Prova I - 2012.2

Prévia do material em texto

Ca´lculo II
Prof. Valdecir Ju´nior
1a PROVA
NOME:
DATA / /
Obs.: Fac¸a todos os ca´lculos necessa´rios, de maneira precisa e coesa, para as
resoluc¸o˜es das questo˜es.
1. Defina:
a) Sequeˆncia nume´rica;
b) Subsequeˆncia nume´rica;
c) Sequeˆncia mono´tona (crescente, decrescente, na˜o-crescente e na˜o-decrescente);
d) Sequeˆncia limitada inferiormente, superiormente e limitada;
f) Sequeˆncia convergente;
g) Se´ries Infinitas;
h) Sequeˆncia de somas parciais.
2. (Unicidade do Limite) Prove que limites de sequeˆncias sa˜o u´nicos. Desta
forma mostre que , se L1 e L2 forem nu´meros tais que an → L1 e an → L2,
enta˜o L1 = L2.
3. Mostre em cada item se a sequeˆncia converge ou diverge. Se converge encon-
tre o seu limite.
a) (an), com an =
lnn
n ;
b) (an), com an = (
1
n )
1
lnn ;
Sugenta˜o: Observe que an = e
ln an e use o teorema para func¸o˜es
cont´ınuas que diz: Se an → L enta˜o f(an)→ f(L).
c) (an), com an = 1 + (−1)n.
4. Mostre em cad item se a se´rie converge ou diverge. Se converge encontre sua
soma.
a)
∞∑
n=0
( e
pi
)n
;
b)
∞∑
n=1
−n
2n+ 5
;
1
c)
∞∑
n=1
(
1
ln(n+ 2)
− 1
ln(n+ 1)
)
4. Responda V para verdadeiro e F para falso. Justifique sua resposta ou mostre
um contra-exeplo:(respostas sem justificativas sera˜o consideradas
nulas.)
a) Se
∑
xn converge e
∑
yn diverge enta˜o
∑
(xn + yn) converge ou di-
verge?
b) Se lim
n→∞xn = 0 enta˜o a se´rie
∑∞
n=0 xn e´ convergente?
5. Use o Teorema do confronto para mostrar que as sequeˆncias convergem
a)
cosn
n
→ 0;
b) (−1)n 1
n
→ 0.
BOA PROVA!
2