Roteiro_6 (Célia)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
Campus de Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências 
Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 
Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 
 
Matemática Aplicada à Engenharia- 2
o
 Semestre de 2014 
Roteiro 6: Equação Exatas e Fatores de Integração 
 
Objetivos: Determinar as soluções de EDO Exatas. 
 
1. Equações Exatas e Sua Solução 
Considere o problema de se resolver a equação diferencial: 
 
2dy 2x y
dx 2xy
 

 ou 
0
dx
dy
xy2yx2 2 
. (1) 
. 
A equação (1) é não linear e nem de variáveis separáveis de modo que os procedimentos para 
solução desses tipos de EDO não se aplicam. Note que a equação (1) é uma equação de Bernoulli, sendo 
n = -1. Mas pode ser colocada a seguinte questão: 
 
Questão: Será que não existe uma metodologia mais simples para obtenção da solução dessa EDO? 
 
A resposta a essa questão é sim. Observe que a função: 
 
22 xyx)y,x( 
 
tem a propriedade: 
2yx2
x



 e 
xy2
y



. (2) 
 
Assim, a equação (1) pode ser escrita como: 
 
     2 2 2 2 2 2 2
dy dy d
2x y 2xy x xy x xy x xy 0
dx x y dx dx
 
        
 
 (3) 
 
Portanto, a equação (3) é equivalente a: 
 
 2 2 2
dy d
2x y 2xy x xy 0
dx dx
    
. (4) 
 
A família a um parâmetro de soluções de (4) tem a forma: 
 
Cxyx 22 
. 
 
Observações: 
(1) Ao se determinar a solução da equação (1), a etapa fundamental foi a do reconhecimento da 
existência da função 
)y,x(
, que obedece às relações dadas por (2); 
(2) A EDO (1) possui uma forma padrão, a saber, 
0
dx
dy
)y,x(N)y,x(M 
; 
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(3) De uma forma geral, a EDO na forma normal: 
 
)y,x(f
dx
dy

 (5) 
 
também pode ser escrita nessa forma padrão, isto é: 
 
0dy)1(dx)y,x(f 
. (6) 
 
Esta é a sua forma diferencial. De forma mais geral, a equação: 
 
)y,x(N
)y,x(M
)y,x(f
dx
dy

 
pode ser escrita na forma: 
0
dx
dy
)y,x(N)y,x(M 
. (7) 
 
Algumas vezes é conveniente escrever (7) na forma: 
 
0dy)y,x(Ndx)y,x(M 
 (8) 
 
que é a forma diferencial de uma equação diferencial. Suponha que exista uma função 
)y,x(
 tal que: 
 
)y,x(M
x



 e 
)y,x(N
y



, (9) 
 
de modo que 
)y,x(
 = C obedece implicitamente à equação y = (x), como uma função derivável de x. 
Então, de (9), tem-se que: 
 
  0)x(,x
dx
d
dy
y
dx
x
dy)y,x(Ndx)y,x(M 





 
. (10) 
 
Assim, a equação diferencial (7) ou (8) se escreve como: 
 
  0)x(,x
dx
d

, (11) 
 
cuja solução é dada implicitamente pela família a um parâmetro: 
 
)y,x(
 = C. 
 
Tem-se a seguinte definição: 
 
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Definição: A equação 
0dy)y,x(Ndx)y,x(M 
 é dita exata, se existir uma função de duas variáveis 
)y,x(
 tal que 
dy)y,x(Ndx)y,x(Md 
. 
 
 Pela definição, a equação dada equivale a 
0d 
, 
)y,x( 
. 
 No exemplo dado, foi fácil ver que a equação dada era exata, e fácil encontrar a sua solução, 
identificando-se a função 
)y,x( 
. Isso nem sempre é simples ou possível. O teorema, a seguir, 
fornece uma maneira sistemática de determinar se uma equação é ou não exata. 
 
Teorema 1: Suponha que M(x, y) e N(x, y) sejam contínuas e possuem derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas num retângulo aberto R: a < x < b, c < y < d. Então a equação diferencial 
0dy)y,x(Ndx)y,x(M 
 é exata em R se e somente se 
x
N
y
M





 em cada ponto de R. Isto é, existe uma 
função 
)y,x( 
 que satisfaz 
)y,x(M
x



 e 
)y,x(N
y



, se e somente se M e N satisfazem a 
condição 
x
N
y
M





. 
 
Exemplo: A equação diferencial 
0dyxy3dxy 23 
 é exata. 
 
De fato, é fácil ver que: 
  0xy
dx
d
dyxy3dxy 323 
. 
 
Portanto, a função 
3xy)y,x( 
 tem a propriedade: 
 
3y)y,x(M
x



 e 
2xy3)y,x(N
y



. 
 
Pelo teorema anterior a equação dada é exata e, além disso, a solução geral é dada pela família a um 
parâmetro: 
 
Cxy3 
. 
 
 
Observação: Pelo teorema anterior, vimos que se 
x
N
y
M





 vale, então podemos construir uma função 
)y,x( 
 tal que 
)y,x(M
x



 e 
)y,x(N
y



. Como construir 
)y,x( 
? 
 
Para essa construção, note que para qualquer que seja a função g(y), a função: 
 
  )y(gdxy)M(x, y x,  
 (12) 
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satisfaz a condição 
)y,x(M
x



. Deseja-se escolher g(y) de modo que também: 
 
)y(gdxy)M(x,
y
)y(gdxy)M(x,
yy
)y,x(N 



















 
 . (13) 
 
Assim, 








  dxy)M(x,yN)y(g
. (14) 
Portanto, 
  dydxy)M(x,
y
Ndxy)M(x, y x,   















 (15) 
com a função desejada satisfazendo: 
 
)y,x(M
x



 e 
)y,x(N
y



. 
 
Ao invés de trabalhar com a função (15), é geralmente melhor repetir todo o processo cada vez que 
se tornar necessário. 
 
Exemplo: Resolva a equação diferencial 
0
dx
dy
)1exsenx()xe2xcosy( y2y 
. 
A equação dada tem a forma 
0dy)1exsenx(dx)xe2xcosy( y2y 
. Assim, tem-se que: 
 
  yxe2xcosyy,xM 
 e 
  1exsenxy,xN y2 
. 
Além disso, 
x
N
xe2xcos
y
M y




. 
 
Portanto, a equação dada é exata. Assim, existe uma função 
)y,x( 
 que satisfaz: 
 
)y,x(M
x



 e 
)y,x(N
y



, isto é: 
 
yxe2xcosy
x



 e 
1exsenx
y
y2 


. (16) 
 
De (12), para obter a expressão de 
)y,x( 
, basta integrar inicialmente a primeira equação de (16), 
obtendo-se: 
 
 
)y(gexysenx 
)y(gdxxe2xcosy y x,
y2
y

  . (17) 
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Como 
)y,x(N
y



, de (17) tem-se que: 
)y(gexsenx
y
1exsenx)y,x(N y2y2 



 
e portanto: 
1)y(g 
 e 
y)y(g 
. 
 
A constante de integração pode ser C = 0 porque qualquer solução satisfaz. Assim, tem-se que: 
 
  yexysenx y x, y2 
. (18) 
 
Agora, a solução é obtida facilmente, pois: 
 
0
dx
dy
)1exsenx()xe2xcosy( y2y 
 
é equivalente a: 
 
0dy)1exsenx(dx)xe2xcosy( y2y 
 
que é equivalente a: 
 
   
0
dx
yexysenxd
 
dx
y x,d y2



 . 
 
A solução é dada pela família a um parâmetro: 
 
Cyexysenx y2 
. 
 
Problema 1: Resolva as equações diferenciais: 
(a) 
    0
dx
dy
xyxyxy3 22 
; 
(b) 
0dy)y2ycosx(dx)senyx( 
; 
(c) 
0dy)xy3x3y4(dx)yxy6( 223 
 
 
2. Fatores Integrantes 
 
Considere a equação diferencial: 
 
0xdyydx 
. 
 
Essa equação não é exata, mas a multiplicação da equação pela função 
2y
1
)y,x( 
 torna essa 
equação exata. 
 
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De fato: M(x, y) = y e N(x, y) = -x. Assim, 
 
1
x
N
1
y
M






. 
 
Portanto a equação não é exata. Agora, a multiplicação pela função 
2y
1
)y,x( 
 gera: 
 
0
y
xdyydx
2


 e 
x
N
y
1
y
M
2 




. 
 
Portanto segue o resultado desejado. Observe agora que a equação 
0
y
xdyydx
2


 é equivalente a: 
0
y
x
dx
d
y
xdyydx
2








. 
 
Assim, a solução a um parâmetro é dada por: 
Cxy 
. 
 
 A função 
2y
1
)y,x( 
é denominada fator de integração da equação diferencial. 
Em geral, uma EDO na forma 
0dy)y,x(Ndx)y,x(M 
 não é exata. No entanto, em alguns casos é 
possível torná-la exata multiplicando-a por uma função 
)y,x(
 chamada fator integrante. 
Considere a equação diferencial na forma 
0dy)y,x(Ndx)y,x(M 
. Em geral, determinam-se fatores 
integrantes por inspeção. No entanto, tem-se o resultado seguinte para a determinação de um fator de 
integração. 
 
Teorema: Dada a EDO 
0dy)y,x(Ndx)y,x(M 
, são válidas: 
a) 




  dx)x(fexp)x()x(f)NM(N
1
xy 
; 
b) 




  dy)y(gexp)y()y(g)NM(M
1
xy 
 ; 
c) 
NyMx
1
)y,x(
)y,x(gxN
)y,x(fyM






 
 . 
 
Exemplo: Ache a solução da equação
    0
dx
dy
xyxyxy3 22 
. 
Tem-se que: 
 
)x(f
x
1
xyx
yx2y2x3
)NM(
N
1
2xy




. 
Assim, 
xdx
x
1
exp)x( 





 
. 
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A solução é a família a um parâmetro: 
Cyx
2
1
yx 223 
. 
 
Problema 2: Resolva as equações diferenciais: 
(a) 
  0dyysenx54xdxcosy2 
 
(b) 
0dyxydxy2 
, 
0x 
, 
0y 
. 
(c) 
0dy)xy2xy3x(dx)yx( 2322 
. 
 
Observação: As equações da forma: 
 
 
    0dyxadxyayxdyxadxyayx 43
kk
21
kk 4321 
, 
 
 
têm um fator integrante do tipo: 
nm yx)y,x( 
. 
 
Problema 3: Resolva a equação 
dyxy12dxy6dyx2dxxy3 232 
. 
 
Aplicação: