MF_-_Juros_Compostos_4

Prévia do material em texto

1 
Profa. Fabrícia de Farias 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Equações de Equivalência de Valores Datados 
A maioria dos princípios e dos procedimentos são feitos sobre 
uma taxa de juros compostos. 
1. Definição 
A uma dada taxa de juros compostos "i", $ X devidos em uma 
determinada data será equivale a $ Y devidos "n" períodos 
mais tarde, se: 
 Y = X (1 + i )n 
 
 
2 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Valores Datados Equivalentes a um Dado Valor Datado de $ X: 
 
Data
Anterior
Data
Dada
Data 
Posterior
$ X (1 + i)
$ X
$ X (1 + i)
n
-n
"n" períodos "n" períodos
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
2. Propriedades da Equivalência 
• Se $ X for equivalente a $ Y, a uma determinada taxa de juros 
compostos, e se $ Y for equivalente a $ Z, então $ X será 
sempre equivalente a $ Z. (propriedade transitiva). 
• Se 2 grupos de pagamentos são equivalentes em uma data de 
vencimento, então serão equivalentes em qualquer data de 
vencimento. 
Obs.: Estas propriedades são só válidas para regimes de juros compostos. 
No regime de juros compostos a comparação de valores datados não 
depende da data focal considerada. Portanto, a data focal pode ser 
escolhida de modo arbitrário. 
Data Focal: é a data em que se compara os valores referidos a datas 
diferentes. Também é denominada data de avaliação ou data de 
referência. 
3 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
3. Procedimento para a Elaboração da Equação de Equivalência 
de Valores Datados 
Para se elaborar uma equação de equivalência de valores datados, 
recomenda-se realizar as seguintes etapas: 
Etapa 1: Fazer um bom diagrama de tempo, colocando os valores 
datados, do primeiro conjunto de pagamentos (ou recebimentos) de 
um lado da linha de tempo, e os valores datados do segundo conjunto 
de pagamentos (ou recebimentos) do outro lado da linha de tempo. 
Etapa 2: Escolher uma data focal e transferir todos os valores datados 
para a data focal que foi escolhida, utilizando a taxa de juros 
especificada. 
Etapa 3: Escrever a equação de equivalência de valores datados 
nesta data focal. 
Etapa 4: Resolver a equação de equivalência de valores datados, 
usando os métodos algébricos adequados. 
Profa. Fabrícia de Farias 
Exemplo: Uma obrigação de $ 7.000,00 vencível no final de 3 anos. Se 
o dinheiro valer 12% a.a. capitalizados trimestralmente, achar a dívida 
equivalente: a) hoje; b) no final de 4,5 anos. 
a) $ 7.000,00 vencível em 3 anos i = 12% / 4 = 3% a.t n=12 trim. X = ? (hoje) 
Solução 1: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
X = 7.000,00 (1,03)−(12 − 0) = 7.000,00 (1,03)−12 - > X = $ 4.909,66 
 
Solução 2: Data Focal: 12 trim 
 
 
 
 
 
X (1,03)12 = 7.000,00 - > X = 7.000,00 (1,03)−12 -> X = $ 4.909,66 
Data Focal
126 18
trim.
$ 7.000,00
x = ?
0
Data Focal
126 18
trim.
$ 7.000,00
x = ?
0
Data Focal
Matemática Financeira – Juros Compostos 
4 
Profa. Fabrícia de Farias 
Exemplo (cont.) Uma obrigação de $ 7.000,00 vencível no final de 3 
anos. Se o dinheiro valer 12% a.a. capitalizados trimestralmente, achar 
a dívida equivalente: a) hoje; b) no final de 4,5 anos. 
 
b) $7.000,00 vencível em 4,5 anos i=3% a.t. n=18 trim. X=?(4,5 anos=18 trim.) 
Solução: Data Focal: 18 trim. 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor na Data Focal: 18 trim. 
X = 7.000,00 (1,03)(18 − 12) 
X = 7.000,00 (1,03)6 X = $ 8.358,37 
Data Focal
126 18
trim.
$ 7.000,00
x = ?
0
Data Focal
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Profa. Fabrícia de Farias 
Juros Compostos – Exercícios 
20. Uma bicicleta está sendo vendida por $ 280,00 à vista ou a prazo em três 
pagamentos mensais iguais não se exigindo entrada. Qual será o valor de 
cada pagamento se a taxa de juros considerada for de 3% a.m.? 
X = ~ $ 99,00 
 
 
21. Se Bianca deve $ 3.000,00, vencível ao final de 1,5 anos e $ 4.500,00 
vencível ao final de 32 meses, e se o dinheiro valer 6,5% a.m., qual será o 
pagamento único que liquidará com a dívida em: a) 1 ano; b) no início do 
quarto ano; c) 27 meses. 
 
a) X = $ 3.330,00 
b) X = $ 15.135,00 
c) X = $ 8.565,00 
 
5 
Profa. Fabrícia de Farias 
Expressões 
S ou FV 
P ou PV 
n 
0 
FV = PV  (1  i)
n 
 








n
i1
1
FVPV
Para calcular o 
montante: 
Para calcular o 
capital: 
Profa. Fabrícia de Farias 
Dúvidas?