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ESTATÍSTICA – Análise Confirmatória dos dados – profs. Selmo Pires e Aldo Shimoya
 ANÁLISE CONFIRMATÓRIA DOS DADOS
 1- INTRODUÇÃO
O termo probabilidade é usado de modo muito amplo na conversação diária para sugerir certo grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrerá no futuro ou o que está ocorrendo no presente.
A idéia de probabilidade desempenha papel importante em muitas situações que envolvem uma tomada de decisão. 
Os modelos probabilísticos podem ser úteis em diversas áreas do conhecimento humano, tais como: Licenciaturas, Arquitetura, Engenharias, Administração de empresas, Informática, Economia, Psicologia, Biologia e outros ramos da ciência. 
Para a avaliação da probabilidade de ocorrência de um determinado evento, poderá basear-se em duas escolas de pensamento:
I. A escola objetiva ou clássica: considera que as regras do cálculo das probabilidades devem ser aplicadas somente a eventos que podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições. Exemplo: receber duas figuras em um jogo de cartas; ou ganhar numa loteria em que 15 000 pessoas possuam bilhetes.
Esses ”experimentos” podem ser repetidos sob as mesmas condições e diferentes pessoas “provavelmente” obteriam os mesmos resultados. 
II. A escola subjetiva ou personalista: considera que a probabilidade de certo evento é medida pelo grau de crença que cada pessoa atribui a ocorrência desse evento. Evidentemente, neste caso, teremos diferentes “probabilidades” para um mesmo evento. 
2. CONCEITOS BÁSICOS
Fenômeno: É qualquer acontecimento natural.
Fenômeno determinístico: É um fenômeno que fornece um único resultado sob as mesmas condições.
Fenômeno probabilístico, aleatório ou estocástico: É um fenômeno que fornece mais de um resultado sob as mesmas condições.
Experimento Aleatório: é aquele que poderá ser repetido sob as mesmas condições indefinidamente. 
Tal experimento apresenta variações de resultados, não sendo possível afirmar, a priori, qual será sua determinação antes que o mesmo tenha sido realizado. É possível, porém, descrever todos possíveis resultados: as possibilidades.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (para variáveis contínuas)
Quando estudamos as medidas de dispersão em Estatística Descritiva, vimos que uma população com desvio padrão igual a 6u apresenta o dobro da dispersão de uma outra com desvio padrão igual a 3u. Algo assim como dizer que Maria tem o dobro do peso de seu namorado, sem, todavia conhecer o peso de cada um. O estudo da distribuição normal permite-nos uma melhor interpretação sobre o desvio padrão.
A CURVA NORMAL
O nosso senso comum permite que façamos distinção entre as probabilidades associadas a diferentes eventos, baseados no fato de que alguns deles ocorrem com maior freqüência que outros. Uma pessoa muito alta, acima de 2,10 m, andando na rua, desperta a nossa curiosidade, evidentemente porque não é tão comum assim alguém com tanta altura. Entretanto, as pessoas adultas, na faixa de 1,60 m a 1,80 m, podem ultrapassar-nos às milhares pela rua, sem que nos fixemos em alguma delas pela sua estatura.
A variável estatura, assim como a idade ou o diâmetro dos parafusos produzidos, é exemplo de distribuição normal, onde cada evento possui freqüência diferente dentro do universo. 
A curva normal, em formato de sino, também é chamada curva de Gauss, é de extrema utilidade na análise estatística, devido a uma série de propriedades, algumas das quais estudaremos a seguir.
 
obs: ( é a representação da média populacional e σ (x) desvio padrão populacional
1a propriedade: A curva é simétrica, ou seja, pode ser dividida em duas partes iguais por uma projeção ortogonal a partir deu ponto de máximo.
2a propriedade: O cruzamento do eixo de simetria com o eixo x coincide com a média ( 
 ), da distribuição.
Como conseqüência da 1a e da 2a propriedades, a moda e a mediana também coincidem com o eixo de simetria.
