Gas ideal

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GGááss Ideal:Ideal:
Denomina-se gás ideal aquele cujas moléculas estão suficientemente
afastadas de modo que as interações entre elas sejam desprezíveis.
O gás ideal tem um comportamento relativamente simples sob quaisquer
condições de pressão e temperatura.
A maioria dos gases se comporta como gás ideal a densidades baixas, ou
temperaturas não excessivamente baixas nem pressões muito altas.
Equação de estado de um gás ideal:
nRTPV =
P: pressão absoluta
V: volume
T: temperatura absoluta
R: constante universal dos gases = 8,314 J/(mol.K)
n: número de mols
PressãoPressão ParcialParcial::
Seja dada uma mistura de gases ideais com n1 mols do gás G1, n2 mols do gás G2, etc. 
Se essa mistura ocupar um volume V e estiver à temperatura absoluta T, sua
equação de estado será dada por:
( )
......
...
2121
21
++=++=
++==
PP
V
RT
n
V
RT
nP
V
RT
nn
V
nRTP
As pressões P1, P2,... são denominadas pressões parciais dos gases 
constituintes.
Isto significa que a pressão P1 exercida pelo gás G1 na mistura é igual à que
o mesmo exerceria se ocupasse sozinho todo o volume V à temperatura T.
A viscosidade é uma propriedade dos fluidos de gerar forças de corte ou 
cisalhamento, quando uma camada de fluido se move sobre uma outra camada 
paralela com velocidade finita. 
A origem dessas forças são as forças dissipativas existentes entre as 
moléculas do fluido. 
Fluidos com elevado atrito interno são altamente viscosos e, como as 
interações entre as moléculas de um líquido são mais intensas que entre as moléculas 
de um gás, a viscosidade dos líquidos é muito maior que a dos gases.
Em geral, a viscosidade de um fluido depende de sua temperatura, pois, à
medida que a temperatura aumenta, a viscosidade dos líquidos diminui e a dos gases 
cresce.
Na Figura abaixo destacam-se as forças que atuam no plano z = 0 de um 
fluido em equilíbrio. (fzz : força por unidade de área) 
Viscosidade:Viscosidade:
Dizemos que um fluido está em desequilíbrio quando não possui a mesma 
velocidade em toda sua massa. A figura abaixo mostra um fluido em desequilíbrio 
movendo-se entre os planos z = 0 e z = L.
z
L
v
zvy 





=
0)(
Experimentalmente se observa que vy(z) varia linearmente entre 0 e v0.
Assim:
L
v
z
vy 0
=
∆
∆
z
v
A
L
vAF
A
FL
v
y
∆
∆
=





=
∝
ηη 0
0e:
é relativamente pequeno, a intensidade do esforço (força viscosa por unidade de 
área) será aproximadamente dada pela relação linear:
Considerando que
Sendo η o coeficiente de viscosidade do fluido.
EscoamentoEscoamento de de FluidosFluidos::
Joseph Louis Lagrange
O movimento do fluido é descrito através das coordenadas x,y,z de cada partícula
em função do tempo t.
No instante t0 então uma partícula se encontraria numa posição dada por
x0, y0 e z0. Assim, no instante t a posição seria dada por:
x(x0, y0, z0, t)
y(x0, y0, z0, t)
z(x0, y0, z0, t)
Leonhard Euler
O movimento do fluido é descrito através da densidade ρ e da velocidade
do fluido v em cada ponto do espaço, a cada instante de tempo t.
Então, ρ(x,y,z,t) e v(x,y,z,t) no ponto (x,y,z) são fornecidos a cada instante
t.
O escoamento dos fluidos é um efeito dinâmico, e seu movimento é
especificado pela velocidade de escoamento v e pela densidade ρ do fluido.
Se em qualquer instante, em um ponto do fluido, sua velocidade v é
constante, teremos um escoamento permanente ou estacionário; quando a velocidade 
v não for constante, teremos um escoamento variado.
