Funcoes_Trigonometricas_2405

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Funções trigonométricas
Função seno
A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real sen x, ordenada do ponto P, associado ao número x no ciclo.
Fica definida assim, a função seno, de domínio ℝ, expressa por
y = f(x) = sen x
Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, sen x).
Variação da função y = sen x para x  [0, 2]
O
0
B
A’
B’
/2
A
sen
1
Quando x cresce de 0 a /2, sen x cresce de 0 a 1.
O

B
A’
B’
/2
A
sen
1
Quando x cresce de /2 a , sen x decresce de 1 a 0.
Variação da função y = sen x para x  [0, 2]
O

B
A’
B’
3/2
A
sen
–1
Quando x cresce de  a 3/2, sen x decresce de 0 a –1.
O
A
B
A’
B’
3/2
2
sen
–1
Quando x cresce de 3/2 a 2, sen x cresce de –1 a 0.
Gráfico da função y = sen x 
0

0
–1
1
0
y = sen x
2
3/2
/2
0
x
x
y = sen x
0
/2
1
–1

3/2
2
D = [0, 2]
Im = [–1, 1]
Observação
O gráfico da função seno é chamado senóide.
A senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2:
	... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ...
O período da função seno é igual a 2.
Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].
Gráfico da função y = sen x 
x
y = sen x
0
/2
1
–1

3/2
2
Na figura abaixo, temos dois períodos completos da senóide.
–/2
–
–3/2
–2
Função co-seno
A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real cos x, abscissa do ponto P, associado ao número x no ciclo.
Fica definida assim, a função co-seno, de domínio ℝ, expressa por
y = f(x) = cos x
Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, cos x).
Variação da função y = cos x para x  [0, 2]
O
0
B
A’
B’
/2
A
cos
1
Quando x cresce de 0 a /2, cos x decresce de 1 a 0.
O

B
A’
B’
/2
A
cos
–1
Quando x cresce de /2 a , cos x decresce de 0 a –1.
Variação da função y = cos x para x  [0, 2[
O

B
A’
B’
3/2
A
cos
–1
Quando x cresce de  a 3/2, cos x cresce de –1 a 0.
O
A
B
A’
B’
3/2
2
cos
1
Quando x cresce de 3/2 a 2, cos x cresce de 0 a 1.
Gráfico da função y = cos x 
–1

1
0
0
1
y = cos x
2
3/2
/2
0
x
x
y = cos x
0
/2
1
–1

3/2
2
D = [0, 2]
Im = [–1, 1]
Observação
O gráfico da função co-seno é chamado co-senóide.
A co-senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2:
	... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ...
O período da função co-seno é igual a 2.
Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].
Gráfico da função y = cos x 
x
y = cos x
0
/2
1
–1

3/2
2
Na figura abaixo, temos dois períodos completos da co-senóide.
–/2
–
–3/2
–2
Função tangente
A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real tg x, ordenada do ponto T, associado ao número x no ciclo.
Fica definida assim, a função tangente, de domínio ℝ – /2 + k, k  ℤ expressa por
y = f(x) = tg x
Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, tg x).
x’
x
O
A
B
A’
B’
cos
sen
x
tg x
0
T
T’
A medida que x cresce de 0 a /2, tg x cresce de 0 a +∞.
Variação de y = tg x, à medida que x cresce no intervalo [0, 2 ].
/2
O
A
B
A’
B’
cos
sen
x
tg x
T
T’
x
A medida que x cresce de /2 a , tg x cresce de –∞ até 0.
Variação de y = tg x, à medida que x cresce no intervalo [0, 2 ].
x’
/2

Variação da função y = tg x para x  [0, 2]
O
0
B
A’
B’
/2
A
tg
Quando x cresce de 0 a /2, tg x cresce de 0 a +.
O

B
A’
B’
/2
A
tg
Quando x cresce de /2 a , tg x cresce de – a 0.
0
Variação da função y = tg x para x  [0, 2[
O

B
A’
B’
3/2
A
tg
0
Quando x cresce de  a 3/2, tg x cresce de 0 a +.
O
A
B
A’
B’
3/2
2
tg
0
Quando x cresce de 3/2 a 2, tg x cresce de – a 0.
O
A
B
A’
B’
cos
sen
x
tg x
T
T’
x
A medida que x cresce de  a 3/2, tg x cresce de 0 até +∞.
Variação de y = tg x, à medida que x cresce no intervalo [0, 2 ].
x’
3/2

x’
0
O
A
B
A’
B’
cos
sen
x
tg x
T
T’
x
A medida que x cresce de 3/2 a 2, tg x cresce de –∞ até 0.
Variação de y = tg x, à medida que x cresce no intervalo [0, 2 ].
3/2

