Amatrizes_22022011

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Matrizes
Aula 22/02
a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1a11x 1 +
Matrizes Conceitos Básicos
A= a11 a12 a13
a21 a22 a23
a1n...
... a2n
a31 a32 a33 a3n...
..
.
..
.
..
.
am1 am2 am3 amn...
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij 
Consideremos o sistema
... +
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij 










87410
02452
10221
3x5
a13= 2
a34= 7
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
As matrizes podem ser classificadas segundo:
A natureza dos elementos
A forma
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a forma em:
Retangular
Quadrada
Coluna
Linha
Se o número de linhas é diferente do número de colunas
Se o número de linhas é igual do número de colunas
Se o número de colunas é igual a um
Se o número de linhas é igual a um
53










05442
12520
43201
33










231
310
201
13










1
0
1
  31221
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Real
Complexa
Nula
se todos os seus elementos são reais
 ijij aAa :
se pelo menos um dos seus elementos é complexo
CaAa ijij  :
se todos os seus elementos são nulos
0:  ijij aAa






100
251






10
251
i






000
000
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Triangular Superior
Triangular Inferior
0:  ijij ajiAa
uma matriz quadrada em que os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos
uma matriz quadrada em que os elementos acima
da diagonal principal são nulos
0:  ijij ajiAa












5000
6200
0300
7211












5103
0220
0025
0001
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Diagonal
Escalar
0:  ijij ajiAa
uma matriz quadrada em que os 
elementos não principais são nulos












5000
0200
0000
0001
uma matriz diagonal em que os 
elementos principais são iguais


ij
ijij
aji
ajiAa 0:












2000
0200
0020
0002
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Simétrica
Densa
Dispersa












5740
7232
4301
0211
se os elementos aij são iguais aos aji
se a maioria dos seus elementos são não nulos
se a maioria dos seus elementos são nulos











645
046
633
BAc
Matrizes
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de 











342
015
321
A











303
031
312
B
3 3 6
6 4 0
5 4 6
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os 
elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição. 
njmibac
BACMCMBA
i ji ji j
nmnm
,,1,,1;
:,
 
 
Operações com Matrizes
Matrizes
ABBAMBA nm  ,
Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
A soma de matrizes do mesmo tipo
)()(,, CBACBAMCBA nm  
AOAMOMA nmnm   :
OBAMBMA nmnm   :
Matrizes Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
A soma de matrizes do mesmo tipo
Assim o conjunto M mxn forma um
Grupo Aditivo Comutativo
Matrizes
Produto por um escalar
Sejam A uma matriz e  um escalar
O produto de  por A é uma matriz C











342
015
321
A











9126
0315
963
3 A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por 
njmiac
ACMAMA
i ji j
nmnm
,,1,,1;
:
 
 


Operações com Matrizes
do mesmo tipo de A
Matrizes
   AA  
Operações com Matrizes
e os escalares  e  as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
AAA   )(
  BABA  
AA1
Matrizes
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a1n...
... a2n
a31 a32 a33 a3n...
..
.
..
.
..
.
am1 am2 am3 amn...
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij 
Consideremos o sistema
a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1a11x 1 + ... +
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm
= b1
b2
b3
bm
x1
x2
x3
xn
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
=
2x3
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12 15
15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12 15
15 29
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3
2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x3
3x3
8
2x3
12 15
15 29 27
Operações com Matrizes
Matrizes Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo
O produto de A por B é uma matriz C do tipo
cujos elementos são dados por: 
mxp



n
k
jkkiji bac
1
e escreve-se C=AB.
nxp.
O produto de matrizes não é comutativo
Matrizes
   CBACBA 
Operações com Matrizes
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,
as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar.
CBCACBA  )(
  CABACBA 
     BABABA aaa 
Matrizes Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn.
Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:
jiji ab 
 mjni ,....;,..., 11 
e escreve-se B=AT
53
05442
12520
43201











A
35014
523
452
420
201

















TA
Matrizes
  AA TT 
Operações com Matrizes
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,
as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B e a um escalar.
TTT BABA  )(
   TT AA aa 
  TTT ABBA 