4 - Raciocinio Logico-Matematico

Prévia do material em texto

RACIOCÍNIO LÓGICO-
MATEMÁTICO
Didatismo e Conhecimento 1
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS: 
OPERAÇÕES (ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, 
MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, 
POTENCIAÇÃO); 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS;
Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião 
do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o 
conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto 
é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto 
pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos 
notáveis:
- O conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; 
Z* = Z – {0}
- O conjunto dos números inteiros não negativos:
Z
+ 
= {0, 1, 2, 3, 4,...}
Z
+ 
é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N
- O conjunto dos números inteiros positivos:
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}
- O conjunto dos números inteiros não positivos:
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- O conjunto dos números inteiros negativos:
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância 
ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. 
Representa-se o módulo por | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é 
sempre positivo.
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos 
um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que 
os representam distam igualmente da origem.
Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 
2 + (-2) = (-2) + 2 = 0
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e 
vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.
Adição de Números Inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos 
números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros 
negativos a ideia de perder.
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas 
o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto 
Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros 
ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + (b + c) = (a + b) + c
2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em 
Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (–z) = 0
9 + (–9) = 0
Subtração de Números Inteiros
A subtração é empregada quando:
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas 
tem a mais que a outra;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a 
uma delas para atingir a outra.
A subtração é a operação inversa da adição.
Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9
 diferença
 subtraendo
 minuendo
Considere as seguintes situações:
1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de 
+3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3
2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, 
era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a 
temperatura registrada na noite de terça-feira?
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) 
é o mesmo que (+6) + (–3). 
Didatismo e Conhecimento 2
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Temos:
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o 
mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de 
uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar 
tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente 
alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 
vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição 
pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 
+ ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + 
(–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da 
adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser 
indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as 
letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos 
obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
Iguais Positivo
Diferentes Negativo
Propriedades da multiplicação de números inteiros: O 
conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação 
de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x (b x c) = (a x b) x c
2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z 
em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe 
um inverso z–1=1/z em Z, tal que
z x z–1 = z x (1/z) = 1
9 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)
Divisão de Números Inteiros
Dividendo divisor dividendo:
Divisor = quociente 0
Quociente . divisor = dividendo
Sabemos que na divisão exata dos números naturais:
40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40
36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão 
exata de números inteiros. Veja o cálculo:
(–20) : (+5) = q  (+5) . q = (–20)  q = (–4)
Logo: (–20) : (+5) = - 4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para 
efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número 
inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo 
módulo do divisor. Daí:
- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o 
quociente é um número inteiro positivo.
- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o 
quociente é um número inteiro negativo.
- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por 
exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem 
ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa 
e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.
1- Não existe divisão por zero.
Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um 
número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.
2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de 
zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é 
igual a zero.
Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0
Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto 
de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número 
n é o expoente.
an = a x ax a x a x ... x a
a é multiplicado por a n vezes
Didatismo e Conhecimento 3
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Exemplos:
33 = (3) x (3) x (3) = 27
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125
(-7)² = (-7) x (-7) = 49
(+9)² = (+9) x (+9) = 81
- Toda potência de base positiva é um número inteiro 
positivo.
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9
- Toda potência de base negativa e expoente par é um 
número inteiro positivo.
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um 
número inteiro negativo.
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125
Propriedades da Potenciação:
Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base 
e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9
Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se 
a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = 
(+13)2
Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se 
os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10
Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 
(–13)1 = –13
Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual 
a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1
Radiciação de Números Inteiros
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que 
elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da 
raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal 
do radical).
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro não negativo que 
elevado ao quadrado coincide com o número a.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro 
negativo no conjunto dos números inteiros. 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos 
e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
√9 = ±3
mas isto está errado. O certo é:
√9 = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo 
que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação 
que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual 
ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente 
aos números não negativos.
Exemplos
(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8.
(b) 3 8− = –2, pois (–2)³ = -8.
(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27.
(d) 3 27− = –3, pois (–3)³ = -27.
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de 
números inteiros, concluímos que:
(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número 
inteiro negativo.
(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de 
qualquer número inteiro.
Exercícios
1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois 
algarismos?
2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + 
(90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro?
3. Calcule:
a) (+12) + (–40)
b) (+12) – (–40) 
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)
4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças 
verdadeiras:
a) x + (–12) = –5
b) x + (+9) = 0
c) x – (–2) = 6
d) x + (–9) = –12
e) –32 + x = –50
f) 0 – x = 8
5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí 
e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as 
informações?
Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.
Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.
Máxima prevista 37° no Piauí.
6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em 
que o maior deles é –10?
7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é 
+99. Determine o produto desses três números.
8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros 
de modo que elas se mantenham:
a) (–140) : x = –20 
b) 144 : x = –4 
c) (–147) : x = +21 
d) x : (+13) = +12 
e) x : (–93) = +45 
f) x : (–12) = –36
Didatismo e Conhecimento 4
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a 
soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?
10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira 
parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com 
o total?
Respostas
1) Resposta “9²”.
Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos.
Os números quadrados perfeitos são:
1² = 1 (menor que dois algarismos)
2² = 4
3² = 9
4² = 16 (dois algarismos)
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100 (mais que dois algarismos)
Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81
2) Resposta “270”.
Solução:
(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101
55 – 51 + 165 + 101 = 270
Portanto, o número inteiro é 270.
3) Solução:
a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28
b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 
6 – 24 = -18
4) Solução:
a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7
b) x + (+9) = 0 → x = -9
c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4
d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3
e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18
f) 0 – x = 8 → x = -8
5) Resposta “40˚”. 
Solução:
A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 
0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º.
6) Resposta “-1320”.
Solução:
(x) . (x+1) . (x+2) = ?
x+2 = -10
x= -10 -2
x = -12
(-12) . (-12+1) . (-12+2) =
-12 . -11 . -10 = - 1320
7) Resposta “999900”.
Solução:
(x) . (x+1) . (x+2) = ?
x= 99
(99) . (99+1) . (99+2) =
99 . 100 . 101 = 999900
8) Solução:
a) (–140) : x = –20
 -20x = -140
 x = 7
b) 144 : x = –4
 -4x = 144
 x = -36
 
c) (–147) : x = +21 
 21x = -147
 x = -7
d) x : (+13) = +12
 x = 12 . 13
 x = 156
 
e) x : (–93) = +45 
 x = 45 . -93
 x = -4185
f) x : (–12) = –36
 x = -36 . -12
 x = 432
9) Resposta “738”.
Solução:
x + (-846) . -3 = 324
x – 846 . -3 = 324
-3 (x – 846) = 324
-3x + 2538 = 324
3x = 2538 – 324
3x = 2214
x = 
x = 738
10) Resposta “3”.
Solução: Seja t o total da adição inicial.
Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 
8 unidades: t + 8
Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido 
de 5 unidades: Temos:
t + 8 - 5 = t + 3
Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.
Didatismo e Conhecimento 5
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Números Racionais - Q
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
m
n
, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente 
de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de 
m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obti-
dos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o 
conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, 
é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = { 
m
n : m e n em Z, n diferente de zero}
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
- Q* = conjunto dos racionais não nulos;
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional 
p
q , tal que p não seja múltiplo 
de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um 
número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2
5
 = 0,4
1
4
= 0,25
35
 4
= 8,75
153
 50
= 3,06
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos 
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. 
Decimais Periódicosou Dízimas Periódicas:
1
3
 = 0,333... 
 1
22
 = 0,04545...
167
 66
 = 2,53030...
Representação Fracionária dos Números Decimais
Trata-se do problema inverso: estando o número racional 
escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de 
fração. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador 
é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto 
pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas 
decimais do número decimal dado:
0,9 = 9
10
5,7 = 57
10
0,76 = 76
100
3,48 = 348
100
0,005 = 5
1000
= 1
200
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, 
vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:
Exemplo 1 
Seja a dízima 0, 333... .
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros 
por 10: 10x = 0,333 
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da 
segunda:
10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3
9
.
Exemplo 2
Seja a dízima 5, 1717...
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .
Subtraindo membro a membro, temos:
99x = 512 ⇒ x = 512/99
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512
 99
.
Exemplo 3
Seja a dízima 1, 23434...
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .
Subtraindo membro a membro, temos:
990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990
Simplificando, obtemos x = 611
 495
, a fração geratriz da dízima 
1, 23434... 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que 
representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Exemplo: Módulo de - 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
- = 3
2
 Módulo de + 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
+ = 3
2
Didatismo e Conhecimento 6
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Números Opostos: Dizemos que – 3
2
e 3
2
 são números 
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do 
outro. As distâncias dos pontos – 3
2
 e 3
2
 ao ponto zero da reta são 
iguais.
Soma (Adição) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito 
na forma de uma fração, definimos a adição entre os números 
racionais a
b
 e c
d
, da mesma forma que a soma de frações, 
através de:
a
b
 + c
d
 = ad + bc bd
Propriedades da Adição de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a 
soma de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + 
b ) + c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em 
Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q
- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que 
q + (–q) = 0
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais p e q é a própria 
operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: 
p – q = p + (–q)
Multiplicação (Produto) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito 
na forma de uma fração, definimos o produto de dois números 
racionais a
b
e c
d
, da mesma forma que o produto de frações, 
através de:
a
b x 
c
d
 = 
ac
bd
O produto dos números racionais a e b também pode ser 
indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre 
as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos 
obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o 
mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais 
diferentes é negativo.
Propriedades da Multiplicação de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto 
de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × 
b ) × c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo 
q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
- Elemento inverso: Para todo q = a
b
 em Q, q diferente de 
zero, existe q-1 = 
 
b
a 
em Q: q × q-1 = 1 a
b 
x b
a
 = 1
- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × 
b ) + ( a × c )
Divisão de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação 
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = 
p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores 
iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
a) 
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
125
b) 
c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25
Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 
0 é igual a 1.
+ 25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0
 = 1
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
− 94
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
 = - 9
4
- Toda potência com expoente negativo de um número racional 
diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao 
inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior.
− 35
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−2
. − 53
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 259
Didatismo e Conhecimento 7
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da 
base.
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 23
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
27
- Toda potência com expoente par é um número positivo.
− 15
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= − 15
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
25
- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto 
de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a 
base e somamos os expoentes.
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 25 .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5 .
2
5 .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2+3
= 25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir 
um quociente de potências de mesma base a uma só potência, 
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência 
a uma potência de um só expoente, conservamos a base e 
multiplicamos os expoentes
Radiciação de Números Racionais
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores 
iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns 
exemplos:
Exemplo 1
4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada 
de 4. Indica-se √4= 2.
Exemplo 2
1
9 Representa o produto 
1
3 . 
1
3
 
ou 13
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. Logo, 13
 
é a raiz 
quadrada de 19 .Indica-se 
1
9
= 13
Exemplo 3
0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 
é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6.
Assim, podemos construir o diagrama:
N Z Q
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o 
número zero ou um número racional positivo. Logo, os números 
racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.
O número -100
 9
 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10
 3
 
como +10
 3
, quando elevados ao quadrado, dão 100
 9
.
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto 
dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.
O número 
2
3
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe 
número racional que elevado ao quadrado dê 2
3
.
Exercícios
1. Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 7
24 −
5
12 −
1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −−
7
6 +
3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
b) +
3
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ : −
1
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
5
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− 94 −
7
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2. Escreva o produto 
73
3
2
.
3
2





+




+ como uma só potência. 
3. Escreva o quociente 
 
− 1625
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12
: − 1625
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
como uma só 
potência. 
4. Qual é o valor da expressão 
5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 
1
6 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas 
3
4
. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?
6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1
4
 do livro e no 
dia seguinte leu 1
6
 do livro. Então calcule:
a) A fração do livro que ela já leu.
b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.
7. Em um pacote há 4
5
 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote 
há 1
3
. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que 
o segundo?
8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5
9
 da rua 
já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?
9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1
3
 
desses apartamentos foi vendido e 16 foi reservado. Assim:
a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?
b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não 
foram vendidos ou reservados?
Didatismo e Conhecimento 8
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
10. Transforme em fração:
a) 2,08
b) 1,4
c) 0,017
d) 32,17
Respostas
1) Solução
a) 
7
24 −
5
12 −
1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −
7
6 +
3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= 724 −
10 − 3
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−14 + 9
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
7
24 −
7
24 +
5
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24 −
7 +10
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24 −
17
24 = −
10
24 = −
5
12
b) 
mmc:(4;2)=4
2) Solução:
+ 23
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10
3) Solução:
− 1625
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
8
4) Solução:





 +





 −−
−
4
3
:
2
1
24
13
3
 





 +





 −−
−
4
3
:
8
1
24
13





 +





 −−
−
3
4
.
8
1
24
13





 −−
−
24
4
24
13
24
4
24
13
+
−
8
3
24
9 −
=
−
5) Resposta 11
12Solução: 
1
6
 + 3
4
 = 2
12
 + 9
12
 = 11
12
6) Solução:
a) 1
4
 + 1
6
 = 3
12
 + 2
12
 = 5
12
b) 1- 5
12
 = 12
12
 - 5
12
 = 7
12
7) Respostas 7
15Solução: 
4
5
 - 1
3
 = 12
15
 - 5
15
 = 7
15
8) Resposta 4
9Solução:
1 - 
5
9 = 
9
9
 - 5
9
 = 4
9
9) Solução:
a) 
1
3 + 
1
6
 = 2
6
 + 
1
6
 = 
3
6
 = 
1
2
b) 1- 1
2
 = 2
2
 - 1
2
 = 1
2
10) Solução:
a) 2,08 → 
208
100 =
52
25
b) 1,4 → 
14
10 =
7
5
c) 0,017 → 
17
1000
d) 32,17 → 
3217
100
MÚLTIPLOS E DIVISORES DE NÚMEROS 
NATURAIS; PROBLEMAS.
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30.
Podemos dizer então que:
“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que 
multiplicado por 6 dá como resultado 30.”
Um numero natural a é divisível por um numero natural b, 
não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a.
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30.
Didatismo e Conhecimento 9
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido 
multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, 
multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos 
naturais:
7 x 0 = 0
7 x 1 = 7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o 
conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}.
Observações:
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
- Todo número natural é múltiplo de 1.
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos 
múltiplos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, 
e a fórmula geral desses números é 2 k (k∈N). Os demais são 
chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números 
é 2 k + 1 (k∈ N).
Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos 
possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem 
efetuarmos a divisão.
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando 
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. 
Exemplos:
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6.
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a 
soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. 
Exemplos:
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é 
divisível por 3.
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 
17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando 
seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. 
Exemplos:
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00.
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é 
divisível por 4.
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não 
é divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando 
termina em 0 ou 5. 
Exemplos:
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0.
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é 
divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 
3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 
0 + 5 + 3 + 0 = 16).
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando a 
diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado 
pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7 
Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos confe-
rir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que 
dividido por 7 é igual a 5.
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando 
seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número 
divisível por 8. 
Exemplos:
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
são 000.
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
formam o número 24, que é divisível por 8.
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
formam o número 125, que não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando 
a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um 
número divisível por 9. 
Exemplos:
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 
27 é divisível por 9.
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 
14 não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando 
termina em zero. 
Exemplos:
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero.
Didatismo e Conhecimento 10
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando 
a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma 
dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 
11. 
Exemplos:
a) 1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos 
algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.)
 4 3 8 1 3 
 2º 4º  Algarismos de posiçãopar.(Soma dos algarismos 
de posição par:3 + 1 = 4)
15 – 4 = 11  diferença divisível por 11. Logo 43813 é 
divisível por 11.
b) 1º 3º 5º 7º  (Soma dos algarismos de posição 
ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)
 8 3 4 1 5 7 2 1
 2º 4º 6º 8º  (Soma dos algarismos de posição 
par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)
19 – 12 = 7  diferença que não é divisível por 11. Logo 
83415721 não é divisível por 11.
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando 
é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 
2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 
(termina em 11).
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 
+ 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando 
é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 
+ 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 
(termina em 2).
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 
+ 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).
Exercícios
1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 
menores que 30.
2. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 
compreendidos entre 30 e 50.
3. Qual é o menor número que devemos somar a 36 para obter 
um múltiplo de 7?
4. Como são chamados os múltiplos de 2?
5. Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4.
a) 23418 
b) 65000 
c) 38036 
d) 24004 
e) 58617
6. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7 
maiores que 10 e menores que 20.
7. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você 
contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode 
ser 72? Por quê?
8. Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9.
9. Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12.
10. Responda sim ou não:
a) 24 é múltiplo de 2? 
b) 52 é múltiplo de 4? 
c) 50 é múltiplo de 8? 
d) 1995 é múltiplo de 133?
Respostas
1) Resposta “0, 5, 10, 15, 20, 25”.
Solução:
5 x 0 = 0
5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
2) Resposta “32, 40, 48”.
Solução:
8 x 4 = 32
8 x 5 = 40
8 x 6 = 48
3) Resposta “6”.
Solução: 36 + 6 = 42. Pois, o número 42 é divisível por 7.
4) Resposta “Pares”. 
Os Múltiplos de 2 são chamados de pares: 2 k (k∈N)
5) Resposta “Divisíveis: b, c, d”.
Solução:
a) 23418: Termina em 18, e 18 não é divisível por 4.
b) 65000: Termina em 00, e logo, é divisível por 4.
c) 38036: Termina em 36, portanto é divisível por 4.
d) 24004: Termina em 4, e assim é divisível por 4.
e) 58617: Termina em 17, e 17 não é divisível por 4.
6) Resposta “14”.
Solução:
7 x 2 = 14.
Didatismo e Conhecimento 11
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
7) Resposta “72”. 
Solução: Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o 
número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode 
ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser.
8) Resposta “0, 9, 18, 27, 36”.
Solução:
9 x 0 = 0
9 x 1 = 9
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9) Resposta “0, 24, 48, 72, 96”.
Solução: Nesse caso todos são os divisores comuns de 8 e 12.
10) Solução:
a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número par
b) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro.
c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número 
inteiro.
d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número 
inteiro.
FRAÇÕES E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES.
Adição e Subtração
Frações com denominadores iguais:
Exemplo
Jorge comeu 8
3
 de um tablete de chocolate e Miguel 8
2
desse 
mesmo tablete. Qual a fração do tablete de chocolate que Jorge e 
Miguel comeram juntos?
A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela 
também estão representadas as frações do tablete que Jorge e 
Miguel comeram:
 
