Relatório III - Pêndulo Simples

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DA BAHIA 
CENTRO DAS CIÊNCIAS EXATAS E DAS TECNOLOGIAS 
 
RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
 
DISCIPLINA: Física Geral e experimental II 
TURMA:______________________________________________________ 
DATA: 27/10/ 2014 
 
EQUIPE: 
 
1. Letícia Santos de Oliveira 
2. Paulo Vinícius Martins 
3. Uendel Vieira 
 
PROFESSOR: Jonathan Silva 
 
1. Título do Experimento: Pêndulo Simples 
 
 
2. Objetivo: 
 
- Entender o pêndulo simples como um sistema oscilante. 
- Obter a aceleração da gravidade. 
- Realizar análise estatística de dados e comparar métodos de análise. 
 
 
3. Introdução: 
 
Um pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma partícula suspensa por um 
fio inextensível e de massa desprezível. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e 
solto, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob a ação da gravidade; o movimento é 
periódico e oscilatório, sendo assim podemos determinar o período do movimento. 
 
 
A figura acima exemplifica um pêndulo de comprimento L, sendo m a massa da 
partícula. No instante mostrado, o fio faz um ângulo q com a vertical. As forças que atuam 
em m são o peso m.g e a tração da corda T. O movimento será em torno de um arco de 
círculo de raio L; por isto, escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o 
outro tangente ao círculo. O peso m.g pode ser decomposto numa componente radial de 
módulo m.g.cosq e numa componente tangencial m.g.senq . A componente radial da 
resultante é a força centrípeta que mantém a partícula na trajetória circular. A componente 
tangencial é a força restauradora onde o sinal negativo indica que F se opõe ao aumento de 
q . 
 
Note que a força restauradora não é proporcional ao deslocamento angular q e sim a 
senq . O movimento portanto não é harmônico simples. Entretanto, se o ângulo q for 
suficientemente pequeno, senq será aproximadamente igual a q em radianos, com diferença 
cerca de 0,1% e o deslocamento ao longo do arco será x = L .q e, para ângulos pequenos, 
ele será aproximadamente retilíneo. Por isto, supondo sen q » q , 
 
Obteremos: 
 
F = - m.g. q = - m.g. (x/L) = - (m.g/L).x (2) 
 
Para pequenos deslocamentos, a força restauradora é proporcional ao deslocamento e 
tem o sentido oposto. Esta é exatamente a condição para se ter movimento harmônico 
simples e, de fato, a equação (2) acima tem a mesma forma que a equação, F = - k . x, com 
m.g/L representando a constante k. Para pequenas amplitudes, o período T (tempo de um 
ciclo) de um pêndulo pode ser obtido fazendo-se k = m. g /L 
 
T = 2p (m / k)1/2 = 2p (m / (m .g / L)) 1/2 
 
T = 2p (L / g)1/2 
 
O Pêndulo Simples, através da equação acima, também fornece um método para 
medições do valor de g , a aceleração da gravidade. Podemos determinar L e T, usando 
equipamentos de um laboratório de ensino, obtendo precisão melhor do que 0,1%. 
 
g = 4p 2L / T2 
 
Note que o período T , é independente da massa m, da partícula suspensa. 
 
Durante os últimos três séculos, o pêndulo foi o mais confiável medidor de tempo, 
sendo substituído apenas nas últimas décadas por oscilações atômicas ou eletrônicas. Para 
um relógio de pêndulo ser um medidor de tempo preciso, a amplitude do movimento deve 
ser mantida constante apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecânico, 
Variações na amplitude, tão pequenas quanto 4° ou 5°, fazem um relógio adiantar cerca de 
15 segundos por dia, o que não é tolerável mesmo em um relógio caseiro. Para manter 
constante a amplitude é necessário compensar com um peso ou mola, fornecendo energia 
automaticamente, compensando as perdas devidas ao atrito. 
 
Como pôde ser observado, além da ação da força da gravidade em decorrência do peso 
massa, também existe a força tração T do fio. A equação que representa a força 
restauradora se dá por: 
 
 
 
Onde m é a massa, g é a aceleração da gravidade e F é a força restauradora, lembrando 
que o sinal negativo indica a restauração. 
Além disso, temos ainda que o período de uma oscilação depende apenas do comprimento 
do fio e da aceleração da gravidade, como pode ser observado na equação a seguir: 
 
 
 
Onde L é o comprimento do fio, g é a aceleração da gravidade e T é o período. 
 
 
 
4. Procedimento experimental 
 
Materiais Utilizados: 
 
• 01 fio; 
• 01 peso de pesca; 
• 01 cronometro digital; 
• 01 trena metálica 
 
Descrição do procedimento: 
 
 Iniciou-se o experimento aferindo-se o comprimento do fio suspenso com uma trena 
metálica, tendo em vista a facilidade que a mesma propiciaria à situação em relação a régua 
graduada. Posteriormente, deslocou-se o peso de pesca em um angulo de 10,1º, sendo assim o 
pêndulo foi retirado da sua posição de equilíbrio. Soltando o peso e analisando a 
movimentação do mesmo, foi registrado o período de uma oscilação com o auxilio de um 
cronometro digital. Tal procedimento repetiu-se 20 vezes. Ainda com o deslocamento do peso 
de 10º, registrou-se o valor correspondente a 10 oscilações consecutivas. Por fim, tais 
procedimentos foram realizados para um peso com deslocamento de 14,3º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Dados experimentais 
 
 
Oscilações de um pêndulo de 2,02 m de comprimento. 
 θ ≈ 10,1° θ ≈ 14,3° 
Oscilação Tempo (s) Tempo (s) 
Período de oscilação 1 (s) 2,533 ± 0,120 3,064 ± 0,131 
Período de oscilação 2 (s) 2,540 ± 0,120 2,585 ± 0,131 
Período de oscilação 3 (s) 2,945 ± 0,120 2,683 ± 0,131 
Período de oscilação 4 (s) 2,580 ± 0,120 2,820 ± 0,131 
Período de oscilação 5 (s) 2,643 ± 0,120 2,780 ± 0,131 
Período de oscilação 6 (s) 2,961 ± 0,120 2,520 ± 0,131 
Período de oscilação 7 (s) 2,638 ± 0,120 2,800 ± 0,131 
Período de oscilação 8 (s) 2,654 ± 0,120 2,780 ± 0,131 
Período de oscilação 9 (s) 2,715 ± 0,120 2,810 ± 0,131 
Período de oscilação 10 (s) 2,580 ± 0,120 2,560 ± 0,131 
Período de oscilação 11 (s) 2,759 ± 0,120 2,730 ± 0,131 
Período de oscilação 12 (s) 2,586 ± 0,120 2,770 ± 0,131 
Período de oscilação 13 (s) 2,506 ± 0,120 2,740 ± 0,131 
Período de oscilação 14 (s) 2,595 ± 0,120 2,510 ± 0,131 
Período de oscilação 15 (s) 2,718 ± 0,120 2,750 ± 0,131 
Período de oscilação 16 (s) 2,677 ± 0,120 2,580 ± 0,131 
Período de oscilação 17 (s) 2,639 ± 0,120 2,780 ± 0,131 
Período de oscilação 18 (s) 2,650 ± 0,120 2,650 ± 0,131 
Período de oscilação 19 (s) 2,694 ± 0,120 2,750 ± 0,131 
Período de oscilação 20 (s) 2,581 ± 0,120 2,600 ± 0,131 
Média dos períodos medidos (s) 2,660 ± 0,120 2,713 ± 0,131 
Desvio padrão- δ (s) 0,12 0,131 
Desvio padrão da média- δm (s) 0,085 0,102 
Tempo de oscilação em 10 períodos (s) 28,154 25,560 
 
 
 
6. Tratamento dos dados experimentais 
 
Cálculo do período do movimento (T) 
 Para calcular o período do movimento (T) com deslocamento angular de θ=10,1° é 
utilizada a fórmula, 
T=2pi
g
L
 
 Para o fio de comprimento L=2,02m, temos um período, 
T=2pi
78,9
02,2
 = 2,87s 
Onde g=9,78m/s² corresponde à gravidade da cidade de Barreiras. 
Entretanto, para efetivar os cálculos dos períodos, no qual utilizamos um ângulo 
θ=10,1º na execução do experimento, utiliza-se a fórmula: 
T=2pi
g
L






+ ²
16
11 θ 
 Para o fio de comprimento L=2,02m, temos um período, 
T=2pi
78,9
02,2






+
6,317
²
.
16
11 pi =2,86 s 
Para um ângulo θ=14,3º e o fio de mesmo comprimento L=2,02m, temos 
T=2pi
78,9
02,2






+
4,158
²
.
16
11 pi = 2,86 s 
 
Cálculo da gravidade (g) 
 
Para o ângulo θ=10,1°, considerando o período para este ângulo a ser calculado através 
da formula T=2pi
G
L
, calculamos a gravidade g como, 
²
².4
T
Lg pi= . 
Dessa forma, para o fio de comprimento L=2,02m,( )
( )²660,2
02,2².4pi
=g = 11,27 m/s², e 
para o ângulo θ=14,3°, e fio de mesmo comprimento L=2,02m, 
( )
( )²713,2
02,2².4pi
=g =10,8 m/s² 
 
Cálculo do erro propagado (gravidade) 
 
Temos que a formula utilizada para o calculo de propagação de erros é 
².².
T
g






∂
∂
+





∂
∂
= L
L
gTg δδδ , sendo que 
²
².4
T
Lg pi= 
Para fio de comprimento L=2,02 m, com período T= 2,660 s e ângulo θ=10,1º 
?=Lδ m e 001,0120,0 +=+= iT Eσδ =0,121 s 
( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ²?.²660,2 ²4²121,0660,202,2²8 33 




+−= −−
pi
piδ q = ? 
Para fio de comprimento L=2,02 m, com período T= 2,713 s e ângulo θ=14,3º 
?=Lδ m e 001,0131,0 +=+= iT Eσδ =0,132 s 
( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ²?.²713,2 ²4²121,0713,202,2²8 33 




+−= −−
pi
piδ q = ? 
 
 
 
7. Discussão e Conclusão 
 
 O experimento referente ao movimento harmônico simples demonstrado pelo pêndulo 
simples mostra que o período é diretamente proporcional ao comprimento do fio e 
inversamente proporcional a aceleração gravitacional. 
 
 Em relação às massas utilizadas e a amplitude do movimento, o período se mantém 
constante para efeitos experimentais. Isso deve-se ao fato da força tangencial ser maior quanto 
maior a amplitude e massa do movimento gerando assim uma maior aceleração. 
 
 O experimento pôde comprovar todas essas hipóteses teóricas e, desse modo, o 
resultado foi muito satisfatório. 
 
 
8. Bibliografia 
 
1. http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/massamola2.php 
2. H. M. Nussenzveig, Um Curso de Física Básica: Volume 2 Edgard Blucher, São Paulo 
(2003). 
3. Halliday, David and Resnick, Robert. Física II, volume 2. Livros Técnicos e científicos, Rio 
de Janeiro, 1976. 
4. Paul A. Tipler, Gene Mosca, Física para cientistas e engenheiros, Mecânica, Oscilações e 
Ondas, Termodinâmica, Vol. 1, 6ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2009.