MF_-_Sistemas_de_amortizacao_de_emprestimos_e_financiamentos_1

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Profa. Fabrícia de Farias 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
Em termos financeiros, a dívida surge quando uma dada 
importância é emprestada por um certo prazo. 
 
Quem assume uma dívida obriga-se a restituir o principal mais 
os juros devidos, no prazo estipulado. 
 
Os empréstimos classificam-se em: de curto, de médio e de 
longo prazo. 
 
Os empréstimo de curto e médio prazo caracterizam-se, 
normalmente, por serem saldados em até 3 anos. Os problemas 
relacionados com tais tipos de empréstimos são aqueles já 
abordados em anuidades. 
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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
Os empréstimos de longo prazo (mais de 3 anos) sofrem um 
tratamento especial porque exigem várias modalidades de 
restituição do principal e juros. 
 
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos 
são desenvolvidos para operações de longo prazo envolvendo 
desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. 
 
A necessidade de recursos obriga aqueles que querem fazer 
investimentos a tomarem empréstimos e assumirem dívidas que 
são pagas com juros que variam de acordo com contratos 
estabelecidos entre as partes interessadas. 
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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
Uma característica destes sistemas de amortização é a 
utilização do critério de juros compostos, na qual os juros 
incidirão exclusivamente sobre o saldo devedor (o montante) 
apurado em período imediatamente anterior. 
 
Ou seja, os juros serão calculados SEMPRE sobre o saldo 
devedor. 
 
Portanto, o não pagamento de juros num dado período levará a 
um saldo devedor maior, sendo calculado juro sobre juro. 
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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
Pode-se dizer que os sistemas de amortização são processos 
financeiros pelo quais uma dívida ou obrigação é paga 
progressivamente por meio de parcelas de modo que ao término 
do prazo estipulado o débito seja liquidado. 
 
Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes: a 
amortização ou devolução do principal emprestado e os juros 
correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não 
amortizado: 
 
PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS 
 
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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
Essa separação permite discriminar o que representa devolução 
do principal (amortização) do que representa serviço da dívida 
(juros). Ela é importante para as necessidades jurídico-
contábeis e na análise de investimentos, onde os juros, por 
serem dedutíveis para efeitos tributáveis, tem um efeito fiscal. 
 
O termo carência designa o período que vai desde a data de 
concessão do empréstimo até a data em que será paga a 
primeira prestação. Em geral, este período é negociado entre o 
credor e o mutuário. Qualquer sistema de amortização pode ter, 
ou não, prazo de carência. 
 
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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
Definições Importantes: 
 
Mutuante ou Credor: quem concede o empréstimo. 
Mutuário ou Devedor: quem recebe o empréstimo. 
Taxa de Juros: é a taxa de juros contratada entre as partes. 
Dependendo das condições adotadas pode-se referir ao custo efetivo 
do empréstimo ou não. 
IOF: é o imposto sobre operações financeiras. 
Prazo de Utilização: é o intervalo de tempo durante o qual o 
empréstimo é transferido do credor para o devedor. Se o empréstimo 
for transferido em uma só parcela, este prazo é dito unitário. 
Prazo de Carência: corresponde ao período compreendido entre o 
prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Durante o 
prazo de carência, somente são pagos os juros. 
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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
Parcelas de Amortização: correspondem às parcelas de devolução do 
principal - capital emprestado. 
Prazo de Amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas 
as amortizações. 
Prestação: corresponde a soma de amortização acrescida de juros e 
outros encargos, pagos em um dado período. 
Planilha (ou Plano): quadro, padronizado ou não, onde são colocados os 
valores referentes ao empréstimo, ou seja, cronograma dos valores de 
recebimento e de pagamentos. 
Prazo total do Financiamento: é a soma do prazo de carência com 
prazo de amortização. 
Saldo Devedor: corresponde ao estado da dívida, ou seja, do débito, em 
um determinado instante de tempo. 
Período de Amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas 
amortizações. 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
CLASSIFICAÇÃO DAS MODALIDADES DE AMORTIZAÇÃO 
 