 
3/8 2/8
5/8
Observe que 
8
3
+ 
8
2 = 
8
5
Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos 
8
5 do tablete de 
chocolate.
Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm 
denominadores iguais, conservamos o denominador comum e 
somamos ou subtraímos os numeradores.
Outro Exemplo:
2
1
2
753
2
7
2
5
2
3
=
−+
=−+
Frações com denominadores diferentes:
Calcular o valor de 6
5
8
3
+ . Inicialmente, devemos reduzir as 
frações ao mesmo denominador comum:
mmc (8,6) = 24 
6
5
8
3
+ = 
24
20
24
9
+
24 : 8 . 3 = 9
24 : 6 . 5 = 20
Devemos proceder, agora, como no primeiro caso, 
simplificando o resultado, quando possível:
24
20
24
9
+ = 
24
29
24
209
=
+
Portanto: 
6
5
8
3
+ = 
24
20
24
9
+ = 
24
29
24
209
=
+
Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm os 
denominadores diferentes, reduzimos inicialmente as frações ao 
menor denominador comum, após o que procedemos como no 
primeiro caso.
Multiplicação
Exemplo
De uma caixa de frutas, 5
4
 são bananas. Do total de bananas, 
3
2
 estão estragadas. Qual é a fração de frutas da caixa que estão 
estragadas?
 
 Representa 4/5 do conteúdo da caixa
Representa 2/3 de 4/5 do conteúdo da caixa.
Repare que o problema proposto consiste em calcular o valor 
de 
3
2
de 
5
4 que, de acordo com a figura, equivale a 
15
8 do total de 
frutas. De acordo com a tabela acima, 
3
2
 
de 
5
4
 
equivale a 
3
2 . 
5
4 . 
Assim sendo:
3
2 . 
5
4 = 
15
8
Ou seja:
3
2
de 
5
4 = 
3
2
. 
5
4 = 
5.3
4.2 = 
15
8
O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo 
numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o 
produto dos denominadores das frações dadas.
Outro exemplo: 
3
2 . 
5
4 . 
135
56
9.5.3
7.4.2
9
7
==
Didatismo e Conhecimento 12
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Observação: Sempre que possível, antes de efetuar a 
multiplicação, podemos simplificar as frações entre si, dividindo 
os numeradores e os denominadores por um fator comum. Esse 
processo de simplificação recebe o nome de cancelamento.
1
1
3
2 . 
5
4 . 
25
12
10
9
5
3
=
Divisão
Duas frações são inversas ou recíprocas quando o numerador 
de uma é o denominador da outra e vice-versa.
Exemplo
3
2
é a fração inversa de 
2
3
5 ou 
1
5 é a fração inversa de 
5
1
Considere a seguinte situação:
Lúcia recebeu de seu pai os 
5
4
dos chocolates contidos em uma 
caixa. Do total de chocolates recebidos, Lúcia deu a terça parte 
para o seu namorado. Que fração dos chocolates contidos na caixa 
recebeu o namorado de Lúcia?
A solução do problema consiste em dividir o total de chocolates 
que Lúcia recebeu de seu pai por 3, ou seja, 5
4
: 3.
Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular 
3
1
desse 
algo.
Portanto: 
5
4
: 3 = 
3
1 de 
5
4
Como 
3
1
 de 5
4
= 
3
1
. 
5
4
= 
5
4
. 
3
1
, resulta que 
5
4 : 3 = 
5
4
: 
1
3 = 
5
4 . 
3
1
 
São frações inversas
Observando que as frações 
1
3 e 
3
1 são frações inversas, 
podemos afirmar que:
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira 
pelo inverso da segunda.
Portanto 
5
4
: 3 = 
5
4
: 
1
3
 = 
5
4
. 
3
1
= 
15
4
Ou seja, o namorado de Lúcia recebeu 
15
4
 
do total de 
chocolates contidos na caixa.
Outro exemplo: 
6
5
8
5
.
3
4
5
8
:
3
4
2
1
==
Observação:
Note a expressão: 
5
1
2
3
. Ela é equivalente à expressão5
1
:
2
3
.
Portanto 
5
1
2
3
 = 
5
1
:
2
3
 = 
1
5
.
2
3 = 
2
15
Números Decimais
Adição e Subtração
Vamos calcular o valor da seguinte soma:
5,32 + 12,5 + 0, 034
Transformaremos, inicialmente, os números decimais em 
frações decimais:
5,32 + 12,5 + 0, 034 = =++
1000
34
10
125
100
352
1000
17854
1000
34
1000
12500
1000
5320
=++= = 17, 854
Portanto: 5,32 + 12,5 + 0, 034 = 17, 854
Na prática, a adição e a subtração de números decimais são 
obtidas de acordo com a seguinte regra:
- Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros.
- Colocamos os números um abaixo do outro, deixando vírgula 
embaixo de vírgula.
- Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles 
fossem números naturais.
- Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos 
números dados.
Exemplo
2,35 + 14,3 + 0, 0075 + 5
Disposição prática:
2,3500
14,3000
0,0075
5,0000
21,6575
Multiplicação
Vamos calcular o valor do seguinte produto: 2,58 x 3,4.
Transformaremos, inicialmente, os números decimais em 
frações decimais:
2,58 x 3,4 = 772,8
1000
8772
10
34
.
100
258
==
Portanto 2,58 x 3,4 = 8,772
Na prática, a multiplicação de números decimais é obtida de 
acordo com as seguintes regras:
- Multiplicamos os números decimais como se eles fossem 
números naturais.
- No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas 
forem as do primeiro fator somadas às do segundo fator.
Exemplo: 652,2 x 2,03
Didatismo e Conhecimento 13
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Disposição prática:
 652,2 → 1 casa decimal
x 2,03 → 2 casas decimais
 19 566
1 304 4
1 323,966 → 1 + 2 = 3 casas decimais
DIVISÃO
Numa divisão em que:
D é o dividendo
d é o divisor temos: D d D = q . d + r
q é o quociente r q
r é o resto
Numa divisão, o resto é sempre menor que o divisor
 