LISTA de exercícios:
1ª) Suponha que a renda média de uma grande comunidade possa ser razoavelmente aproximada por uma distribuição normal, com média de R$ 150,00 e desvio padrão R$ 30,00. a) Que percentagem da população terá renda superior a R$186,00?; b) Numa amostra de 90 assalariados, quantos podemos esperar que tenha menos de R$105,00 de renda?
2ª) Utilizando os dados da questão anterior, determine: a) o salário abaixo do qual estarão os 40% assalariados desta comunidade? (O salário máximo dos 40% assalariados desta comunidade?); b) o salário abaixo do qual estarão os 80% assalariados desta comunidade? (o salário máximo dos 80% assalariados desta comunidade?); c) o salário acima do qual estarão os 35% assalariados desta comunidade? (o salário mínimo dos 35% assalariados desta comunidade?); d) o salário acima do qual estarão os 60% assalariados desta comunidade? (o salário mínimo dos 60% assalariados desta comunidade?).
3ª) A média de vida dos habitantes de uma cidade “C”, no último semestre, é de 55 anos, com dispersão padrão próxima de 4,43 anos. Determine a probabilidade dos habitantes desta cidade: a) passar dos 70 anos; b) não chegar aos 60 anos; c) viverem entre 40 e 50 anos; d) viverem entre 40 e 60 anos; e) viverem entre 60 e 70 anos; f) não chegar aos 40 anos; g) passar dos 90 anos; 
h) a idade máxima dos próximos 20% óbitos desta comunidade (20% dos próximos óbitos desta comunidade estarão abaixo de quantos anos de idade)?; i) máxima dos próximos 65% óbitos desta comunidade; j) mínima dos próximos 85% óbitos desta comunidade; l) mínima dos próximos 40% óbitos desta comunidade. 
4ª) As lâmpadas fabricadas por uma indústria têm vida média de 2060 horas de desvio padrão de 150 horas. Calcular: a) a probabilidade de uma lâmpada se queimar com mais de 1900 horas; b) a probabilidade de uma lâmpada se queimar com menos de 1900 horas; c) a probabilidade de uma lâmpada se queimar com mais de 2400 horas; d) a probabilidade de uma lâmpada se queimar com menos de 1300 horas; e) O tempo abaixo do qual estarão as 28% lâmpadas quanto a vida útil?; f) O tempo abaixo do qual estarão as 65% lâmpadas quanto a vida útil?; g) O tempo acima do qual estarão as 38% lâmpadas quanto a vida útil?; h) O tempo acima do qual estarão as 75% lâmpadas quanto à vida útil?
5ª) Suponha que a temperatura T numa determinada localidade durante o mês junho seja normalmente distribuída com média de 68ºF e variância 36ºF2. Determine: a) a probabilidade de esta localidade registrar temperaturas entre 70º F e 80ºF; b) com que freqüência esta localidade registra temperaturas abaixo de 64ºF; c) dos trezentos registros de temperaturas que são feitos por mês, quantos registros que se esperam no próximo mês de junho acima de 60ºF; d) dos cento e sessenta registros de temperaturas que são feitos na última quinzena de cada mês, quantos registros que se esperam na última quinzena do próximo mês de junho entre 64ºF e 71ºF; e) a temperatura máxima das 65% temperaturas que irão ser registradas; f) a temperatura máxima das 22% temperaturas que irão ser registradas; g) a temperatura mínima das 15% temperaturas que irão ser registradas; h) a temperatura mínima das 90% temperaturas que irão ser registradas.
6ª) Num torneio de tênis, a média dos jogadores classe A é de 72 pontos , e o desvio padrão 15 pontos. Determine: a) qual a probabilidade de jogadores dessa classe que faça mais de 100 pontos; b) qual a probabilidade de jogadores dessa classe que faça menos de 80 pontos; c) qual a probabilidade de jogadores dessa classe que faça mais de 60 pontos; d) qual a probabilidade de jogadores dessa classe que faça menos de 65 pontos.