Qualquer um dos sistemas de amortização pode ou não ter 
prazo de carência. 
Os juros podem ser pagos ou capitalizados durante o prazo de 
carência, dependendo do acordo de financiamento. 
Os sistemas de amortização são os seguintes: 
 
a) Sistema Americano ─ SA 
b) Sistema de Amortização Constante ─ SAC 
c) Sistema de Amortização Variável ─ SAV 
d) Sistema Francês de Amortização ─ SF 
e) Sistema de Amortização Crescente – SACRE 
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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
CLASSIFICAÇÃO DAS MODALIDADES DE AMORTIZAÇÃO 
 
a) Sistema Americano ─ SA 
Após certo prazo o devedor paga, em uma única parcela, o 
capital emprestado. A modalidade mais comum é aquela em que 
o devedor paga juros durante a carência. 
O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um 
fundo que iguale o desembolso a ser efetuado para amortizar o 
principal. Tal fundo é conhecido por "sinking fund" na literatura 
americana e, na brasileira por "fundo de amortização". 
 
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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
CLASSIFICAÇÃO DAS MODALIDADES DE AMORTIZAÇÃO 
 
b) Sistema de Amortização Constante ─ SAC (Sistema 
Hamburguês) 
As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são 
calculados, a cada período. Neste sistema as prestações são 
continuamente decrescentes. 
 
c) Sistema de Amortização Variável ─ SAV 
O empréstimo é pago em parcelas iguais e periódicas que 
incluem juros antecipados e amortizações imediatas. 
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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
CLASSIFICAÇÃO DAS MODALIDADES DE AMORTIZAÇÃO 
 
d) Sistema Francês de Amortização ─ SF 
As prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que 
uma parte paga os juros e a outra o principal; e a dívida fica 
completamente saldada na última prestação. Este sistema, 
acrescida de certas peculiaridades de cálculo, é também 
conhecido como Sistema Price. 
 
e) Sistema de Amortização Crescente – SACRE 
Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações em 
que cada uma é a média aritmética dos valores encontrados 
para as prestações dos sistemas PRICE e SAC. 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
SISTEMA AMERICANO 
 
Este sistema é pouco difundido no mercado brasileiro, mas muito 
adotado internacionalmente, estipula que o mutuário deve devolver o 
capital emprestado em uma só parcela ao final do período contratado. 
 
De acordo com a característica básica do Sistema Americano não são 
previstas amortizações intermediárias durante o empréstimo. 
 
Os juros geralmente são pagos periodicamente. Paga-se os JUROS 
periodicamente e o valor emprestado é pago no final do prazo 
estipulado. Quando os juros não forem pagos, serão capitalizados 
(acumulados). 
Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
SISTEMA AMERICANO 
 
 
Os juros incidem sobre o saldo devedor do período anterior. 
Jk = (i) (SDk - 1) 
J: Juros do período k 
i: Taxa de Juros 
k: Período k 
SDk -1: Saldo Devedor do período anterior ao período k 
 
Rk = Amk + Jk 
Rk : Prestação do período k 
Amk: Amortização do período k 
 
SDk = (SDk -1)  (Amk) 
SDk : Saldo Devedor do período k 
n: Número de Prestações 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização – Sistema Americano 
Exemplo: 
1. Supondo que são tomados emprestados $ 50.000,00, que devem 
ser amortizados pelo Sistema Americano ao final do 3º ano, e que os 
juros são pagos semestralmente à taxa de 15% a.s, elabore a planilha 
financeira. 
Solução: P = $ 50.000,00 i = 15% a.s. Carência = 3 anos = 6 sem. 
 
Jk = (i) SDk 
Jk=1 = (0,15) (50.000,00) = $ 7.500,00 - > Jk=1 = Jk=2 =  = Jk=6 
Amk=  = Amk=5 = 0 
Rk = Amk + Jk 
Rk=1 = 0 + 7.500,00 = $ 7.500,00 - > Rk=1 = Rk=2 =  = Rk=5 
SDk = SDk - 1  Amk 
SDk=1 = 50.000,00  0 = $ 50.000,00 - > SDk=1 = SDk=2 = … = SDk=5 
Amk = 6 = 50.000,00 
Rk=6 = Amk=6 + Jk=6 = 50.000,00 + 7.500,00 = 57.500,00 
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Sistemas de Amortização – Sistema Americano 
Exemplo: 
1. Plano de Amortização: 
 
