Estatistica (unid 2)

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Unidade II
ESTATÍSTICA
Prof. Emanuel Matos
Sumário 1/2 
Tabelas de frequência e seus gráficos 
 Construção das tabelas 
 Variável “sabor” 
 Variável “tamanho” 
 Variável “preço” 
 Variável “vendas” 
Gráficos de tabelas de frequência 
 Gráficos de colunas 
Di i l Diagramas circulares 
 Escolha do tipo de gráfico 
 Comentários adicionais
Sumário 2/2
Medidas de posição 
 Moda 
 Mediana 
 Média 
 Média aritmética 
Cálculo da média para dados apresentados 
em intervalos 
 Média ponderada 
 Propriedades da média Propriedades da média 
 Médias ponderadas da área econômica: 
índices de inflação
Tabelas de frequência 
e seus gráficos
 As tabelas de dados brutos, embora 
tragam todas as características do 
conjunto, não permitem que tenhamos um 
entendimento dele, pois os dados assim 
dispersos somente nos permitem formar 
uma imagem fragmentada Tomando auma imagem fragmentada. Tomando a 
tabela do exemplo abaixo com apenas 12 
clientes, verifica-se um amontoado de 
fatos sem significado, imagine em 
pesquisas reais! Cliente Sabor Tamanho Preço Vendas
1 maracujá pequeno 1,50 8
2 uva médio 1 75 32 uva médio 1,75 3
3 maracujá médio 2,00 9
4 maracujá grande 5,00 1
5 caju pequeno 1,35 1
6 uva grande 5,30 12
7 caju grande 4,80 6
8 maracujá médio 1,50 4
9 maracujá médio 1,75 4
10 uva pequeno 1,20 1
11 uva grande 4,95 1
12 caju médio 1,75 8
Tabelas de frequência 
e seus gráficos
 Assim sendo, para que os dados possam 
se converter em informação, é preciso 
analisá-los.
Cliente Sabor Tamanho Preço Vendas
1 maracujá pequeno 1,50 8
2 uva médio 1,75 3
3 maracujá médio 2 00 93 maracujá médio 2,00 9
4 maracujá grande 5,00 1
5 caju pequeno 1,35 1
6 uva grande 5,30 12
7 caju grande 4,80 6
8 maracujá médio 1,50 4
9 maracujá médio 1,75 4
10 uva pequeno 1,20 1
11 uva grande 4,95 1
12 caju médio 1,75 8
Sabores Vendas_ Quantidade de Clientes
maracujá 26 5
uva 17 4
caju 15 3
Total Geral 58 12
Construção das tabelas 
 Para melhor compreensão, vamos 
construir tabelas de frequência e de 
frequência relativa para os dados do 
exemplo a respeito de vendas de suco.
Cliente Sabor Tamanho Preço Vendas
1 maracujá pequeno 1 50 81 maracujá pequeno 1,50 8
2 uva médio 1,75 3
3 maracujá médio 2,00 9
4 maracujá grande 5,00 1
5 caju pequeno 1,35 1
6 uva grande 5,30 12
7 caju grande 4,80 6
8 maracujá médio 1 50 48 maracujá médio 1,50 4
9 maracujá médio 1,75 4
10 uva pequeno 1,20 1
11 uva grande 4,95 1
12 caju médio 1,75 8
Variável “sabor” 
O l í i iá l Os valores possíveis para essa variável 
são: caju, maracujá e uva. É usual chamar 
os valores das variáveis de x. Utilizando 
essa notação, teremos: x1 = caju, x2 = 
maracujá, x3 = uva. Pelo fato de a variável 
ser nominal, não há ordem específica aser nominal, não há ordem específica a 
ser seguida pelos valores, mas é usual 
nesses casos, para facilitar sua 
localização, ordenar os valores 
alfabeticamente.
 Dos diversos clientes, três compraram 
suco de caju, cinco compraram de 
maracujá e quatro o de uva.
