variedade ter altura entre 190 e 195 cm? P (190 <x<195) = ? A6 A6 A6 A6 A6 A6 1. Utilizando a tabela de distribuição normal padronizada, calcule as probabilidades: a) P (z > 1,17) b) P (z < 1,17) c) P ( -1,17 < z < 0) d) P (2,05 < z < 2,93) e) P (-0,85 < z < 1,75) f) P (0 < z < 3,42) Exemplos: g.a.m. 125 Quadro A6 2. O salário semanal dos operários da indústria de construção civil é distribuído normalmente em torno de uma média de $ 80, com desvio padrão de $5. a) Encontrar a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado: I. Entre $ 80 e $ 83 II. Entre $ 75 e $ 80 III. Entre $ 74 e $ 82 IV. Acima de $ 85 V. Abaixo de $ 73 b) De uma amostra de 500 operários da indústria de construção, quantos esperaríamos que ganhassem salários acima de $ 85? g.a.m. 129 Quadro A6 c) Distribuição normal com aproximação da binomial Tabelas distribuição Binomial raramente vão de n > 20 DN: usada como aproximação das probabilidades Binomiais A DN funciona bem quando a probabilidade de sucesso p = 0,5 e com o aumento de n. Quanto maior for o valor de n melhor será a aproximação. A7 Graficamente se n é grande a aparência da distribuição binomial é a seguinte: A7 Distribuição normal: Contínua Distribuição binomial: Discreta Os valores não inteiros de uma variável contínua são arredondadospara o inteiro mais próximo As probabilidades associadas a valores não-inteiros são consideradas como probabilidades de inteiros Exemplo: Valores contínuos do intervalo: 2,5 a 3,5 3 Valores contínuos do intervalo: 6,5 a 7,5 7 ? A7 Exemplo: Considere n = 20 e p = 0,40. Determine P (X=3). Devemos primeiro determinar a μ e σ da distribuição binomial. Normal (μ e σ) μ = np = 20 x 0,4 = 8,0 σ = √np (1 – p) = √20 x 0,4 (0,6) = 2,2. X = 3 (intervalo entre 2,5 a 3,5 na DN) Determinar: probabilidade de um valor entre μ e 2,5. Z1 = 2,5 – 8 / 2,2 = - 2,50 → P1 = 0,4938 ↓ Determinar: probabilidade de um valor entre μ e 3,5. Z2 = 3,5 – 8 / 2,2 = - 2,05 → P2 = 0,4798 ↓ P (X = 3) = P1 – P2 = 0,4938 – 0,4798 = 0,0140. 0, 0140 próximo de 0,0124 (erro de apenas 0,0016). P (X=3) = = 0,0124 Pela Distribuição Binomial: A7 d) Distribuição t de student Modelo de distribuição contínua que se assemelha a DNP Importante papel na inferência estatística (n < 30) Características Distribuição simétrica em relação à média (μ = 0, não normal). Assemelha-se a distribuição normal (+ dispersa). Área sob a curva é de 1 ou 100 %. Amostras grande (n > 30) Sx ≈ σx (t próximo da DN). A distribuição t possui um parâmetro chamado G.L. φ. Para valores de φ < 30 a distribuição t apresenta maior dispersão que a normal . A7 Estatística t = média amostral μ = média populacional Sx = desvio padrão amostral n = tamanho da amostra A7 Tabela da distribuição t φ (G.L. e uma área α na cauda direita da curva). n -1 graus de liberdade e α = 0,05, 0,01... A tabela dá as abscissas da distribuição para diversas áreas (probabilidades) na cauda. Área α Grau de liberdade 0,1 0,05 0,025 1 3,0777 6,3138 12,7062 2 1,8856 2,9200 4,3027 3 1,6377 2,3534 3,1824 . . . . 