Relatório II - Oscilações Harmônicas

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DA BAHIA 
CENTRO DAS CIÊNCIAS EXATAS E DAS TECNOLOGIAS 
 
RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
 
DISCIPLINA: Física Geral e experimental II 
TURMA:______________________________________________________ 
DATA: 12/10/2014 
 
EQUIPE: 
 
1. Letícia Santos de Oliveira 
2. Paulo Vinícius Martins 
3. Uendel 
4. Víctor 
 
 
PROFESSOR: Jonathan Silva 
 
1. Título do Experimento: Oscilações Harmônicas 
 
2. Objetivo: 
 
- Determinar a constante elástica de uma mola. 
- Determinar o período de um oscilador harmônico. 
- Trabalhar análise estatística de dados e construção de gráficos. 
 
3. Introdução: 
 
Quando o movimento de um corpo descreve uma trajetória, e a partir de certo instante 
começa a repetir esta trajetória, dizemos que esse movimento é periódico. O tempo que o 
corpo gasta para voltar a percorrer os mesmos pontos da trajetória é chamado de período. 
No nosso cotidiano existem inúmeros exemplos de movimento periódico, tais como o 
pêndulo de um relógio ou um sistema massa - mola, quando um desses conjuntos descreve um 
vai e vem em torno das suas posições de equilíbrio. 
 
O movimento harmônico simples – MHS 
 
O movimento harmônico simples - MHS é movimento periódico, e portanto o objeto 
passa novamente por uma dada posição depois de um período T . O período é o inverso da a 
frequência f de oscilação: 
 
T = 1/f 
 
Um exemplo típico de aparato que se movimenta segundo um MHS é sistema massa-
mola. Uma mola tem uma de suas extremidades presa em uma parede rígida e a outra 
extremidade está presa em um corpo que está sobre um superfície sem atrito. 
Quando deslocado de sua posição de equilíbrio o corpo começa a oscilar. 
Um objeto que se desloca em MHS tem a sua posição descrita pela equação 
 
x(t) = xM cos(wt + δ) 
 
onde 
 
xM = amplitude de oscilação 
 (wt + δ) = fase 
w = frequência angular de oscilação 
 δ = constante de fase 
 
Quando a constante de fase assume o valor ϕ = - pi/2 a equação anterior, que descreve o 
movimento do corpo, tem a forma: 
 
x(t) = xM sen wt 
 
À medida que o tempo evolui, o corpo ocupa as diversas posições mostradas na figura à 
seguir. 
Em cada posição ocupada, o corpo terá uma velocidade correspondente, como veremos 
mais adiante. 
 
 
 
 
Também em cada posição, ele terá uma aceleração correspondente. Tanto a aceleração 
quanto a velocidade variam à medida que a posição se altera. 
 
O gráfico da posição em função do tempo toma diversas formas quando modificamos a 
amplitude, frequência ou constante de fase. Quando alteramos a amplitude de oscilação, o 
movimento se consuma para deslocamentos máximos diferentes, mas com mesma frequência e 
mesma constante de fase. Desse modo os dois movimentos alcançam os extremos no mesmo 
instante. 
 
 
 
 
Quando aumentamos a frequência (e consequentemente diminuímos o período), os 
movimentos terão a forma descrita a seguir onde a função de maior período é a vermelha e a 
de menor período é azul. Quando variamos a constante de fase, a função mantém a forma, 
mas sofre um deslocamento. 
 
 
Oscilador massa-mola 
Um oscilador massa-mola ideal é um modelo físico composto por uma mola sem massa que 
possa ser deformada sem perder suas propriedades elásticas, chamada mola de Hooke, e um 
corpo de massa m que não se deforme sob ação de qualquer força. 
Este sistema é fisicamente impossível já que uma mola, por mais leve que seja, jamais será 
considerada um corpo sem massa e após determinada deformação perderá sua elasticidade. 
Enquanto um corpo de qualquer substância conhecida, quando sofre a aplicação de uma força, 
é deformado, mesmo que seja de medidas desprezíveis. 
Mesmo assim, para as condições que desejamos calcular, este é um sistema muito eficiente. E 
sob determinadas condições, é possível obtermos, com muita proximidade, um oscilador 
massa-mola. 
Assim podemos descrever dois sistemas massa-mola básicos, que são: 
 
Oscilador massa-mola horizontal 
É composto por uma mola com constante elástica K de massa desprezível e um bloco de 
massa m, postos sobre uma superfície sem atrito, conforme mostra a figura abaixo: 
 
Como a mola não está deformada, diz-se que o bloco encontra-se em posição de equilíbrio. 
Ao modificar-se a posição do bloco para um ponto em x, este sofrerá a ação de uma força 
restauradora, regida pela lei de Hooke, ou seja: 
 
Como a superfície não tem atrito, esta é a única força que atua sobre o bloco, logo é a força 
resultante, caracterizando um MHS. 
Sendo assim, o período de oscilação do sistema é dado por: 
 
Ao considerar a superfície sem atrito, o sistema passará a oscilar com amplitude igual à posição 
em que o bloco foi abandonado em x, de modo que: 
 
Assim podemos fazer algumas observações sobre este sistema: 
• O bloco preso à mola executa um MHS; 
• A elongação do MHS, é igual à deformação da mola; 
• No ponto de equilíbrio, a força resultante é nula. 
 
 
4. Procedimento experimental 
 
Materiais: 
 
• 01 trilho de ar. 
• 01 cronômetro digital multifunções. 
• 01 suporte para massas aferidas. 
• 01 Y com final de curso com roldana raiada. 
• 01 conjunto de massas aferidas. 
• 01 carrinho para trilho de ar. 
• 01 mola. 
• 01 sensor fotoelétrico com suporte fixador. 
• 01 dinamômetro de 1 N. 
• 01 balança semi-analítica. 
 
Como previsto no roteiro da prática, em tal procedimento, foi utilizado um trilho de ar, 
visando a diminuição do atrito e uma tomada mais adequada de dados. Com uma mola acoplada ao 
carrinho em forma de Y invertido e um suporte ligado ao mesmo por meio de um fio inextensível, os 
discos que tiveram suas massas características aferidas foram acrescentados ao sistema, variando-se 
dessa forma o peso apresentado. A partir de cada variação de massa, aferiu-se a deformação da mola. 
Posteriormente buscou-se uma oscilação no sistema, o qual deslocava-se o carrinho 10 cm da posição 
de equilíbrio, sendo assim possível verificar o período através do cronômetro digital ligado ao sensor 
fotoelétrico. 
 
5. Dados experimentais 
 
TABELA 1: Sistema com 0,38N 
Sistemas I II III IV IV IV 
Força (Peso)(N) 0,38 ± 0,02 0,38 ± 0,02 0,38 ± 0,02 0,38 ± 0,02 0,38 ± 0,02 0,38 ± 0,02 
Posição Inicial da Mola (cm) 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 
Posição Final da Mola (cm) 44,5 ± 0,05 46,5 ± 0,05 50,0 ± 0,05 54,5 ± 0,05 56,5 ± 0,05 59,5 ± 0,05 
Variação do comprimento da 
mola (∆L)(cm) 
9,0 ± ± 0,05 11,0 ± 0,05 14,5 ± 0,05 19,0 ± 0,05 21,0 ± 0,05 24,0 ± 0,05 
Periodos 1 (s) 1,508 ± 0,001 1,494 ± 0,001 1,367 ± 0,003 1,423 ± 0,007 1,426 ± 0,012 1,420 ± 0,022 
Periodos 2 (s) 1,509 ± 0,001 1,496 ± 0,001 1,367 ± 0,003 1,405 ± 0,007 1,458 ± 0,012 1,404 ± 0,022 
Periodos 3 (s) 1,511 ± 0,001 1,497 ± 0,001 1,365 ± 0,003 1,413 ± 0,007 1,443 ± 0,012 1,410 ± 0,022 
Periodos 4 (s) 1,511 ± 0,001 1,496 ± 0,001 1,371 ± 0,003 1,415 ± 0,007 1,454 ± 0,012 1,379 ± 0,022 
Periodos 5 (s) 1,510 ± 0,001 1,498 ± 0,001 1,373 ± 0,003 1,406 ± 0,007 1,445 ± 0,012 1,368 ± 0,022 
Media (s) 1,510 ± 0,001 1,496 ± 0,001 1,369 ± 0,003 1,412 ± 0,007 1,445 ± 0,012 1,396 ± 0,022 
Quadrado do Período Médio(s) 2,279 ± 0,001 2,239 ± 0,001 1,873 ± 0,003 1,995 ± 0,007 2,089 ± 0,012 1,949 ± 0,022 
Desvios padrão (s) 0,001 0,001 0,003 0,007 0,012 0,022 ± 0,022 
 
TABELA 2: Sistema com 0,58N 
Sistemas I II III IV IV IV 
Força (Peso)(N) 0,58 ± 0,02 0,58 ± 0,02 0,58 ± 0,02 0,58 ± 0,02 0,58 ± 0,02 0,58 ± 0,02 
Posição Inicial da Mola (cm) 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 
Posição Final da Mola (cm) 50,0 ± 0,05 52,0 ± 0,05 55,5 ± 0,05 60,0 ± 0,05 62,0 ± 0,05 65,0 ± 0,05 
Variação do comprimento da 
mola (∆L)(cm)14,5 ± 0,05 16,5 ± 0,05 20,0 ± 0,05 24,5 ± 0,05 26,5 ± 0,05 29,5 ± 0,05 
Periodos 1 (s) 1,496 ± 0,003 1,559 ± 0,003 1,599 ± 0,001 1,479 ± 0,004 1,507 ± 0,004 1,531 ± 0,012 
Periodos 2 (s) 1,496 ± 0,003 1,560 ± 0,003 1,599 ± 0,001 1,471 ± 0,004 1,498 ± 0,004 1,527 ± 0,012 
Periodos 3 (s) 1,502 ± 0,003 1,560 ± 0,003 1,600 ± 0,001 1,470 ± 0,004 1,504 ± 0,004 1,500 ± 0,012 
Periodos 4 (s) 1,502 ± 0,003 1,560 ± 0,003 1,600 ± 0,001 1,476 ± 0,004 1,501 ± 0,004 1,524 ± 0,012 
Periodos 5 (s) 1,501 ± 0,003 1,566 ± 0,003 1,600 ± 0,001 1,479 ± 0,004 1,509 ± 0,004 1,522 ± 0,012 
Media (s) 1,499 ± 0,003 1,561 ± 0,003 1,600 ± 0,001 1,475 ± 0,004 1,504 ± 0,004 1,521 ± 0,012 
Quadrado do Período Médio(s) 2,248 ± 0,003 2,437 ± 0,003 2,559 ± 0,001 2,176 ± 0,004 2,261 ± 0,004 2,313 ± 0,012 
Desvios padrão (s) 0,003 0,003 0,001 0,004 0,004 0,012 
 
 
 
TABELA 3: Sistema com 0,58N 
Sistemas I II III IV IV IV 
Força (Peso)(N) 0,58 ± 0,02 0,58 ± 0,02 0,58 ± 0,02 0,58 ± 0,02 0,58 ± 0,02 0,58 ± 0,02 
Posição Inicial da Mola (cm) 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 
Posição Final da Mola (cm) 54,5 ± 0,05 56,5 ± 0,05 60,0 ± 0,05 64,5 ± 0,05 66,5 ± 0,05 69,5 ± 0,05 
Variação do comprimento da 
mola (∆L)(cm) 
19,0 ± 0,05 21,0 ± 0,05 24,5 ± 0,05 29,0 ± 0,05 31,0 ± 0,05 34,0 ± 0,05 
Periodos 1 (s) 1,573 ± 0,014 1,625 ± 0,002 1,674 ± 0,018 1,655 ± 0,001 1,656 ± 0,001 1,625 ± 0,004 
Periodos 2 (s) 1,564 ± 0,014 1,623 ± 0,002 1,641 ± 0,018 1,654 ± 0,001 1,656 ± 0,001 1,625 ± 0,004 
Periodos 3 (s) 1,564 ± 0,014 1,622 ± 0,002 1,643 ± 0,018 1,655 ± 0,001 1,655 ± 0,001 1,628 ± 0,004 
Periodos 4 (s) 1,565 ± 0,014 1,626 ± 0,002 1,642 ± 0,018 1,655 ± 0,001 1,655 ± 0,001 1,632 ± 0,004 
Periodos 5 (s) 1,537 ± 0,014 1,621 ± 0,002 1,676 ± 0,018 1,655 ± 0,001 1,656 ± 0,001 1,620 ± 0,004 
Media (s) 1,561 ± 0,014 1,623 ± 0,002 1,655 ± 0,018 1,655 ± 0,001 1,656 ± 0,001 1,626 ± 0,004 
Quadrado do Período Médio(s) 2,435 ± 0,014 2,635 ± 0,002 2,740 ± 0,018 2,738 ± 0,001 2,741 ± 0,001 2,644 ± 0,004 
Desvios padrão (s) 0,014 0,002 0,018 0,001 0,001 0,004 
 
 
TABELA 4: Sistema com variação de força 
Sistemas I II III 
Força (Peso)(N) 0,38 ± 0,02 0,58 ± 0,02 0,78 ± 0,02 
Posição Inicial da Mola (cm) 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 35,5 ± 0,05 
Posição Final da Mola (cm) 44,5 ± 0,05 52,0 ± 0,05 60,0 ± 0,05 
Variação do comprimento da 
mola (∆L)(cm) 
9,0 ± 0,05 16,5 ± 0,05 24,5 ± 0,05 
Periodos 1 (s) 1,508 ± 0,001 1,559 ± 0,003 1,674 ± 0,018 
Periodos 2 (s) 1,509 ± 0,001 1,560 ± 0,003 1,641 ± 0,018 
Periodos 3 (s) 1,511 ± 0,001 1,560 ± 0,003 1,643 ± 0,018 
Periodos 4 (s) 1,511 ± 0,001 1,560 ± 0,003 1,642 ± 0,018 
Periodos 5 (s) 1,510 ± 0,001 1,566 ± 0,003 1,676 ± 0,018 
Media (s) 1,510 ± 0,001 1,561 ± 0,003 1,655 ± 0,018 
Quadrado do Período Médio(s) 2,279 ± 0,001 2,437 ± 0,003 2,740 ± 0,018 
Desvios padrão (s) 0,001 0,003 0,018 
 
 
 
 
TABELA 4: Pesos 
Peso 1 (N) Peso 2 (N) Peso 3 (N) 
0,38 0,58 0,78 
Massa 1 (Kg) Massa 2 (kg) Massa 3 (kg) 
0,039 0,059 0,080 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO 1: Deformação em função da Força 
 
 
 
 
GRÁFICO 2: Períodos quadráticos em função da Massa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO 3: Períodos em função da Massa 
 
 
 
 
6. Tratamento dos dados experimentais 
 
 
Para o cálculo do coeficiente (σ α ) foram escolhidos um ponto na parte superior do 
gráfico e um ponto na parte inferior do gráfico. 
P1: (0,38; 0,09) 
P2: (0,78; 0,245) 
 
mN /388,0
4,0
155,0
38,078,0
09,0245,0
1 ==
−
−
=α
 
 
As incertezas do coeficiente são dadas pela fórmula: 
2
αασ α mínmáx
−
= 
mN /125,0
2
09,034,0
=
−
=σ α
 
 
 
 
Cálculo da Constante Elástica pela Lei de Hooke 
Pela Lei de Hooke, sabemos que F=-Kx. Dessa forma, chegamos a conclusão que 
x
FK = . A partir dos dados experimentais foi calculada a constante elástica em função de cada 
força aplicada e sua respectiva deformação. 
 
Força (N) Deformação(m) 
x
FK = (N/m) 
K 
(N/m) 
Erro Propagado (N/m) 
)²*()²*( δδδ Fxk F
K
x
K
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Discussão e Conclusão 
 
De acordo com os resultados obtidos no experimento, pode-se provar que, à medida 
que se aumenta o peso, o comprimento da mola aumenta proporcionalmente de acordo com a 
equação enunciada pela lei de Hooke (F= -kx) . Outro ponto observado é que em nenhum 
momento do experimento a mola ultrapassou seu limite de elasticidade, uma vez que, ao serem 
retirados os pesos, a mola retornou para a posição inicial. Através da manipulação dos dados 
obtidos em laboratório, chegamos ao objetivo do experimento, que fora calcular o valor da 
constante elástica K da mola, graficamente e algebricamente. Com a observação no 
comportamento das equações envolvidas, chegamos à conclusão de que a aceleração é 
proporcional ao deslocamento e que possuem sentidos opostos, e a frequência aumenta com o 
aumento da rigidez da mola (K) e diminui com o aumento da massa. A discrepância entre os 
valores obtidos através da teoria e os obtidos graficamente para a constante elástica (K) são 
evidentes, isso ocorre devido aos erros causados pelos instrumentos (cronômetros, réguas) e 
operadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Bibliografia 
 
1. http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/massamola2.php 
2. H. M. Nussenzveig, Um Curso de Física Básica: Volume 2 Edgard Blucher, São Paulo (2003). 
3. Halliday, David and Resnick, Robert. Física II, volume 2. Livros Técnicos e científicos, Rio de 
Janeiro, 1976. 
4. Paul A. Tipler, Gene Mosca, Física para cientistas e engenheiros, Mecânica, Oscilações e Ondas, 
Termodinâmica, Vol. 1, 6ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2009. 
5. Roteiro de Física Experimental II - Prof. Vicente - Revisado pelo Prof. Jonatan Silva