Sabores Quantidade de Clientes
x1 = caju 3
x2 = maracujá 5
x3 = uva 4
Total Geral 12
Variável “sabor” 
 Chamando as frequências de f, teremos: 
f1 = 3, f2 = 5, f3 = 4. As frequências 
relativas serão os valores percentuais de 
cada sabor. Ou seja: f1=100 * 3/12, f2 = 100 
* 5/12, f3 = 100 * 4/12. 
Fazendo as contas e apresentando osFazendo as contas e apresentando os 
resultados com aproximação a partir da 
primeira casa decimal: f1 = 25%, f2 = 42%, 
f3 = 33%. Sabores Quantidade de Clientes fi(%)
x1 = caju 3 25%
x2 = maracujá 5 42%
x3 uva 4 33%
 Nova organização nos mostra de maneira 
muito mais rápida e direta o grau 
de preferência dos clientes com 
relação ao sabor.
x3 = uva 4 33%
Total Geral 12 100%
Variável “tamanho”
 Fazendo a mesma coisa para a segunda 
variável, teremos a tabela 3. Assim como 
para o caso da variável “sabor”, também 
aqui a distribuição de preferências dos 
clientes fica muito mais visível que na 
tabela de dados brutos Atente agoratabela de dados brutos. Atente agora 
para o seguinte detalhe: como a variável 
é ordinal, a tabela deve seguir a ordem 
natural dos valores, ou seja, ordena os 
valores do menor para o maior, assim:
x1 = pequeno x2 = médio x3 = grandex1 = pequeno, x2 = médio, x3 = grande
Variável “preço” – Visão 1
 Empregamos o mesmo procedimento 
para a variável “preço”. Utilizamos os 
valores existentes para os preços, pois, 
como a variável é contínua, não é 
possível determinar antes os valores 
possíveis pois eles são inúmeros Assimpossíveis, pois eles são inúmeros. Assim 
procedendo, teremos construída a tabela 
abaixo. Note que não incluímos as 
frequências relativas por uma questão de 
concisão. Preços Quantidade de Clientes %
1,20 1 8.3%
1,35 1 8.3%
1,50 2 16.7%
1,75 3 25.0%
2,00 1 8.3%
4,80 1 8.3%
4,95 1 8.3%
5,00 1 8.3%
5,30 1 8.3%
Variável “preço” – Visão 2
 Como os valores das variáveis oscilam, 
variam entre 1,20 e 5,30, por exemplo, 
escolho utilizar intervalos que agrupem 
de 1 em 1 real. Perceba a necessidade de 
definir o intervalo de maneira que não 
haja dúvidas quanto à colocação dehaja dúvidas quanto à colocação de 
certo dado, razão pela qual o final de 
cada intervalo refere-se a 99 centavos. 
Com isso, temos uma nova distribuição 
de frequências, conforme dados da 
tabela abaixo.tabela abaixo.
Intervalo Quantidade de Clientes %
1,00 ‐ 1,99 7 58.3%
2,00 ‐ 2,99 1 8.3%
4,00 ‐ 4,99 2 16.7%
5,00 ‐ 5,99 2 16.7%
Total Geral 12 100.0%
Variável “preço” – Visão 2
Intervalo Quantidade de Clientes %
1,00 ‐ 1,99 7 58.3%
2,00 ‐ 2,99 1 8.3%
4,00 ‐ 4,99 2 16.7%
5,00 ‐ 5,99 2 16.7%
Total Geral 12 100.0%
Intervalo Preço Quantidade de Clientes
1,00 ‐ 1,99 1,20 1
1,35 1
1,50 2
1,75 3
1,00 ‐ 1,99 Total 7
2,00 ‐ 2,99 2,00 1
2 00 ‐ 2 99 Total 12,00 ‐ 2,99 Total 1
4,00 ‐ 4,99 4,80 1
4,95 1
4,00 ‐ 4,99 Total 2
5,00 ‐ 5,99 5,00 1
5,30 1
5,00 ‐ 5,99 Total 2
Total Geral 12
Variável “preço” – Visão 3
 Podemos calcular o “preço médio por 
sabor”, então utilizamos a variável 
“sabor” junto:
Sabor Média de Preço
caju 2.6
Por exemplo: 
caju 2.6                                         
maracujá 2.4                                          
uva 3.3                                          
Total Geral 2.7                                          
p
O preço médio do sabor uva é de 3.3.
