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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Matemática Aplicada à Engenharia- 2 o Semestre de 2014 Roteiro 1: Introdução ao estudo das equações diferenciais ordinárias Objetivos: Introduzir a terminologia básica utilizada no estudo de equações diferenciais ordinária linear e não linear. 1. Introdução. As leis que gerem os fenômenos no universo estão em grande parte descritas em linguagem matemática. Por exemplo, a Lei de Gravitação universal. A Gravitação universal é uma força fundamental de atração que age entre todos os objetos por causa de suas massas, isto é, a quantidade de matéria de que são constituídos. É devido a força de gravitação que o universo se mantém unido e ainda se observa os seguintes fenômenos: A manutenção dos planetas em suas órbitas; As marés oceânicas na terra são causadas pela força de gravidade da Lua; Os objetos sobre a terra são atraídos em sua direção; A atração física que um planeta exerce sobre os objetos próximos é denominada força da gravidade. A lei da gravitação universal foi formulada pelo físico inglês Sir Isaac Newton, publicada em 1687. Segundo essa lei, dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distância r entre si, esses dois corpos se atraem mutuamente com uma força que é proporcional à massa de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa esses corpos. Figura 1: A Lei de gravitação universal. Em linguagem matemática, essa lei pode ser escrita assim: 2 21 r mm GF . Como os fenômenos naturais envolvem mudanças, estes são melhores descritos por equações que relacionam quantidades variáveis. Por exemplo, a posição da lua Ganimedes do planeta Júpiter é uma variável que muda com o passar do tempo, sendo representada por x(t). UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Figura 2: Júpiter e suas luas. A taxa de variação de x(t) em relação ao tempo pode ser representada por sua derivada: dt dx ou )t(x . Assim, é natural que equações envolvendo derivadas sejam frequentemente usadas para descrever o universo em mudança. Uma equação que envolve uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas é o que se chama equação diferencial. Exemplos: 1. A equação: 22 tx dt dx envolve uma função desconhecida x da variável independente t e sua derivada primeira. 2. A equação: 0y7 dx dy 3 dx yd 2 2 envolve a função desconhecida y da variável independente x, junto com suas derivadas de primeira e segunda ordem. 2. Terminologia Básica. A primeira terminologia básica a ser introduzida na discussão de uma ED é o conceito de ordem. Definição: Define-se a ordem de uma equação diferencial como sendo a ordem da mais alta derivada que nela aparece. Exemplos: 1. 1yy 22 equação diferencial de primeira ordem; 2. 0yyx4 2 equação diferencial de segunda ordem; UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 3. senxyyx4y 24 equação diferencial de quarta ordem. Observação: Note que as equações diferenciais do exemplo anterior podem ser escritas nas seguintes formas: (1) 01yy 22 , isto é, 0)y,y,t(F ou 1yy 22 ; (2) 0yyx4 2 , isto é, 0)y,y,x(F ou 2x4 y y ; (3) 0senxyyx4y 24 , isto é, 0)y,y,y,x(F )4( ou senxyyx4y 24 . A forma mais geral de uma equação diferencial de ordem n, na variável independente x e função desconhecida ou variável dependente y = y(x) é dada por: 0)y,...,y,y,y,x(F )n( ou (1) ( n ) ( n 1 )y f ( x,y,y ,y ,...,y ) sendo F e f funções específicas a valores reais em n + 2 e n + 1 variáveis respectivamente. Observação: Vamos admitir que sempre será possível resolver uma dada edo na derivada de ordem mais elevada e ter: ( n ) ( n 1 )y f ( x,y,y ,y ,...,y ) . (1.1) Só serão estudadas equações na forma (1.1) para evitar ambiguidades que podem aparecer, pois uma equação na forma 0)y,...,y,y,y,x(F )n( pode corresponder diversas equações da forma (1.1). Exemplo: A equação 2 y ty 4y 0 , leva a duas equações: 2t t 16 y y 2 ou 2t t 16 y y 2 . O estudo das Equações Diferenciais tem dois objetivos principais: 1. Descobrir a equação diferencial que descreve uma situação física específica; 2. Achar a solução apropriada dessa Equações Diferencial. Questão: O que vem a ser uma solução de uma ED? UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Em álgebra, procuramos números desconhecidos que satisfazem uma equação como por exemplo a equação: 01x3x4x 23 . Em uma equação diferencial, procuramos uma função, definida em um intervalo da reta, para os quais vale uma identidade dada pela equação diferencial, como por exemplo a ED: 0yyx4 2 . Isso é o que significa uma solução de uma equação diferencial. Definição: Diz-se que uma função y = u(x) é uma solução da equação diferencial (1) no intervalo I, se as derivadas )n(y,...,y,y existem em I e 0)y,...,y,y,y,x(F )n( para todo x I. Exemplos: (a) A função 2xe)x(y representa uma solução da ED: xy2 dx dy para todo x; (b) A função xlnxx2)x(y 2 1 2 1 satisfaz a equação diferencial: 0yyx4 2 para todo x > 0. Portanto y(x) constitui uma solução desta ED. Problema 1: Quantas soluções tem a equação diferencial xy2 dx dy ? Exemplos: (1) A função 2xCe)x(y representa uma família de soluções da ED: xy2 dx dy para todo x. 2xCe)x(y é denominada uma família a um parâmetro de soluções da ED; UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ (2) A funçãoy(x) = A cos3x + B sen(3x), para A e B parâmetros constantes é uma família a dois parâmetros de soluções da equação diferencial de segunda ordem: 0y9y . Definição: A solução geral de uma ED de ordem n é uma função )c,...,c,c,x(f n21 que depende de n constantes arbitrárias, de modo que, sempre se obtém uma solução quando se escolhe valores determinados para as constantes. Uma solução particular é uma solução tomada dentro da família de soluções, adotando-se valores específicos para as constantes na solução geral. Exemplos: (a) 1 x c )x(y , sendo c constante é solução geral da ED 1y dx dy x . Uma solução particular é da forma 1 x 1 )x(y ; (b) A solução geral de xcos'y é da forma csenx)x(y , sendo C uma constante. Os gráficos de csenx)x(y , para cada c são chamados de curvas integrais de xcos'y . Definição: Uma solução singular de uma ED é aquela que não pode ser obtida da solução geral por escolha conveniente das constantes. Exemplo: A solução geral de 0y'y 2 é cx 1 )x(y , com c constante, porém Rx,0)x(y é solução, que não pode ser obtida da solução geral, qualquer que seja o valor de c, sendo portanto solução singular. Observações: (1) Admite-se que todas as soluções de uma ED de ordem n possam ser escritas na forma )c,...,c,c,x(fy n21 , sendo ic constante }n,..,1{i , uma vez que as soluções singulares raramente ocorrem nos problemas práticos; (2) Na procura da solução para uma ED, o objetivo é a determinação de todas as soluções, se possível. Agora, o fato de se poder escrever uma equação diferencial não significa que esta tenha solução. De fato, a equação diferencial: 1yy 22 não tem solução. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Admite-se que qualquer ED pode ser resolvida explicitamente em termos da derivada de mais alta ordem, isto é, que a equação diferencial (1) pode ser escrita na forma: )y,...,y,y,y,x(fy )1n()n( . (2) sendo f uma função real a n + 1 variáveis. A forma (2) é dita forma Normal. Quanto a soluções de (2), procura-se sempre soluções reais a menos de aviso em contrário. 3. Classificação das Equações Diferenciais. As equações diferenciais podem ser classificadas mediante o fato da função desconhecida depender de uma só ou de diversas variáveis independentes. Considere a ED nas formas (1) ou (2), isto é: 0)y,...,y,y,y,x(F )n( ou 0)y,...,y,y,y,x(fy )1n()n( . Definição: Se a função desconhecida y = y(x) (variável dependente) depender apenas de uma única variável independente, as equações (1) ou (2) serão denominadas equações diferenciais ordinárias (EDO). Caso contrário, a equação será denominada equação diferencial parcial (EDP). Observação: Pela definição anterior, a EDO depende apenas de derivadas ordinárias enquanto que uma EDP de derivadas parciais. Exemplos: 1. 0y9y (EDO); 2. 01yy 22 (EDO); 3. 0senxyyx4y 24 (EDO); 4. 0 x u x u x u 321 (EDP); 5. 2 2 x u k t u (EDP do calor numa barra fina e longa). Definição: Uma EDO de 1 a Ordem tem a forma: ),(' yxfy UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Exemplo: 0y'y 2 ou 2y'y . Dada uma ED, podem ser colocados dois tipos de problemas: (1) Problema de Valor Inicial (PVI): Um PVI consiste em determinar a solução de uma EDO de ordem n, )x(yy , satisfazendo as condições iniciais 00 y)x(y ; 00 'y)x('y ;. . .; )1n( 00 )1n( y)x(y , com )x(y definida (pelo menos) em um intervalo do tipo 0xx , 0 . Observações: (a) Resolver o PVI: )y,...,y,y,y,x(fy )1n()n( 00 y)x(y 00 'y)x('y (3) . . . )1n( 00 )1n( y)x(y significa achar um função diferenciável y = y(x) que satisfaça todas as condições de (3). (b) Quando se conhece a solução geral de uma EDO, torna-se simples resolver um PVI; (c) Em um PVI, xo = 0 ou não. Exemplo: Dada a solução xC 1 )x(y da edo 2y dx dy , resolva o PVI: 2y dx dy y(1) = 2. (2) Problema de Valor de Fronteira (PVF): Um PVF consiste em impor algumas das n condições em um ponto x2 e outras em um ponto x1 do domínio da solução procurada. Também nesse caso o conhecimento da solução geral simplifica o problema. Exemplo: Sabendo-se que xcoscxsenc)x(y 21 é solução geral de 0y''y 2 dar a solução do PVF com 0)1(y)0(y . 4. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares e não Lineares. Considere a EDO: )y,...,y,y,y,x(fy )1n()n( . (4) Definição: A equação (4) é dita linear quando somente aparecer nessa equação primeiras potências da variável dependente e de suas derivadas. Caso contrário, (3) é dita não linear. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Exemplos: (a) 0y9y (EDO linear de segunda ordem); (b) 01yy 22 (EDO de primeira ordem não linear); (c) 0senxyyx4y 24 (EDO linear de quarta ordem); (d) 22 yx dx dy (EDO de primeira ordem não linear). Em geral, uma EDO linear tem a forma geral: )t(gy)t(a...y)t(ay)t(a n 1n 1n n n (4) Quando g(t) = 0, a EDO (4) é dita homogênea, caso contrário, não homogênea. Uma EDO que não tenha a forma (4) é dita não linear. 5. O Modelo Matemático de um Sistema Físico. Usando as leis físicas, é possível a obtenção de uma ED que representa o funcionamento do sistema físico. Essa equação ou conjunto de equações denomina-se o modelo matemático do sistema e o comportamento dinâmico deste é obtido a partir de um tal modelo. Exemplo 1: O modelo simplificado da suspensão de um automóvel. Figura 3: Modelo simplificado da suspensão de um automóvel. Obtém-se a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem: iiooo kxxbkxxbxm sendo que: xi é o movimento no ponto P (entrada do sistema); xo representa o movimento vertical (saída do sistema); m, k e b: massa, a constante da mola e o amortecimento. Esse é o modelo matemático desse sistema. UNIVERSIDADEESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Exemplo 2: Considere o sistema térmico, cujo objetivo é medir a variação da temperatura indicada pelo termômetro quando este é mergulhado em um líquido quente, ao longo do tempo (Bolton, 1993; Ogata, 2003). Figura 4: Um sistema térmico simples. Este sistema é descrito pela EDO de primeira ordem: L dt d RC , na qual: é a temperatura indicada no termômetro; L é a temperatura do líquido quente; R é a resistência térmica do fluxo de calor do líquido para o termômetro; C é a capacitância térmica do termômetro. Exemplo 3: O levitador magnético simplificado Considere o problema de manter um corpo magnetizado, levitando e em equilíbrio, suspenso no ar: Figura 5: O levitador magnético simplificado. Aplicando a segunda lei de Newton a esse sistema de forças, obtém-se a equação: ( , )mx mg F x I sendo: m é a massa do corpo, g é a aceleração da gravidade; F(x;I) é a força de interação magnética entre o imã e a massa, função da distância x e da intensidade de corrente elétrica I. Dentre as expressões usadas para a força magnética, destacam-se: UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 2 2 x I k)I,x(F , a/x2ekI)I,x(F ou 2 2 x I k)I,x(F . Exemplo 4: Considere o sistema massa mola amortecedor dado pela figura 6, a seguir. Figura 6. Sistema massa-mola-amortecedor. O modelo matemático desse sistema é governado pela EDO linear: )t(Fkx dt dx dt xd m 2 2 Exemplo 5: O modelo do movimento de um pêndulo simples. Determinar o movimento do pêndulo significa determinar como o ângulo varia com o tempo t, isto é, encontrar (t). O modelo matemático que representa a variação angular de um pêndulo simples de massa m e comprimento l, não amortecido, sujeito à ação da gravidade g, tem a forma: Figura 6. O sistema pêndulo simples de massa m. Como exemplos de sistemas que funcionam como pêndulos temos um balanço de criança e um relógio de pêndulo. Exemplo 6: O modelo matemático de um sistema resistor-indutor-capacitor: 0)t(sen l g dt )t(d 2 2 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Figura 6. O sistema resistor-indutor-capacitor. O modelo matemático desse sistema físico é dado pela EDO linear e com coeficientes constantes: vv dt dv RC dt vd LC c c 2 c 2 Exemplo 7: O modelo matemático de um cabo suspenso, como por exemplo um cabo longo de fio de telefone pendurado entre dois postes. Figura 6. O sistema físico de um cabo suspenso. O modelo matemático desse sistema físico é dado pela EDO não linear com coeficientes constantes: 2 1 2 2 dx dy 1 T w dx yd . Figura 7: O cabo suspenso - Arco de Gateway em St. Louis. Exemplo 8: O modelo matemático de deflexão de vigas. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Bauru Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ Figura 8. O sistema físico de uma viga engastada. O modelo matemático desse sistema físico é dado pela EDO linear e com coeficientes constantes: )x(w dx yd El 4 4 . São exemplos de vigas engastadas ou vigas em balanço: um trampolim, um braço estendido, uma asa de avião, mastros de bandeira, arranha céus, etc... Figura 9: Mastros de bandeira e o Washington Monument . Referência: Bolton, W. Engenharia de Controle, 1a. ed., SP, Makron Books, 1993.
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