Prova III - 2013.2

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Ca´lculo II 2013.2
Prof. Valdecir Alves dos Santos Ju´nior
3o PROVA - 2a UNIDADE
NOME:
DATA / /
OBSERVAC¸O˜ES:
• Esta avaliac¸a˜o deve ser realizada individualmente e em sileˆncio. Nenhuma
troca de material entre os alunos durante a avaliac¸a˜o sera´ permitida. O
uso de ma´quinas de ca´lculo (entenda como computadores, calculadoras,
re´guas de ca´lculo,...) na˜o e´ permitido. E´ permitido o uso de la´pis ou
grafite em toda a avaliac¸a˜o;
• Na˜o e´ permitido o uso de folhas avulsas;
• Celulares, smartphone, tablet ou quasquer aparelhos semenhantes devem
estar desligados e na mesa do professor (ou dentro das mochilas, bolsas
etc, ao lado da carteira) durante a avaliac¸a˜o;
• Apenas o professor esta´ autorizado a tirar du´vidas sobre a prova;
• O aluno que infringir alguma das regras acima tera´ a sua avaliac¸a˜o consi-
derada com nota nula;
• Questo˜es (ou partes de questo˜es) com resultado, mas sem desenvolvimento
sera˜o consideradas com nota nula. Resoluc¸o˜es desorganizadas ou na˜o iden-
tificadas sera˜o corrigidas com nota nula;
• Se alguma questa˜o for anulada, os pontos desta sera˜o redistribu´ıdos pelas
questo˜es remanescentes.
• A avaliac¸a˜o tera´ a durac¸a˜o de duas aulas. Salvo quando mencionado pelo
professor o contra´rio.
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1. Encontre a derivada da func¸a˜o em P0(1, 0,
1
2 ) na direc¸a˜o de ~v =
~i+ 2~j + 2~k
onde
f(x, y, z) = cosxy + eyz + ln zx.
Depois encontre as direc¸o˜es nas quais a func¸a˜o cresce e decresce mais
rapidamente em P0.
2. Propriedades alge´bricas dos gradientes. Considere os gradientes
∇f = ∂f
∂x
~i+
∂f
∂y
~j +
∂f
∂z
~k e ∇g = ∂g
∂x
~i+
∂g
∂y
~j +
∂g
∂z
~k.
Mostre que
2.1. ∇(fg) = f∇g + g∇f
2.2. ∇
(
f
g
)
=
g∇f − f∇g
g2
2.3. Dada f(x, y, z) = 3ex cos yz e g(x, y, z) = lnxy + ln yz + lnxz
encontre ∇f(1, pi2 , 1), ∇g(2, 2, 2) e depois calcule ∇(fg) e ∇
(
f
g
)
nos respectivos pontos.
3. Dada a superf´ıcie
cospix− x2y + exz + yz = 4.
Encontre a equac¸a˜o do plano e da reta tangente normal a` superf´ıcie no
ponto P0(0, 1, 2).
BOA PROVA!
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