EDO 2017

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.
a
 Paula Francis Benevides 
 
 
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
Gerência de Ensino e Pesquisa 
Departamento Acadêmico de Matemática 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
2 
 
Conteúdo 
AULA 1 ............................................................................................................................. 6 
AULA 2 ............................................................................................................................. 8 
1.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................. 8 
1.2 DEFINIÇÃO .................................................................................................................... 9 
1.3 CLASSIFICAÇÃO ............................................................................................................... 9 
1.3.1 Tipo: ....................................................................................................................... 9 
1.3.2 Ordem: ................................................................................................................... 9 
1.3.3 Grau: ...................................................................................................................... 9 
1.3.4 Linearidade: ......................................................................................................... 10 
1.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: ............................................................................ 10 
AULA 3 ........................................................................................................................... 12 
2. RESOLUÇÃO ............................................................................................................ 13 
2.1 CURVAS INTEGRAIS: ...................................................................................................... 13 
2.2 SOLUÇÃO: ................................................................................................................... 13 
2.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) ................................................................................. 14 
2.4 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO ............................................................. 15 
2.5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS ............................................................................. 16 
3. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU .............................................. 18 
3.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS ............................................................................... 18 
3.1.1 Resolução: ............................................................................................................ 18 
AULA 4 ........................................................................................................................... 22 
3.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS .............................................................................................. 22 
3.2.1 Função Homogênea ............................................................................................. 22 
3.2.2 Equação Homogênas ........................................................................................... 22 
3.2.2.1 Resolução: ...................................................................................................................................................... 23 
AULA 5 ........................................................................................................................... 26 
3.3 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS . 26 
3.3.1 O determinante 
22
11
ba
ba é diferente de zero ...................................................... 26 
3.3.2 O determinante 
22
11
ba
ba é igual a zero. .............................................................. 28 
AULA 6 ........................................................................................................................... 31 
3.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS .................................................................................... 31 
AULA 7 ........................................................................................................................... 34 
3.4.1 Fator Integrante ................................................................................................... 34 
AULA 8 ........................................................................................................................... 37 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
3 
 
3.5 EQUAÇÕES LINEARES: .................................................................................................... 37 
3.5.1 Fator Integrante: .................................................................................................. 37 
3.5.2 Substituição ou de Lagrange: .............................................................................. 39 
AULA 9 ........................................................................................................................... 42 
3.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: ................................. 42 
3.6.1 Equações de Bernoulli: ......................................................................................... 42 
AULA 10.......................................................................................................................... 45 
3.6.2 Equação de Ricatti ............................................................................................... 45 
AULA 11.......................................................................................................................... 48 
4. EQUAÇÕES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM ............................................. 48 
4.1 ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES ............................................................................ 48 
4.1.1 Definições: ............................................................................................................ 48 
4.1.2 Equação da Envoltória ......................................................................................... 49 
4.1.3 Soluções Singulares .............................................................................................. 50 
AULA 12.......................................................................................................................... 52 
4.1.4 Equação de Clairaut ............................................................................................. 52 
AULA 13.......................................................................................................................... 54 
4.1.5 Equação de Lagrange: ......................................................................................... 54 
4.1.6 Outros tipos de equação de 1a Ordem e grau diferente de um: .......................... 56 
AULA 14.......................................................................................................................... 58 
5. EXERCÍCIOS GERAIS ................................................................................................. 58 
AULA 15.......................................................................................................................... 60 
6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS ..................................... 60 
6.1 MODELO MATEMÁTICO................................................................................................. 60 
6.2 DINÂMICA POPULACIONAL .............................................................................................. 61 
6.3 MEIA VIDA .................................................................................................................. 63 
6.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO ............................................................................................. 65 
6.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO .......................................................................................... 65 
6.6 RESFRIAMENTO ............................................................................................................ 66 
6.7 MISTURAS ................................................................................................................... 68 
6.8 DRENANDO UM TANQUE ................................................................................................ 70 
6.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA ..................................................................................... 72 
6.10 CORPOS EM QUEDA ....................................................................................................... 74 
6.10.1 Corpos em queda e a resistência do ar .............................................................. 76 
6.11 CORRENTE DESLIZANTE .................................................................................................. 78 
6.12 CIRCUITOS EM SÉRIE ...................................................................................................... 80 
AULA 16.......................................................................................................................... 87 
7. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E ORDEM SUPERIOR ................. 87 
AULA 17.......................................................................................................................... 89 
7.1 EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES ..................................... 89 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
4 
 
7.1.1 Caso 1: Raízes Reais Distintas. ............................................................................. 90 
7.1.2 Caso 2: Raízes Múltiplas. ..................................................................................... 90 
7.1.3 Caso 3: Raízes complexas distintas. ..................................................................... 91 
AULA 18.......................................................................................................................... 94 
7.2 EULER - CAUCHY........................................................................................................... 94 
AULA 19.......................................................................................................................... 97 
7.3 EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS .......................................................................... 97 
7.3.1 Solução por coeficientes a determinar (Descartes): ............................................ 97 
AULA 20........................................................................................................................ 100 
7.3.2 Solução por variação de parâmetros ................................................................. 100 
AULA 21........................................................................................................................ 103 
7.3.3 Método do Operador Derivada .......................................................................... 103 
7.3.3.1 Definição ...................................................................................................................................................... 103 
7.3.3.2 Propriedades ............................................................................................................................................... 103 
7.3.3.3 Equações Diferenciais ................................................................................................................................. 103 
7.3.3.4 Operador Anulador ..................................................................................................................................... 104 
7.3.3.5 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores ..................................................................... 105 
7.3.3.6 Resolução de Equações Lineares ................................................................................................................ 106 
AULA 22........................................................................................................................ 109 
8. EXERCÍCIOS GERAIS ............................................................................................... 109 
AULA 23........................................................................................................................ 111 
9. MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR .................... 111 
9.1 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: ....................................... 111 
9.1.1 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre não amortecido .................................. 111 
9.1.1.1 ED do Movimento Livre não amortecido: .................................................................................................. 112 
9.1.1.2 Solução e Equação do Movimento: ............................................................................................................ 112 
9.1.2 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido ........................................ 113 
9.1.2.1 ED do Movimento Livre Amortecido: ......................................................................................................... 113 
9.1.3 Sistema Massa Mola: Movimento Forçado ....................................................... 116 
9.1.3.1 ED do Movimento Forçado com Amortecimento: ..................................................................................... 116 
9.1.3.2 ED de um Movimento Forçado Não Amortecido: ...................................................................................... 117 
9.1.4 Circuito em Série Análogo - Circuitos elétricos RLC em série ............................. 118 
9.2 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO............................................. 119 
9.2.1 Deflexão de uma viga: ....................................................................................... 119 
9.2.1.1 Soluções Não Triviais do Problema de Valores de Contorno: ................................................................... 120 
9.2.1.2 Deformação de uma Coluna Fina: .............................................................................................................. 121 
9.2.1.3 Corda Girando: ............................................................................................................................................ 123 
AULA 24........................................................................................................................ 128 
10. SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................... 128 
10.1 SISTEMA CANÔNICO E SISTEMA NORMAL: ............................................................ 128 
AULA 25........................................................................................................................ 131 
10.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMÉTRICA ........................... 131 
AULA 26........................................................................................................................ 134 
10.3 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ..................................... 134 
Equações DiferenciasProfa Paula Francis Benevides 
5 
 