7ª) Num povoado onde a média das alturas dos habitantes (adulto), é de 162,8cm e a variância destas alturas fica próxima de 81,0cm2. Pergunta-se, qual a probabilidade de sortear-se, ao acaso, um habitante desta população e ele ter altura: a) entre 162,8 e 171,8 cm?; b) menor que 162,8 cm?; c) maior que 171,8 cm?; d) entre 154e 162,8 cm?
8ª) Os graus de um questionário são: 0,1,2,3, ..., 10 pontos (nos inteiros) dependendo do nº de questões respondidas corretamente, em um total de 10 questões, pelos alunos quando iniciam a disciplina “M”, do curso “W”. A média dos graus dos alunos que tem participado deste teste, é 6,7 pontos e o desvio padrão 1,2 pontos. Admitindo-se que os graus são distribuídos normalmente, determinar: a) A percentagem dos alunos que, ao responder este questionário, obtenha mais de 6 pontos; b1) A percentagem dos alunos que, ao responder este questionário, obtenha 6 pontos;Obs.: 6 pontos está entre 5,5 e 6,5 pontos; b2) O grau máximo de 10% dos alunos que responderão este questionário; c) O grau mínimo de 10% dos alunos que responderão este questionário; d) O grau máximo de 40% dos alunos que responderão este questionário; e) O grau mínimo de 70% dos alunos que responderão este questionário.
9ª)Em um teste de raciocínio numérico, um grupo de universitários da Instituição “I”, da cidade de Campos dos Goytacazes em abril de 2008, obteve-se escores que após a tabulação os dados ficaram organizados da forma apresentada abaixo:Determine: a) a probabilidade de encontrarmos universitários nesta Instituição “I”, fazendo mais de 60 pontos neste teste de raciocínio numérico; b) as chances de encontrarmos universitários nesta Instituição “I”, fazendo de 50 a 70 pontos neste teste de raciocínio numérico; c) com que freqüência, os universitários nesta Instituição “I”, fazem menos de 48 pontos neste teste de raciocínio numérico;d) estabeleça o intervalo de confiança.
 Título: Monitoramento das pontuações num teste de raciocínio numérico realizado com um grupo de
 universitários da Instituição “I”, da cidade de Campos dos Goytacazes em julho de 2008.
	i
	escores
	Fi
	fi
	FiAC
	xi
	xixFi
	xi – 
 
	(xi –
)2
	(xi –
)2. Fi
	1
	20 ⊢ 30
	3
	0,08
	3
	25
	75
	-23
	529
	1587
	2
	30 ⊢ 40
	7
	0,18
	10
	35
	245
	-13
	169
	1183
	3
	40 ⊢ 50
	12
	0,30
	22
	45
	540
	-3
	9
	108
	4
	50 ⊢ 60
	13
	0,32
	35
	55
	715
	7
	49
	637
	5
	60 ⊢ 70
	4
	0,10
	39
	65
	260
	17
	289
	1156
	6
	70 ⊢ 80
	1
	0,02
	40
	75
	75
	27
	729
	729
	(
	—
	40
	1,00
	—
	 —
	1910
	—
	—
	5400
 Fonte: Dados hipotéticos 
10ª) Dos duzentos últimos recém nascidos vivos da cidade “C”, do Estado do Rio de Janeiro, vinte nasceram com menos de 2,20kg, e outros vinte nasceram com mais de 3,00kg. Considerando as massas destes recém nascidos distribuídos normalmente, determine: a) a probabilidade de crianças nascerem nesta localidade com menos de 2,60kg; b) as chances de crianças nascerem nesta localidade com massa entre 2,40kg e 3,00kg;c)com que freqüência crianças nasce nesta localidade com massa entre 2,80kg e 3,50kg; d) a cada oitocentas crianças que nascem nesta localidade quantas nascem com massa inferior a 2,80kg?;e) estabeleça o intervalo de confiança em 95%. 
