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Álgebra Linear Revisão De Alguns Conceitos Básicos AULA 1 2 Conceitos • Escalar • Vetor • Matriz – Igualdade de matrizes – Matriz transposta – Matriz quadrada – Matriz diagonal – Matriz escalar – Matriz identidade – Matriz simétrica – Matriz nula – Submatriz 3 Conceitos: Vetor e Escalar • Sempre que temos um conjunto E e um corpo K tal que: – Está definida uma adição em E que goza das propriedades associativa, comutativa, existência de um só elemento neutro (0) e um só elemento simétrico. – Está definida uma multiplicação de K por E que goza das propriedades de distribuição relativamente às adições de E e K, associatividade e elemento neutro (I). Temos que E é um espaço vectorial relativo ao corpo K, os elementos de E designam-se por vetores e os de K por escalares. 4 Exemplificação • Vetores • Escalar – kn n 2 1 n 2 1 u u u U; v v v V (V+U)+T = V+(U+T) V+U = U + V V + 0 = V V + (-V) = 0 k1(V+U)= k1 V+ k1 U (k1+ k2)V= k1 V+ k2 V k1 (k2 U)=(k1 k2 )U 1.V=V 5 Matrizes – Igualdade de matrizes – Matriz transposta – Matriz quadrada – Matriz diagonal – Matriz escalar – Matriz identidade – Matriz simétrica – Matriz nula – Submatriz ij2i1i j22221 j11211 aaa aaa aaa A 6 Matrizes – Igualdade de matrizes – Matriz transposta – Matriz quadrada – Matriz diagonal – Matriz escalar – Matriz identidade – Matriz simétrica – Matriz nula – Submatriz ij2i1i j22221 j11211 aaa aaa aaa A ij2i1i j22221 j11211 bbb bbb bbb B j...,3,2,1n i...,3,2,1m mnmn ;ba BA 7 ijj2j1 2i2212 1i2111 T aaa aaa aaa 'AA Matrizes – Igualdade de matrizes – Matriz transposta – Matriz quadrada – Matriz diagonal – Matriz escalar – Matriz identidade – Matriz simétrica – Matriz nula – Submatriz ij2i1i j22221 j11211 aaa aaa aaa A 8 Matrizes – Igualdade de matrizes – Matriz transposta – Matriz quadrada – Matriz diagonal – Matriz escalar – Matriz identidade – Matriz simétrica – Matriz nula – Submatriz ij2i1i j22221 j11211 aaa aaa aaa A ji se só e Se 9 Matrizes – Igualdade de matrizes – Matriz transposta – Matriz quadrada – Matriz diagonal – Matriz escalar – Matriz identidade – Matriz simétrica – Matriz nula – Submatriz nn 22 11 a00 0a0 00a A 10 Matrizes – Igualdade de matrizes – Matriz transposta – Matriz quadrada – Matriz diagonal – Matriz escalar – Matriz identidade – Matriz simétrica – Matriz nula – Submatriz a, a00 0a0 00a E 11 Matrizes – Igualdade de matrizes – Matriz transposta – Matriz quadrada – Matriz diagonal – Matriz escalar – Matriz identidade – Matriz simétrica – Matriz nula – Submatriz 100 010 001 I 12 Matrizes – Igualdade de matrizes – Matriz transposta – Matriz quadrada – Matriz diagonal – Matriz escalar – Matriz identidade – Matriz simétrica – Matriz nula – Submatriz jiij nn2n1n n22221 n11211 aa se, aaa aaa aaa A 13 Matrizes – Igualdade de matrizes – Matriz transposta – Matriz quadrada – Matriz diagonal – Matriz escalar – Matriz identidade – Matriz simétrica – Matriz nula – Submatriz 000 000 000 N 14 Matrizes – Igualdade de matrizes – Matriz transposta – Matriz quadrada – Matriz diagonal – Matriz escalar – Matriz identidade – Matriz simétrica – Matriz nula – Submatriz ij2i1i j22221 j11211 aaa aaa aaa A 15 ijij2i2i1i1i j2j222222121 j1j112121111 ij2i1i j22221 j11211 ij2i1i j22221 j11211 bababa bababa bababa bbb bbb bbb aaa aaa aaa Adição de Matrizes 16 ij2i1i j22221 j11211 ij2i1i j22221 j11211 aaa aaa aaa aaa aaa aaa Multiplicação de Matrizes por um escalar 17 mj2nmn222m121m 1nn121121111 njnj2n1n j22221 j11211 mnmn2m1m n22221 n11211 ...ba...baba... ...... ......ba...baba bbb bbb bbb aaa aaa aaa Multiplicação de Matrizes 18 nn2n1n n22221 n11211 aaa aaa aaa A Traço de uma matriz nn332211 a...aaa)A(tr
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