10.3.1 Vetor solução ................................................................................................... 135 
10.3.2 O Problema de Valores Iniciais ........................................................................ 136 
10.3.2.1 Existência de uma única solução .............................................................................................................. 136 
10.3.3 Sistemas homogêneos ..................................................................................... 136 
10.3.3.1 Princípio da Superposição ......................................................................................................................... 137 
10.3.4 Independência Linear ....................................................................................... 138 
10.3.4.1 Critério para Soluções Linearmente Independentes ............................................................................... 138 
10.3.5 Conjunto fundamental de solução ................................................................... 139 
10.3.5.1 Solução Geral - Sistemas Homogêneos .................................................................................................... 139 
10.3.6 Sistemas não homogêneos .............................................................................. 140 
10.3.6.1 Solução Geral - Sistemas Não-Homogêneos ............................................................................................ 140 
10.3.7 Uma Matriz Fundamental ................................................................................ 142 
10.3.7.1 Uma Matriz Fundamental é Não-Singular ................................................................................................ 143 
10.3.7.2 Matriz Especial........................................................................................................................................... 143 
10.3.7.3 
 t
é uma Matriz Fundamental ........................................................................................................... 145 
AULA 27........................................................................................................................ 150 
10.4 SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS ................................................................................ 150 
10.4.1 Autovalores reais e distintos ............................................................................ 150 
10.4.2 Autovalores complexos .................................................................................... 152 
10.4.3 Autovalores de Multiplicidade dois.................................................................. 153 
AULA 28........................................................................................................................ 158 
10.5 SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS ....................................................................................... 158 
10.5.1 Coeficientes Indeterminados ........................................................................... 158 
10.5.2 Variação de Parâmetros .................................................................................. 161 
AULA 29........................................................................................................................ 165 
11. RESOLUÇÃO POR SÉRIES DE POTÊNCIA: ............................................................. 165 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
6 
 
AULA 1 
REVISÃO DE INTEGRAIS 
Resolva as seguintes integrais: 
1) 
  dxx )13(
 R: 
Cx
x

2
3 2
 
2) 
dx
x
x

4
= R: 
   Cxx  48
3
2
 
3) 
 

dx
x
x
2
2 )1( R: 
C
x
x 
1
 
4) 


 21 x
dx R: Carcsenx 
5) 
 

dx
x
x
21
 R: 
Cx  21ln
2
1
 
6) 
 
 )1( 2xx
dx R: 
C
x
x

1
ln
2
1
2
2
 
7) 


 21 x
dx R: Cx arctan 
8) 
 
 42x
dx R: 
C
x
x



2
2
ln
4
1
 
9) 
 
 x
dx
3
 R: 
C
x

3
1
ln
 
10) 
 

dx
x
x
3
21 R: 
Cx
x
 ln
2
1
2 
11) 


 dx
x
x
3
2 )1( R: 
Cx
x
 ln
2
1
2 
12) 
 dx
x
x
tan
sec2 R: 
Cx tanln 
13) 
 


dx
ax
ax
22
22 R: 
C
ax
ax
ax 


 ln
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
7 
 
14) 



 dx
ax
ax
22
22 R: 
C
a
x
ax  arctan2 
15) 
 dxxe
x3
 R: 
  Cxe x 13
9
1 3
 
16) 
 


dx
xx
x
12
1
2
 R: 
Cxx  12ln
2
1 2
 
17) 
 


dx
xx
xx
32
2
31
2 R: 
Cxx  13ln
3
1 23
 
18) 
 


dx
x
x
21
1 R: 
Cxx  arctan1ln
2
1 2
 
19) 
 



22 31231
3
xx
xdx R: 
Cx  231ln 2 
20) 
 


dx
x
x
35
13 R: 
Cxx  35ln
25
4
5
3
 
21) 
 


dx
xx
x
145
15
2
 R: 
Cxxx  )25arctan(145ln
2
1 2
 
22) 
 


dx
x
x
10
12 R: 
Cxx  10ln212 
23) 
  dxxe
x )2.(
1
ln R: 
Cxx  2ln 
24) 
 

dx
x
x
e x
2
arctan
1
arctan
.
 R: 
  Cex x  arctan.1arctan 
25) 
 xdxe
x sin.cosln
 R: 
C
x

2
sin 2
 
26) 
 
 dxxe x )2( 3
2
 R: 
Cex x  
2
).1( 2 
27) 
 

dx
xxe x
64
)123(4 22 R: 
C
xxe x








4
3
22
3
16
22
 
28) 
 dxxe
x )4.( 22
 R: 
Cexx x  22 ).122( 
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8 
 
AULA 2 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
1.1 INTRODUÇÃO 
Antes de mais nada, vamos recordar o que foi aprendido em Cálculo!!! A derivada 
dxdy
 
de uma função nada mais é do que uma outra função encontrada por uma regra 
apropriada. Como por exemplo, a função 
 
 é diferenciável no intervalo , e a sua 
derivada é 
23.
3
xe
dx
dy x
. Se fizermos 3xey  teremos: 
23. xy
dx
dy
 
 (1) 
 
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equação (1) e perguntasse qual é a função 
representada por y? Apesar de você não fazer ideia de como ela foi construída, você está a frente de 
um dos problemas básicos desta disciplina: como resolver essa equação para a desconhecida função 
 ? O problema é semelhante ao familiar problema inverso do cálculo diferencial, onde 
dada uma derivada, encontrar uma antiderivada. 
Não podemos deixar de lado a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a 
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm 
significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são: 
 a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por 
exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades 
puramente matemáticas; 
 a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os 
pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma 
função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimalde uma grandeza; 
 a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que 
envolve uma grandeza; 
 o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; 
consequentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada 
a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo); 
 se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se: 
 
dx
dy
 
 em total semelhança com a definição de derivada. A consequência direta desse fato é que a 
 derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse 
 quociente. Isto significa que a partir da relação: 
 
)(xf
dx
dy

 
 
 é possível escrever: 
 
dxxfdy )(
 
 
 que se denomina equação diferencial. 
 uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção 
da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
9 
 
1.2 Definição 
Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas ou 
diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial. 
 
