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Profa. Fabrícia de Farias 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Profa. Fabrícia de Farias 
A resolução de problemas de matemática financeira torna-se 
muito mais fácil quando utilizamos o conceito de fluxo de caixa. 
Um fluxo de caixa é uma representação gráfica de uma série de 
entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos). As saídas são 
representadas por uma seta para baixo e as entradas por uma 
seta para cima. 
 
Exemplo: Representar as seguintes entradas e saídas num diagrama de fluxo 
de caixa: Período Saída ($) Entrada ($) 
0 - 1000 0 
1 -500 + 800 
2 + 800 
3 + 1000 
4 + 1500 
5 -200 + 1800 
Fluxo de Caixa - Conceito 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Aprendemos a calcular juros compostos em pagamentos 
simples, isto é uma entrada e uma saída de caixa. 
Mas o que acontece quando temos várias entradas (ou saídas) 
de caixa? 
 
Exemplo: 
1. Digamos que você está pensando comprar um computador e para 
isso pretende fazer um plano de poupança da seguinte maneira: 
Daqui a 1 mês – depósito de $ 1.200,00 
Daqui a 2 meses – depósito de $ 1.400,00 
Daqui a 3 meses – depósito de $ 1.000,00 
Se a taxa de juros é 8% a.m., qual a quantia que você terá daqui a 3 
meses, para efetuar a compra do computador? 
Fluxo de Caixa 
Profa. Fabrícia de Farias 
O Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC)correspondente será: 
 
 
 
 
 
 
 
Vejam que o fluxo de caixa múltiplo é uma simples extensão do 
pagamento simples. 
“Para calcular o valor em alguma data futura de uma série de fluxos de caixa, 
calcule o quanto cada fluxo de caixa valerá naquela data futura, e depois 
some esses valores futuros”. 
Fluxo de Caixa 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Os métodos mais utilizados de avaliação de fluxos de caixa são: 
(a) o método do valor presente líquido (VPL) e (b) o método 
da taxa interna de retorno (TIR). 
 
Cálculo do valor de um fluxo de caixa: 
São definidas algumas regras básicas para o cálculo do valor númerico 
de um fluxo de caixa: 
(i) o fluxo deve ser inicialmente simplificado, 
(ii) o fluxo deve ser calculado em um determinado período de tempo, 
isto é, todas as entradas e saídas devem ser trazidas para uma mesma 
data; 
(iii) as entradas e saídas devem ser calculadas neste período de 
tempo. 
Fluxo de Caixa - Métodos de avaliação 
Profa. Fabrícia de Farias 
(a) o método do valor presente líquido (VPL): 
O método do valor atual calcula o valor do fluxo de caixa líquido na 
data focal igual a zero e sempre à taxa mínima de atratividade (taxa de 
juros) conhecida. Se o valor atual ou presente líquido (VPL) for maior 
ou igual a zero, então, o investimento será atrativo. 
A melhor proposta para quando houver várias alternativas, será 
sempre aquela que apresentar o maior valor presente líquido. 
 
(b) o método da taxa interna de retorno (TIR): 
A taxa interna de retorno é a taxa de desconto que torna nulo o valor 
presente líquido (VPL) do investimento. Se a TIR for maior ou igual que 
a taxa mínima de atratividade o investimento é viável. 
Fluxo de Caixa - Métodos de avaliação 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Exemplo: 
1. Calcular o seguinte fluxo de caixa, (VPL), considerando-se 
uma taxa de juros de 5% a.p.: 
1 3 4 5 2 
1000 
200 800 1400 1600 1400 
Descontando todas as saídas e entradas e trazendo para o momento 0, 
temos: 
 
VPL = -1000 + 200/(1+0,05)1 + 800/(1+0,05)2 + 1600/(1+0,05)3 + 
1400/(1+0,05)4 + 1400/(1+0,05)5 
VPL = -1000 + 190,47 + 725,62 + 1382,14 + 1151,78 + 1096,93 
VPL = $ 3546,94 
Fluxo de Caixa 
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Anuidade - Conceitos e Usos 
Sequência de pagamentos ou recebimentos em datas 
futuras, como contrapartida de recebimento ou 
aplicação a valor presente. 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou 
recebido de uma só vez ou através de uma sucessão 
de pagamentos ou de recebimentos. 
 
Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma 
data futura, tem-se um processo de capitalização. 
Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, 
tem-se um processo de amortização. 
Anuidade - Conceitos e Usos 
Profa. Fabrícia de Farias 
Os valores que constituem a renda são os termos da 
mesma. 
O intervalo de tempo entre dois termos chama-se período. 
A soma dos períodos define a duração da anuidade. 
O valor atual de uma anuidade é a soma dos valores atuais 
dos seus termos, soma esta feita para a mesma data focal e 
à mesma taxa de juros. 
Anuidade - Conceitos e Usos 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Anuidade - Conceitos e Usos 
Anuidade, renda certa ou série é uma sucessão de pagamentos 
ou recebimentos, exigíveis em épocas preestabelecidas, 
destinada a liquidar uma dívida ou formar um capital. 
Classificação: 
Séries Postecipadas - os pagamentos ocorrem no fim de cada 
período e não na origem; 
R 
0 2 1 3 ... n 
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Séries Antecipadas - os pagamentos são feitos no início de 
cada período respectivo; 
Séries Diferidas - o período de carência constitui-se em um 
prazo que separa o início da operação, do período de 
pagamento da primeira parcela. Ocorre se os termos forem 
exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período. 
0 2 1 3 ... n -1 
R 
Anuidade - Conceitos e Usos 
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 Série Diferida Antecipada - o primeiro pagamento ocorre no 
início do primeiro período após o término da carência. 
0 C+1 C C+2 ... C+n 
Carência 
R 
Anuidade - Conceitos e Usos 
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 Série Diferida Postecipada – o primeiro pagamento ocorre no 
final do primeiro período após o período de carência. 
0 C+1 C C+2 ... C+n+1 
Carência 
R 
Anuidade - Conceitos e Usos 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Além dos que foi visto, as anuidades podem ser classificadas de 
acordo com diversos critérios: 
 Quanto à duração ou prazo: 
 - Limitadas ou temporárias 
 - Perpétuas – correspondem ao juro de um empréstimo cujo 
capital não é pago. Exemplo: ações. 
 Quanto ao valor dos termos: 
 - Uniformes (constantes) – Valores nominais iguais 
 - Não uniformes (variáveis) – Valores nominais diferentes 
 Quanto à periodicidade: 
 - Periódica: todos os períodos são iguais 
 - Não periódicas 
Anuidade - Conceitos e Usos 
Profa. Fabrícia de Farias 
Inicialmente, entenderemos que as anuidades aqui 
apresentadas são simultaneamente: 
 
- Imediatas e Postecipadas 
- Temporárias 
- Uniformes 
- Periódicas 
Anuidade Postecipada 
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Profa. Fabrícia de Farias 
S=? 
R 
i i i i i 
0 2 1 3 ... n 
-1a prestação capitaliza juros durante (n - 1) períodos 
 Valor futuro no final do período n.................................................. R (1 + i)n-1 
-2a prestação capitaliza juros durante (n - 2) períodos 
 Valor futuro no final do período n ................................................. R (1 + i)n-2 
- penúltima prestação capitaliza juros durante 1 período 
 Valor futuro no final do período n .................................................. R (1 + i) 
-última prestação não capitaliza juros 
 Valor no final do período n é igual ................................................. R 
Anuidade Postecipada - Calcular “S” (Valor Acumulado) 
Profa. Fabrícia de Farias 
A expressão entre colchetes é conhecida como 
fator de valor futurode séries uniformes. 
Internacionalmente é representada pelo 
símbolo: s n i% (lê-se "ângulo n em i"). 
S = R [(1 + i)n-1 + (1 + i)n-2 +...+ (1+i) + 1] (1) 
S(1 + i) = R [(1 + i)n + (1 + i)n-1 + ... + (1 + i)2 (1 + i)] (2) 
Subtraindo (2) de (1), tem-se: 
S x i= R [(1 + i)n - 1] 
Assim:  





 

i 
1i1
RS
n
i%n sRS 
 





 

i 
1i1
s
n
i%n 
Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “S” 
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Profa. Fabrícia de Farias 
S=? 
R 
i i i i i 
0 2 1 3 ... n 
Na HP-12C, R = PMT e S = FV. Assim, fazer: 
f FIN f 2 
(valor) CHS PMT 
(valor) i 
(valor) n 
FV? 
Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “S” (HP-12C) 
Profa. Fabrícia de Farias 
Exemplo: 
2. Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se 
depositasse todo final de mês $350 em uma aplicação que paga 
juros efetivos de 5% ao mês? 
 
Dados: n= 15 meses, R= $350, i= 5% a.m., S= ? 
 
$7.552,50=21,57856$350
0,05
10,051
$350=S
15





 

5% 15sRS 
Usando a HP-12C, tem-se: n= 15; PMT= -350, i=5 
 Assim, FV = S = $7.552,50 
Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “S” 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Exemplo: 
3. Seu Costa deposita anualmente US$ 3.000,00 na conta 
particular que mantém na Suíça. Qual será o saldo daqui a 5 
anos, sabendo-se que o banco paga juros de 8% ao ano para 
este tipo de conta? 
R = US$ 3.000,00 i = 8% a.a. n = 5 anos VF = ? 
Pela FÓRMULA: 
S = R [{(1+i)n-1}/i] = 3000[{(1+0,08)5-1}/0,08] = 3000[{0,469328}/0.08 = 
3000[5,866] = 17.599,80 
VF = US$ 17.599,80 
Usando a HP-12C, tem-se: n= 5 ; PMT= -3.000, i=8 
 Assim, FV = S = US$ 17.599,80 
Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “S” 
Profa. Fabrícia de Farias 
1. Achar o valor acumulado de uma anuidade de $ 200,00 no 
final de cada mês a 12% a.a. acumulados mensalmente durante 
15 meses. 
S = $ 3.219,38 
 
2. São depositados $ 300,00 em uma poupança durante 4 anos. 
Quanto haverá na poupança no final do quarto ano e no início 
do sétimo ano se a poupança paga 10% a.a. capitalizado 
semestralmente? 
a) Final do 4º ano - > S4 = $ 2.864,73 
 
b) VF = VP (1 + i)n -> S = $2.864,73 (1,05)4 
Início do 7º ano - > S6 = $ 3.482,10 
Anuidade - Exercícios 
 
$2.864,73
0,05
10,051
$300=S
8





 

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Dúvidas? 
fabriciadefarias@gmail.com