O fluxo Q ou taxa de escoamento de um fluido é definido como o volume do 
fluido que escoa através de uma secção por unidade de tempo.
Na Figura abaixo está representado o escoamento permanente de um fluido 
ideal. v1 é uniforme sobre a área A1 e v2, sobre a área A2.
Os fluxos nas secções A1 e A2 serão, respectivamente:
22
22
2
11
11
1
vA
t
tvAQ
vA
t
tvAQ
=
∆
∆
=
=
∆
∆
=
Como o volume de fluido entre A1 e A2 é constante, então:
tvAtvA
mm
∆=∆
∆=∆
2211
21
ρρ
Logo,
21
2211
QQ
vAvA
=
=
Portanto, o fluxo Q é constante.
EquaEquaççãoão de Bernoulli:de Bernoulli:
constvgyP
KW
mvmvK
yymgmPmPW
mV
dsAdsA
yymgdsAPdsAPW
=++
∆=
−=∆
−−−=
=
=
−−−=
2
2
1
2
2
1221
2211
12222111
2
1
2
1
2
1
)(
)(
ρρ
ρρ
ρ
Na figura abaixo, os capilares T1, T2 e T3, fixados sobre um tubo de raio a, 
no qual escoa um fluido de densidade ρ, funcionam como manômetros.
Se a altura do fluido em cada capilar satisfizer a relação:
321 hhh >>
então os valores da pressão em A, B e C (pontos que estão ao longo do tubo) 
satisfazem a condição:
CBA PPP >>
Dessa maneira, teremos ao longo do 
tubo um gradiente de pressão ∆P/∆x, 
onde ∆P é a diferença de pressão entre
os pontos A e B (ou B e C) e ∆x é a 
distância AB (ou BC).
Fisicamente haverá uma
diminuição de energia devido à
existência de forças de resistências
(forças viscosas) ao movimento do 
fluido que está escoando.
NNúúmero de Reynolds:mero de Reynolds:
O escoamento de fluidos mais simples é o lamelar ou laminar. Porém, quando 
a velocidade do fluido atinge um certo valor crítico, o escoamento torna-se 
altamente irregular, fazendo com que surjam correntes circulares aleatórias, além 
de um aumento bastante pronunciado na resistência ao escoamento; esse tipo de 
escoamento é denominado turbulento. 
Essas mudanças no escoamento ocorrem por conta de uma combinação de 
quantidades que excedem um determinado valor crítico. Essa combinação é chamada 
número de Reynolds (R). 
Para um fluido com densidade ρ e coeficiente de viscosidade η, o número de 
Reynolds (R) é definido como:
onde d é uma dimensão típica do sistema e v é a velocidade média do fluido.
Em geral, no escoamento de fluidos, quando R < 2.000, o escoamento é
lamelar, e quando R > 2.000, é turbulento.
A transição de um tipo de escoamento para outro em um mesmo sistema é
caracterizada por certo valor do número de Reynolds, denominado número crítico de 
Reynolds (R c).
EscoamentoEscoamento LamelarLamelar ouou Laminar: Laminar: EquaEquaççãoão de de PoiseuillePoiseuille
No escoamento laminar de um fluido ao longo de um tubo com raio a, sua
velocidade através de uma secção transversal do tubo é máxima no centro da
secção e vai decrescendo, segundo uma parábola, até um valor nulo na camada
adjacente à parede do tubo.
Esse decréscimo ocorre devido à ação das forças de atrito tangencial ou
forças viscosas.