1) 
13  x
dx
dy
 
 
2) 
0 ydxxdy
 
 
3) 
023
2
2
 y
dx
dy
dx
yd 
 
4) 
xyyy cos')"(2'" 2 
 
 
5) 
2 3 2( ") ( ') 3y y y x  
 
 
6) 
yx
dt
dy
dt
dx
35 
 
 
7) 
yx
y
z
x
z





 2
2
2
2
2 
 
8) 
y
z
xz
x
z





 
1.3 CLASSIFICAÇÃO 
1.3.1 TIPO: 
Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis 
dependentes em relação a uma única variável independente, como em (1) a (6), as derivadas são 
ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária (EDO). Uma ED pode conter 
mais de uma variável dependente, como no caso da equação (6) 
Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de 
duas ou mais variáveis independentes, como em (7) e (8), a equação é denominada equação 
diferencial parcial (EDP). As equações diferenciais parciais não serão vistas neste curso. 
1.3.2 ORDEM: 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As 
equações (1), (2) e (6) são de primeira ordem; (3), (5) e (7) são de segunda ordem e (4) é de terceira 
ordem. 
 
1.3.3 GRAU: 
O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como 
um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equações dos 
exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo grau. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
10 
 
1
3
33
3

dx
yd
y
dx
yd
x
 

 
3
3
2
3
3
dx
yd
y
dx
yd
x 




  3
a
 ordem e 2
o
 grau 
 
yx
dx
dy
 2lnln

 y
x
dx
dy

2
ln  
ye
dx
dy
x
.
1
2
 yex
dx
dy 2

 1
a
 ordem e 1
o
 grau 
 
 Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato 
quanto a ordem e grau. 
 
1.3.4 LINEARIDADE: 
Dizemos que uma equação diferencial ordinária 
 
)()()()()( 011
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n  

 
 
de ordem n é linear quando são satisfeitas as seguintes condições: 
 
1) A variável dependente y e todas as suas derivadas 
nyyy ,,",' 
 são do primeiro grau, ou 
seja, a potência de cada termo envolvendo y é um. 
2) Os coeficientes 
naaa ,,, 10 
 de 
nyyy ,,",' 
dependem quando muito da variável 
independente 
x
. 
 
Exemplos: 
a) 
08)(  xdydxxy
 
b) 
07
2
2
 y
dx
dy
dx
yd 
c) 
xy
dx
dy
x
dx
yd
245
3
3

 
 
São respectivamente equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e 
terceira ordem. 
 
1.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: 
 Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como 
Cxxy  4
 ou 
BxAxy  2
, é chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre 
aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser substituídas por um 
número menos de constantes. 
 Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a uma 
equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece eliminando-se 
as n constantes entre as 
)1( n
equações obtidas juntando-se à primitiva as n equações provenientes 
de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da primitiva. 
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11 
 
 
Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo: 
 
a) 
Cx
x
y 
2
3 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
xCsenxCy cos21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
2Cxy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
2
2
1 CxCy 
 
 
 
 
 
 
 
e)
)cos( bxay 
 onde a e b são constantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
xx eCeCy 22
3
1

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
12 
 
AULA 2 - EXERCÍCIOS 
 
 Nos exercícios de 1 a 12, obter a equação diferencial associada a primitiva: 
1) 
222 Cyx 
 
2) 
xCey 
 
3) 
)( 223 yxCx 
 
4) 
xCxCy 2sin2cos 21 
 
5) 
321 )( CexCCy
x 
 
6) 
xx eCeCy  2
2
1
 
7) 
ay
y
x
1ln
 
8) 
Cyxyx  5332
 
9) 
CBxAxy  2
 
10) 
CBeAey xx  2
 
11) 
xxx eCeCeCy 3
2
2
3
1 
 
12) 
BAxy  2ln
 
13) Obter a equação diferencial da família de círculos de raio 10, cujos centros 
 estejam sobre o eixo y. 
 
 
Respostas: 
1) 
0 ydyxdx
 
2) 
0 y
dx
dy
 
3) 
dx
dy
xyxy 23 22 
 
4) 
04
2
2
 y
dx
yd 
5) 
02
2
2
3
3

dx
dy
dx
yd
dx
yd 
6) 
02
2
2
 y
dx
dy
dx
yd 
7) 
0ln  y
dx
dy
y
x
x
 
8) 
05332 2 






dx
dy
xyxy
dx
dy
xy
 
9) 
0
3
3

dx
yd 
10) 
023
2
2
3
3

dx
dy
dx
yd
dx
yd 
11) 
06116
2
2
3
3
 y
dx
dy
dx
yd
dx
yd 
12) 
2" ' ( ') 0xyy yy x y  
 
13) 
2
22
100 x
x
dx
dy






 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
13 
 
AULA 3 
2. RESOLUÇÃO 
Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a 
equação, ou seja, é obteruma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa 
identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, 
que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além 
de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e 
consiste na aplicação dos métodos de integração. 
2.1 CURVAS INTEGRAIS: 
Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução 
particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da 
equação diferencial. 
 
x
dx
dy
2 
 
 
 
 
 
 
2.2 SOLUÇÃO: 
É a função que quando substituída na equaçãodiferencial a transforma numa identidade. As 
soluções podem ser: 
 Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de 
uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades 
de ordem da equação. 
 Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições 
iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante 
inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os 
valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. 
 Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à 
envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A 
solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais 
não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante. 
 
As soluções ainda podem ser: 
 
 Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma
)x(fy 
é 
chamada solução explícita. 
 Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma
0)y,x(G 
 
trata-se de uma solução implícita. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
14 
 
 
Exemplo: 
Consideremos a resolução da seguinte EDO: 
x
dx
dy
 1
 
 
 
cxxy
dxxdy

 
2
3
3
2
1
 
 
A solução geral obtida é obviamente uma solução explicita. 
 
Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO: 
2
2
xxy
y
dx
dy


 tem como solução: 
x
y
Cey 
, ou seja, uma solução implícita. 
 
Exemplo: 
Verifique que 
16
x
y
4

 é uma solução para a equação 
2
1
xy
dx
dy

 no intervalo 
),( 
. 
 
Resolução: 
Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma solução é escrever a equação 
diferencial como 
0xy
dx
dy 2
1

e verificar, após a substituição, se a diferença acima
2
1
xy
dx
dy

é 
zero paratodo x no intervalo. 
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33

 
 
 
 
Substituindo na E.D., temos 
0
44
0
44
0
164
33232
1
43







xxx
x
xx
x
x 
 
Esta condição se verifica para todo 
Rx
 
 
2.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) 
Seja a equação diferencial de primeira ordem 
),( yxf
dx
dy

 sujeita a condição inicial 
00 y)x(y 
, em que 
0x
 é um número no intervalo I e 
0y
é um número real arbitrário, é chamado de 
problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação 
diferencial definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto (xo, yo) 
determinado a priori. 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
15 
 
 
 Seja 
xe.cy 
 a família a um parâmetro de soluções para y'=y no intervalo 
),( 
. Se 
especificarmos que y(0) = 3, então substituindo x = 0 e y = 3 na família, temos: 
x0 e.3ye3ce.c3 
 
 
Se especificarmos que y(1) = 3, então temos: 
1xx111 e3ye.e3yee.3ce.c3  
 
 
Será que a equação diferencial 
)y,x(f
dx
dy

 possui uma solução cujo gráfico passa pelo 
ponto (xo, yo)? Ainda, se esta solução existir, é única? 
 
