Álgebra - Exércicios, Transformações Lineares (Profº Marcos Roberto)

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Atividade 2 – ÁLGEBRA LINEAR 
Prof. Marcos Roberto 
 
1) Seja 𝒗 um vetor fixo não nulo em ℝ2. Uma aplicação 𝑇: ℝ2 → ℝ2, dada por 𝑇(𝑢) = 𝑢 + 𝒗 é 
chamada de translação. Mostre que a translação não é uma transformação linear. Ilustre 
geometricamente o efeito de uma translação. 
 
2) Determine se as transformações abaixo são lineares. Se não, indique quais condições não são 
satisfeitas: 
a) 𝑇: ℝ3 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 𝑥, 𝑦) 
b) 𝑇: ℝ3 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧, 𝑥 + 𝑦) 
c) 𝑇: ℝ2 → ℝ3, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, 𝑥2 + 𝑦2) 
d) 𝑇: 𝑀𝑛×𝑛(ℝ ). → 𝑀𝑛×𝑛(ℝ ), 𝑇(𝐴) = 𝐴 − 𝐴
𝑇 
e) 𝑇: 𝑃2(ℝ) → 𝑃3(ℝ), 𝑇(𝑝(𝑥)) = 𝑝(𝑥) + 𝑥𝑝(𝑥) + 𝑥
2𝑝′(𝑥) 
f) 𝑇: 𝐶[0,1] → ℝ, 𝑇(𝑓) = (𝑓(0) + 𝑓(1))/2 
g) 𝑇: 𝐶[0,1] → ℝ, 𝑇(𝑓) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
0
 
 
3) Seja T: ℝ2 ⟶ ℝ3 tal que T(-2,3)=(-1,0,1) e T(1,-2)=(0,-1,0). Faça o que se pede: 
a) Mostre que B = {(-2, 3), (1, -2)} formam uma base do ℝ2 e escreva (x, y) em função dos 
vetores de B; 
b) Utilize o resultado anterior para encontrar a expressão de T(x, y); 
c) Determine o núcleo e a imagem de T; 
d) Determine uma base e a dimensão para o núcleo e a imagem de T. 
 
4) Em cada afirmação abaixo diga se é verdadeiro ou falso e justifique: 
a) T: ℝ3 ⟶ ℝ3, dada por T(x, y, z)=(x+z, x-z, y) é um automorfismo; 
b) T: ℝ3 ⟶ ℝ4, dada por T(x, y, z)=(x,x-y,y-z,z) é um isomorfismo; 
c) Dado T: 𝑉 ⟶ W, se U é um subespaço de V, então a imagem de U por T é um subespaço de 
W 
5) Mostre que a transformação T: ℝ3 → ℝ3, dado por T(x, y, z) = (x, x + y, x + y + z) é 
transformação bijetora. 
 
6) Considere as transformações no ℝ2, onde k é uma constante positiva : 
I. T(x, y) = (kx, y) (dilatação ou contração na direção do eixo x); 
II. T(x, y) = (x, ky) (dilatação ou contração na direção do eixo y); 
III. T(x, y) = (x + ky, y) (cisalhamento na direção do eixo x); 
IV. T(x, y) = (x, y + kx) (cisalhamento na direção do eixo y); 
 
Faça o que se pede: 
a) Encontre a matriz canônica para estas transformações; 
b) Aplique o efeito a uma curva parametrizada e explique o que ocorreu; 
c) Determine o núcleo e a imagem destas transformações. 
 
7) Seja T o operador em ℝ2 definido por T(x,y)=(y,2x-y). Determine o operador inverso 𝑇−1. 
 
8) Encontre a matriz canônica da transformação compostas de ℝ2 em ℝ2 em cada caso abaixo. 
Exemplifique com uma curva parametrizada o efeito resultante em um mesmo plano. 
 
a) Rotação de 60° no sentido anti-horário seguida por uma reflexão em torno da reta y=x. 
b) Uma reflexão em torno da reta y=x seguida rotação de 60° no sentido anti-horário. 
 
 
9) Dada uma transformação T: ℝ3 ⟶ ℝ3 que produz com efeito geométrico a reflexão em relação ao 
plano y=x. Determine a expressão de T, seu núcleo e sua imagem. Aplique T a uma superfície 
parametrizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Para cada efeito geométrico descrito abaixo indique operador linear que o produz e faça o que se 
pede: 
 
a) Aplique o efeito a uma curva parametrizada para operadores no ℝ2 e a uma superfície 
parametrizada para operadores no ℝ3; 
b) Determine o núcleo e a imagem da transformação; 
c) Encontre uma base para o núcleo e outra para imagem; 
d) Determine a dimensão do núcleo e da Imagem; 
e) Determine se a transformação é um automorfismo (justifique); 
 
 
 
 
 
Operadores: 
 
a. Reflexão em torno da reta y=x 
 
 
 
 
 
b. Projeção ortogonal sobre o plano xz 
 
 
 
 
c. Reflexão em torno do plano xz: 
 
 
 
 
d. Rotação anti-horária em torno do eixo z positivo por um ângulo 𝜃: