Prova III - 2012.2

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Ca´lculo II
Prof. Valdecir Ju´nior
3a PROVA - Prova I - I Unidade
NOME:
DATA / /
Obs.: Fac¸a todos os ca´lculos necessa´rios, de maneira precisa e coesa, para as
resoluc¸o˜es das questo˜es.
1. Dadas as seguintes func¸o˜es calcule fx, fy, fz, fxx, fyy, fzz, fxy, fxz, fyz;
a) f(x) = x−
√
y2 + z2;
b) f(x) = yz ln(xy);
2. (Equac¸a˜o de Laplace) A equac¸a˜o de Laplace tridimensional e´ dada por
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0.
Mostre que as seguintes func¸o˜es satisfazem a equac¸a˜o de Laplace.
a) f(x) = x2 + y2 − 2z2;
b) f(x) = 2z3 − 3(x2 + y2)z.
3. Use a regra da cadeia para encontrar as derivadas nos pontos dados:
a) Encontre
∂z
∂u
e
∂z
∂v
onde z = 4ex ln y, com x = ln(u cos v), y = u sin v
no ponto (u, v) = (2, pi4 )
b) Encontre
∂u
∂x
,
∂u
∂y
e
∂u
∂z
com u =
p− q
q − r , p = x + y + z, q =
x− y + z, r = x + y − z; no ponto (x, y, z) = (√3, 2, 1).
4. Fac¸a o que se pede:
a) Considere y como uma func¸a˜o diferencia´vel de x. Desta forma encontre
o valor de dydx no ponto dado, onde
xey + sin(xy) + y − ln 2 = 0 , (0, ln 2).
Sugesta˜o: Use derivac¸a˜o impl´ıcita.
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b) Considere z como func¸a˜o de x e y. Desta forma encontre o valor de ∂z∂x
e ∂z∂y no ponto dado, onde
z3 − xy + yz + y3 − 2 = 0 (1, 1, 1).
Sugesta˜o: Considere
∂z
∂x
= −Fx
Fz
e
∂z
∂y
= −Fy
Fz
5. Fac¸a o que se pede:
a) Calcule pela difinic¸a˜o a derivada direcional no ponto P0(−1, 1) onde
f(x, y) = 2x2 + y2 e u = 3i− 4j.
b) Encontre usando ∇h a derivada direcional no ponto P0(0, 0, 0) na
direc¸a˜o do vetor u = 2i + j − 2k, onde
h(x, y, z) = 3ex cos(yz).
c) Sendo
∇f = ∂f
∂x
i +
∂f
∂y
j +
∂f
∂z
k e ∇g = ∂g
∂x
i +
∂g
∂y
j +
∂f
∂z
k.
Mostre que
∇
(
f
g
)
=
g∇f − f∇g
g2
.
BOA PROVA!
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