A velocidade v do fluido pode ser encontrada a partir do equilíbrio entre a 
força propulsora Fp devido à diferença de pressão entre as duas extremidades do 
tubo e a força viscosa Fv. ( )
( )xr
dr
dvAfF
rPPF
vv
p
∆−==
−=
piη
pi
2
2
21
( )
( )
( )
( ) ( )
( )22
2221
21
)(
)(
21
2
21
4
1)(
4
)()(
2
2
2
ra
x
P
rv
ar
x
PP
avrv
rdr
x
PPdv
r
x
PP
dr
dv
dr
dv
xrrPP
FF
r
a
rv
av
pv
−
∆
∆
=
−
∆
−
−=−
∆
−
−=
∆
−
−=
∆−=−
=
∫∫
η
η
η
η
piηpi
, pois v(a) = 0 e ∆P = P1 – P2.
Quando r = 0, temos v =
η4
2
max
a
x
P
v
∆
∆
= . Então: 





−= 2
2
max 1)(
a
r
vrv
A equação acima descreve a variação da velocidade v(r) do fluido viscoso, 
com escoamento laminar ao longo de um tubo de raio a.
Pode-se calcular agora a vazão total Q através do tubo:
VazãoVazão total Q:total Q:
Considere um cilindro coaxial de espessura dr, como na figura abaixo. Em
um tempo dt, o volume dV do fluido nesse cilindro será:
( ) [ ]dtrvdrrdV )(2pi=
Portanto: rdr
a
r
vrdrrvdt
dVdQ 





−=== 2
2
max 12)(2 pipi
Integrando-se desde r = 0 até r = a e substituindo o valor de vmax obtemos:
x
PaQ
∆
∆
=
η
pi
8
4
(Equação de Poiseuille)
ResistênciaResistência dada TubulaTubulaççãoão aoao escoamentoescoamento do do fluidofluido::
Considere uma tubulação de comprimento L e raio a, podemos definir a 
resistência R da tubulação ao escoamento do fluido como:
4
8
a
L
Q
PR
pi
η
=
∆
=
Para fluidos reais, a velocidade média do fluxo de escoamento será:
x
Pa
r
Q
A
Q
v
∆
∆
===
ηpi 8
2
2
No caso do fluxo sanguíneo através das artérias, este geralmente é laminar. 
Como existem forças atrativas entre as paredes da artéria e as moléculas do 
sangue, então nas paredes das artérias v = 0.
TransporteTransporte de de PartPartíículasculas emem um um FluidoFluido ((MeioMeio) ) InfinitoInfinito::
1827 → Robert Brown: movimento caótico e incessante de partículas de 
pólen suspensas em uma solução aquosa. (movimento browniano) 
A difusão de partículas e o fenômeno da osmose são fundamentados no 
movimento browniano.
1905 → Albert Einstein: o movimento browniano se deve à excitação
térmica das moléculas de água.
Apresentaremos algumas idéias gerais sobre o movimento de partículas
(soluto) dentro de uma solução.
Essa solução é um fluido que pode estar em movimento ou em repouso.
Considere que não ocorra nenhum tipo de reação química entre as partículas
do soluto com os do solvente. Isto garante que as seguintes quantidades
permanecerão constantes:
- o número N0 de partículas e sua massa m0;
- o volume V0 das partículas, no caso de um fluido incompressível (ρ = 
constante).
Esta conservação de N ou m nos leva à equação da continuidade.
Considere um volume fechado V, conforme a 
figura ao lado.
No instante t, esse volume contém um número NV
de partículas dado por:
( )∫=
V
V dVtzyxCN ,,,
onde C(x,y,z,t) é a concentração das partículas.
Se NV for invariante dentro de V, então, para um fluxo de partículas
através da superfície S que limita V, o número de partículas transportado a partir
de V, por unidade de tempo será:
∫ •=
S
t sdjN
rr
onde j representa o fluxo de partículas em uma solução.