 
Vamos, por exemplo, efetuar a seguinte divisão: 24 : 0,5.
Inicialmente, multiplicaremos o dividendo e o divisor da 
divisão dada por 10.
24 : 0,5 = (24 . 10) : (0,5 . 10) = 240 : 5
A vantagem de tal procedimento foi a de transformarmos 
em número natural o número decimal que aparecia na divisão. 
Com isso, a divisão entre números decimais se transforma numa 
equivalente com números naturais.
Portanto: 24 : 0,5 = 240 : 5 = 48
Na prática, a divisão entre números decimais é obtida de 
acordo com as seguintes regras:
- Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do 
divisor.
- Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão como se os 
números fossem naturais.
Exemplo 1
24 : 0,5
Disposição prática: 24,0 0,5
 40 48
 0
 
Nesse caso, o resto da divisão é igual à zero. Assim sendo, a 
divisão é chamada de divisão exata e o quociente é exato.
Exemplo 2
9,775 : 4,25
Disposição prática: 9,775 4,250
 1 275 2
 
Nesse caso, o resto da divisão é diferente de zero. Assim 
sendo, a divisão é chamada de divisão aproximada e o quociente 
é aproximado.
Se quisermos continuar uma divisão aproximada, devemos 
acrescentar zeros aos restos e prosseguir dividindo cada número 
obtido pelo divisor. Ao mesmo tempo em que colocamos o primeiro 
zero no primeiro resto, colocamos uma vírgula no quociente.
 9,775 4,250 9,775 4,250
 1 2750 2, 1 2750 2,3
 0000
 Acrescentamos um zero Colocamos uma 
 ao primeiro resto. vírgula no quociente.
 
 
Exemplo 3
0,14 : 28 
0,14000 28,00
 0000 0,005
 
Exemplo 4
2 : 16
 20 16
 40 0,125
 80
 0
 
Exercícios
1. Indique as divisões em forma de fração:
a) 14 : 7
b) 18 : 8
c) 5 : 1
d) 15 : 5 
e) 18 : 9 
f) 64 : 8
2. Efetue as adições:
a) 3/6 + 2/6 
b) 13/7 + 1/7 
c) 2/7+ 1/7 + 5/7 
d) 4/10 + 1/10 + 3/10
3. Efetue as subtrações:
a) 7/9 – 5/9 
b) 9/5 – 2/5 
c) 2/3 – 1/3 
d) 8/3 – 2/3
Didatismo e Conhecimento 14
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Respostas
1) Solução:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
2) Solução:
a) 
b) 
c) 
d) 
3) Solução
a) 
b) 
c) 
d) 
NÚMEROS E GRANDEZAS 
PROPORCIONAIS: RAZÕES 
E PROPORÇÕES;
Números diretamente proporcionais
Considere a seguinte situação:
Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender 
a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os 
ingredientes necessários são:
3 ovos
1 lata de leite condensado
1 xícara de leite
2 colheres das de sopa de farinha de trigo
1 colher das de sobremesa de fermento em pó
1 pacote de coco ralado
1 xícara de queijo ralado
1 colher das de sopa de manteiga
Veja que:
- Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para 4 
colheres de farinha;
- Para se fazerem 3 receitas seriam usados 9 ovos para 6 
colheres de farinha;
- Para se fazerem 4 receitas seriam usados 12 ovos para 8 
colheres de farinha;
- Observe agora as duas sucessões de números:
Sucessão do número de ovos: 6 9 12
Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8
Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes 
são iguais:
6
4 =
3
2
 9
6 =
3
2
 12
8 =
3
2
Assim: 
6
4 =
9
6 =
12
8 =
3
2 
Dizemos, então, que:
- os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente proporcio-
nais aos da sucessão 4, 6, 8;
- o número 2
3
, que é a razão entre dois termos corresponden-
tes, é chamado fator de proporcionalidade.
Duas sucessões de números não-nulos são diretamente pro-
porcionais quando as razões entre cada termo da primeira sucessão 
e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais.
Exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões 
sejam diretamente proporcionais:
2 8 y
3 x 21
Como as sucessões são diretamente proporcionais, as razões 
são iguais, isto é: 2
3 =
8
x =
y
21 
3
2
= 
x
8
 
3
2
= 
21
y
2x = 3 . 8 3y = 2 . 21
2x = 24 3y = 42
x=
24
2 y=
42
3
x=12 y=14
Logo, x = 12 e y = 14
Didatismo e Conhecimento 15
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Exemplo 2: Para montar uma pequena empresa, Júlio, César 
e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$ 24.000,00, 
César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00. Depois de 6 
meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi repartido entre eles 
em partes diretamente proporcionais à quantia investida. Calcular 
a parte que coube a cada um.
Solução:
Representando a parte de Júlio por x, a de César por y, e a de 
Toni por z, podemos escrever:








==
=++
300002700024000
32400
zyx
zyx
x
24000 =
y
27000 =
z
30000 =
x + y + z
32400 
24000 + 27000 + 30000
81000  
Resolvendo as proporções:
x
24000 =
324004
8100010
10x = 96 000
x = 9 600 
y
27000 =
4
10
10y = 108 000
y = 10 800
z
3000 =
4
10
10z = 120 000
z = 12 000
Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$ 10.800,00 
e Toni, R$ 12.000,00.
Números Inversamente Proporcionais
Considere os seguintes dados, referentes à produção de sorvete 
por uma máquina da marca x-5:
1 máquina x-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min.
2 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min.
4 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 30 min.
6 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 20 min.
Observe agora as duas sucessões de números:
Sucessão do número de máquinas: 1 2 4 6
Sucessão do número de minutos: 120 60 30 20
Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira 
sucessão e o inverso do termo correspondente da segunda são 
iguais:
1
1
120
= 21
60
= 41
30
= 61
20
= 120
Dizemos, então, que:
- os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente propor-
cionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20;
- o número 120, que é a razão entre cada termo da primeira 
sucessão e o inverso do seu correspondente na segunda, é chamado 
fator de proporcionalidade.
Observando que
1
1
20
 é o mesmo que 1.120=120 41
30
 é mesmo que 4.30=120
2
1
60
 é o mesmo que 2.60=120 61
20
 é o mesmo que 6.20= 120
Podemos dizer que: Duas sucessões de números não-nulos são 
inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da 
primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão 
são iguais.
Exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões 
sejam inversamente proporcionais:
4 x 8
20 16 y
Para que as sucessões sejam inversamente proporcionais, os 
produtos dos termos correspondentes deverão ser iguais. Então 
devemos ter:
4 . 20 = 16 . x = 8 . y
16 . x = 4 . 20 8 . y = 4 . 20
 16x = 80 8y = 80
 x = 80/16 y = 80/8
 x = 5 y = 10
Logo, x = 5 e y = 10.
Exemplo 2: Vamos dividir o número 104 em partes 
inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.
Representamos os números procurados por x, y e z. E como as 
sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser inversamente proporcionais, 
escrevemos:
4
1
3
1
2
1
zyx
== 
4
1
3
1
2
1
zyx
== =
4
1
3
1
2
1
104
++
++

zyx
 
Como, vem
Logo, os números procurados são 48, 32 e 24.
Didatismo e Conhecimento 16
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Grandezas Diretamente Proporcionais
Considere uma usina de açúcar cuja produção, nos cinco 
primeiros dias da safra de 2005, foi a seguinte:
Dias Sacos de açúcar
1 5 000
2 10 000
3 15 000
4 20 000
5 25 000
Com base na tabela apresentada observamos que:
- duplicando o número de dias, duplicou a produção de açúcar;
- triplicando o número de dias, triplicou a produção de açúcar, 
e assim por diante.
Nesse caso dizemos que as grandezas tempo e produção são 
diretamente proporcionais.
Observe também que, duas a duas, as razões entre o número de 
dias e o número de sacos de açúcar são iguais:
Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual 
à razão entre os valores da segunda.
Tomemos agora outro exemplo.
Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l de 
álcool.
De acordo com esses dados podemos supor que:
- com o dobro do número de toneladas de cana, a usina produza 
o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l;
- com o triplo do número de toneladas de cana, a usina produza 
o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l.
Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-de-
açúcar e número de litros de álcool são diretamente proporcionais.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo gasto 
para percorrer determinada distância encontram-se na tabela:
Velocidade Tempo
30 km/h 12 h
60 km/h 6 h
90 km/h 4 h
120 km/h 3 h
Com base na tabela apresentada observamos que:
- duplicando a velocidade da moto, o número de horas fica 
reduzido à metade;
- triplicando a velocidade, o número de horas fica reduzido à 
terça parte, e assim por diante.
Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo são 
inversamente proporcionais.
Observe que, duas a duas, as razões entre os números que 
indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam 
o tempo:
30
60
 6
12
= inverso da razão 12
 6
30
90
 4
12
= inverso da razão 12
 4
30
120
 3
12
= inverso da razão 
12
 3
60
90
 4
 6
= inverso da razão 6
 4
60
120
 3
 6
= inverso da razão 6
 3
90
120
 3
 6
= inverso da razão 4
 3
Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 
primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda.
Acompanhe o exemplo a seguir:
Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De 
acordo com esses dados, podemos supor que:
- o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na 
metade do tempo, isto é, 18 dias;
- o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na 
terça parte do tempo, isto é, 12 dias.
Então concluímos que as grandezas quantidade de máquinas 
e tempo são inversamente proporcionais.
Exercícios
1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais:
a) 1 x 7
 5 15 y
b) 5 10 y
 x 8 24
c) x y 21
 14 35 49
d) 8 12 20
 x y 35
Didatismo e Conhecimento 17
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais:
a) 4 x y 
 25 20 10
b) 30 15 10
 x 8 y
c) 2 10 y
 x 9 15
d) x y 2
 12 4 6
3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8.
4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a 
6
1
4
1
,
3
1 e .
5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a 
3
1
2
5
,
4
3 e .
6- Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e Ma-
theus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente pro-
porcionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael?
7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um 
pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro 
entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, José Antônio 
com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$ 
60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um? 
(Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que 
cada um empregou.)
8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os 
seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como 
Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o 
prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais 
à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson?
9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três 
famílias em partes diretamente proporcionais ao número de filhos. 
Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5 
filhos, quantas laranjas recebeu cada família?
10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade 
comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será 
dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada 
um dispôs para formarem a sociedade.Se as quantias empregadas 
por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00, 
R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00, 
que parte do lucro caberá a cada um?
Respostas
1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14 
y = 21
2- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y = 3
3- 80, 32, 20 
4- 21, 28, 43
5- 45, 150, 20
6- 90
7- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio 
R$24.000,00
8- R$350.000,00
9- 60, 90, 150
10- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto 
R$400.000,00
Resolução 04
x+y+z
--------- = x/3 ou y/4 ou z/6 (as frações foram invertidas porque 
3+4+6 as partes são inversas)
91/13=x/3
13x=273
x=21
91/13=y/4
13y=364
y=28
91/13=z/6
13z=546
z=42
Resolução 05
x/(3/4) = y/(5/2) = z/(1/3) = k (constante)
x + y + z = 215
3k/4 + 5k/2 + k/3 = 215
(18k + 60k + 8k)/24 = 215 → k = 60 
x = 60.(3/4) = 45
y = 60.(5/2) = 150
z = 60/3 = 20 
(x, y, z) → partes diretamente proporcionais
Resolução 06
x = Rafael
y = Mateus
x/15 + y /12 = 160/27 (dividindo 160 por 27 (dá 6), e fazendo 
proporções, só calcular)
x/15=6
x=90 
y/12=6
y=72
Didatismo e Conhecimento 18
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Razão
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão 
entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou .
A razão é representada por um número racional, mas é lida de 
modo diferente.
Exemplos
a) A fração 
5
3 lê-se: “três quintos”.
b) A razão 
5
3 lê-se: “3 para 5”.
Os termos da razão recebem nomes especiais.
 O número 3 é numerador
a) Na fração 
5
3
 O número 5 é denominador
 O número 3 é antecedente
a) Na razão 
5
3
 O número 5 é consequente
 
