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Roteiro_1 (Célia)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
Campus de Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências 
Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 
Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 
 
Matemática Aplicada à Engenharia- 2
o
 Semestre de 2014 
 
Roteiro 1: Introdução ao estudo das equações diferenciais ordinárias 
 
Objetivos: Introduzir a terminologia básica utilizada no estudo de equações diferenciais 
ordinária linear e não linear. 
 
1. Introdução. 
 As leis que gerem os fenômenos no universo estão em grande parte descritas em 
linguagem matemática. Por exemplo, a Lei de Gravitação universal. 
 A Gravitação universal é uma força fundamental de atração que age entre todos os 
objetos por causa de suas massas, isto é, a quantidade de matéria de que são constituídos. É 
devido a força de gravitação que o universo se mantém unido e ainda se observa os 
seguintes fenômenos: 
 A manutenção dos planetas em suas órbitas; 
 As marés oceânicas na terra são causadas pela força de gravidade da Lua; 
 Os objetos sobre a terra são atraídos em sua direção; 
 A atração física que um planeta exerce sobre os objetos próximos é denominada força 
da gravidade. 
 A lei da gravitação universal foi formulada pelo físico inglês Sir Isaac Newton, 
publicada em 1687. 
 Segundo essa lei, dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distância r entre si, 
esses dois corpos se atraem mutuamente com uma força que é proporcional à massa de 
cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa esses 
corpos. 
 
 
 
 
 
Figura 1: A Lei de gravitação universal. 
 
Em linguagem matemática, essa lei pode ser escrita assim: 
 
2
21
r
mm
GF 
. 
 
 Como os fenômenos naturais envolvem mudanças, estes são melhores descritos por 
equações que relacionam quantidades variáveis. Por exemplo, a posição da lua Ganimedes 
do planeta Júpiter é uma variável que muda com o passar do tempo, sendo representada por 
x(t). 
 
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Figura 2: Júpiter e suas luas. 
 
A taxa de variação de x(t) em relação ao tempo pode ser representada por sua derivada: 
dt
dx
 ou 
)t(x
. 
Assim, é natural que equações envolvendo derivadas sejam frequentemente usadas para 
descrever o universo em mudança. 
 Uma equação que envolve uma função desconhecida e uma ou mais de suas 
derivadas é o que se chama equação diferencial. 
 
Exemplos: 
1. A equação: 
22 tx
dt
dx

 
 
envolve uma função desconhecida x da variável independente t e sua derivada 
primeira. 
 
2. A equação: 
0y7
dx
dy
3
dx
yd
2
2

 
 
envolve a função desconhecida y da variável independente x, junto com suas derivadas de 
primeira e segunda ordem. 
 
2. Terminologia Básica. 
 
 A primeira terminologia básica a ser introduzida na discussão de uma ED é o 
conceito de ordem. 
 
Definição: Define-se a ordem de uma equação diferencial como sendo a ordem da mais 
alta derivada que nela aparece. 
 
Exemplos: 
1. 
  1yy 22 
 equação diferencial de primeira ordem; 
2. 
0yyx4 2 
 equação diferencial de segunda ordem; 
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3. 
  senxyyx4y 24 
 equação diferencial de quarta ordem. 
 
Observação: Note que as equações diferenciais do exemplo anterior podem ser escritas nas 
seguintes formas: 
 
(1) 
  01yy 22 
, isto é, 
0)y,y,t(F 
 ou 
  1yy 22 
; 
(2) 
0yyx4 2 
, isto é, 
0)y,y,x(F 
ou 
2x4
y
y 
; 
(3) 
  0senxyyx4y 24 
, isto é, 
0)y,y,y,x(F )4( 
 ou 
 
senxyyx4y 24 
. 
 
 A forma mais geral de uma equação diferencial de ordem n, na variável 
independente x e função desconhecida ou variável dependente y = y(x) é dada por: 
 
0)y,...,y,y,y,x(F )n( 
 
ou (1) 
( n ) ( n 1 )y f ( x,y,y ,y ,...,y ) 
 
 
sendo F e f funções específicas a valores reais em n + 2 e n + 1 variáveis respectivamente. 
 
Observação: Vamos admitir que sempre será possível resolver uma dada edo na derivada 
de ordem mais elevada e ter: 
 
( n ) ( n 1 )y f ( x,y,y ,y ,...,y ) 
 . (1.1) 
 
Só serão estudadas equações na forma (1.1) para evitar ambiguidades que podem aparecer, 
pois uma equação na forma 
0)y,...,y,y,y,x(F )n( 
 pode corresponder diversas 
equações da forma (1.1). 
 
Exemplo: A equação 
 
2
y ty 4y 0  
, leva a duas equações: 
 
2t t 16 y
y
2
  
 
 ou 2t t 16 y
y
2
  
 
. 
 
 O estudo das Equações Diferenciais tem dois objetivos principais: 
1. Descobrir a equação diferencial que descreve uma situação física específica; 
2. Achar a solução apropriada dessa Equações Diferencial. 
 
Questão: O que vem a ser uma solução de uma ED? 
 
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 Em álgebra, procuramos números desconhecidos que satisfazem uma equação 
como por exemplo a equação: 
 
01x3x4x 23 
. 
 
 Em uma equação diferencial, procuramos uma função, definida em um intervalo da 
reta, para os quais vale uma identidade dada pela equação diferencial, como por exemplo a 
ED: 
 
0yyx4 2 
. 
 
Isso é o que significa uma solução de uma equação diferencial. 
 
Definição: Diz-se que uma função y = u(x) é uma solução da equação diferencial (1) no 
intervalo I, se as derivadas 
)n(y,...,y,y 
existem em I e 
0)y,...,y,y,y,x(F )n( 
 para 
todo x  I. 
 
Exemplos: 
(a) A função 2xe)x(y  representa uma solução da ED: 
xy2
dx
dy

 
para todo x; 
(b) A função 
xlnxx2)x(y 2
1
2
1

 satisfaz a equação diferencial: 
 
0yyx4 2 
 
 
para todo x > 0. Portanto y(x) constitui uma solução desta ED. 
 
Problema 1: Quantas soluções tem a equação diferencial 
xy2
dx
dy

? 
 
Exemplos: 
(1) A função 
2xCe)x(y 
representa uma família de soluções da ED: 
xy2
dx
dy

 
para todo x. 
2xCe)x(y 
é denominada uma família a um parâmetro de soluções da 
ED; 
 
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(2) A funçãoy(x) = A cos3x + B sen(3x), para A e B parâmetros constantes é uma família 
a dois parâmetros de soluções da equação diferencial de segunda ordem: 
 
0y9y 
. 
 
Definição: A solução geral de uma ED de ordem n é uma função 
)c,...,c,c,x(f n21
 que 
depende de n constantes arbitrárias, de modo que, sempre se obtém uma solução quando se 
escolhe valores determinados para as constantes. Uma solução particular é uma solução 
tomada dentro da família de soluções, adotando-se valores específicos para as constantes 
na solução geral. 
 
Exemplos: 
(a) 
1
x
c
)x(y 
, sendo c constante é solução geral da ED 
1y
dx
dy
x 
. Uma solução 
particular é da forma 
1
x
1
)x(y 
; 
 
(b) A solução geral de 
xcos'y 
 é da forma 
csenx)x(y 
, sendo C uma constante. 
Os gráficos de 
csenx)x(y 
, para cada 
c 
 são chamados de curvas integrais 
de 
xcos'y 
. 
 
 Definição: Uma solução singular de uma ED é aquela que não pode ser obtida da solução 
geral por escolha conveniente das constantes. 
 
Exemplo: A solução geral de 
0y'y 2 
 é 
cx
1
)x(y


 , com c constante, porém 
Rx,0)x(y 
 é solução, que não pode ser obtida da solução geral, qualquer que seja 
o valor de c, sendo portanto solução singular. 
 
Observações: 
(1) Admite-se que todas as soluções de uma ED de ordem n possam ser escritas na forma 
)c,...,c,c,x(fy n21
, sendo 
ic
constante 
}n,..,1{i
, uma vez que as soluções 
singulares raramente ocorrem nos problemas práticos; 
 
(2) Na procura da solução para uma ED, o objetivo é a determinação de todas as soluções, 
se possível. Agora, o fato de se poder escrever uma equação diferencial não significa 
que esta tenha solução. De fato, a equação diferencial: 
 
  1yy 22 
 
não tem solução. 
 
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 Admite-se que qualquer ED pode ser resolvida explicitamente em termos da 
derivada de mais alta ordem, isto é, que a equação diferencial (1) pode ser escrita na forma: 
 
 
)y,...,y,y,y,x(fy )1n()n( 
. (2) 
 
 
sendo f uma função real a n + 1 variáveis. A forma (2) é dita forma Normal. 
 