 
As funções y = 0 e 
16
x
y
4

 são soluções para o problema de valor inicial 






0)0(y
xy
dx
dy 2
1 
 
Podemos observar que o gráfico destas soluções passam pelo ponto (0,0). Desta forma, 
deseja-se saber se uma solução existe e, quando existe, se é a única solução para o problema. 
 
2.4 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO 
Seja R uma região retangular no plano 
xy
 definida por 
bxa 
, 
dyc 
, que contém o 
ponto 
)y,x( 00
em seu interior. Se 
)y,x(f
 e 
dy
df
 são contínuas em r, então existe um intervalo I, 
centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial 
)y,x(f
dx
dy

, sujeito a 
00 y)x(y 
. 
 
Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. 
1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? 
2. Se tiver solução, será que esta solução é única? 
3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? 
 
Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução 
que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas 
características. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
16 
 
Teorema: Considere o problema de valor inicia 






00 )(
)()(
yxy
xqyxp
dx
dy 
 
Se p(x) e q(x) são continuas em um intervalo aberto I e contendo x
0
, então o problema de 
valor inicial tem uma única solução nesse intervalo. 
 
Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo ―similar‖ ao 
cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o 
caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais 
possuam soluções. 
 
2.5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS 
As equações diferenciais da forma 
 yf
dx
dy

 (2) 
são chamadas de autônomas. 
 
Utilizando a manipulação formal introduzida por Liebnitz (1646-1716), podemos escrever a 
equação (2) na forma: 
)(
1
yfdx
dy

 (3) 
Cuja resolução é: 

y
y
dy
yf
yxyx
0
)(
1
)()(
0
 (4) 
 
Para justificar a equação (4) necessitamos que 
)(
1
yf
 seja bem definida no intervalo de 
interesse A, onde 
0)( yf
 e que seja contínua neste intervalo A. Pois, como 
0
)(
1

yfdy
dx
 em 
A
, o Teorema da Função Inversa garante que existe uma função inversa da função 
)(yx
, isto é, 
)(xFy 
 tal que 
)(yf
dx
dF

 em 
A
, o que justifica o procedimento formal. 
Portanto, a solução do problema de condição inicial 
 
 






00
)(
)(
yxy
yf
dx
dy (5) 
é obtida pela solução do problema 
 






00
)(
)(
1
xyx
yfdy
dx
 (6) 
e com a inversão da função 
)(yx
. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
17 
 
As equações autônomas aparcem na formulação de uma grande quantidade de modelos. 
Sempre que uma lei deformação afrma que: “a taxa de variação de uma quantidade y(t) é 
proporcional a esta mesma quantidade”, temos uma equação autônoma da forma 
ky
dx
dy

 (7) 
 
Como, 
kyyf )(
, então 
0*)( yf
 se 
0*y
. Devemos procurar soluções 
separadamente nos dois intervalos 
0 y
 e 
 y0
. 
Considerando inicialmente o problema de Cauchy 






0)(
00
yxy
ky
dx
dy (8) 
E seu problema inverso 






00
)(
1
xyx
kydy
dx
 (9) 
 
Cuja solução inversa é dada por 
 
  

y
yxyx
y
y
k
xyy
k
xdy
ky
xCdy
ky
yx
000
0
0000
)(
ln
1
lnln
111
)(
 
ou seja, 
)(
00
0
0)(ln
xxk
eyyxxk
y
y 
 para 
x
R. 
 
 
Considere a equação autônoma 
aky
dx
dy

 
sua solução geral, para 
k
a
y 
, é obtida considerando-se sua forma diferencial 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
18 
 
 






Caky
k
x
dxdy
aky
dxdy
aky
ln
1
1
1
 
Portanto, 
 
k
a
yea
k
yeaky CxkCxk   ,
1 )()(
 
Neste caso, 
k
a
y 
 e a solução de equilíbrio. 
 
 
3. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU 
 São equações de 1
a
 ordem e 1
o
 grau: 
 
),( yxF
dx
dy

 ou 
0NdyMdx
 
 
em que M = M(x,y) e N = N(x,y). 
 
 Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞) 
 
3.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 
 A equação diferencial 
0),(),(  dyyxNdxyxM
será de variáveis separáveis se: 
 M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes. 
 M e N forem produtos de fatores de uma só variável. 
 
 Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma 
0)()(  dyyQdxxP
, a 
equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis. 
 
3.1.1 RESOLUÇÃO: 
 
Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, deveremos 
separar as variáveis, isto é, deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma 
função exclusivamente da variável y, e então integramos cada diferencial, da seguinte forma: 
    CdyyQdxxP ).().(
 
 
Exemplos: 
Resolver as seguintes equações: 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
19 
 
1)
13  x
dx
dy 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
0 xdyydx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3)
0
4


 dy
y
x
xdx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
0secsec.  xdytgyydxtgx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
20 
 
5)
01)1( 222  dyxdxyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) 
xyx
y
dx
dy
)1(
1
2
2



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 
2
2
1
1
x
y
dx
dy



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
21 
 
8) Resolva o problema de valor inicial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 03 – EXERCÍCIOS 
 
1) Verifique que
xxey 
é uma solução para 
a equação 
0y'y2"y 
 no intervalo 
),( 
. 
 
 Resolver as seguintes equações 
diferenciais. 
2) 
0.
1

dx
dy
tgy
x
 
3) 
0)1(4 22  dyxdxxy
 
4) 
0)3()2(  dyxdxy
 
5) 
0)1( 2  dyxxydx
 
6) 
42
2



x
e
dx
dy y 
7) 
0)1()1( 3232  dyxydxyx
 
8) 
dx
dy
xyy
dx
dy
xa 





 2
 
9) 
0tansectansec 22  xdyyydxx
 
10) (x
2
 + a
2
)(y
2
 + b
2
)dx + (x
2
 – a2)(y2 – b2)dy = 0 
11) 
0)1(  ydxdyx
 
12) 
0)1( 2  xydxdyx
 
13) 
0cos  xy
dx
dy
 
14) 
xy
dx
dy
cos3
 
15) 
0)2(
324 

dyeydxxy
x 
 
 
 
Respostas: 
1) Esta condição se verifica para todo 
número real. 
 
