ATPS - Matematica financeira

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A matemática financeira é um corpo de conhecimento que estuda a mudança do valor do dinheiro com o passar do tempo. Os elementos básicos do estudo da disciplina serão inicialmente vistos através de uma situação prática para na sequencia defini-las. 
2- CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
Na regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo. A base de cálculo é sempre o valor atual ou valor presente, enquanto na modalidade de desconto bancário a base é sempre o valor nominal do título. Representa uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear sendo indiferente quando os juros são pagos periodicamente ou no final do período total.
Juros simples
No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial. Os juros do período não são somados do capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e não rendem.
2.1- CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Os juros produzidos aqui serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros, formando “juros sobre juros”. Aqui, a capitalização cresce de forma geométrica. Se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital para formar nova base de cálculo no período seguinte.
Juros compostos 
Esse tipo de juros é mais importante na área financeira e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas rotineiros. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
No regime de capitalização simples, os juros intermediários são apenas créditos futuros. No regime de capitalização composta, os juros intermediários são agregados ao principal para os cálculos dos juros de períodos futuros, determinando mudanças em sua base de cálculo.
2.1.1.2 - HP 12c
A calculadora financeira HP 12c é uma ferramenta utilizável na realização de cálculos financeiros. Sabemos que a matemática financeira tem suas aplicações dentro de empresas, tornando-se uma ferramenta indispensável a todos que convivem nas empresas.
Desafios propostos – Caso A
Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dividas impensadas foram contraídas. Deslumbrados pelo grande dia, usaram de forma impulsiva recursos de amigos e créditos pré-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta há cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$256,25 sem juros n cartão de crédito. O Buffet contratado cobrou R$10.586,00, sendo que 25% deste valor deveria ser pago no ato da contratação do serviço, e o valor restante deveria ser pago um mês após a contratação. Na época, o casal dispunha do valor da entrada, e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um empréstimo a juros compostos, concedidos por um amigo de infância do casal. O empréstimo com condições especiais (prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$10.000,00 após dez meses de valor ser cedido pelo amigo. Os demais serviços que foram contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite de cheque especial de que dispunha na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$6.893,17. Na época, a taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao mês.
O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$19.968,17.
3.075,00 ENTER
2.646,50 +
10.000,00 +
6.893,17 +
R$ 22.614, 67
Afirmação errada.
A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcello e Ana foi de 2,3342% ao mês.
M= vp* (1 + 0,023342) ^10
10.000,00 = vp* (1,023342) ^10
10.000,00 = vp* 1,25953
vp= 10.000/1,25953
vp= 7939,47
Afirmação correta
O juro do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente ao valor emprestado de R$6.893,17, foi de R$358,91.
J= 6893,17* (1+0,0781*0,33)
j= 6893,17*1,0258
j= 177,66
Afirmação errada.
Caso B 
Marcelo e Ana pagaram mais juros se, em vez de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$6.893,17, o casal tivesse optado por emprestar de seu amigo a esma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.
J= 6893,17*(1+0,0781)^0,33
j= 6893,17*(1,0781)^0,33
j= 6893,17*1,0251
j= 7.066,37
7.066,37 – 6.893,17 = 173,20.
Pagaria menos juros – 3 e 1.
2.2- Conceitos de séries de pagamentos uniformes – Postecipados e antecipados.
A sequencia uniforme de capitais é o conjunto de pagamentos (ou recebimentos) de valor nominal igual, que se encontram dispostos em períodos de tempo constantes, ao longo de um fluxo de caixa.
- SEQUENCIA UNIFORME DE TERMOS POSTECIPADOS. 
As séries uniformes de pagamento postecipados são aqueles em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada. Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação, representada pela sigla “PMT” onde a mesma significa pagamento ou recebimento.
Série de pagamentos
O estudo das séries nos fornece o instrumental necessário para estabelecer planos de poupança, de financiamento, de recomposição de dívidas e avaliação de alternativas de investimentos. Define-se série, renda, ou anuidade, a uma sucessão de pagamentos, exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir uma dívida ou constituir um capital. Cada um dos pagamentos que compõem uma série denomina-se termo de uma renda e conforme sejam iguais ou não, a série se denominará, respectivamente, uniforme ou variável.
Séries postecipadas e antecipadas 
São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir à taxa de juros considerada; já as series antecipadas são aquelas em que os pagamentos ou recebimentos serão efetuados no início de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada.
