Prova I - Reposição - 2013.2

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Ca´lculo II 2013.2
Prof. Valdecir Alves dos Santos Ju´nior
1o PROVA - REPOSIC¸A˜O - 1a UNIDADE
NOME:
DATA / /
OBSERVAC¸O˜ES:
• Esta avaliac¸a˜o deve ser realizada individualmente e em sileˆncio. Nenhuma
troca de material entre os alunos durante a avaliac¸a˜o sera´ permitida. O
uso de ma´quinas de ca´lculo (entenda como computadores, calculadoras,
re´guas de ca´lculo,...) na˜o e´ permitido. E´ permitido o uso de la´pis ou
grafite em toda a avaliac¸a˜o;
• Na˜o e´ permitido o uso de folhas avulsas;
• Celulares, smartphone, tablet ou quasquer aparelhos semenhantes devem
estar desligados e na mesa do professor (ou dentro das mochilas, bolsas
etc, ao lado da carteira) durante a avaliac¸a˜o;
• Apenas o professor esta´ autorizado a tirar du´vidas sobre a prova;
• O aluno que infringir alguma das regras acima tera´ a sua avaliac¸a˜o consi-
derada com nota nula;
• Questo˜es (ou partes de questo˜es) com resultado, mas sem desenvolvimento
sera˜o consideradas com nota nula. Resoluc¸o˜es desorganizadas ou na˜o iden-
tificadas sera˜o corrigidas com nota nula;
• Se alguma questa˜o for anulada, os pontos desta sera˜o redistribu´ıdos pelas
questo˜es remanescentes.
• A avaliac¸a˜o tera´ a durac¸a˜o de duas aulas. Salvo quando mencionado pelo
professor o contra´rio.
1
1. Defina:
a) Sequeˆncia nume´rica;
b) Subsequeˆncia nume´rica;
c) Sequeˆncia mono´tona (crescente, decrescente, na˜o crescente e na˜o de-
crescente);
d) Sequeˆncia limitada inferiormente, superiormente e limitada;
f) Sequeˆncia convergente;
g) Se´ries Infinitas;
h) Sequeˆncia de somas parciais.
2. Mostre em cada item se a sequeˆncia converge ou diverge. Se converge encon-
tre o seu limite.
a) (an), com an =
lnn
n
1
n
;
b) (an), com an =
n!
nn
Sugenta˜o: Compare com 1n .
c) (an), com an =
(
n+ 1
2n
)
+
(
1− 1
n
)
.
3. Mostre em cada item se a se´rie converge ou diverge. Se converge encontre
sua soma.
a)
∞∑
n=1
(
3n−1 − 1
6n−1
)n
;
b)
∞∑
n=1
enpi
pine
;
c)
∞∑
n=1
cosnpi
5n
.
4. Mostre o que se pede
4.1. Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
(n!)n
(nn)2
e´ convergente.
4.2. Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
1
n
lnn
√
ln2 n− 1
e´ convergente.
4.3. Mostre que a se´rie
∞∑
n=2
1
n
√
n2 + 1
e´ convergente.
Sugesta˜o: Compare com
∞∑
n=1
1
n
3
2
.
4.4. Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
2n!
n!n!
e´ convergente.
2
5. Mostre que a sequeˆncia cujo n-e´simo termo e´
xn =
(
n+ 1
n− 1
)n
converge para e2.
6. Mostre que a se´rie geome´trica
a+ ar + ...+ arn−1 + ... =
∞∑
n=1
arn−1
converge se |r| < 1 e diverge se |r| ≥ 1.
7. Use o Teorema do Confronto para mostrar a convergeˆncia das sequeˆncias.
a)
(cosn
n
)
b)
(
(−1)n 1
n
)
3