11ª) Dos cento e vinte últimos óbitos da cidade “C”, do Estado “Y”, doze morreram com antes de completarem 60 anos, e outros doze morreram depois que completarem 76 anos. Considerando o tempo de vida nesta localidade distribuído normalmente, determine: a) a probabilidade de habitantes desta localidade viverem mais de 50 anos; b) as chances de habitantes, desta localidade, viverem entre 55 anos e 60 anos; c) com que freqüência habitante, desta localidade, vive entre 45 anos e 65 anos; d) a cada quinhentos habitantes desta localidade, quantos se esperam que vivam mais de 100 anos; e) estabeleça o intervalo de confiança com dois pontos percentuais de possibilidade de erro. 
12ª) Dos cinqüenta adolescentes, da Instituição “I” na cidade de Campos dos Goytacazes em abril de 2003, que participaram do teste de raciocínio numérico, cinco deles obtiveram menos de trinta e três pontos e outros cinco mais de sessenta e três pontos. Considerando as pontuações deste teste distribuídas normalmente, através destes dados, determine: a) a probabilidade de encontrarmos adolescentes nesta Instituição “I”, fazendo mais de 60 pontos neste teste de raciocínio numérico; b) as chances de encontrarmos adolescentes nesta Instituição “I”, fazendo de 50 a 70 pontos neste teste de raciocínio numérico; c) com que freqüência adolescente nesta Instituição “I”, faz menos de 48 pontos neste teste de raciocínio numérico; d) estabeleça o intervalo de confiança; e) estabeleça o intervalo de confiança em 90%.
13ª) Um determinado tipo de adubo é testado pelo técnico “T”, numa plantação de abacaxis do canteiro “A”, no laboratório de teste do “CBB” da Universidade “U” na cidade de Campos dos Goytacazes, no mês de abril do ano de 2004. Através de uma sensível escala, foi registrado o comprimento das frutas num período de “N” dias, o resultado de uma amostra aleatória, está apresentado no quadro abaixo:
	5,8 cm
	6,2 cm
	6,5 cm
	6,7 cm
	7,4 cm
	7,8 cm
	8,0 cm
	8,2 cm
	8,3 cm
	8,5 cm
	9,4cm
	9,7cm
	9,8cm
	9,9cm
	10,2cm
	10,3cm
	10,5cm
	10,5cm
	10,8cm
	11,0cm
	11,7cm
	11,8cm
	11,9cm
	12,2cm
	12,4cm
	12,5cm
	12,6cm 
	12,8cm
	12,9cm
	13,2cm
	13,5cm
	13,8cm
	14,0cm
	14,5cm
	14,8cm
	15,6cm
	15,7cm
	16,0cm
	17,2cm
	17,7cm
Para que se possam fazer confirmações, este técnico, que poderia ser você, utilizou as ferramentas disponibilizadas pela Estatística, recursos estes trabalhados nas aulas desta disciplina.
Determine: a) em trezentas unidades, nas mesmas condições.da amostra anteriormente determinada por você, quantos podemos esperar que estejam a três cm da média; b) qual será o tamanho mínimo de 85% dos abacaxis (nas mesmas condições da amostra).
14ª) Um determinado tipo de adubo é testado pelo técnico “T”, numa plantação de abacaxis do canteiro “A”, no laboratório de teste do “CBB” da Universidade “U” na cidade de Campos dos Goytacazes, no mês de abril do ano de 2004. Através de uma sensível escala, foi registrado o comprimento das frutas num período de “N” dias, o resultado de uma amostra aleatória, está apresentado no quadro abaixo:
	6,0 cm
	6,2 cm
	6,3 cm
	6,4 cm
	6,5 cm
	6,6 cm
	6,7 cm
	6,7 cm
	6,8 cm
	6,8 cm
	6,9 cm
	6,9 cm
	7,0 cm
	7,0 cm
	7,0 cm
	7,1 cm
	7,1 cm
	7,2 cm
	7,3 cm
	7,3 cm
	7,3 cm
	7,3 cm
	7,4 cm
	7,4 cm
	7,5 cm
	7,5 cm
	7,6 cm
	7,6 cm
	7,7 cm
	7,7 cm
	7,7 cm
	7,8 cm
	7,9 cm
	7,9 cm
	8,0 cm
	8,0 cm
	8,1 cm
	8,2 cm
	8,3 cm
	8,4 cm
	8,4 cm
	8,4 cm
	8,5 cm
	8,5 cm
	8,5 cm
	8,6 cm
	8,7 cm
	8,8 cm
	9,0 cm
	9,5 cm
Para que se possam fazer confirmações, este técnico, que poderia ser você, utilizaram as ferramentas disponibilizadas pela Estatística, recursos estes trabalhados nas aulas desta disciplina. Determine: a) a probabilidade de termos abacaxis, a dois cm da média nas mesmas condições da amostra; (anteriormente determinada por você); b) qual será o tamanho mínimo de 65% dos abacaxis, nas mesmas condições da amostra.
15ª) Com o objetivo de estimar a tensão limite de ruptura do concreto usado numa marquise, um engenheiro efetuou ensaios usando método de Penetração de Pinos. 
 Os resultados para a resistência à compreensão do concreto foram (dados em kgf ): 
 135; 138; 140; 143; 145; 160; 170; 175 e 180 . 
Estimar a tensão limite da ruptura como sendo o limite inferior do intervalo de confiança para a média populacional (use 95% de confiança).
16ª) Através de registros, a empresa “Y” da cidade de Campos dos Goytacazes em Maio de 2011, conseguiu identificar que a vida útil de sessenta unidades do semicondutor a laser a potência constante, tipo “HP10”. 
	5000h
	5500h
	5800h
	5950h
	6000h
	6100h
	6200h
	6250h
	6250h
	6350h
	6350h
	6400h
	6400h
	6500h
	6500h
	6500h
	6550h
	6550h
	6550h
	6600h
	6600h
	6650h
	6650h
	6700h
	6700h
	6850h
	6900h
	7000h
	7100h
	7100h
	7150h
	7150h
	7200h
	7200h
	7200h
	7250h
	7250h
	7300h
	7300h
	7300h
	7400h
	7500h
	7700h
	7800h
	7850h7850h
	7850h
	7900h
	7900h
	7900h
	8200h
	8400h
	8500h
	8600h
	8750h
	8800h
	9100h
	9250h
	9500h
	9900h
	Para que se possa fazer confirmações, este técnico, que poderia ser você, utilizou as ferramentas disponibilizadas pela Estatística, recursos estes trabalhados nas aulas desta disciplina. Determine: a) o tempo mínimo de vida (a vida útil mínima) de 80% dos semicondutores a laser a potência constante, tipo “HP10”, nas mesmas condições da amostra; b) em duzentos novos semicondutores a laser a potência constante do tipo “HP10” (nas mesmas condições da amostra), quantos se pode esperar que estejam a 200h da média? 
17ª) Com o objetivo de estimar a tensão limite de ruptura do concreto usado numa determinada operação, o engenheiro “H” da Empresa “W”, na cidade “C” do Estado “E”, em maio de 2011, efetuou ensaios usando método de Penetração de Pinos. Os resultados para a resistência à compreensão do concreto foram (em kgf) apresentados na tabela abaixo:
	135
	141
	145
	149
	152
	156
	158
	163
	136
	142
	146
	149
	153
	156
	159
	164
	137
	142
	147
	150
	154
	157
	160
	165
	138
	143
	148
	150
	154
	157
	161
	168
	139
	144
	148
	151
	155
	157
	162
	170
	140
	145
	148
	151
	155
	158
	162
	177
Determinar o intervalo de 95% de confiança para a média populacional. Qual o significado do limite superior do intervalo?
18ª) Numa pequena unidade hospitalar “W”, na cidade de Campos dos Goytacazes, existe um berçário. Nele há uma sala de emergência, que atende às crianças necessitadas de cuidados especiais no pós-nascimento (geralmente com massa corpórea inferior a 2,50 kg). Nesta localidade, no primeiro bimestre de 2012, trinta gestantes estão sendo assistidas pelo médico “J”, que precisa saber quantas destas crianças que estão para nascer podem necessitar de cuidados especiais. 