Sem. 
(K) 
Amortização 
(Amk) 
Juros 
(Jk) 
Prestação 
(Rk) 
Saldo Devedor 
(SDk) 
0    50.000,00 
1  7.500,00 7.500,00 50.000,00 
2  7.500,00 7.500,00 50.000,00 
3  7.500,00 7.500,00 50.000,00 
4  7.500,00 7.500,00 50.000,00 
5  7.500,00 7.500,00 50.000,00 
6 50.000,00 7.500,00 57.500,00  
Total 50.000,00 45.000,00 95.000,00  
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Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização (Sistema Americano) – Exercícios 
1. Considere um empréstimo de $ 100.000 feito à taxa de 10% a.m. 
pelo prazo de 3 meses. Qual será o desembolso mensal do devedor 
se o empréstimo for feito pelo sistema americano com os juros pagos 
mensalmente. 
 
Solução: 
N Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 - - - 100.000,00 
1 10.000,00 10.000,00 - 100.000,00 
2 10.000,00 10.000,00 - 100.000,00 
3 110.000,00 10.000,00 100.000,00 zero 
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2. Supondo que são tomados emprestados $ 50.000,00, que devem ser 
amortizados pelo Sistema Americano ao final do 3º ano, a uma taxa de juros 
de 15% a.s. Neste caso, se admite a capitalização dos juros durante a 
carência. Elabore a planilha financeira. 
Solução: P = $ 50.000,00 i = 15% a.s. Carência = 3 anos = 6 sem. 
Rk=6 = SDk=6 = 50.000,00 (1,15)
6 = $ 115.653,04 
Jk=6 = Rk=6  Amk=6 = 115.653,04 − 50.000,00 = $ 65.653,04 
K Amort. (Amk) Juros ( Jk): (15%) Prestação (Rk) Saldo Dev. (SDk) 
Sem. ($) ($) ($) ($) 
0    50.000,00 
1    57.500,00 
2    66.125,00 
3    76.043,75 
4    87.450,31 
5    100.567,86 
6 50.000,00 65.653,04 115.653,04  
Total 50.000,00 65.653,04 115.653,04  
Sistemas de Amortização – Exercícios 
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Profa. Fabrícia de Farias 
2. Solução 2: P = $ 50.000,00 i = 15% a.s. Carência = 3 anos = 6 sem. 
Rk=6 = SDk=6 = 50.000,00 (1,15)
6 = $ 115.653,04 
Jk=6 = Rk=6  Amk=6 = 115.653,04 − 50.000,00 = $ 65.653,04 
K Amort. (Amk) Juros ( Jk): (15%) Prestação (Rk) Saldo Dev. (SDk) 
Sem. ($) ($) ($) ($) 
0    50.000,00 
1  7.500  57.500,00 
2  8.625  66.125,00 
3  9.918,75  76.043,75 
4  11.406,56  87.450,31 
5  13.117,55  100.567,86 
6 50.000,00 15.085,18 + 50.567,86 = 65.653,04 115.653,04  
Total 50.000,00 65.653,04 115.653,04  
Sistemas de Amortização – Exercícios 
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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 
(SISTEMA HAMBURGUÊS) 
Por este sistema o credor exige devolução do principal em "n" 
parcelas iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor, cujo 
montante decresce após o pagamento de cada amortização. 
Características: 
 O principal é reembolsado em quotas de amortização iguais; 
 As prestações são decrescentes, pois os juros diminuem a cada 
prestação; 
 A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo 
número de períodos de pagamento; 
Esse tipo de sistema às vezes é usado pelo Sistema Financeiro da 
Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos 
imobiliários e, também, em certos casos, em empréstimos às 
empresas privadas por meio de entidades governamentais. 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 
 
Amk = A / n 
Amk: Amortização do período k 
A: Valor Emprestado 
n: Número de Prestações 
k: Período k 
SAC  Amk = Amk = 1 = Amk = 2 =  = Amk = n 
 
