Prova II - 2013.2

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Ca´lculo II 2013.2
Prof. Valdecir Alves dos Santos Ju´nior
2o PROVA - 1a UNIDADE
NOME:
DATA / /
OBSERVAC¸O˜ES:
• Esta avaliac¸a˜o deve ser realizada individualmente e em sileˆncio. Nenhuma
troca de material entre os alunos durante a avaliac¸a˜o sera´ permitida. O
uso de ma´quinas de ca´lculo (entenda como computadores, calculadoras,
re´guas de ca´lculo,...) na˜o e´ permitido. E´ permitido o uso de la´pis ou
grafite em toda a avaliac¸a˜o;
• Na˜o e´ permitido o uso de folhas avulsas;
• Celulares, smartphone, tablet ou quasquer aparelhos semenhantes devem
estar desligados e na mesa do professor (ou dentro das mochilas, bolsas
etc, ao lado da carteira) durante a avaliac¸a˜o;
• Apenas o professor esta´ autorizado a tirar du´vidas sobre a prova;
• O aluno que infringir alguma das regras acima tera´ a sua avaliac¸a˜o consi-
derada com nota nula;
• Questo˜es (ou partes de questo˜es) com resultado, mas sem desenvolvimento
sera˜o consideradas com nota nula. Resoluc¸o˜es desorganizadas ou na˜o iden-
tificadas sera˜o corrigidas com nota nula;
• Se alguma questa˜o for anulada, os pontos desta sera˜o redistribu´ıdos pelas
questo˜es remanescentes.
• A avaliac¸a˜o tera´ a durac¸a˜o de duas aulas. Salvo quando mencionado pelo
professor o contra´rio.
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1. Encontre o que se pede
1.1.
dw
dt
onde w = 2yex − ln z com x = ln(t2 + 1), y = tan−1 t, z = et
1.2.
∂z
∂u
,
∂z
∂v
onde z = 4ex ln y com x = ln(u cos v), y = u sin v em
(u, v) =
(
2,
pi
4
)
1.3.
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂u
∂z
onde u =
p− q
p− r com p = x+ y + z, q = x− y + z
2. A versa˜o para derivada impl´ıcita para treˆs varia´veis e´ dada da seguinte forma:
Se a equac¸a˜o F (x, y, z) = 0 determinar z como func¸a˜o diferencial de x e
y, enta˜o em um ponto onde Fz 6= 0,
∂z
∂x
= −Fx
Fz
e
∂z
∂y
= −Fy
Fz
Use essas equac¸o˜es para encontrar os valores de
∂z
∂x
e
∂z
∂y
nos pontos dados
2.1. sin(x+ y) + sin(y + z) + sin(x+ z) = 0, (pi, pi, pi)
2.2. xey + yz + 2 lnx− 2− 3 ln 2 = 0, (1, ln 2, ln 3)
3. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que
as func¸o˜es na˜o teˆm limite quando (x, y)→ (0, 0)
3.1. f(x, y) =
x4 − y2
x4 + y2
3.2. f(x, y) =
x2
x2 − y
4. Encontre as curvas e superfpicies de n´ıvel
4.1. f(x, y) =
√
x2 − 1
4.2. f(x, y, z) = z − x2 − y2
4.3. f(x, y, z) =
√
x− y − ln z
5. Encontre o domı´nio da func¸a˜o; a imagem da func¸a˜o; a freonteira do domı´nio;
determine se o domı´nio e uma regia˜o aberta, fechada ou nenhuma delas;
determine se o domı´nio e´ limitado ou ilimitado nos seguintes casos
5.1. f(x, y) =
√
9− x2 − y2
5.2. f(x, y) = ln(x2 + y2)
BOA PROVA !
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