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Distribuição Normal (Gauss) A distribuição normal é a mais importante das distribuições contínuas de probabilidade e a mais usada. A equação da curva normal descreve muitos dos fenômenos que ocorrem na natureza, na indústria e nas pesquisas. Medições físicas em áreas como experimentos meteorológicos, medições de peças manufaturadas são explicadas adequadamente pela distribuição normal. Além disso, erros em medições científicas são muito bem aproximados pela normal. Em 1733, Abraham DeMoivre desenvolveu a equação matemática da curva que serviu de base para boa parte da teoria da inferência estatística. Posteriormente, Pierre S. de Laplace e Karl F. Gauss desenvolveram estudos sobre a mesma. Gauss estabeleceu matematicamente sua equação como distribuição de probabilidade dos erros de mensuração, denominando-a “lei normal dos erros”. Definição: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição Normal com parâmetros e 2, se sua função densidade de probabilidade é dada por: xxxf , 2 exp 2 1)( 2 2 onde e > 0 são os parâmetros da distribuição. As principais propriedades da f(x) são: 1) f(x) é simétrica em x = Md = 2) f(x) tem ponto de máximo em x = e 2 1max xf moda = Mo = 3) tem pontos de inflexão em x = , é côncava para baixo se - < x < + e, caso contrário, côncava para cima 4) assíntota ao eixo x pois, 0)(lim xf x 5) a área total sob a curva normal e acima do eixo horizontal, x, é igual a 1. Pois a f(x) é uma fdp e 1 2 1 2 2 1 dxe x Gráfico da f(x), da curva normal: Parâmetros da distribuição: - Média ou valor esperado: parâmetro de localização dxexXE x 2 2 1 2 1)( - Variância: parâmetro que determina a forma da distribuição 2 2 2 1 2 1 222 22 2 1 2 1)()( dxexdxexXEXEXVar xx Distribuições normais (curvas normais) com mesma média , 1 = 2, e desvios padrão, , diferentes, 1 > 2: A distribuição 1, que tem maior desvio padrão se apresenta mais achatada, acusando maior dispersão em torno da média. A que tem menor desvio padrão, distribuição 2, apresenta “pico” mais acentuado (mais pontiaguda), indicando maior concentração em torno da média. A distribuições normais com média diferentes, 2, e mesmo desvio padrão: As duas curvas são idênticas na forma, mas centradas em diferentes posições ao longo do eixo x. Distribuições normais com média e desvios padrão diferentes: Cálculo das probabilidades: Seja X uma variável aleatória que tem distribuição normal, com média e desvio padrão , X ~ N (; A probabilidade da v. a. X assumir valores num intervalo [a;b] é igual à área sob a curva para valores de X entre as ordenadas x1 = a e x2 = b. A área hachurada no gráfico acima representa a dxebXaP b a x 2 2 1 2 1)( . Fazendo , dzdxzxzx substituindo na integral temos: dzedzebXaP b a zb a z 22 2 1 2 1 2 1 2 1)( A integral acima é imprópria, para resolvê-la usamos séries ou integrais múltiplas. Logo, o cálculo direto de probabilidades envolvendo a distribuição normal exige recursos do cálculo e, mesmo assim, dada a forma da função, não é um processo elementar. Por isso, as probabilidades foram tabeladas. Entretanto, pela definição da função de probabilidade (densidade) da distribuição normal, vê-se que esta depende de dois parâmetros, e , o que acarreta grande dificuldade quando se tenta construir uma tabela para as áreas sob a curva normal. Essa dificuldade é contornada com o uso da variável aleatória padronizada, Z. Variável aleatória Normal padronizada ou reduzida, Z Chama-se variável aleatória normal padronizada a variável definida pela transformação: XZ , onde X é uma variável aleatória N(, ). A função densidade de probabilidade da v.a. Z é igual a . , 2 1)( 2 2 ZeZf z Valor esperado ou média da v.a Z: 0111)( EXEXEXEZE z Variância da v.a. Z: 1101 111)( 2 2 2 2 2 22 2 VarXVarXVarXVarZVar Z Portanto, Z ~ N(0 ; 1). Para a v. a. Z existe tabela. Então, se X ~ N( ; ) devemos padronizá-la, isto é, exprimi-la em termos da v.a. Z. Com isso, é possível calcular a bXaP , que é igual a: .21 zZzP bZaPbXaP A probabilidade da v. a. Z assumir valores no intervalo [z1 ; z2] é obtida a partir da tabela da distribuição N(0 ; 1). A tabela: A tabela que iremos usar fornece a probabilidade da v. a. assumir um valor entre 0 e zc, ou seja, .0 czZP . Exemplos: Os problemas reais, entretanto, não se apresentam já na forma reduzida; ao contrário, são formulados em termos da variável X com distribuição N( ; ). É preciso então, antes de passarmos à resolução, padronizar, ou reduzir, a v. a. normal X, transformando-a na v. a. Z, XZ . Exemplos: 1) Determine a probabilidade da v. a. N(10 ; 5) assumir valor entre 11 e 16. Solução: Padronizando, temos: 20,1 5 101616 20,0 5 101111 zxzx Logo, 3056,00793,03849,020,0020,1020,120,01611 ZPZPZPXP 2) Dada a distribuição N(200 ; 50), determine os valores de x1 e x2, sendo que: a) 933,0)( 1 xXP e b) 023,0)( 2 xXP Solução: 433,05,0933,0)( 11 zZPxXP Olhando na tabela o valor mais próximo de 0,433 achamos 0,4332, que corresponde ao valor de Z = 1,50, logo: 275 50 20050,1 11 xx b) 22 023,0)( zZPxXP , mas a tabela fornece a )0( 2zZP , logo: 477,0023,05,0)0( 2 zZP . Pela tabela temos que z2 = 2,0, então: 300 50 20000,2 22 xx . 3) O tempo de vida útil, em anos, de uma lavadora de roupas automática tem distribuição N(3,1 ; 1,2). a) Qual deve ser o valor do tempo de garantia, em anos, dessa lavadora para que 15% das vendas originais exijam substituição? b) Se esse tipo de lavadora tiver garantia de 1 ano, que porcentagem das vendas originais exigirá substituição? Solução: Seja a v. a. X: tempo de vida da lavadora X ~ N(3,1 ; 1,2) a) 15,0)( 1 xXP 11 15,0)( zZPxXP , mas a tabela fornece a )0( 1zZP , logo: 35,015,05,0)0( 1 zZP . Como a distribuição normal é simétrica, 0)0( 11 ZzPzZP . Pela tabela temos que z1 = -1,04, então: 852,1 2,1 1,304,1 11 xx anos. Portanto, o tempo de garantia deve ser de 1,852 anos, para que 15% das vendas exijam substituição. b) 0401,04599,05,075,1 2,1 1,31)1( ZPZPXP . Portanto, 4,01% das lavadoras originais deverão ser substituídas, se o tempo de garantia for de 1 ano. 0,15 0,35
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