Os juros incidem sobre o saldo devedor do período anterior. 
Jk = (i) (SDk - 1) 
J: Juros do período k 
i: Taxa de Juros 
SDk -1: Saldo Devedor do período anterior ao período k 
Rk = Amk + Jk 
Rk : Prestação do período k 
SDk = (SDk -1)  (Amk) 
SDk : Saldo Devedor do período k 
Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização - SAC 
Exemplo: 
2. Uma indústria pegou emprestado $ 200.000,00; que foi entregue no 
ato. Sabendo-se que o empréstimo deve ser pago dentro do prazo de 
dois anos em prestações semestrais pelo Sistema de Amortização 
Constante, sem carência, e que nesta operação a taxa de juros 
cobrada foi de 10% a.s., construir a planilha financeira para esta 
operação. 
Solução: 
Amk = A / n 
Amk = $ 200.000,00 Amk = $ 50.000,00 /sem 
 4 
 
Os juros incidem sobre o saldo devedor do período anterior. 
Jk = (i) (SDk - 1) 
Jk = 1 = (i) (SDk = 0) = (0,10) (200.000,00) = $ 20.000,00 
Jk = 2 = (i) (SDk = 1) = (0,10) (150.000,00) = $ 15.000,00 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização - SAC 
Exemplo: 2. Continuação... 
A prestação será: Rk = Amk + Jk 
Rk = 1 = Amk = 1 + Jk = 1 = $ 20.000,00 + $ 50.000,00 = $ 70.000,00 
Rk = 2 = Amk = 2 + Jk = 2 = $ 15.000,00 + $ 50.000,00 = $ 65.000,00 
Saldo Devedor do período k: SDk = (SDk -1)  (Amk) 
SDk = 1 = (SDk = 0)  (Amk = 1) = 200.000,00  50.000,00 = $ 150.000,00 
SDk = 2 = (SDk = 1)  (Amk = 2) = 150.000,00  50.000,00 = $ 100.000,00 
 
Planilha de Amortização: 
K Amort. (Amk) Juros ( Jk) ($) Prestação (Rk) Saldo Dev. (SDk) 
Sem ($) ($) ($) ($) 
0    200.000,00 
1 50.000,00 20.000,00 70.000,00 150.000,00 
2 50.000,00 15.000,00 65.000,00 100.000,00 
3 50.000,00 10.000,00 60.000,00 50.000,00 
4 50.000,00 5.000,00 55.000,00 0,00 
Total 200.000,00 50.000,00 
Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização - SAC 
Exemplo: 
3. São emprestados$ 360.000,00 pelo sistema hamburguês de 
amortização para ser devolvido em seis parcelas mensais. Se a taxa 
de juros for 5% a.m, qual será o juros no quarto mês? 
 
SOLUÇÃO: 
Am = (360.000,00) (1/6) = $ 60.000,00/mês 
JK = 4 = (i) (SDk = 3) 
(SDK = 3 ) = (SDK = 0) − (3) (Am) 
SDK = 3 = 360.000,00 − (3) (60.000,00) = $ 180.000,00 
JK = 4 = (0,05) (180.000,00) 
JK = 4 = $ 9.000,00 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização (SAC) – Exercícios 
3. Elaborar a planilha de amortização para o seguinte financiamento: 
- Valor do financiamento: $200.000,00; 
- Reembolso em 4 meses pelo Sistema SAC; 
-Taxa de juros efetiva: 10% a.m. 
 
Solução: 
Cálculo das amortizações: 
 
 
$50.000,00
4
$200.000
Am 
Mês Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 200.000,00 - - - 
1 150.000,00 50.000,00 20.000,00 70.000,00 
2 100.000,00 50.000,00 15.000,00 65.000,00 
3 50.000,00 50.000,00 10.000,00 60.000,00 
4 - 50.000,00 5.000,00 55.000,00 
 
Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização (SAC) – Exercícios 
4. Um empréstimo de $200.000,00 será pago pelo Sistema SAC de 
Amortização em 3 parcelas mensais postecipadas, com um período 
de carência de 3 meses. As amortizações serão calculadas sobre o 
valor inicial emprestado mais os juros capitalizados durante a 
carência. Considerando uma taxa de juros contratados de 10% a.m.. 
Construir a Planilha de Amortização. 
 