 Quanto a soluções de (2), procura-se sempre soluções reais a menos de aviso em 
contrário. 
 
 
3. Classificação das Equações Diferenciais. 
 
 As equações diferenciais podem ser classificadas mediante o fato da função 
desconhecida depender de uma só ou de diversas variáveis independentes. 
Considere a ED nas formas (1) ou (2), isto é: 
 
0)y,...,y,y,y,x(F )n( 
 
ou 
0)y,...,y,y,y,x(fy )1n()n(  
. 
 
Definição: Se a função desconhecida y = y(x) (variável dependente) depender apenas de 
uma única variável independente, as equações (1) ou (2) serão denominadas equações 
diferenciais ordinárias (EDO). Caso contrário, a equação será denominada equação 
diferencial parcial (EDP). 
 
Observação: Pela definição anterior, a EDO depende apenas de derivadas ordinárias 
enquanto que uma EDP de derivadas parciais. 
 
Exemplos: 
1. 
0y9y 
 (EDO); 
2. 
  01yy 22 
(EDO); 
3. 
  0senxyyx4y 24 
 (EDO); 
4. 
0
x
u
x
u
x
u
321








 
 
(EDP); 
5. 
2
2
x
u
k
t
u





 
(EDP do calor numa barra fina e longa). 
 
Definição: Uma EDO de 1
a
 Ordem tem a forma: 
 
),(' yxfy 
 
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Exemplo: 
0y'y 2 
 ou 
2y'y 
. 
 
Dada uma ED, podem ser colocados dois tipos de problemas: 
 
(1) Problema de Valor Inicial (PVI): 
 
 Um PVI consiste em determinar a solução de uma EDO de ordem n, 
)x(yy 
, 
satisfazendo as condições iniciais 
00 y)x(y 
; 
00 'y)x('y 
;. . .; 
)1n(
00
)1n( y)x(y
 
, com 
)x(y
 
definida (pelo menos) em um intervalo do tipo 
 0xx
, 
0
. 
 
Observações: 
(a) Resolver o PVI: 
)y,...,y,y,y,x(fy )1n()n( 
 
00 y)x(y 
 
00 'y)x('y 
 (3) 
. . . 
)1n(
00
)1n( y)x(y
 
 
significa achar um função diferenciável y = y(x) que satisfaça todas as condições de 
(3). 
(b) Quando se conhece a solução geral de uma EDO, torna-se simples resolver um PVI; 
(c) Em um PVI, xo = 0 ou não. 
 
Exemplo: Dada a solução 
xC
1
)x(y


 da edo 
2y
dx
dy

, resolva o PVI: 
2y
dx
dy

 
y(1) = 2. 
 
(2) Problema de Valor de Fronteira (PVF): 
 Um PVF consiste em impor algumas das n condições em um ponto x2 e outras em 
um ponto x1 do domínio da solução procurada. Também nesse caso o conhecimento da 
solução geral simplifica o problema. 
 
Exemplo: Sabendo-se que 
xcoscxsenc)x(y 21  
 é solução geral de 
0y''y 2 
 dar a 
solução do PVF com 
0)1(y)0(y 
. 
 
4. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares e não Lineares. 
Considere a EDO: 
)y,...,y,y,y,x(fy )1n()n( 
. (4) 
 
Definição: A equação (4) é dita linear quando somente aparecer nessa equação primeiras 
potências da variável dependente e de suas derivadas. Caso contrário, (3) é dita não linear. 
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Exemplos: 
(a) 
0y9y 
 (EDO linear de segunda ordem); 
(b) 
  01yy 22 
(EDO de primeira ordem não linear); 
(c) 
  0senxyyx4y 24 
 (EDO linear de quarta ordem); 
(d) 
22 yx
dx
dy

 
(EDO de primeira ordem não linear). 
 
Em geral, uma EDO linear tem a forma geral: 
 
   
)t(gy)t(a...y)t(ay)t(a n
1n
1n
n
n 


 (4) 
 
Quando g(t) = 0, a EDO (4) é dita homogênea, caso contrário, não homogênea. Uma 
EDO que não tenha a forma (4) é dita não linear. 
 
5. O Modelo Matemático de um Sistema Físico. 
 
Usando as leis físicas, é possível a obtenção de uma ED que representa o 
funcionamento do sistema físico. Essa equação ou conjunto de equações denomina-se o 
modelo matemático do sistema e o comportamento dinâmico deste é obtido a partir de um 
tal modelo. 
 
Exemplo 1: O modelo simplificado da suspensão de um automóvel. 
 
 
Figura 3: Modelo simplificado da suspensão de um automóvel. 
 
 Obtém-se a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem: 
 
iiooo kxxbkxxbxm  
 
sendo que: 
 xi é o movimento no ponto P (entrada do sistema); 
 xo representa o movimento vertical (saída do sistema); 
 m, k e b: massa, a constante da mola e o amortecimento. 
Esse é o modelo matemático desse sistema. 
 
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Exemplo 2: Considere o sistema térmico, cujo objetivo é medir a variação da temperatura 
indicada pelo termômetro quando este é mergulhado em um líquido quente, ao longo do 
tempo (Bolton, 1993; Ogata, 2003). 
 
 
Figura 4: Um sistema térmico simples. 
 
Este sistema é descrito pela EDO de primeira ordem: 
 
L
dt
d
RC  
, 
na qual: 
  é a temperatura indicada no termômetro; 
 L é a temperatura do líquido quente; 
 R é a resistência térmica do fluxo de calor do líquido para o termômetro; 
 C é a capacitância térmica do termômetro. 
 
Exemplo 3: O levitador magnético simplificado 
Considere o problema de manter um corpo magnetizado, levitando e em equilíbrio, 
suspenso no ar: 
 
Figura 5: O levitador magnético simplificado. 
 
Aplicando a segunda lei de Newton a esse sistema de forças, obtém-se a equação: 
 
( , )mx mg F x I 
 
sendo: 
 m é a massa do corpo, 
 g é a aceleração da gravidade; 
 F(x;I) é a força de interação magnética entre o imã e a massa, função da distância x e 
da intensidade de corrente elétrica I. 
Dentre as expressões usadas para a força magnética, destacam-se: 
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2
2
x
I
k)I,x(F 
, 
a/x2ekI)I,x(F 
 ou 
 2
2
x
I
k)I,x(F


. 
 
Exemplo 4: Considere o sistema massa mola amortecedor dado pela figura 6, a seguir. 
 
 
 
Figura 6. Sistema massa-mola-amortecedor. 
 
O modelo matemático desse sistema é governado pela EDO linear: 
 
)t(Fkx
dt
dx
dt
xd
m
2
2

 
 
Exemplo 5: O modelo do movimento de um pêndulo simples. 
Determinar o movimento do pêndulo significa determinar como o ângulo  varia com o 
tempo t, isto é, encontrar (t). O modelo matemático que representa a variação angular  
de um pêndulo simples de massa m e comprimento l, não amortecido, sujeito à ação da 
gravidade g, tem a forma: 
 
 
Figura 6. O sistema pêndulo simples de massa m. 
 
 Como exemplos de sistemas que funcionam como pêndulos temos um balanço de 
criança e um relógio de pêndulo. 
 
Exemplo 6: O modelo matemático de um sistema resistor-indutor-capacitor: 
 
0)t(sen
l
g
dt
)t(d
2
2
 
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Figura 6. O sistema resistor-indutor-capacitor. 
 
O modelo matemático desse sistema físico é dado pela EDO linear e com coeficientes 
constantes: 
 
vv
dt
dv
RC
dt
vd
LC c
c
2
c
2

 
 
Exemplo 7: O modelo matemático de um cabo suspenso, como por exemplo um cabo 
longo de fio de telefone pendurado entre dois postes. 
 
 
Figura 6. O sistema físico de um cabo suspenso. 
 
O modelo matemático desse sistema físico é dado pela EDO não linear com coeficientes 
constantes: 
2
1
2
2
dx
dy
1
T
w
dx
yd







. 
 
 
Figura 7: O cabo suspenso - Arco de Gateway em St. Louis. 
 
Exemplo 8: O modelo matemático de deflexão de vigas. 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
Campus de Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências 
Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 
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Figura 8. O sistema físico de uma viga engastada. 
 
O modelo matemático desse sistema físico é dado pela EDO linear e com coeficientes 
constantes: 
)x(w
dx
yd
El
4
4

. 
 
São exemplos de vigas engastadas ou vigas em balanço: um trampolim, um braço 
estendido, uma asa de avião, mastros de bandeira, arranha céus, etc... 
 
 
 
Figura 9: Mastros de bandeira e o Washington Monument . 
 
Referência: 
Bolton, W. Engenharia de Controle, 1a. ed., SP, Makron Books, 1993.

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