Interatividade 
Quando se constrói uma tabela de dados, 
qual tipo de informação obtemos?
a) Estatística indutiva.
b) Fatos sem significado.
c) Estatística descritivac) Estatística descritiva.
d) Clustering.
e) NDA.
Variável “vendas” – Visão 1
 Utilizamos finalmente um procedimento 
similar para a variável “vendas”, sem 
perdas de informação. Como a variável é 
discreta, podemos admitir que os valores 
xi serão os números inteiros entre 1 e 12, 
que englobam todos os dados coletadosque englobam todos os dados coletados. 
Desse modo, construímos a tabela.
Assim, sabemos vendas por clientes:
Vendas Quantidade de Clientes
1 4
2 0
3 1
4 24 2
5 0
6 1
7 0
8 2
9 1
10 0
11 0
12 1
Total Geral 12
Variável “vendas” – Visão 2
 Podemos ainda da mesma forma calcular 
por intervalos e também utilizando uma 
outra variável: Vendas Quantidade de Clientes
1 4
2 0
3 1
4 2
5 0
6 1
7 0
8 2
9 1
10 0
11 0
Sabor Soma de Vendas
caju 15
11 0
12 1
Total Geral 12
j
maracujá 26
uva 17
Total Geral 58
Gráficos de 
tabelas de frequência
 A apresentação de dados estatísticos 
utiliza-se não somente de tabelas, mas 
também de gráficos. O objetivo de uma 
apresentação gráfica é tornar as 
características importantes visíveis em um 
tempo bastante curto Essa característicatempo bastante curto. Essa característica 
dosgráficos é que torna sua utilização tão 
frequente na apresentação de conjuntos 
de valores, principalmente quando se 
discutem aspectos técnicos, por exemplo, 
nos cadernos de economia dos jornais.nos cadernos de economia dos jornais.
 A escolha apropriada do tipo de gráfico 
dependerá das características do conjunto 
que se queira enfatizar.
Gráfico de colunas
 Os gráficos de colunas são construídos 
tendo como eixo horizontal os valores da 
variável e na vertical, a frequência. Assim 
sendo, as colunas serão tanto mais altas 
quanto maior a frequência daquele valor.
E l áfi d l d iá l Exemplo: gráfico de colunas da variável 
“sabor”.
Gráfico de colunas
 Da mesma forma, podemos fazer gráfico 
de coluna para dados intervalares.
 Variável preço.
Diagramas circulares
 Os diagramas circulares são construídos 
de tal modo que quanto maior a 
proporção de uma categoria no conjunto, 
maior será a área do círculo que se 
refere a ela, sendo que a categoria pode 
referir se a um valor ou a um intervalo dereferir-se a um valor ou a um intervalo de 
valores. Devido aos cortes radiais que 
definem fatias da circunferência, esses 
gráficos também são conhecidos por 
“gráficos de pizza”.
Diagramas circulares
 Por sua natureza, são bastante utilizados 
nos casos em que mostrar a quantidade 
específica de cada categoria não é 
importante, mas sim mostrar clara e 
rapidamente as proporções de cada uma.
 Como exemplo, utilizaremos as mesmas 
tabelas de frequência para as quais 
fizemos os gráficos de coluna.