2) x cos y = C 
3) 
C
y
1
)1xln(2 2 
 
4) (2 + y)(3 – x) = C 
5) C y
2
 = 1 + x
2
 
6) 
C
2
x
arctge y2 
 
7) 
C
y
1
x
1
2
1
y
x
ln
22










 
8) yyka aex  ln2 
9) tg x . tg y = C 
10) 
C
b
y
arctg.b2y
ax
ax
lnax 



 
11) y = c(x – 1) 
12) 
C.x1y 2
 
13) 
senxe
K
y 
 
14) 
senxCey 3
 
15) 
C
y
6
y
9
)1x3(e
3
x3 
 
 
 
1)0(,42  yy
dx
dy
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
22 
 
AULA 4 
3.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 
3.2.1 FUNÇÃO HOMOGÊNEA 
 Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t 

R, vale a 
relação f(tx, ty) = t
k
 f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t 

R, vale 
a relação f(tx, ty) = f(x, y) 
 
Exemplos: 
1) A função f(x, y) = x
2
 + y
2
 é homogênea de grau 2, 
 pois
)y,x(ft)yx(tytxt)ty()tx()ty,tx(f 2222222222 
 
2) 
4
y
x
)y,x(g
2
2

é homogênea de grau zero pois, 
 
)y,x(ft4
y
x
t4
y
x
4
yt
xt
4
)ty(
)tx(
)ty,tx(g 0
2
2
0
2
2
22
22
2
2










 
 
3) f(x,y) = 2x
3
 + 5xy
2
 é homogênea de grau três pois, 
)y,x(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)y,x(f 3233233323 
 
Se f(x, y) for uma função homogênea de grau n, note que podemos escrever 







x
y
,1fx)y,x(f n
 e 






 1,
y
x
fy)y,x(f n
 são ambas homogêneas de grau n. 
Exemplo: 
Seja 
22 yxy3x)y,x(f 
 homogênea de grau 2. Logo, 





































x
y
,1fx
x
y
x
y
.31x
x
y
x
y3
1x)y,x(f 2
2
2
2
2
2
 




































 1,
y
x
fy1
y
x
3
y
x
y1
x
y3
y
x
y)y,x(f 2
2
2
2
2
2
 
3.2.2 EQUAÇÃO HOMOGÊNAS 
A equação
0dy)y,x(Ndx)y,x(M 
 será chamada de equação diferencial homogênea se 
M e N forem funções homogêneas de mesmo grau. 
 
Exemplos: 
 1) 
xy
yx
dx
dy 22 

 
 2) 
2
2
'
y
x
y 
 
 3) 







x
y
arctgy'
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
23 
 
3.2.2.1 Resolução: 
 Seja a equação homogênea Mdx + Ndy = 0 
 Tem-se: 
 
N
M
dx
dy

 
 
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro porx elevado a potencia 
igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de y/x. 
 







x
y
F
dx
dy
 (1) 
 
É necessário, no entanto, substituir a função y/x por uma outra que permita separar as 
variáveis. 
Dessa forma, substitui-se 
x
y
 por u. 
 
xuy .
 (2) 
 
Derivando y=x.u em relação ax tem-se 
 
dx
du
xu
dx
dy
 
 (3) 
 
Substituindo (2) e (3) em (1), temos: 
 
 
x
dx
uuF
du
uuF
dx
du
x
uF
dx
du
xu




)(
)(
)(
 
 
 
Que é uma equação de variáveis separáveis. 
 
Em resumo: 
Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma equação 
de variáveis separáveis com a substituição y = x.u, onde u = u(x) é uma nova função incógnita. 
Assim, dy = xdu + udx é uma equação da forma y’ = f(x, y) pode ser transformada em uma equação 
separável. 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
24 
 
Exemplo: 
02)( 22  xydydxyx
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
25 
 
AULA 04 – EXERCÍCIOS 
 
Resolva as seguintes equações: 
 
1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0 
2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0 
3) (x
2
 + y
2
) dx + (2x + y)y dy = 0 
4) (x + y) dx + (y – x) dy = 0 
5) (x
2
 + y
2
) dx – xy dy = 0 
6) 
044
2
2
2
2 











dx
dy
yxy
dx
dy
y
 
7) Determine a solução de (x
2
 – 3y2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condição inicial 
1)2(y 
. 
8) Determine a solução de 
0xydy6dx)y3x2( 22 
 sujeita a condição inicial 
3
1
)1(y 
 
 
 
 
Respostas: 
1) y
2
 + 2xy – x2 = K 
2) 
Kyyxx  22 422
 
3) y
3
 + 3xy
2
 + x
3
 = k 
4) 
C
x
y
arctgyx
ou
x
y
arctgyxC


22
22
1
ln
ln
 
5) 2
2
2 x
y
kex  
6) Cxyx  23 22 
7) 
xxy
8
3
1
 
8) 
1xy9x2 23 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
26 
 
AULA 5 
3.3 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES 
 REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS 
 
São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em equações 
homogêneas ou em equações de variáveis separáveis. 
São equações da forma: 
 









222
111
cybxa
cybxa
F
dx
dy 
 
onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes. 
 
Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das 
variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto 
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O que equivale a efetuar uma translação de 
eixos. 
 
 
 
Para esse tipo de equação tem dois casos a considerar: 
 
3.3.1 O DETERMINANTE 
22
11
ba
ba É DIFERENTE DE ZERO 
Resolução: 
Seja o sistema (1) 





0
0
222
111
cybxa
cybxa cuja solução é dada pelas raízes αx  e βy  . 
A substituição a ser feita será: 
 





dvdyvy
dudxux

 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
27 
 
 Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translação dos eixos coordenados para 
o ponto (
 ,
) que é a interseção das retas componentes do sistema (1), o que é verdadeiro, uma 
vez eu o determinante considerado é diferente de zero. 
 
Assim sendo, a equação transformada será: 
 









22222
11111
cbavbua
cbavbua
F
du
dv

 
Como 

 e 

 são as raízes do sistema: 
 









vbua
vbua
F
du
dv
22
11
 
que é uma equação homogênea do tipo visto anteriormente. 
 
