Prova IV - 2013.1

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Ca´lculo II 2013.1
Prof. Valdecir A. dos Santos Ju´nior
4o PROVA - 2a UNIDADE
NOME:
DATA / /
OBSERVAC¸O˜ES:
• Esta avaliac¸a˜o deve ser realizada individualmente e em sileˆncio. Nenhuma
troca de material entre os alunos durante a avaliac¸a˜o sera´ permitida. O
uso de ma´quinas de ca´lculo (entenda como computadores, calculadoras,
re´guas de ca´lculo,...) na˜o e´ permitido. E´ permitido o uso de la´pis ou
grafite em toda a avaliac¸a˜o;
• Na˜o e´ permitido o uso de folhas avulsas;
• Celulares, smartphone, tablet ou quasquer aparelhos semenhantes devem
estar desligados e na mesa do professor (ou dentro das mochilas, bolsas
etc, ao lado da carteira) durante a avaliac¸a˜o;
• Apenas o professor esta´ autorizado a tirar du´vidas sobre a prova;
• O aluno que infringir alguma das regras acima tera´ a sua avaliac¸a˜o consi-
derada com nota nula;
• Questo˜es (ou partes de questo˜es) com resultado, mas sem desenvolvimento
sera˜o consideradas com nota nula. Resoluc¸o˜es desorganizadas ou na˜o iden-
tificadas sera˜o corrigidas com nota nula;
• Se alguma questa˜o for anulada, os pontos desta sera˜o redistribu´ıdos pelas
questo˜es remanescentes.
• A avaliac¸a˜o tera´ a durac¸a˜o de duas aulas. Salvo quando mencionado pelo
professor o contra´rio.
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1. Encontre a derivada direcional da func¸a˜o
f(x, y) = 2xy − 3y2
no ponto P0(5, 5) na direc¸a˜o do vetor ~v = 4i + 3j.
2. Encontre as direc¸o˜es nas quais a func¸a˜o
f(x, y) = x2y + exy sin y
cresce e decresce mais rapidamente no ponto P0(1, 0).
3. Dada a superf´ıcie x2 + y2 + z = 9 encontre a equac¸a˜o do plano tangente e
da reta normal no ponto P0(1, 2, 4).
4. Encontre todos os pontos de ma´ximos locais, mı´nimos locais e pontos de sela
da func¸a˜o
f(x, y) = x3 + y3 + 3x2 − 3y2 − 8.
5. Propriedades alge´bricas dos gradientes
Dada uma constante k e os gradientes
∇f = ∂f
∂x
i +
∂f
∂y
j +
∂f
∂z
k
e
∇g = ∂g
∂x
i +
∂g
∂y
j +
∂g
∂z
k
Mostre quevale as regras
5.1. ∇(kf) = k∇f ;
5.2. ∇(f + g) = ∇f +∇g;
5.3. ∇(fg) = f∇g + g∇f.
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