Roteiro_3 (Célia)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
Campus de Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências 
Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 
Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 
 
Matemática Aplicada à Engenharia- 2
o
 Semestre de 2014 
 
Roteiro 3: EDO Lineares de Primeira Ordem - Técnicas de Solução 
 
Objetivos: Determinação de soluções de uma EDO linear de primeira ordem. 
 
(1) Solução Por integração Direta 
 
Vimos que uma EDO de 1
a
 Ordem tem a forma normal: 
 
)y,x(f
dx
dy

. (1) 
 
Suponha que f(x, y) = f(x), a função f não depende da variável desconhecida y, isto é: 
 
)x(f
dx
dy

. (2) 
 
 
Nesse caso particular, para achar soluções de (1), basta integrar diretamente, isto é: 
 
dx)x(fdy  
 
e então, 
cdx)x(fy  
 (3) 
 
é a solução geral da EDO linear (2). 
 
Exemplo: A solução geral da EDO
senx
dx
dy

 é dada por: 
 
y sendx cos x C   
. 
 
Problema 1: Determine as soluções das EDO lineares de primeira ordem: 
(a) 
x2e1
dx
dy

; 
(b) 
  2/12 9x
x
dx
dy


, y(4) =2. 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
Campus de Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências 
Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 
Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 
 
 
Aplicação: Análise do movimento de uma partícula ao longo de uma reta. 
 
 O movimento de uma partícula ao longo de uma reta é descrito por sua função 
posição, dada por: 
 
x = f(t) 
 
que fornece sua coordenada no instante t. A função velocidade da partícula, v(t) é definida 
como sendo a taxa de variação da posição em relação ao tempo, dada por: 
 
dt
dx
dt
)t(df
)t(v 
. (4) 
 
A função aceleração da partícula, a(t) é definida como sendo a taxa de variação da 
velocidade em relação ao tempo, dada por: 
 
2
2
dt
xd
dt
)t(dv
)t(a 
. (5) 
 
Para a determinação da posição, basta iniciar resolvendo a EDO linear (5), isto é: 
 
dt
)t(dv
a 
, 
para a constante, então: 
 
  Catadt)t(v
. (6) 
 
Mas v = vo se t = 0, então, C = vo. Portanto, a equação (6) se escreve como: 
 
ovat
dt
dx
)t(v 
. (6) 
Uma segunda integração, gera: 
 
 
 
(6) 
 
 
 
Tomando t = 0, x = xo, obtém-se: 
 
2o
2
o
Ctvat
2
1
 
dtvatvdt)t(x

 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
Campus de Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências 
Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 
Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 
 
 
 
. 
 
 
(2) Solução de Equações Separáveis e Aplicações 
 
Uma EDO de 1
a
 Ordem, com variáveis separáveis é aquela que pode ser expressa da 
forma: 
 
dy M( x )
f ( x,y )
dx N( y )
 
 (7) 
 
ou 
 
0dx)x(Mdy)y(N 
 (8) 
 
quando as variáveis x e y podem ser separadas, isto é, a equação (8) se escreve como: 
 
dx)x(Mdy)y(N 
. (9) 
 
 
Observe que quando N(y) = 1, a equação (8) se reduz a equação (2), 
)x(f
dx
dy

. 
 Para a obtenção da solução da equação diferencial (9), basta integrar essa equação 
diretamente, ou seja: 
 
Cdx)x(Mdy)y(N  
. (10) 
 
 Para a determinação da solução, o que é necessário é que as primitivas 
 dy)y(N)y(F
 e 
 dx)x(M)x(G
 possam ser determinadas. 
 
Problema 2: Resolva os seguintes problemas de valor inicial: 
(a) 
xy6
dx
dy

, 
7)0(y 
; 
(b) 
y
e
dx
dy x

, 
1)0(y 
; 
(c) 
1y6
xcosx
dx
dy
5 

, 
0)(y 
; 
Problema 3: Resolva a EDO 
1y3
1x
dx
dy
x
2
2
2



. 
oo
2 xtvat
2
1
)t(fx  
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
Campus de Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências 
Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 
Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 
 
 
Observação: Quando não for possível a determinação explícita da função solução y(x), a 
equação encontrada é denominada de solução implícita da ED. Como a equação 
determinada depende de uma constante C, essa solução também é dita uma solução geral 
de (10). 
 
 De forma análoga aos casos anteriores, problemas de valores iniciais também 
podem ser resolvidos e suas soluções particulares determinadas. 
 