 
 
 
Exemplo 1
A razão entre 20 e 50 é 20
50 =
2
5
; já a razão entre 50 e 20 é 50
20 =
5
2
.
Exemplo 2
Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão 
entre o número de rapazes e o número de moças é 1824 =
3
4 , o que significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, 
a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por 18
42 =
3
7 , o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3 
são rapazes”.
Razão entre grandezas de mesma espécie
A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente 
dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa 
mesma unidade.
Exemplo
Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa 
sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete 
e a área da sala.
Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma 
mesma unidade:
Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2
Área do tapete: 384 dm2
Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever 
a razão:
384dm2
1800dm2 =
384
1800 =
16
75
Razão entre grandezas de espécies diferentes
Exemplo 1
Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilômetro 30 
de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170.
Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 km
Tempo gasto: 11h – 9h = 2h
Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo 
gasto para isso:
140km
2h = 70km / h
A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.
Observe que: 
- as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas diferentes;
- a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve 
acompanhar a razão.
Exemplo 2
A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de 
Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 km2 
e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, 
segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.
Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o 
número de habitantes por km2 (hab./km2):
6628000
927286 ≅ 71,5hab. / km
2
A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.
A notação hab./km2 (lê-se: ”habitantes por quilômetro 
quadrado”) deve acompanhar a razão.
Exemplo 3
Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. 
Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número 
de litros de combustível consumidos, teremos o número de 
quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:
83,76km
8l ≅ 10,47km / l
A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.
A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve 
acompanhar a razão.
Didatismo e Conhecimento 19
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Exemplo 4
Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é 
representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho?
Escala = comprimento i no i desenhocomprimento i real =
20cm
8m =
20cm
800cm =
1
40 ou1: 40
A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente 
comprimento real, chama-se Escala.
Proporção
A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.
Na proporção 
3
5 =
6
10 (lê-se: “3 está para 5 assim como 6 está 
para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 
5 e 6 são chamados meios.
Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 
= 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções:
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos”.
Exemplo 1
Na proporção 
9
6
3
2
= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;
e em 1
4 =
4
16
, temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.
Exemplo 2
Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte 
dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.
Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:
5gotas
2kg =
x
12kg→ x = 30gotas
Por outro lado, se soubermos que foram corretamente 
ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu 
“peso” é 8 kg, pois:
5gotas
2kg = 20gotas / p→ p = 8kg
(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente 
chamado de regra de três simples.)
Propriedades da Proporção
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa 
propriedade possibilita reconhecer quando duas razões formam ou 
não uma proporção.
4
3 e
12
9 formam uma proporção, pois
Produtos dos extremos ← 4.9
36
 = 3.12
36
→ Produtos dos meios.
A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou 
para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está 
para o terceiro (ou para o quarto termo).
5
2 =
10
4 ⇒
5 + 2
5
⎧⎨⎩
= 10 + 410 ⇒
7
5 =
14
10
ou
5
2 =
10
4 ⇒
5 + 2
2
⎧⎨⎩
= 10 + 44 ⇒
7
2 =
14
4
A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro 
(ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois 
últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).
8
2
4
1
8
68
4
34
6
8
3
4
=⇒
−
=


 −⇒=
ou
6
2
3
1
6
68
3
34
6
8
3
4
=⇒
−
=


 −⇒=
A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes 
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
12
8 =
3
2 ⇒
12 + 3
8 + 2
⎧⎨⎩
= 128 ⇒
15
10 =
12
8
ou
12
8 =
3
2 ⇒
12 + 3
8 + 2
⎧⎨⎩
= 32 ⇒
15
10 =
3
2
A diferença dos antecedentes está para a diferença dos 
consequentes assim como cada antecedente está para o seu 
consequente.
3
15 =
1
5 ⇒
3−1
15 − 5
⎧⎨⎩
= 315 ⇒
2
10 =
3
15
ou
3
15 =
1
5 ⇒
3−1
15 − 5
⎧⎨⎩
= 15 ⇒
2
10 =
1
5
Exercícios
1. Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duas 
cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se 
fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual seria o mínimo 
de extensão que ela teria?
2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e 
Palmas, no Tocantins é de 10 cm. Sabendo quea distância real 
entre as duas cidades é de 700 km, qual a escala utilizada na 
confecção do mapa?
Didatismo e Conhecimento 20
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume 
é de 16 dm³. Qual é a sua densidade?
4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade 
média do trem nesse percurso?
5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada de 
278 500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma 
população de aproximadamente 1 156 000 habitantes. Qual é a 
densidade demográfica do estado de Tocantins?
6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 
anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim 
como 
2
5 , determine a idade de cada uma.
7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas 
partes na razão de 4
9
 . Determine o comprimento de cada uma das 
partes.
8. Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de 
largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do 
braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, 
calcule a largura da quarta casa.
9. Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-
se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é 
de:
a) 45
b) 81
c) 85
d) 181
e) 126
10. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o 
primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule 
esses números.
Respostas
1) Resposta “1320 km”.
Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade)
*SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B
 4cm 6cm
O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm)
22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km.
Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km.
2) Resposta “1: 7 000 000”.
Solução: Dados:
Comprimento do desenho: 10 cm
Comprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000 
000 cm
Escala = comprimentododesenhocomprimentoreal =
10
70000000 =
1
7000000 ou1: 7000000
A escala de 1: 7 000 000 significa que:
- 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real;
- 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real;
- 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real.
3) Resposta “8,75 kg/dm³”.
Solução: De acordo com os dados do problema, temos:
densidade = 140kg16dm3 = 8,75kg / dm
3
Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos 
como: 8,75 quilogramas por decímetro cúbico.
4) Resposta “75,5 km/h”.
Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos:
velocidademédia = 453km6h = 75,5km / h
Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,5 
km/h, que lemos: 75,5 quilômetros por hora.
5) Resposta “4,15 hab./km²
Solução: O problema nos oferece os seguintes dados:
Densidadedemográfica = 1156000hab.278500km2 = 4,15hab. / km
2
6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”.
Solução:
A – V = 12 anos
A = 12 + V
A
V =
5
2→
12 +V
V =
5
2
2 (12+V) = 5V
24 + 2V = 5V
5V – 2V = 24
3V = 24
V = 24
3
V (Vera) = 8
A – 8 = 12
A = 12 + 8
A (Ângela) = 20
7) Resposta “24 cm; 54 cm”.
Solução:
x + y = 78 cm
x = 78 - y
x
y =
4
9→
78 − y
y =
4
9
9 (78 - y) = 4y
702 – 9y = 4y
702 = 4y + 9y
13y = 702
Didatismo e Conhecimento 21
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
y = 702
13
y = 54cm
x + 54 = 78
x = 78 - 54
x = 24 cm
8) Resposta “ 27
16 cm
”.
Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha 
constante nas demais, é só determinar qual é esta proporção 
existente entre elas: no caso, = 0,75, ou seja, a largura da 2ª casa 
é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3 . 0,75) = 
2,25 cm.
Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm. 
Portanto a sequência seria: (4...3... ... ...) e assim por diante.
 