Gráfico da função y = tg x 
0

0
∄
∄
0
y = tg x
2
3/2
/2
0
x
x
y = tg x
0
/2

3/2
2
D = [0, 2]
Im = [–, + ]
Observação
O gráfico da função tangente é chamado tangentóide.
A tangentóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude :
	... [–2, –], [–, 0], [0, ], [, 2], ...
O período da função tangente é igual a .
Seu conjunto imagem é o intervalo [–, +].
Gráfico da função y = tg x 
x
y = tg x
0
/2

3/2
2
Na figura abaixo, temos quatro períodos completos da tangentóide.
–/2
–
–3/2
–2
Domínio, período e conjunto imagem das funções seno, co-seno e tangente
Resumo
Função
y = sen x
y = cos x
y = tg x
domínio
ℝ
ℝ
x ≠ k + /2
período
2
2

mínimo
–1
–1
–
máximo
1
1
–
Imagem
[–1, 1]
[–1, 1]
ℝ
Exemplos
Construir o gráfico da função y = 2 sen x:
0
0

0
–2
2
0
y = 2 sen x
0
–1
1
0
sen x
2
3/2
/2
0
x
x
y 
0
/2
1
–1

3/2
2
2
–2
 y = sen x
 y = 2sen x
p = 2
Im = ]–1, 1]
p = 2
Im = ]–2, 2]
Exemplos
Construir o gráfico da função y = sen 2x:
0
/2

0
–1
1
0
y = sen 2x
2
3/4
/4
0
x
2
3/2
/2
0
2x
x
y = sen x
0
/2
1
–1

3/2
2
/4
3/4
Exemplos
Construir o gráfico da função y = 1 + sen x:
1
0

1
0
2
1
y = 1 + sen x
0
–1
1
0
sen x
2
3/2
/2
0
x
x
y 
0
/2
1
–1

3/2
2
2
–2
 y = sen x
 y = 1 + sen x
p = 2
Im = ]–1, 1]
p = 2
Im = ]0, 2]
Domínio, imagem e período
de outras funções seno
[–1, 0]
/8
ℝ
y = –1 + sen2 (8x)
[0, 1]

ℝ
y = sen2 (x)
[–3, 1]
2
ℝ
y = –1 + 2sen (x + /2)
[–2, 4]

ℝ
y = 1 + 3sen (2x)

2
4

2
Período
[–2, 2]
ℝ
y = 2sen (2x + /2)
[–2, 2]
ℝ
y = 2sen (x – /2)
[–1, 1]
ℝ
y = sen (x/2)
[–1, 1]
ℝ
y = sex (2x)
[–1, 1]
ℝ
y = sen (x)
Imagem
Domínio
Função
Domínio, imagem e período
de outras funções co-seno
[–1, 0]
/8
ℝ
y = –1 + cos2 (8x)
[0, 1]

ℝ
y = cos2 (x)
[–3, 1]
2
ℝ
y = –1 + 2cos (x + /2)
[–2, 4]

ℝ
y = 1 + 3cos (2x)

2
4

2
Período
[–2, 2]
ℝ
y = 2cos (2x + /2)
[–2, 2]
ℝ
y = 2cos (x – /2)
[–1, 1]
ℝ
y = cos (x/2)
[–1, 1]
ℝ
y = cos (2x)
[–1, 1]
ℝ
y = cos (x)
Imagem
Domínio
Função
Domínio, imagem e período
de outras funções tangente
ℝ
/8
x≠k/8 + /16
y = –1 + tg2 (8x)
ℝ

x ≠ k + /2
y = tg2 (x)
ℝ

x ≠ k
y = –1 + 2tg (x + /2)
ℝ
/2
x ≠ k/2 + /4
y = 1 + 3tg (2x)
/2

2
/2

Período
ℝ
x ≠ k/2
y = 2tg (2x + /2)
ℝ
x ≠ k + 
y = 2tg (x – /2)
ℝ
x ≠ 2k + 
y = tg (x/2)
ℝ
x ≠ k/2+ /4
y = tg (2x)
ℝ
x ≠ k + /2
y = tg (x)
Imagem
Domínio
Função