Diagramas circulares
Similarmente podemos construir também 
para intervalos:
Escolha do tipo de gráfico
 Como dissemos no início desta seção, 
o papel de um gráfico é trazer alguma 
informação de maneira clara e direta, logo, 
o critério para se escolher um gráfico 
ou outro quando vamos apresentar dados 
depende de qual é o objetivo dessa figuradepende de qual é o objetivo dessa figura 
em nossa argumentação. Ou seja, se 
quisermos enfatizar os valores específicos 
de cada frequência para cada variável, 
o gráfico mais apropriado será o de 
colunas; no entanto, se for interessantecolunas; no entanto, se for interessante 
enfatizar a proporção de cada um, 
devemos utilizar o diagrama circular.
Comentários adicionais 1/2
 Apresentamos aqui somente dois tipos 
de gráficos, por considerá-los os mais 
significativos para as discussões 
de interesse da disciplina. 
No entanto, existem diversos outros tipos, 
mas a lógica de construção que os regemas a lógica de construção que os rege 
é geralmente derivada da mesma lógica 
de construção dos tipos vistos aqui. 
Portanto, não deve haver dificuldade 
na compreensão ou na construção de 
algum outro formato.algum outro formato.
Comentários adicionais 2/2
 Note ainda que atualmente é raro que 
tenhamos que construir gráficos 
manualmente, visto que todas as 
planilhas de dados já possuem 
ferramentas de elaboração dos gráficos 
em diversos formatos e ainda háem diversos formatos e ainda há 
programas específicos de excelente 
qualidade desenvolvidos para esse fim.
Medidas de posição
 Moda
 Mediana
 Média
Moda
 A palavra moda é utilizada por nós 
cotidianamente com um significado 
parecido com a definição de estatística. 
No dia a dia, dizemos que algo está na 
moda se muita gente o está usando 
ou o está fazendo Em estatística modaou o está fazendo. Em estatística, moda 
é o valor que mais aparece no conjunto, 
aquele que é a característica da maioria. 
Quando há um valor que se sobressai 
em frequência, com relação aos demais 
valores, dizemos que o conjuntovalores, dizemos que o conjunto 
tem uma moda, é modal.
Moda: exemplo
Exemplo:
Tipo Quantidade
Impressora jato de tinta 112
Impressora laser monocromática 263
Impressora laser colorida 185
Multifuncional jato de tinta 488
Multifuncional laser monocromática 124
Multifuncional laser colorida 93
 Vemos que o artigo que mais aparece 
é a multifuncional jato de tinta, com 488 
unidades. Um erro comum é atribuir à 
moda a frequência do valor, mas ressalto 
Multifuncional laser colorida 93
Total 1265
que a moda será o valor da variável e não 
a quantidade de vezes que o mesmo 
aparece. Ou seja, a moda desse conjunto 
será, portanto, “multifuncional 
jato de tinta”.
Interatividade 
Dada a tabela abaixo, qual é o valor modal? 
Tipo Quantidade
Impressora jato de tinta 112
Impressora laser monocromática 488
Impressora laser colorida 185
Multifuncional jato de tinta 488
Multifuncional laser monocromática 124
Multifuncional laser colorida 93
a) Impressora jato de tinta.
b) Impressora laser colorida.
c) Impressora laser colorida e 
monocromática.
Multifuncional laser colorida 93
Total 1490
monocromática.
d) Impressora jato de tinta e impressora 
laser monocromática.
e) NDA.
Mediana
 A segunda grandeza que 
utilizaremos como um resumo 
do conjunto é a mediana, que definimos 
como sendo o valor que corresponde 
ao ponto central do conjunto. 
A mediana é o valor que divide o conjuntoA mediana é o valor que divide o conjunto 
em duas metades, isto é, haverá um 
mesmo número de valores inferiores e 
superiores ao valor da mediana.
 A mediana é uma métrica posicional.
Mediana
 A mediana é uma métrica posicional.
Exemplo: tomemos estes indivíduos:
Nome Idade
Ana 3
Bruno 32Bruno 32
Denise 19
Gabriel 56
José 12
Maria 16
Pedro 11
Qual será a mediana?
