Prova II - Reposição - 2013.2

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Ca´lculo II 2013.2
Prof. Valdecir Alves dos Santos Ju´nior
2o PROVA - REPOSIC¸A˜O - 1a UNIDADE
NOME:
DATA / /
OBSERVAC¸O˜ES:
• Esta avaliac¸a˜o deve ser realizada individualmente e em sileˆncio. Nenhuma
troca de material entre os alunos durante a avaliac¸a˜o sera´ permitida. O
uso de ma´quinas de ca´lculo (entenda como computadores, calculadoras,
re´guas de ca´lculo,...) na˜o e´ permitido. E´ permitido o uso de la´pis ou
grafite em toda a avaliac¸a˜o;
• Na˜o e´ permitido o uso de folhas avulsas;
• Celulares, smartphone, tablet ou quasquer aparelhos semenhantes devem
estar desligados e na mesa do professor (ou dentro das mochilas, bolsas
etc, ao lado da carteira) durante a avaliac¸a˜o;
• Apenas o professor esta´ autorizado a tirar du´vidas sobre a prova;
• O aluno que infringir alguma das regras acima tera´ a sua avaliac¸a˜o consi-
derada com nota nula;
• Questo˜es (ou partes de questo˜es) com resultado, mas sem desenvolvimento
sera˜o consideradas com nota nula. Resoluc¸o˜es desorganizadas ou na˜o iden-
tificadas sera˜o corrigidas com nota nula;
• Se alguma questa˜o for anulada, os pontos desta sera˜o redistribu´ıdos pelas
questo˜es remanescentes.
• A avaliac¸a˜o tera´ a durac¸a˜o de duas aulas. Salvo quando mencionado pelo
professor o contra´rio.
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1. Para os itens
i) f(x, y) = 1√
16−x2−y2 ;
ii) f(x, y) = yx2 .
fac¸a:
1.1. Encontre o domı´nio das func¸o˜es;
1.2. Encontre as imagens das fuc¸o˜es;
1.3. Escreva as curvas de n´ıvel das fuc¸o˜es;
1.4. Encontre a fronteira do dominio das func¸o˜es;
1.5. Determine se o domı´nio e´ uma regia˜o aberta, uma rega˜o fechada ou
nenhuma das duas;
1.6. Decida se o domı´nio e´ limitado ou ilimitado.
2. Apresente os valores da func¸a˜o
f(x, y) = y2
da seguinte forma:
2.1. Esboc¸ando a superf´ıcie z = f(x, y);
2.2. Desenhando va´rias curvas de n´ıvel no domı´nio da func¸a˜o. Identifique
cada curva de n´ıvel com o seu respectivo valor da func¸a˜o.
3. (Equac¸a˜o de Laplace) A equac¸a˜o de Laplace tridimensional e´ dada por
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0.
Mostre que as seguintes func¸o˜es satisfazem a equac¸a˜o de Laplace.
3.1. f(x) = x2 + y2 − 2z2;
3.2. f(x) = 2z3 − 3(x2 + y2)z.
4. Fac¸a o que se pede:
4.1. Considere y como uma func¸a˜o diferencia´vel de x. Desta forma encon-
tre o valor de dydx no ponto dado, onde
xey + sin(xy) + y − ln 2 = 0 , (0, ln 2).
Sugesta˜o: Use derivac¸a˜o impl´ıcita.
4.2. Considere z como func¸a˜o de x e y. Desta forma encontre o valor de
∂z
∂x e
∂z
∂y no ponto dado, onde
z3 − xy + yz + y3 − 2 = 0 (1, 1, 1).
Sugesta˜o: Considere
∂z
∂x
= −Fx
Fz
e
∂z
∂y
= −Fy
Fz
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5. Encontre as derivadas fx, fy e fz da func¸a˜o
f(x, y, z) = xyze−(x
2+y2+z2).
6. Equac¸a˜o da onda. Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma fotografia
das ondas, esta mostrara´ um padra˜o regular de picos e depresso˜es em dado
instante. Veremos movimento vertical perio´dico no espac¸o em relac¸a˜o a`
distaˆncia. Se ficarmos na a´gua, poderemos sentir a subida e descida da
a´gua com o passar das ondas. Veremos movimentos perio´dico vertical no
tempo. Em f´ısica, essa bela simetria e´ expressa pela equac¸a˜o de onda
unidimensional
∂2w
∂t2
= c2
∂2w
∂x2
onde w e´ a altura da onda, x e´ a varia´vel distaˆncia, t e´ a varia´vel tempo e
c e´ a velocidade com a qual as ondas se propagam. Verifique que equac¸a˜o
w = sin(x + ct) + cos(2x + 2ct)
e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de onda.
7. Encontre dwdt como func¸a˜o de t, usando a regra da cadeia, onde:
w = 2yex − ln z, x = ln(t2 + 1), y = arctan t, z = et;
Obs.: Lembre-se que [arctan t]′ = 11+t2 .
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