Exemplo: Resolva o PVI
1y3
1x
dx
dy
x
2
2
2



 y(1) =2. 
Como do problema 3, 
C
x
1
x y +y3
, fazendo x = 1 e y = 2 nessa equação, obtém-
se C = 10 e então a solução particular desejada, definida implicitamente através da 
equação é: 
 
10
x
1
x y +y3
. (11) 
 
Observação: Através de resoluções numéricas, soluções explícitas da equação (10) podem 
ser obtidas, para um valor específico de x. 
 
De fato, fazendo x = 2 em (11), obtém-se: 
 
5,11y +y3
, 
 
cuja única solução é 
10973,2y 
. Assim, foi obtida a solução do PVI 
10973,2 y(2)
. 
 
Problema 4: Resolva as EDO: 
(a) 
1yx2
dx
dy

; 
(b) 
2y2xxy
dx
dy

, 
2)0(y 
; 
 
Aplicação: Crescimento Populacional. 
 Em março de 1987, a população mundial atingiu cinco bilhões, e estava crescendo à 
taxa de 380 mil pessoas por dia. Assumindo taxas de natalidade e mortandade constantes, 
para quando se deve esperar uma população mundial de 10 bilhões de pessoas? 
 
Solução do Problema: Determinação do Modelo Matemático 
 A estimativa do crescimento de uma população visa tratar problemas tais como: 
 uso correto de recursos públicos; 
 programação de construção de postos de saúde; 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
Campus de Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências 
Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 
Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 
 
 planejamento da urbanização das cidades; 
 melhor temporada para pesca; 
 previsão da quantidades de pessoas no globo nas próximas décadas, etc.... 
 Thomas Robert Malthus propôs o primeiro modelo matemático de estimativa da 
população mundial, publicado em 1798. Nesse modelo, Malthus considerou: 
 p(t) o total da população de um país num instante t (de humanos,insetos, animais ou 
bactérias); 
 Que num intervalo de tempo t o número de nascimentos e mortes são proporcionais 
ao tamanho da população e ao tamanho do intervalo, isto é: 
 
 número de nascimentos = p(t)t, 
 
número de mortes = p(t)t 
 
sendo  e  os coeficientes de natalidade e mortandade respectivamente. 
Assim, 
 
p(t) = p(t +t) - p(t) = p(t)t - p(t)t = ( -)p(t)t, 
 
Portanto, 
)p(t) - ( 



t
)t(p
 
 
Tomando o limite quando t 0, obtém-se: 
 
 p
dt
)t(dp
 
 (12) 
 
que é o modelo matemático para o crescimento populacional. Assim, a taxa de variação de 
uma população é proporcional à população em cada instante. 
A solução de (12) é dada por: 
 
 t
0ep)t(p

, p(0) = po. 
 
Observa-se que: 
(a) Se  = , então p(t) = po e então a população não varia. Isso Significa que os índices 
de natalidade e mortalidade são iguais; 
(b)  > , isto é, o índice de nascimento é maior que o de mortalidade, então a população 
cresce exponencialmente com o tempo; 
(c)  < , isto é, o índice de nascimento é menor que o de mortalidade, então a população 
diminui e tende a extinção. 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
Campus de Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências 
Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 
Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 
 
 
Figura 1: O crescimento populacional de Malthus 
 
 Esse modelo não expressa a realidade do crescimento populacional, já que não 
mostrou eficiência para análise do crescimento em países desenvolvidos. Ele é eficiente em 
estimativas a curto prazo e em países do terceiro mundo e em populações de 
microrganismos em períodos limitados de tempo, mas falha exatamente por prever 
crescimentos populacionais cada vez maiores. 
 Malthus sustentava que existem fatores inibidores tais como fome, guerra, 
condições sanitárias, miséria, situações de poluição ambiental que vão interferir no 
crescimento populacional após um limite de subsistência, e então não mais haveria 
crescimento. 
 Levando esses fatores inibidores em conta, em 1837 Verhulst propõe outro modelo 
com esse fator de correção. 
 
Problema 5: Encontre a solução do Problema Proposto, sendo que a medida da população 
p(t) é em bilhões e o tempo t em anos. 
 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
10
20
30
40
50
60
70
80
 
 
X: 0.761
Y: 45.81
alpha = 4
beta = 2
po = 10
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
alpha = 2
beta = 4
po = 10