Nt deve ser igual à taxa de decréscimo de NV, ou seja:
∫∫ −=•∴
−=
VS
V
t
dVtzyxC
dt
d
sdj
dt
dNN
),,,(rr
EquaEquaççãoão dada ContinuidadeContinuidade::
Como a superfície S é fixa, teremos:
t
N
dt
dN VV
∂
∂
=
Aplicando-se o teorema da divergência: ∫∫ ⋅=⋅∇
SV
danDdVD )
rr
, à integral de superfície,
temos: ∫∫ ⋅∇=⋅
VS
dVjsdj rrr
0=





∂
∂
+⋅∇∴∫
V t
Cjr
Como o volume V é arbitrário, o integrando da equação acima deverá ser zero.
Assim, obtemos a relação denominada equação da continuidade.
Note que a equação da continuidade expressa a conservação de alguma
quantidade física, ou seja, a taxa com que as partículas abandonam uma certa região
é igual a seu fluxo através da superfície em torno dessa região.
DifusãoDifusão: 1: 1aa Lei de Lei de FickFick
A difusão é um movimento resultante de partículas a partir de uma região
com alta concentração C> para outra com baixa concentração C<.
A difusão de partículas em fluidos é uma resposta à existência de um 
gradiente de concentração ∇C.
Os movimentos das partículas que se difundem são aleatórios e 
independentes entre si.
Elas podem colidir frequentemente com as moléculas do fluido em que se 
encontram, porém é raro colidirem entre elas.
Na figura acima, tem-se um tubo com secção transversal constante, 
através do qual se propaga um fluido.
Se V é o volume da solução (soluto + solvente) que se propaga, então a 
concentração do soluto com massa m será:
V
mC =
e sua concentração molar será:
V
nCm =
onde n é o número de mols do soluto.
Se a diferença entre as concentrações C> e C< no intervalo entre x e x + ∆x
do tubo for pequena, então o fluxo do soluto j(x,t) será proporcional ao gradiente
de concentração ∇C(x,t).
Essa proporcionalidade dá origem à 1a Lei de Fick cuja forma geral é:
( ) ),,,(,,, tzyxCDtzyxj ∇−=r
onde D é o coeficiente de difusão do soluto na solução. Sua unidade no SI é m2/s.
O sinal negativo na equação significa que o fluxo do soluto ocorre no 
sentido de alta para baixa concentração.
Para a situação unidimensional a 1a Lei de Fick se reduz à:
( ) 0, =
∂
∂
+
x
CDtxj
22a a Lei de Lei de FickFick::
Esta lei relaciona a variação temporal da concentração de partículas em um 
fluido com a variação espacial do gradiente de concentração.
Da equação da continuidade temos:
t
Cj
∂
∂
−=⋅∇
r
Da 1a lei de Fick:
CDj ∇−=r
Assim:
( ) CDCDCDj 2∇−=∇⋅∇−=∇−⋅∇=⋅∇ r (Coordenadas Cartesianas)
Portanto:
CD
t
C 2∇=
∂
∂
(2a Lei de Fick)
OsmoseOsmose: : PressãoPressão OsmOsmóóticatica
Osmose é a difusão de um fluido através de uma membrana com 
permeabilidade seletiva.
Em geral uma membrana pode ser permeável, pouco permeável ou
impermeável a algumas partículas.
Um exemplo de osmose é apresentado na figura abaixo, onde uma
membrana semi-permeável não deixa passar as moléculas de açúcar de uma solução
de água com açúcar.
A passagem de moléculas de água através
da membrana altera o nível da solução dentro do 
tubo, produzindo uma pressão adicional
ρg(h2 – h1)
sendo ρ a densidade da solução.
A pressão que devemos aplicar sobre a 
superfície da solução para que a osmose não ocorra
é chamada de pressão osmótica Π.
Na figura ao lado, Π = ρg(h2 – h1)
Em soluções com espécies impermeantes em baixas
concentrações, a pressão osmótica Π é dada pela
equação de J.H. van’t Hoff:
ΠV = nRT ou Π = CmRT
onde n é o número de mols dos solutos
impermeantes presentes na solução, Cm é a 
concentração molar desses solutos, T é a 
temperatura da solução e R = 0,0827 atm.l/mol.K