Exemplo: 
Resolver a equação
23
132



yx
yx
dx
dy
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
28 
 
3.3.2 O DETERMINANTE 
22
11
ba
ba É IGUAL A ZERO. 
 Assim, observe-se que o método aplicado no 1
o
 caso não fará sentido, de vez que as retas 
no sistema seriam paralelas e sua interseção seria verificada no infinito (ponto impróprio). A 
equação se reduzirá a uma de variáveis separáveis. 
 Como 
22
11
ba
ba = 0, os coeficientes de x e y são proporcionais, de modo que se pode 
escrever: 
 
2221 baba 

1
2
1
2
b
b
a
a

 
 
(1) 
 
 Chamando a relação constante (1) de m, pode-se escrever: 
 
1
2
1
2
1
2
c
c
m
b
b
a
a

 
 
 
12
12
mbb
maa

 
 
 
 Assim: 
 









211
111
)( cybxam
cybxa
F
dx
dy 
 
 Fazendo 
tybxa  11
, e sendo 
)(xft 
, tem-se: 
 
)(
1
1
1
xat
b
y 
 
 Derivando em relação a x: 
 
 






 1
1
1
a
dx
dt
bdx
dy 
 Equação transformada: 
 
 

















2
1
1
1
1
cmt
ct
Fa
dx
dt
b
 
 
 
)(11 tGba
dx
dt
 
 
que é uma equação de variáveis separáveis. 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
29 
 
Exemplo: Resolver a equação 
136
12



yx
yx
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
30 
 
 
AULA 5 - EXERCÍCIOS 
 
1) 
0dy)1yx3(dx)y3x2( 
 
2) 
0dy)5yx2(dx)4y2x( 
 
3) 
0dy)8y5x(dx)xy3( 
 
4) 
0dy)2y3x2(dx)1y3x2( 
 
5) 
yx1
y3x31
dx
dy



 
6) 
0dy)1y6x2(dx)3y3x( 
 
7) 
2y4x3
1y3x
dx
dy



 
 
 
Respostas: 
 
1) 2x
2
 – 6xy + y2 + 2y = K 
2) (y – x + 1)3 = K(x + y – 3) 
3) 
  k2
12x
)4y(5
arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22 









 
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y – 7) + C 
5) 3x + y + ln(x + y -1)
2
 = K 
6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C 
7) x
2
 - 4y
2
 - 6xy - 2x + 4y = K 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
31 
 
AULA 6 
3.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS 
 Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata, se 
existe uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessáriae 
suficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que: 
 
x
N
y
M





 
 Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução, cuja 
diferencial dada por: 
 
dy
y
u
dx
x
u
du






 
(2) 
 Então, comparando (1) e (2) teremos: 
 
),( yxM
x
u


 (3) 
 e 
),( yxN
y
u


 (4) 
 Para obtermos a sua solução 
),( yxfu 
deveremos integrar, por exemplo,a expressão 
(3), em relação à variável x, da qual teremos 
 
  )(),(),( ygdxyxMyxf 
 
(5) 
 Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos: 
 
)('
),(
yg
y
dxyxM
y
f





 
 
 
(6) 
 Igualando (6) e (4) resulta: 
 
),()('
),(
yxNyg
y
dxyxM


 . 
 Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos: 
 
 
1
),(
),()( Cdy
y
dxyxM
yxNyg 










 

 
(7) 
 Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é: 
 
Cdy
y
dxyxM
yxNdxyxMyxf 










 


),(
),(),(),(
 
 Logo, a solução é da forma 
 
  







 Cdy
y
P
NMdxyxU ),(
 
onde costuma-se denotar
 MdxP
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
32 
 
Exemplos: 
1) 
02)( 22  xydydxyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
0)23()12(  dyyxdxyx
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
33 
 
AULA 06 – EXERCÍCIOS 
 
1) (x
3
 + y
2
) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0 
2) e
y 
dx + ( xe
y – 2y) dy = 0 
3) 2xy dx + x
2
 dy = 0 
4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy 
5) 
0)( 22   drrdre
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 
Ksenyxy
x
 2
4
4
 
2) 
Cyxey  2
 
3) x
2
y = K 
4) coshxcosy = K 
5) 
Kre  22
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
34 
 
AULA 7 
3.4.1 FATOR INTEGRANTE 
Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é: 
x
N
y
M





. 
Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao multiplicar toda 
a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta é uma ED exata. 
Se ela é exata, existe 
cteyxu ),(
 e 
MF
dx
u
.
 e 
NF
dy
u
.
 
Tomando a condição de exatidão 
FN
dx
FM
y



 
 
F
x
N
N
x
F
F
y
M
M
y
F










 
e achar F por aqui é loucura!!!!!!! 
 
Vamos supor então que F(x,y) = F(x) 
 
x
N
FN
x
F
y
M
F







 
 dividindo tudo por FN

0 e organizando, temos: 
 
x
N
Nx
F
Fy
M
N 








111 
 
x
N
Ny
M
Nx
F
F 








111 
 















x
N
y
M
Nx
F
F
11 
 reescrevendo: 
dx
x
N
y
M
N
dF
F 












11 
 integrando: 
  CdxxRF )(ln 
 
  dxxRexF )(.)( 
 onde: 
 












x
N
y
M
N
xR
1
)(
 
 
analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos: 
 
  dyyReyF )(.)( 
onde: 
 












x
N
y
M
M
xR
1
)(
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
35 
 
Em resumo: 
Quando a expressão Mdx + Ndynão é diferencial exata, isto é, 
x
N
y
M





, mostra-se que há 
uma infinidade de funções 
),( yxF
, tais que 
)( NdyMdxF 
 é uma diferencial exata. 
A esta função 
),( yxF
, dá-se o nome de fator integrante. 
 
F(x): F(y): 












x
N
y
M
N
xR
1
)(
 












x
N
y
M
M
yR
1
)(
 
 


dxxR
exF
)(
)( 
dyyR
eyF
)(
)( 
 
 
Exemplos: 
 Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator 
integrante. 
 
1) y
2
 dx + (xy + 1) dy = 0 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
36 
 
2) (x
2
 – y2) dx + 2xy dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 07 – EXERCÍCIOS 
 
1) (2cos y + 4x
2
) dx = x sen y dy 
2) 2x tg y dx + sec
2
 y dy = 0 
3) seny dx + cos y dy = 0 
4) Encontre a solução particular 
de 
dx)yx(xydy2 22 
 para 
2)1(y 
 
5) 
0xdy2dx)xy( 2 
 
6) 
0xdylnxdx)yx( 
 
7) 
2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx



 
 
 
Respostas: 
1) x
2
 cos y + x
4
 = C 
2) 
Ctgyex 
2 
3) 
Ceseny x .
 
4) 
xxy 32 
 
5) 
k
5
x2
xy2
2
5

 
6) kxlnyx  
 
7) Kyxx  22 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
37 
 
AULA 8 
3.5 EQUAÇÕES LINEARES: 
 
 Uma equação diferencial linear de 1
a
 ordem e 1
o
 grau tem a forma: 
 
)()( xQyxP
dx
dy

 
(1) 
 
Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x)

0, a equação é 
dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais 
desse tipo a saber: 
 
 
3.5.1 FATOR INTEGRANTE: 
 
Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo diferencial 
exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à equação original de 
nosso problema: 
 
QPy
dx
dy

 
 
Vamos reescrever esta última sob a forma 
 
0)(  dydxQPy
 
 
 
Multiplicando ambos os membrospor  Pdxe (fator integrante) obtemos a expressão 
  0 dyedxQPye
PdxPdx . Aqui, identificamos as funções ―M‖ e ―N‖: 
 
  QPyeM Pdx  
 e 
  PdxeN 
 
Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos: 
 


 Pdx
Pe
y
M
e


 Pdx
Pe
x
N
 
 
confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata. 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
38 
 
Exemplo1: 
 Resolver a equação2 x
x
y
dx
dy por fator integrante: 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
39 
 
3.5.2 SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE: 
 
Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange
1
 (matemático francês: 1736-1813) 
criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais. O 
método consiste na substituição de ―y‖ por ―Z.t‖ na equação (1), onde t = 

(x) e Z=
)(x
, sendo Z 
a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t. 
 