Pedro 11
Mediana: exemplo 1
 Por ser posicional, devemos ordenar 
e observar o valor do meio:
Nome Idade
Ana 3
Bruno 32
Denise 19
Nome Idade
Ana 3
Pedro 11
José 12
 A mediana será a idade que divide o
Denise 19
Gabriel 56
José 12
Maria 16
Pedro 11
José 12
Maria 16
Denise 19
Bruno 32
Gabriel 56
 A mediana será a idade que divide o 
conjunto em dois, ou seja, a idade acima 
e abaixo da qual haverá o mesmo número 
de pessoas.
 A mediana é 16.
Mediana: exemplo 2
 Vamos retirar um indivíduo, a própria 
Maria, e recalcular a mediana:
Nome Idade
Ana 3
Bruno 32
Denise 19
Nome Idade
Ana 3
Pedro 11
José 12
 Nesse caso, a mediana estará entre José 
e Denise, devemos calcular o ponto 
Denise 19
Gabriel 56
José 12
Pedro 11
José 12
Denise 19
Bruno 32
Gabriel 56
, p
intermediário entre esses indivíduos. 
Tomemos as idades 12+19 = 31, 
dividimos por 2 e temos a mediana = 
15.5.
Mediana: exemplo 3
Em um gráfico de colunas com intervalos, 
onde os intervalos já estão ordenados, 
onde será a mediana?
Mediana: exemplo 3
Em um gráfico de colunas com intervalos, 
onde os intervalos já estão ordenados, 
a mediana será?
Moda: exemplo 4
Em um gráfico de colunas com intervalos, 
onde os intervalos já estão ordenados 
ou não, onde será a moda?
Moda: exemplo 4
Em um gráfico de colunas com intervalos, 
a moda será?
Cálculo manual da mediana 1/3
 Encontrar a mediana de um grupo de n 
números é fácil, desde que você se 
lembre de ordenar os valores primeiro. 
 Se n for ímpar, a mediana é o valor 
do meio. 
 Contando a partir dos finais, 
encontramos esse valor na posição 
(n + 1)/2. Quando n for par, existem 
dois valores do meio. 
 Assim, nesse caso, a mediana é a médiaAssim, nesse caso, a mediana é a média 
dos dois valores nas posições 
n/2 e (n/2) + 1.
Cálculo manual da mediana 2/3
Veja dois exemplos:
Suponha que o grupo tenha os valores 14,1; 
3,2; 25,3; 2,8; –17,5; 13,9 e 45,8. 
 Primeiro ordenamos os valores: 
–17,5; 2,8; 3,2; 13,9; 14,1; 25,3 e 45,8. 
 Visto que existem 7 valores, a mediana 
é o valor na posiç̧ão (7 + 1)/2 = 4, 
contanto do início ou do fim: 13,9.
Cálculo manual da mediana 3/3
“Suponha que temos o mesmo grupo 
com outro valor em 35,7.
 Então, os valores ordenados são –17,5;2,8; 3,2; 13,9; 14,1; 23,3; 35,7 e 45,8. 
A mediana é a média dos valores nas 
posições 8/2 = 4 e (8/2) + 1 = 5. 
Portanto, a mediana é (13,9 +14,1)/2 = 
14,0”. 
(R., SHARPE, Norean; De VEAUX, Richard D.; VELLEMAN, 
Paul F. “Estatística Aplicada: Administração, Economia 
e Negócios”. Bookman, 2011-01-01. e egóc os oo a , 0 0 0
<vbk:9788577808656#page(153)>)
Interatividade 
Os dados representam as idades, em anos, 
completos de todas as crianças de uma 
sala de aula. 
Dados: 1 0 4 4 3 1 0 4 5 2 4 
Qual é a mediana?Qual é a mediana?
a) 0
b) 4
c) 3
d) 2.5)
e) NDA.
Média
 As medidas de posição dadas 
anteriormente podem traduzir algumas 
características interessantes dos 
conjuntos estudados, mas não permitem 
um estudo analítico mais profundo. 
