gabarito_p2_diurno

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Gabarito da Segunda Prova de Ca´lculo I - 2014
Unifesp- 1o semestre
[01] Calcule
∫ 4
0
3x
√
x2 + 2dx
Resposta:: 52
√
2
[02] Calcule a integral indefinida abaixo:∫
cos7(x)sen(x)dx.
Resposta: − 18cos8(x) + C.
[03] Calcule
∫
x cos(7x)dx
Resposta: 149cos(7x) +
x
7 sen(7x) + C
[04] Qual e´ a a´rea entre as curvas y = cos(x) e y = cos2(x)
entre 0 e pi2 ?
Resposta: Nenhuma das respostas. (1− pi4 )
[05] Calcule a integral abaixo∫
xsen(x)cos(x)dx.
Resposta: −x2 cos2(x) + 14cos(x)sen(x) + x4 + C.
Questa˜o 6 Resolva as integrais abaixo:
(a) (2,0 pontos)
∫
exsen(x)dx
Soluc¸a˜o:
u = sen(x), dv = exdx
v = ex, du = cos(x)dx∫
exsen(x) dx = exsen(x)−
∫
excos(x)dx.
Novamente usando integrac¸a˜o por partes na u´ltima integral do lado direito:
u = cos(x), dv = exdx
v = ex, du = −sen(x)dx∫
exsen(x) dx = exsen(x)−
(
excos(x)−
∫
ex(−sen(x))dx
)
= ex(sen(x)− cos(x))−
∫
exsen(x)dx︸ ︷︷ ︸
←↩
+C ∴
2
∫
exsen(x) dx = ex(sen(x)− cos(x)) + C ⇒
∫
exsen(x) dx =
1
2
ex(sen(x)− cos(x)) + C
(b) (1,0 ponto)
∫
tg(x)dx
Soluc¸a˜o: ∫
tg(x)dx =
∫
sen(x)
cos(x)
dxu = cos(x)
du
dx
= −sen(x)⇒ dx = − du
sen(x)∫
tg(x)dx = −
∫
du
u
= −ln|cos(x)|+ C
(c) (2,0 pontos)
∫
1
x2
√
16−x2 dx
Soluc¸a˜o:
Fazendo a substituic¸a˜o trigonome´trica x = 4 sen(θ)⇒ dx = 4 cos(θ)dθ temos∫
1
x2
√
16− x2 dx =
∫
1
16sen2(θ)
√
16− 16sen2(θ)4 cos(θ)dθ
=
1
16
∫
1
sen2(θ)
���
�4 cos(θ)
���
�4 cos(θ)
dθ =
1
16
∫
cossec2(θ)dθ = − 1
16
cotg(θ) + C
O triaˆngulo nos permite escrever
1
θ
x
√
16− x2
4
∫
1
x2
√
16− x2 dx = −
√
16− x2
16x
+ C
2