Derivando em relação a x, tem-se: 
 
 
dx
dZ
t
dx
dt
Z
dx
dy

 (2) 
 
Substituindo (2) em (1) vamos obter: 
 
 
QPZt
dx
dZ
t
dx
dt
Z  
 
 
Q
dx
dZ
tPt
dx
dt
Z 






 (3) 
 
 Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber: 
 
i) P = 0, então dy = Qx, logo, 
CQdxy   
(4) 
 
ii) Q = 0, então 
0 Py
dx
dy
 (equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de 
variáveis separáveis. Daí, 
0 Pdx
y
dy
. Integrando essa última, resulta em 
 PdxCyln
. 
Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução   PdxCPdxC eeey . Fazendo 
Cek 
, temos   Pdxkey (5) que representa a solução da equação homogênea ou incompleta. 
Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para ―t‖ e ―Z‖, uma vez que y=Z.t, teremos a 
solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea). Se igualarmos os 
coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao resto da equação, 
possibilitando a determinação de Z uma vez que ―t‖ pode ser determinado a partir desta condição. 
Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, 
0 Pt
dx
dt
 (6), que é da 
mesma forma já estudada no caso ii. Assim,   Pdxket . Substituindo este resultado em 
Q
dx
dZ
t 
 
obtemos 
Q
dx
dZ
ke
Pdx


. Daí, 
Qe
kdx
dZ Pdx
1
 e 
Qdxe
k
dZ
Pdx
1
. Integrando este último 
 
1
(Turim, 25 de janeiro de 1736 — Paris, 10 de abril de 1813)foi um matemático francês de origem italiana criador da Mecânica Analítica e 
dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
40 
 
resultado, temos 
CQdxe
k
Z
Pdx
 
1
(7). Lembrando que y = Z.t, vamos obter, substituindo ―t‖ e 
―Z‖: 






 

CQdxe
k
key
PdxPdx 1
, onde resulta, finalmente em: 
 
 
 


  

Cdx.Q.eey
PdxPdx (8) 
 
que é a solução geral da equação (1) 
 
 
Exempo 2: 
Resolver a equação 
2 x
x
y
dx
dy por Lagrange 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
41 
 
 
AULA 8 – EXERCÍCIOS 
 
1) 
0
cot

x
x
x
y
dx
dy 
2) 
xy
dx
dy
x arctan)1( 2 
 
3) 
xyx
dx
dy
cos.tan 
 
4) 
x
x
y
dx
dy

 
5) 
32 x
x
y
dx
dy

 
6) 
xxy
dx
dy
sintan 
 
7) Achar a solução particular para 
0)0(y 
 em 
x
xy
dx
dy
cos
1
tan. 
 
8) Resolver o problema de valor inicial 
3)0(,2  yxxy
dx
dy 
 
 
Respostas: 
 
1) 
 Cx
x
y  )ln(sin
1 
2) 
xeCxy arctan.1arctan 
 
3) 
xCxxy sec2sin
4
1
2
1
1 






 
4) 
2xCxy 
 
5) 
2
4
6
1
x
C
xy 
 
6) 






 C
x
xy
2
sin
sec
2 
7) 
x
x
y
cos

 
8) 
2xe
2
7
2
1
y 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
42 
 
AULA 9 
3.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A 
 LINEARES: 
 Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas existemalgumas delas que 
mesmo sendo não lineares, podem ser transformadasem equações lineares. Os principais tipos de 
tais equações são: 
3.6.1 EQUAÇÕES DE BERNOULLI: 
 Equação da forma: 
 nyxQyxP
dx
dy
)()( 
 
(1) 
 
para
1n
 e 
0n
, onde P(x) e Q(x) são funções continuas conhecidas como equação de Bernoulli
2
. 
Nesse caso, a idéia é realizar uma substituição na equação acima, demodo a transformá-la em uma 
EDO linear. 
 
Pois, se: 
 n = 0 
 y’ + P(x)y = g(x)  caso anterior 
 n = 1 
 y’ + [P(x) – g(x)] y = 0  caso anterior e homogênea 
 
Solução: 
 
Transformação de variável: 
 
Substitui por 
ty n 1
 
 
Deriva-se em relação a x: 
 
 
dx
dt
dx
dy
yn n  )1(
 
(2) 
 
Substituindo (1), que é: 
 
 
nQyPy
dx
dy

 

PyQy
dx
dy n 
 
 
em (2) temos: 
 
 
 
dx
dt
PyQyyn nn  )1(
 
 
 
  
dx
dt
PyQn n  11
 
 
2
Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, 27 de Dezembro de 1652 - Basileia, 16 de agosto de 1705), foi o 
primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
43 
 
Como 
ty n 1
, temos: 
 
dx
dt
PtQn  ))(1(
 
 
 
QntPn
dx
dt
)1(])1[( 
 
 
Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior. 
 
Exemplo: 
 
23
2
xy
x
y
dx
dy

 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
44 
 
AULA 09 – EXERCÍCIOS 
 
1) 
33 yxxy
dx
dy

 
2) 
xyy
dx
dy
x ln2
 
3) 
33 yxy
dx
dy
x 
 
4) 
yxy
xdx
dy

4
 
5) 
02 2  xy
dx
dy
xy
 
6) 
3xyxy2
dx
dy

 
7) 
2xyy
x
1
dx
dy

 
 
 
 
 
Respostas: 
 
 
1) 
2
.1
1
2 xeCx
y


 
2) 
Cxex
y


).ln(
1
 
3) 
1.2 2223  yxCyx
 
4) 2
4 ln
2
1






 Cxxy
 
5) 
x
C
xy ln.2 
 
6) 
Ke
e
y
x
x


2
2
2
2
2 2
 
7) 
Cxx
1
y
2 

 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
45 
 
 
AULA 10 
3.6.2 EQUAÇÃO DE RICATTI 
A equação de Jacopo Francesco Riccati
3
é da forma: 
 
 
)()()( 2 xRyxQyxP
dx
dy

 
(1) 
 
onde P, Q e R designam funções de x. Observamos que, quando P(x)=0 temos a equação linear e, 
quando R(x) = 0 temos a equação de Bernoulli. Joseph Liouville
4
 mostrou que a solução da 
equação de Riccati só é possível quando se conhece uma soluçãoparticular y0. Caso contrário, ela 
só é integrável através de uma função transcendente
5
. 
 
Resolução: 
 
Conhecendo-se uma solução particular 
0y
 da equação (1), pode-se resolver facilmente a 
equação fazendo a seguinte mudança de variável: 
 
zyy 0 
 (2) 
onde
0y
 e 
z
 dependem de 
x
. 
Como 
0y
é solução, temos: 
 
 
RQyPy
dx
dy
 0
2
0
0
 
 (3) 
 
Por outro lado, derivando (2) tem-se: 
 
 
dx
dz
dx
dy
dx
dy
 0
 (4) 
 
Substituindo (2) e (4) na equação (1) : 
 
 
RzyQzyP
dx
dz
dx
dy
 )()( 0
2
0
0
 
 
Desenvolvendo e agrupando os termos: 
 
 
RQyPyzQPyPz
dx
dz
dx
dy
 0
2
00
20 )2(
 (5) 
 
 
 
3(Veneza, 28 de Maio de 1676 - Treviso, 15 de Abril de 1754) foi um matemático e físico italiano que efetuou trabalhos sobre hidráulica 
que foram muito importantes para a cidade de Veneza. Ele próprio ajudou a projetar os diques ao longo de vários canais. Considerou diversas classes 
de equações diferenciais mas é conhecido principalmente pela Equação de Riccati, da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluções em alguns 
casos especiais. 
4(Saint-Omer, Pas-de-Calais, 24 de Março de 1809 - Paris, 8 de setembro de 1882) foi um matemático francês. 
5
Uma função é chamada de transcendente quando não é algébrica (pode ser expressa em termos de somas, diferenças, produtos, quocientes 
ou raízes de funções polinomiais). As funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas são exemplos de funções transcedentes. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
46 
 
Substituindo (3) em (5) e reagrupando, resulta em: 
 
 
2
0
)2( PzzQPy
dx
dz

 (6) 
 
que é uma equação de Bernoulli na variável z, cuja solução já foi desenvolvida. 
 
Em resumo: 
Para sua resolução algébrica deveremos conhecer uma solução particular y = y0 qualquer de 
(1), na qual a mudança de variáveis y = z + y0, irá eliminar o termo independente R(x) 
transformando a equação de Riccatti numa equação de Bernoulli. 
 
Exemplo: 
Mostrar que 
xy 
 é solução particular da equação 
  0121 223  yxxy
dx
dy
x 
e 
procurar a solução geral. 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
47 
 
 
AULA 10 – EXERCÍCIOS 
 
1) Verificar se y = x é solução particular da equação 
3
2
2

x
y
x
y
dx
dy
. Em caso afirmativo, 
calcular a solução geral. 
2) Mostrar que 
x
y
1

 é solução particular da equação 
2
2 2
x
y
dx
dy

 e calcular a sua solução 
geral. 
3) Sabendo que y = 1 é solução particular da equação 
1)12( 2  xxyyx
dx
dy
 calcular a 
sua solução geral. 
4) Calcular a solução da equação 
1
1
12
1 2 





 xy
x
y
xdx
dy
 sabendo que y = x é solução 
particular. 
5) Dar a solução geral da equação 
0232  yy
dx
dy
 sabendo que y = - 1 é solução 
particular. 
 
 
Respostas: 
1) 
1
3
4
5



Kx
xKx
y
 
2) 
kx
x
x
y


3
231
 
3) 
Cxe
Cxe
y
x
x



)1(
)2(
 
4) 
2
322
xk
xxkx
y



 
5) 
1
2



x
x
Ce
Ce
y
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
48 
 
AULA 11 
4. EQUAÇÕES DE 1
A
 ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM 
4.1 ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES 
4.1.1 DEFINIÇÕES: 
 
 Curvas integrais: Família de curvas que representa a solução geral de uma equação 
diferencial. 
 Envolvida: É cada uma das curvas integrais. Representa geometricamente uma solução 
particular da equação. 
 Envoltória: Tomando-se como exemplo a família de curvas dependentes de um parâmetro 
0)α,y,x(f 
, define-se como envoltóriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a 
família de curvas integrais. 
 
Assim sendo, pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltórias para uma mesma família, 
como também poderá não haver nenhuma. Por exemplo, uma família de circunferências 
concêntricas não apresenta envoltória. 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
49 
 
4.1.2 EQUAÇÃO DA ENVOLTÓRIA 
 
Seja
0)α,y,x(f 
uma família de curvas dependentes do parâmetro ―

‖. Define-se como 
envoltória a curva que é tangente a toda a linha que constituem a família de curvas. Pode-se existir 
uma ou mais envoltórias para uma mesma família de curvas, como também poderá não haver 
nenhuma. As curvas que forma a família são chamadas envolvidas. Geralmente, a envoltória é 
definida pelo sistema: 
 








0
),,(
0),,(



yxf
yxf
 (1) 
 
cuja equação pode ser obtida pela eliminação do parâmetro 

 em (1). Também podemos obter a 
equação da envoltória sob a forma paramétrica, resolvendo o sistema para x e y. 
 
 
Exemplo: 
 Obter a envoltória de uma família de circunferência com centro sobre o eixo x e raio igual 
a 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
50 
 
4.1.3 SOLUÇÕES SINGULARES 
 
 Uma equação diferencial não linear de 1
a
 ordem pode se escrita na forma alternativa 
0,, 





dx
dy
yxF
 
 
 Foi visto que uma equação diferencial pode apresentar três tipos de solução: 
 geral 
 particular 
 singular (eventualmente) 
 
A solução geral é do tipo 
0)C,y,x(f 
, que representa uma família de curvas (curvas 
integrais), a cada uma das quais está associada uma solução particular da equação dada. 
A envoltória dessa família de curvas (caso exista) representa a solução singular da equação 
original. 
De fato, o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas
 00 y,x
 da 
envoltória e da curva integral corresponde a
0
0
dx
dy
. Além disso, tem-se que os elementos
00 y,x
 e 
0
0
dx
dy
de cada ponto da envoltória satisfazem à equação acima, pois são elementos de uma curva 
integral. Portanto, a envoltória é uma solução da equação que não resulta da fixação da constante 
C
, e por esta razão, é uma solução singular. 
 
Exemplo: 
 Determinar a solução geral e a solução singular da equação 
2
22 x
dx
dy
x
dx
dy
y 






 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
51 
 
AULA 11 – EXERCÍCIOS 
 
1) Dar a envoltória das seguintes famílias de curvas: 
 a)


1
4 2  xy
 
 b)
0)2(2 222   yyx 
2) Obter a solução singular da equação 
12
2
2 





y
dx
dy
y
 
3) Achar a solução geral e a solução singular da equação: 2







dx
dy
dx
dy
xy