Caso A- 
Marcelo adora assistir a bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D, para ver seus títulos prediletos em casa como se estivesse numa sala de cinema. Ele sabe exatamente as características do aparelho que deseja comprar, porque já pesquisou na internet e em algumas lojas de sua cidade. Na maior parte das lojas, a TV cobiçada está anunciada por R$ 4.800,00. No passado, Marcelo compraria a TV em doze parcelas “sem juros” de R$ 400,00, no cartão de crédito, por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessário antes de qualquer compra. Hoje, com sua consciência financeira evoluída, traçou um plano de investimento: durante 12 meses, aplicará R$ 350,00 mensais na caderneta de poupança. Como a aplicação renderá juros de R$ 120,00 acumulados nesses dozes meses, ao fim de um ano, Marcelo terá juntado R$ 4.320,00. Passado o período de 12 meses e fazendo uma nova pesquisa em diversas lojas, ele encontra o aparelho que deseja, última peça (mas na caixa e com nota fiscal), com desconto de 10% para pagamento à vista em relação ao valor orçado inicialmente. Com o planejamento financeiro, Marcelo conseguiu multiplicar seu dinheiro. Com o valor exato desse dinheiro extra que Marcelo salvou no orçamento, ele conseguiu comprar também um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente com a TV, para complementar seu “cinema em casa”. De acordo com a compra de Marcelo, têm-se as seguintes informações: 
O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$600,00 – Afirmação falsa
A taxa média da poupança nestes 12 meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês
350,00 CHs PMT
4320,00 FV
12 n
i
i= 0,5107
Afirmação correta
Caso B
A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana à sua irmã Clara, para ser liquidada em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a taxa de juros compostos que ambas combinaram é de 2,8% ao mês. A respeito deste empréstimo, tem-se: 
Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do crédito, o valor de cadaprestação devida por ela será de R$ 2.977,99. 
30.000,00 CHs PV
12 n
2,8 i
PMT
PMT = 2.977,99 (mês)
Afirmação correta
Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.896,88.
30.000,00 CHs PV
12 n
2,8 i
PMT
PMT = 2.977,99
Afirmação errada
Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21.
Neste caso, deve-se aplicar juros de 4 meses sobre o total onde logo após isso haverá um parcelamento em 12 vezes com o mesmo percentual de juros. Neste caso, a parcela ficara em 12 vezes de R$ 3.325,80com pagamentos da 1ª parcela depois de 4 meses. Com isso, temos a afirmação como errada.
Associação dos números 1 e 9.
2.3- Taxa de juros compostos.
Os juros são aquilo que se agrega ao capital, isto é, os frutos que o capital gera. Eles são compostos, quando, em um período subsequente, passam a fazer parte do capital, fazendo com que os novos juros devidos se apliquem também sobre os anteriores. São os chamados juros sobre juros, ou juros capitalizados. 
M = C x (1+i)^n, onde
C: capital
M: montante
i: taxa de juros
n: período 
TAXA DE JUROS QUE FAZEM PARTE DA ECONOMIA DO BRASIL
Política monetária é o controle da oferta de moeda (dinheiro) na economia, ou seja, o meio de estabilizar e controlar ao máximo os níveis de preços para garantir a liquidez ideal (equilíbrio) do sistema econômico do país. Para controlar a moeda e a taxa de juros as autoridades monetárias utilizam-se dos instrumentos diretos e indiretos: Recolhimento Compulsório, Redesconto Bancário, Operações com títulos Públicos, Controle e Seleção de Crédito e Persuasão Moral. 
Existem dois tipos de política monetária, a ativa e passiva: 
Política monetária ativa: o BACEN controla a oferta de moeda e, nesse caso, a taxa de juros oscila para determinar o equilíbrio entre oferta e demanda de moeda. 
Política monetária passiva: o BACEN visa determinar a taxa de juros, seja pela taxa de redesconto ou de remuneração dos títulos públicos. Neste caso, deixa a oferta de moeda variar livremente para manter esta taxa de juros, ou seja, a oferta de moeda fica endogenamente determinada. 
 As taxas mais utilizadas no Brasil são: 
Sistema Especial de Liquidação e Custódia, conhecida como TAXA SELIC, que é responsável pela negociação de títulos públicos. Ela faz o mesmo processo para títulos públicos. 
Taxa Referencial de Juros ou TR, que reúne a taxa de juros dos 30 maiores bancos, e daí calcula-se sua média, essas taxas são coletadas todo dia, obedecendo a uma sequencia, ela serve para o reajuste da poupança. 
Taxa Básica de Financiamento ou TBF, calcula-se do mesmo do TR, porém seu redutor é menor. 
Taxa de Juros a Longo Prazo ou TJLP, tem como objetivo facilitar, permitir o alongamento de prazos no mercado financeiro, é mais utilizado pelo BNDES. Essa taxa sofre correção a cada três meses, onde se considera a taxa de títulos da dívida externa e da dívida interna federal. 
A taxa Selic é quem determina as demais taxas praticadas no mercado. É partir da determinação desta taxa, que as demais taxas são fixadas no mercado econômico. 
Caso A – 
Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo de investimento. A aplicação de R$ 4.280,87 proporcionou um rendimento de R$ 2.200,89 no final de 1.389 dias.
A respeito desta aplicação tem-se: 
A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%. 
Aplicação = 4280,87 / Rendimento = 2200,89 / Tempo = 1389 dias 
6481,76 = 4280,87 . (1+ i ) ^ 1389 
(1,51)^1389 = 1+ i 
1.0002987 – 1= i 
0,0002987 = i 
i = 0,02987% 
Afirmação correta
A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%.
6481,76 = 4280,87 (1+i) 30 
(1,51)^30 = 1+i 
1,01383 – 1 = i 
I = 1,3831% 
Afirmação errada
A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada mensalmente, é de 11,3509%. 
Caso B-
Nos últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salário de Ana foi de –43,0937%. 
121,03 ENTER 
25,78 Δ% 
= -78,70 
Resposta errada, a perda foi de -78,70%.