Para que isso seja feito é preciso definirPara que isso seja feito, é preciso definir 
uma terceira medida de posição do 
conjunto que é a média.
 Assim como outros conceitos, também 
o de média faz parte de nossa linguagem 
cotidiana pois costumamos realizar comcotidiana, pois costumamos realizar com 
bastante frequência cálculos de médias, 
ainda que de maneira informal e intuitiva.
Média
 Imagine a seguinte situação: um grupo 
de amigos organiza um jantar e cada um 
fica responsável por realizar parte das 
compras. Ao final, cada um deles 
comunica o valor gasto e eles dividem 
igualmente as despesasigualmente as despesas. 
O valor da contribuição de cada um 
para a festa é justamente a média de 
gastos do grupo.
Média aritmética
 A chamada média aritmética, média ou 
média simples, é a mais utilizada no 
cotidiano e estabelece que todos os 
elementos têm a mesma importância.
Pessoa Gasto
Alberto 25
Beatriz 31
Carlos 47Carlos 47
Diana 19
Edgar 28
Média aritmética: exemplo
 Gastos efetuados para a realização 
do jantar por participante do grupo 
de amigos.
Pessoa Gasto
Alberto 25
Beatriz 31
C l 47
 Dessa maneira, determinamos que a 
Carlos 47
Diana 19
Edgar 28
, q
média de gastos foi de R$ 30,00, ou seja, 
esse é o valor correspondente aos gastos 
de cada um. É interessante observar que o 
valor da média não precisa ser um valor 
encontrado no conjunto.
Regra geral – média aritmética
 Utilizando o exemplo como guia, 
vamos agora formalizar o cálculo 
da média aritmética.
Utilizamos um indicador de que temos 
que somar todos os valores de xi. 
A isso chamamos “somatório de x”, 
ou seja, soma de todos os valores de x. 
Para indicar tal operação, convencionou-se 
utilizar a letra grega sigma maiúscula, 
como segue:
Média aritmética – frequência
 Passamos agora a discutir o cálculo da 
média quando os dados estão 
apresentados em uma tabela de 
frequência. Para isso, começaremos 
calculando a média da mesma maneira 
utilizada anteriormente mas agora parautilizada anteriormente, mas agora para 
uma situação ligeiramente diferente.
Média aritmética – frequência
 Suponhamos agora que haja uma mesa 
com 10 pessoas em uma lanchonete, as 
quais combinaram dividir igualmente a 
despesa final. Os dados a respeito do 
consumo de cada um dos ocupantes 
estão apresentados na tabela:estão apresentados na tabela:
Pessoa Gasto
1 12
2 15
3 15
4 18
5 13
6 12
7 13
8 15
9 12
10 15
Média aritmética – frequência
 Gastos efetuados por ocupante da mesa 
da lanchonete.
Pessoa Gasto
1 12
2 15
3 15
4 18
5 13
6 12
 Temos aqui como valores xi os gastos 
individuais e como fi o número 
de pessoas que gastou esse valor.
6 12
7 13
8 15
9 12
10 15
xi fi
12 3
13 2
15 4
18 1
Total Geral 10
Média aritmética – frequência
 Gastos efetuados por ocupante da mesa 
da lanchonete.
xi fi
12 3
13 2
15 4
 Para calcular a média, precisamos, 
em primeiro lugar, do número de pessoas, 
que é o somatório das frequências, 
15 4
18 1
Total Geral 10
na tabela acima = total geral.
 O segundo valor a ser determinado 
é o valor total da conta.
Média aritmética – frequência
 O segundo valor a ser determinado 
é o valor total da conta.
3 pessoas gastaram 12, somam-se 36 à conta.
2 pessoas gastaram 13, somam-se 26 à conta.
4 pessoas gastaram 15, somam-se 60 à conta.
1 pessoa gastou 18, somam-se 18 à conta.