9 1,833 A7 Exemplo: Admita n = 10 e φ = 9; e α = 0,05 Simetria em relação à origem t0 Condição de simetria t 0,05, 10 = 1,833 ↓ A abscissa 1,833 deixará 0,05 = 5 % da área (probabilidade) à direita. ↓ A abscissa - 1,833 deixará 0,05 = 5 % da área (probabilidade) à esquerda. A7 Parâmetros da distribuição t de Student Média: E (t) = μ = 0. V (t) = σ2 = φ / φ - 2, φ > 2 σ (t) = √ φ / φ -2 Exemplo: Considere uma distribuição t com parâmetro φ = 18. Encontre a média, variância e desvio padrão. Média: µ (t18) = E (t) = 0. Variância: σ2 (t18) = φ / φ -2 = 18 / 18 – 2 = 1,13. Desvio padrão: σ (t18) = √1,13 = 1,06. A7 Exemplo: Determine os valores tabelados ou críticos sob as curvas da distribuição t de Student. a) Para φ = 5 e α = 0,01 b) Para φ = 10 e α = 0,05 c) Para φ = 2 e α = 0,10 A7 e) Distribuição de Qui-Quadrado Se x1, x2,... xφ, são variáveis aleatórias independentes com distribuições normais de médias: µ1, µ2,...µφ, e variâncias σ1 2, σ2 2,...σφ 2, então a variável: Xφ 2 = ∑ (xi - µi/σi) 2 = ∑ Zi 2, Tem distribuição Qui-Quadrado com φ graus de liberdade. φ ≥ 1 (número inteiro) → denominado grau de liberdade. X2 > 0 A7 Média da distribuição: E [Xφ2] = µ (Xφ2) = φ. Variância da distribuição: Var [Xφ2] = σ2 (Xφ2) = 2φ. A área sob a curva vale 1 ou 100 %. Tabela do Qui - Quadrado Área α Grau de liberdade 0,01 0,05 0,95 1 0,000 0,004 3,841 . . . . 9 . . 16,919 Admita o parâmetro φ = 9, α = 0,05 → valor de 16,9. A7 Direita: X2 superior = Tabela : 1ª coluna 25, 1ª linha 0,025 = 40,6 Esquerda: X2 inferior = Tabela : 1ª coluna 25, 1ª linha (1 – 0,025) = 0,975 = 13,1 Exemplo: φ = 25, α1 = 0,025 e α2 = 0,975 A7 Exemplo: Considere uma distribuição Qui-Quadrado com parâmetro 18. Encontre a média, a variância e o desvio padrão. Média: µ (X2 18) = 18. Variância: σ2 (X2 18) = 2φ = 2 x 18 = 36. Desvio padrão: σ (X2 18) = √36 = 6. 48,1801,0;7 2 92,1605,0;9 2 99,2510,0;18 2 Exemplo : Determine os valores tabelados ou críticos sob as curvas da distribuição X2. a) Para φ = 7 e α = 0,01 b) Para φ = 9 e α = 0,05 c) Para φ = 18 e α = 0,10 A7 Exercícios em sala: 1. Faça z uma variável com distribuição normal padronizada e, com o auxílio da tabela , encontre: a) P (-0,85 < z < 0) b) P (-1,48 < z < 2,05) c) P (0,72 < z < 1,89) d) P (z ≥ 1,08) e) P (z ≥ - 0,66) f) P (|z| ≤ 0,5) 2. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média de 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Encontre o número de alunos que pesam: a) entre 60 e 70 kg b) mais que 63,2 kg. 3. Determine os valores tabelados ou críticos sob as curvas das distribuições de qui-quadrado (X2) e t de “Student”. a) t para g.l = 5 e α = 0,01 b) t para g.l = 10 e α = 0,05 c) t para g. l = 2 e α = 0,10 d) X2 para g.l = 7 e α = 0,01 e) X2 para g.l= 9 e α = 0,05 f) X2 para g.l = 18 e α = 0,10 A7
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