Solução: 
Devemos capitalizar o saldo devedor do empréstimo até o início do 3º mês, 
período da carência entendido no exercício. Mas este momento é também o 
final do 2º período. Assim: 
SD3 = 200.000 x (1 + 0,10)
2 = 242.000,00. 
Lembrem-se que quando as prestações forem postecipadas, a carência na 
verdade são apenas 2 períodos, o período restante é a carência implícita 
numa série postecipada. 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização (SAC) – Exercícios 
4. Solução (continuação) 
 
67,666.80
3
000.242
A
Mês Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 200.000,00 - - - 
1 220.000,00 - 20.000,00 - 
2 242.000,00 - 22.000,00 - 
3 161.333,33 80.666,67 24.200,00 104.866,67 
4 80.666,67 80.666,67 16.133,33 96.800,00 
5 - 80.666,67 8.066,67 88.733,33 
Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização (SAC) – Exercícios 
5. Um empréstimo no valor de $ 2.000.000,00 é concedido à taxa de 
juros compostos de 10% a.a., para ser reembolsado em cinco anos 
através de prestações anuais, a primeira vencível ao final do primeiro 
ano, pelo Sistema SAC. A respeito, pede-se para indicar o valor da 
amortização concedida na prestação paga ao final do terceiro ano. 
 
Solução: 
SAC  Amk = Amk = 1 = Amk = 2 =  = Amk = n 
Amk = $ 2.000.000,00 
 5 
Amk = $ 400.000,00 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização (SAC) – Exercícios 
6. Uma empresa pede emprestado $100.000, que o banco entrega no 
ato. Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência, que os 
juros são pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% ao ano e 
que o principal será amortizado em 4 parcelas anuais, construir a 
planilha. 
 Mês Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000 - - - 
1 100.000 - 10.000 10.000 
2 100.000 - 10.000 10.000 
3 75.000 25.000 10.000 35.000 
4 50.000 25.000 7.500 32.500 
5 25.000 25.000 5.000 30.000 
6 - 25.000 2.500 27.500 
total - 100.000 8.066,67 145.000 
Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização – Exercícios 
7. Um banco emprestou $ 190.00,00 pelo SAC para ser devolvido em 
parcelas trimestrais durante cinco anos. Se a taxa de juros cobrada no 
financiamento for 54% a.a., qual será o valor da prestação no início do 
quarto ano? 
 
Solução: Início 4o ano = Final 3o ano → (3) (4) = 12 trim. 
it = (1,54)
1/4 − 1 - > it = 11,40% a.t. 
Amk=12 = (Am) = (190.000,00) (1/20) = $ 9.500,00/trim. 
 Rk=12 = Amk=12 + Jk=12 Jk=12 = (i) (SDk=11) 
SDk=11 = (SDk=0) − (11) (Am) = (190.000,00) − (11) (9.500,00) = $ 85.500,00 
Jk=12 = (0,1140) (85.500,00) = $ 9.747,00 
Rk=12 = 9.500,00 + 9.747,00 = $ 19.247,00 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Sistemas de Amortização – Exercícios 
8. Uma empresa comercial pegou emprestado $ 180.000,00; que foi entregue 
no ato. Sabendo-se que o empréstimo deve ser pago dentro do prazo de três 
anos em prestações semestrais pelo Sistema de Amortização Constante 
(SAC), sem carência, e que nesta operação a uma taxa de juros cobrada foi 
de 30% a.a., construir a planilha financeira para esta operação. 
Solução: 
Amk = A / n Amk = $ 180.000,00 / 6 Amk = $ 30.000,00 /sem 
is = (1,30)
1/2 − 1 - > is = 14,02% a.s. 
Mês Saldo Devedor Amortização Juros Parcela 
0 180.000,00 
1 150.000,00 30.000,00 25.236,00 55.236,00 
2 120.000,00 30.000,00 21.030,00 51.030,00 
3 90.000,00 30.000,00 16.824,00 46.824,00 
4 60.000,00 30.000,00 12.618,00 42.618,00 
5 30.000,00 30.000,00 8.412,00 38.412,00 
6 0,00 30.000,00 4.206,00 34.206,00 
Total 180.000,00 88.326,00 268.326,00 
Profa. Fabrícia de Farias 
Dúvidas? 
fabriciadefarias@gmail.com 
deverson_@hotmail.com
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