O Doutor “J”, conhecedor das ferramentas da Estatística, para tomar decisões mais confiáveis, tratou de verificar as massas dos últimos recém-nascidos desta comunidade em 2011 e, para seu espanto, constatou que havia sessenta registros. Estes dados estão apresentados abaixo:
	1,86kg
	2,10kg
	2,20kg
	2,25kg
	2,25kg
	2,30kg
	2,35kg
	2,35kg
	2,35kg
	2,40kg
	2,40kg
	2,45kg
	2,45kg
	2,50kg
	2,50kg
	2,55kg
	2,55kg
	2,55kg
	2,55kg
	2,60kg
	2,60kg
	2,65kg
	2,65kg
	2,65kg
	2,70kg
	2,70kg
	2,75kg
	2,75kg
	2,85kg
	2,85kg
	2,85kg
	2,90kg
	2,90kg
	2,95kg
	2,95kg
	3,00kg
	3,00kg
	3,00kg
	3,10kg
	3,10kg
	3,10kg
	3,15kg
	3,15kg
	3,15kg
	3,20kg
	3,20kg
	3,25kg
	3,25kg
	3,25kg
	3,25kg
	3,25kg
	3,25kg
	3,30kg
	3,30kg
	3,40kg
	3,40kg
	3,45kg
	3,50kg
	3,65kg
	3,75kg
 Estes valores devem ser explorados convenientemente por você, para que se possam fazer confirmações sobre a população no futuro (estimativa). 
a) Determine as chances, de crianças nascerem nesta unidade hospitalar “W”, na cidade de Campos dos Goytacazes, com massa corpórea abaixo de 3,00 kg.
b) Das Trinta gestantes que estão sendo assistidas pelo médico “J” (supondo que nenhuma delas estejam esperando gêmeos e que todas terão sucesso no parto), quantas destas gestantes terão crianças que não precisarão de cuidados especiais? c) Determine a massa corpórea mínima de 60% dos próximos recém-nascidos desta comunidade.
RESUMO: 
“Normal”: x (
 ( CURVA ( A Tabela só fornece a área da origem até o score (desvio reduzido)
 1º Passo: Tirar a dimensão do valor através do ESCORE;
 P(E) ou % 2º Passo: Colocar o valor na CURVA através do ESCORE e hachurar a área exigida;
 3º Passo: Determinar a área hachurada com o auxílio da TABELA.
“INVERSÃO”: ( o sinal do z na CURVA e o módulo do z na Tabela ( 
 1º Passo: Determinar o SINAL do ESCORE com o auxílio da CURVA;
 2º Passo: Determinar o MÓDULO (o tamanho) do ESCORE com o auxílio da TABELA.
�
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
	( z
	0,00
	0,01
	0,02
	0,03
	0,04
	0,05
	0,06
	0,07
	0,08
	0,09
	0,0
	0,0000
	0,0040
	0,0080
	0,0130
	0,0160
	0,0199
	0,0239
	0,0279
	0,0319
	0,0359
	0,1
	0,0398
	0,0438
	0,0478
	0,0517
	0,0557
	0,0596
	0,0636
	0,0675
	0,0714
	0,0754
	0,2
	0,0793
	0,0832
	0,0871
	0,0910
	0,0948
	0,0987
	0,1026
	0,1064
	0,1103
	0,1141
	0,3
	0,1179
	0,1217
	0,1255
	0,1293
	0,1331
	0,1368
	0,1406
	0,1443
	0,1480
	0,1517
	0,4
	0,1554
	0,1591
	0,1628
	0,1664
	0,1700
	0,1736
	0,1772
	0,1808
	0,1844
	0,1879
	0,5
	0,1915
	0,1950
	0,1985
	0,2019
	0,2054
	0,2088
	0,2123
	0,2157
	0,2190
	0,2224
	0,6
	0,2258
	0,2291
	0,2324
	0,2357
	0,2389
	0,2422
	0,2454
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