C d f ê i dá t t l
xi fi xi  .    Fi Média / pessoa
12.00R$   3 36.00R$     
13.00R$   2 26.00R$     
15.00R$   4 60.00R$     
18.00R$   1 18.00R$     
Total Gera 10 140.00R$   14.00R$              
Como a soma das frequências nos dá o total 
de pessoas na mesa, que são 10, temos uma 
conta de R$ 140,00 a ser dividida por 10 
pessoas. A média, portanto, 
será de R$ 14,00.
Cálculo da média para dados 
apresentados em intervalos
 Quando a tabela de frequências traz 
classes de dados em intervalos em lugar 
de valores individuais, assumimos que 
o valor que melhor representa a classe 
é o valor referente ao meio do intervalo.
Intervalo xi
Tomando como exemplo os intervalos 
da tabela acima, os intervalos teriam 
por valores representativos:
Intervalo xi
1.0 ‐ 5.0 3
6.0 ‐ 10.0 8
11.0 ‐ 15.0 13
 O intervalo 1-5 tem como valor 
representativo x1 = 3, o intervalo 6-10 
tem como valor representativo x2 = 8, 
o intervalo 11-15 tem como valor 
representativo x3 = 13.
Cálculo da média para dados 
apresentados em intervalos
 Como os valores tratados dessa maneira 
não consideram exatamente o valor de 
cada um dos dados, a média será um 
valor aproximado. Portanto, quando 
houver acesso aos dados brutos e 
também necessidade de um cálculotambém necessidade de um cálculo 
preciso, é preferível utilizar os dados 
brutos para efetuar o cálculo da média.
Intervalo xi fi xi*fi Média
1.0 ‐ 5.0 3 7 21
6 0 ‐ 10 0 8 4 326.0 ‐ 10.0 8 4 32
11.0 ‐ 15.0 13 1 13
Soma 12 66 5.5
Média ponderada
 Pensemos no seguinte exemplo 
cotidiano: para avaliar o desempenho 
de um aluno, é usual que se utilize 
mais de um instrumento de apreciação. 
 Digamos que um professor aplique 
duas avaliações no bimestre: a primeira 
seria um trabalho em grupo a respeito 
de algum tópico desenvolvido em aula 
e a segunda seria uma prova a respeito 
de todo o conteúdo.
Média ponderada: exemplo
 Tomando o exemplo das notas, 
digamos que o professor assuma que a 
prova é quatro vezes mais importante que 
o trabalho, ele então atribuirá peso 1 ao 
trabalho e peso 4 à prova.
C A B Média Ponderada
n1 n2 p1 p2 p1 + p2 n1*p1 n2*p2 (A+B)/C
Notas Ponderação
Aluno
n1 n2 p1 p2 p1 + p2  n1 p1 n2 p2  (A+B)/C
1 0 10 1 4 5 0 40 8.00                          
2 10 0 1 4 5 10 0 2.00                          
3 8 2 1 4 5 8 8 3.20                          
4 2 8 1 4 5 2 32 6.80                          
5 7 7 1 4 5 7 28 7.00                          
6 9 6 1 4 5 9 24 6.60                          
Médias ponderadas da área 
econômica: índices de inflação
 Os índices econômicos são geralmente 
uma ponderação de diversos dados com 
pesos diferentes.
 Exemplos de índices de preços.
Propriedades da média
Para terminar nossa discussão a respeito 
das médias, vale comentar duas de suas 
características:
1. Se somarmos um mesmo número a 
todos os elementos do conjunto, a média 
será acrescida de mesmo valor.
2. Se multiplicarmos todos os elementos 
do conjunto por um mesmo número, 
a média será acrescida de mesmo valor.
Interatividade 
Qual é o valor mais aproximado da média 
dos dados abaixo?
1 1 1 1 2 2 2 3 3
a) 1.0
b) 2 1b) 2.1
c) 3.0
d) 1.8
e) NDA.
ATÉ A PRÓXIMA!