FINAL - 2013.2

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Ca´lculo II 2013.2
Prof. Valdecir Alves dos Santos Ju´nior
PROVA FINAL
NOME:
DATA / /
OBSERVAC¸O˜ES:
• Esta avaliac¸a˜o deve ser realizada individualmente e em sileˆncio. Nenhuma
troca de material entre os alunos durante a avaliac¸a˜o sera´ permitida. O
uso de ma´quinas de ca´lculo (entenda como computadores, calculadoras,
re´guas de ca´lculo,...) na˜o e´ permitido. E´ permitido o uso de la´pis ou
grafite em toda a avaliac¸a˜o;
• Na˜o e´ permitido o uso de folhas avulsas;
• Celulares, smartphone, tablet ou quasquer aparelhos semenhantes devem
estar desligados e na mesa do professor (ou dentro das mochilas, bolsas
etc, ao lado da carteira) durante a avaliac¸a˜o;
• Apenas o professor esta´ autorizado a tirar du´vidas sobre a prova;
• O aluno que infringir alguma das regras acima tera´ a sua avaliac¸a˜o consi-
derada com nota nula;
• Questo˜es (ou partes de questo˜es) com resultado, mas sem desenvolvimento
sera˜o consideradas com nota nula. Resoluc¸o˜es desorganizadas ou na˜o iden-
tificadas sera˜o corrigidas com nota nula;
• Se alguma questa˜o for anulada, os pontos desta sera˜o redistribu´ıdos pelas
questo˜es remanescentes.
• A avaliac¸a˜o tera´ a durac¸a˜o de duas aulas. Salvo quando mencionado pelo
professor o contra´rio.
1
Dados: As seis seguintes sequeˆncias convergem
1. lim
n→∞
lnn
n
= 0;
2. lim
n→∞
n
√
n = 1;
3. lim
n→∞x
1
n = 1, (x > 0);
4. lim
n→∞x
n = 0 (|x| < 1);
5. lim
n→∞
(
1 +
x
n
)n
= ex, ∀x;
6. lim
n→∞
xn
n!
= 0, ∀x.
1. Mostre se as sequeˆncias de termo geral xn sa˜o convergentes ou na˜o
1.1. xn =
1
n
∫ n
1
1
x
dx
1.2. xn =
(
xn
2n+ 1
) 1
n
1.3. xn =
lnn
ln 2n
2. Mostre se as se´ries sa˜o convergente ou na˜o. Use para isto a teoria estudada
em sala de aula. Justifique suas respostas mostrando exatamente que teste
ou teoria voceˆ usou.
2.1.
∞∑
n=1
(
1 +
1
n
)n
2.2.
∞∑
n=1
1
(ln 2)n
2.3.
∞∑
n=2
1√
n lnn
Sugesta˜o: Compare com
∞∑
n=1
1
n
2.4.
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n2
)
2.5.
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n2
)n
3. Encontre o que se pede
3.1.
dw
dt
onde w = 2yex − ln z com x = ln(t2 + 1), y = tan−1 t, z = et
3.2.
∂z
∂u
,
∂z
∂v
onde z = 4ex ln y com x = ln(u cos v), y = u sin v em
(u, v) =
(
2,
pi
4
)
2
4. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que
as func¸o˜es na˜o teˆm limite quando (x, y)→ (0, 0)
4.1. f(x, y) =
x4 − y2
x4 + y2
4.2. f(x, y) =
x2
x2 − y
5. Encontre a derivada da func¸a˜o em P0(1, 0,
1
2 ) na direc¸a˜o de ~v =
~i+ 2~j + 2~k
onde
f(x, y, z) = cosxy + eyz + ln zx.
Depois encontre as direc¸o˜es nas quais a func¸a˜o cresce e decresce mais
rapidamente em P0.
6. Dada a superf´ıcie
cospix− x2y + exz + yz = 4.
Encontre a equac¸a˜o do plano e da reta tangente normal a` superf´ıcie no
ponto P0(0, 1, 2).
3