Onde a razão de proporção é ... e pode ser representada pela 
expressão:
T
i
 . P elevado à (n - 1)
Onde:
T
i
 = termo inicial, neste caso: 4
P = proporção entre T
i
 e o seguinte (razão), neste caso: 
n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4
Teremos:
(T
i 
= 4; P = ; n – 1 = 3)
4 . = 
9) Resposta “E”.
Solução:
A = 81 litros
A
T =
9
5→
81
T =
9
5
9T = 405
T = 
T = 45
A + T = ?
81 + 45 = 126 litros
10) Resposta “117 e 52”.
Solução:
x – y = 65
x = 65 + y
x
y =
9
4→
65 + y
y =
9
4
9y = 4 (65 + y)
9y = 260 + 4y
9y – 4y = 260
5y = 260
y = 
y = 52
x – 52 = 65
x = 65 + 52
x = 117
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS;
Divisão em duas partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente 
proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e 
duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas
A solução segue das propriedades das proporções:
O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K p e B 
= K q
Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B 
diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo 
que A+B=100, cuja solução segue de:
Segue que A=40 e B=60.
Exemplo: Determinar números A e B diretamente 
proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. 
Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:
Segue que A=96 e B=36.
Divisão em várias partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn 
diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema 
com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M 
e p1+p2+...+pn=P.
Didatismo e Conhecimento 22
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
A solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e 
C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema 
com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. 
Assim:
logo A=20, B=40 e C=60.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente 
proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.
A solução segue das propriedades das proporções:
logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções 
com números negativos.
Divisão em duas partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B 
inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número 
M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que 
são, respectivamente, os inversos de p e q.
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas 
incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:
O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.
Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B 
inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal 
que A+B=120, de modo que:
Assim A=72 e B=48.
Exemplo: Determinar números A e B inversamente 
proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. 
Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:
Assim A=40 e B=30.
Divisão em várias partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn 
inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este 
número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 
1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, 
assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso
cuja solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B 
e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um 
sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. 
Desse modo:
A solução é A=120, B=60 e C=40.
Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente 
proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos 
montar as proporções:
logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.
Existem proporções com números fracionários!
Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor umnúmero M em duas partes A e B diretamente 
proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-
se decompor este número M em duas partes A e B diretamente 
proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas 
equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:
O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.
Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B 
diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 
5 e 7, deve-se montar as proporções:
Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.
Didatismo e Conhecimento 23
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais 
a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a 
diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta 
escrever que A-B=21 resolver as proporções:
Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.
Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., 
Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente 
proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em 
n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., 
pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige 
que X1+X2+...+Xn=M e além disso
A solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C 
diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 
4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas 
de forma de A+B+C=115 e tal que:
logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente 
proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, 
de modo que 2A+3B-4C=10.
A montagem do problema fica na forma:
A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.
REGRA DE TRÊS;
Regra de Três Simples
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um 
processo prático, chamado regra de três simples.
Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos 
litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?
Solução:
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de 
álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem 
em uma mesma linha:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15
 210 x
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), 
vamos colocar uma flecha:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15	
  
 210 x
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de 
álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de 
álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos 
montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna 
“distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de 
álcool”:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15
 210 x
 
 
 mesmo sentido
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:
x
15
210
180
7
6
=
 
 6x = 7 . 15 6x = 105 x = 
6
105 x = 17,5
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.
Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, 
eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade 
para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?
Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as 
grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas 
de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, 
temos:
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4
 80 x
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos 
colocar uma flecha:
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4 
 80 x
Didatismo e Conhecimento 24
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica 
reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e 
tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse 
fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha 
em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:
 
 
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4
 80 x 
 sentidos contrários
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das 
flechas. Assim, temos:
3
4
60
804
=
x 4x = 4 . 3 4x = 12 x = 4
12
 x = 3
 
Resposta: Farei esse percurso em 3 h.
Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um 
competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o 
percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, 
qual o tempo que ele teria gasto no percurso?
Vamos representar pela letra x o tempo procurado.
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade 
(200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 
s e x s).
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os 
outros três.
Velocidade Tempo gasto para fazer o percurso
200 km/h 18 s
240 km/h x
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto 
para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são 
inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são 
inversamente proporcionais aos números 18 e x.
Daí temos:
200 . 18 = 240 . x
 3 600 = 240x
 240x = 3 600
 x = 
240
3600
 x = 15
O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.
Regra de Três Composta
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais 
de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é 
chamado regra de três composta.
Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. 
Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 
dessas peças?
Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as 
grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de 
espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na 
coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
Máquinas Peças Dias
 8 160 4	
  
 6 300 x
Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x.
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No 
nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” 
uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”:
 
 
Máquinas Peças Dias
 8 160 4
 6 300 x
 Mesmo sentido
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais 
(duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido 
à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na 
coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da 
coluna “dias”:
Máquinas Peças Dias
 8