MF_-_Juros_Compostos_3

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Profa. Fabrícia de Farias 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Cálculo do Capital ou Principal 
Valor atual: como em juros simples, corresponde ao valor da 
aplicação em uma data inferior à do vencimento, não precisa, 
necessariamente ser na data zero (P), mas pode ser, 
simplesmente, antecipado. 
 
 
S = P (1 + i)n ou P = __S__ 
 (1 + i) n 
 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Cálculo do Capital ou Principal 
Exemplo: 
O valor acumulado ao final de dois anos e quatro meses é $ 
5.000,00, a taxa de juros é 42% a.a. capitalizados mensalmente, 
calcular o principal. 
 
S = $ 5.000,00 i = (42%/ano)(1ano/12meses) = 3,5% a.m. n = 28 meses P = ? 
 
Solução: S = P (1 + i)n 
5.000,00 = P (1 + 0,035)28 - > 5.000,00 = P (1,035)28 
P = 5.000,00 (1,035)−28 fator de valor atual = (1,035)−28 
P = 5.000,00 (0,3817) 
P = $ 1.908,27 
Profa. Fabrícia de Farias 
Juros Compostos – Exercícios 
13. Calcular o capital de um determinado investimento sabendo-se que o 
rendimento foi $ 4.970,00; a rentabilidade 2,5% a.m capitalizado 
semestralmente; o prazo 30 meses, e o regime de capitalização composto. 
P = $ 4.913,98 
 
14. Leonardo aplicou o mesmo capital em duas aplicações diferentes, sendo 
que uma delas foi por 5 meses a uma taxa de 18% a.a capitalizados 
mensalmente e a outra por 1 ano e 9 meses a uma taxa de 2% a.m. 
capitalizados trimestralmente. Se Leonardo recebeu pelas duas aplicações $ 
35.407,50, quanto que ele aplicou no total? 
i1 = 18% / 12 = 1,5% a.m. n1 = 5 meses i2= 2% (3) = 6% a.t. 
prazo = 1 ano e 9 meses n2 = 7 trim. P1 + P2 = ? 
Solução: S1 + S2 = $ 35.407,50 S = P (1 +i)
n 
35.407,50 = P1 (1 + i1)
n1 + P2 (1 + i2)
n2 Como P1 =P2 então: 
P1 (1 + 0,015)
5 + P1 (1 + 0,06)
7 = 35.407,50 
P1 = 35.407,50 / 2,5809 = $ 13.719,05 = P2 
Pt = 2P1 = 2P2 = (2) $ 13.719,05 = $ 27.438,10 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Cálculo da Taxa de Juros 
Exemplo: 
Para um capital de $ 10.800,00 o valor acumulado em 3 anos foi 
de $ 14.000,00. Pergunta-se: qual foi a taxa de juros 
compostos? 
P = $ 10.800,00 S = $ 14.000,00 n = 3 anos taxa = ? 
 
Solução: S = P (1 + i)n 
14.000,00 = 10.800,00 (1 + i)3 
14.000,00 / 10.800,00 = (1 + i)3 - > 1,2963 = (1 + i)3 
1,2963(1) (1/3) = (1 + i)(3) (1/3) - > 1,2963(1/3) = 1 + i 
1,0904 = 1 + i - > i = 1,0904 − 1 
i = 0,0904 a.a = 9,04% a.a 
Profa. Fabrícia de Farias 
Juros Compostos – Exercícios 
15. Qual foi a rentabilidade anual de uma aplicação se o prazo foi 30 meses; o 
montante $ 31.645,00; e o rendimento $ 4.270,00? 
S = $ 31.645,00 J = $ 4.270,00 prazo = 30 meses 
i = ? (a.a) => ao ano capitalizado anualmente 
 
Solução: S = P + J 
31.645,00 = P + 4.270,00 P = $ 27.375,00 
Solução 1: S = P (1 + i)n 
Trabalhando com períodos de capitalização anual => n = 30/12 = 2,5 anos 
31.645,00 = 27.375,00 (1 + i)2,5 
31.645,00 / 27.375,00 = (1 + i)2,5 
1,1560 = (1 + i)2,5 
1,1560(1) (1/2,5) = (1 + i)(2,5) (1/2,5) 
1,1560(1/2,5) = 1 + i 
1,0597 = 1 + i 
1,0597 − 1 = i 
i = 0,0597 a.a = 5,97% a.a (capitalizado anualmente) 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Juros Compostos – Exercícios 
S = $ 31.645,00 J = $ 4.270,00 prazo = 30 meses 
i = ? (a.a) => ao ano capitalizado anualmente 
Solução 2: S = P (1 + i)n 
Trabalhando com períodos de capitalização mensal => n = 30 meses 
31.645,00 = 27.375,00 (1 + i)30 
31.645,00 / 27.375,00 = (1 + i)30 
1,1560 = (1 + i)30 
1,1560(1) (1/30) = (1 + i)(30) (1/30) 
1,1560(1/30) = 1 + i 
1,004844 = 1 + i 
1,004844 − 1 = i 
im = 0,004844 a.m = 0,4844% a.m (capitalizado mensalmente) 
Para mudar a capitalização de mensal para a capitalização anual tem que 
usar taxas equivalentes 
P(1 + im)
12= P (1 + ia)
1 (1 + 0,004844)12 = 1 + ia 
(1,004844)12 − 1 = ia 
ia = 0,0597 a.a = 5,97% a.a (capitalizado anualmente) 
Profa. Fabrícia de Farias 
Juros Compostos – Exercícios 
16. Qual é a taxa de juros ao trimestre composto mensalmente de um 
investimento no qual o capital é 30% inferior ao montante e o prazo 6 
semestres? 
Solução 1: Trabalhando com períodos de capitalização mensal -> n=36 meses 
S = 0,7 S (1 + i)36 - > 1 / 0,7 = (1 + i)36 - > 1,4286 = (1 + i)36 - > 
1,4286(1/36) = 1 + i - > i = 0,009957 a.m = 0,9957% a.m capit. mensalmente 
Para o cálculo da taxa nominal correspondente a taxa efetiva - > usar taxas 
proporcionais, por que não estamos mudando o período de capitalização 
taxa = (0,9957%/mês) (3 meses/1trim) = 2,9871% a.t. capit. mensalmente 
Solução 2: Trabalhando com períodos de capitalização semestral => n= 6 sem 
i = 0,061252 a.s = 6,1252% a.s 
Mudar a capitalização semestral para a capitalização mensal: 
P(1 + isem)
1= P (1 + im)
6 - > (1 + 0,061252) = (1 + im)
6 
im = 0,009957 a.m = 0,9957% a.m capitalizado mensalmente 
Para o cálculo da taxa nominal correspondente a taxa efetiva - > usar taxas 
proporcionais: taxa = (0,9957% / mês) (3 meses/1trim) = 2,9871% a.t. capit. 
mensalmente 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Cálculo de Tempo 
Para calcular o tempo, isto é, o número de períodos "n" tem que 
usar logaritmos (decimal ou neperiano). 
 
Lembrando: 
Logaritmo natural (ou neperiano) – Sendo dado x > 0, o lnx é o 
valor de y que resolve a equação ey=x. 
Propriedade aplicada em Matemática Financeira: 
ln(rs)=s.lnr (o logaritmo transforma uma potência no produto do 
expoente pelo logaritmo da base) 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Exemplo: Um investidor aplicou um capital de $ 30.240,00 em 
uma instituição financeira que paga 12% a.a. capitalizados 
semestralmente. Após certo tempo ele recebeu um montante de 
$ 47.000,00. Por quanto tempo ficou aplicado o capital? 
P = $ 30.240,00 S = $ 47.000,00 i = 12% / 2 = 6% a.s. n = ? 
 
Solução: S = P (1 + i)n 
47.000,00 = 30.240,00 (1 + 0,06)n 
47.000,00 / 30.240,00 = (1,06)n - > 1,5542 = (1,06)n 
Aplicando logaritmo neperiano em ambos os lados da equação: 
ln 1,5542 = ln (1,06)n - > ln 1,5542 = (n) ln 1,06 
n = ln 1,5542 / ln 1,06 - > n = 0,4410 / 0,0583 
n = 7,56 sem 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Juros Compostos – Exercícios 
17. Fátima aplicou $ 27.600,00, após certo tempo ela recebeu um montante 
de juros no valor de $ 5.654,80 a uma taxa de 6% a.m. sendo a capitalização 
composta. Por quantos anos ficou o dinheiro aplicado? 
n = 0,266 anos 
 
18. Se uma aplicação o rendimento de um capital de $ 15.490,00 a uma taxa 
de 92,40% a.a. capitalizados mensalmente foi $ 8.400,00, de quanto tempo foi 
a aplicação? 
n = 5,84 meses 
 
19. Um investidor aplicou $ 15.000,00 em um banco que paga 20% a.s de 
taxa de juros. Após certo tempo ele recebeu $ 58.600,00. Por quanto meses 
ficou o dinheiro aplicado? 
Prazo = 44,82 meses 
 
Profa. Fabrícia de Farias 
Dúvidas?