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Universidade Federal de Vic¸osa Centro de Cieˆncias Exatas Departamento de Matema´tica 3a Prova - MAT 135 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear DATA: 10/11/2014 NOME: MATRI´CULA: TURMA: Em todas as questo˜es justifique suas respostas. Boa Prova! 1a Questa˜o: (34 pontos) Seja β = {v1 = (1, 1, 1, 1) , v2 = (−1,−1, 0, 2) , v3 = (1, 3,−6, 2)} conjunto de vetores em IR4. (a) (4 pontos) Mostre que β e´ um conjunto ortogonal. (b) (11 pontos) Encontre o subespac¸o, W , gerado por β e determine a dimensa˜o de W . (c) (3 pontos) Verifique se u = (0, 0, 1, 3) e w = (1,−1,−1, 4) pertencem a W . (d) (6 pontos) Complete o conjunto β de modo a obter uma base ortogonal de IR4. (e) (10 pontos) Sendo γ = {u1 = (1, 1, 0,−2) , u2 = (0, 0− 1,−3) , u3 = (1, 2,−1, 6)}, determine [I]γβ, a matriz de mundac¸a da base γ para a base β. 1 2 2a Questa˜o: (28 pontos) Considere a matriz A = 1 λ 40 1 3 0 0 2 . (a) (8 pontos) Determine o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores da matriz A. (b) (10 pontos) Determine, se existirem, os valores reais de λ para os quais A e´ matriz diagonaliza´vel. (c) (10 pontos) Caso seja poss´ıvel, considerando os valores de λ determinados no item (b), encontre uma base de IR3 formada por autovetores. 3 3a Questa˜o: (18 pontos) Sejam U = {(x, y, z) ∈ IR3/ x+y+z = 0} eW = [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (2,−1, 0)] subespac¸os vetoriais de IR3. (a) (8 pontos) Determine uma base para U e para W . (b) (10 pontos) Determine uma base e a dimensa˜o de U ∩W . 4 4a Questa˜o: (20 pontos) Verifique se as sentenc¸as abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas (V ou F). Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas. (a) (7 pontos) ( ) Se λ = 0 e´ autovalor de A, enta˜o A e´ na˜o invert´ıvel. (b) (7 pontos) ( ) Se W1 e W2 sa˜o dois subespac¸os vetoriais de IR n tais que W1 ⊆ W2, enta˜o W1∪W2 e´ subespac¸o vetorial de IRn. (c) (6 pontos) ( ) O conjunto W = {(x, y, z) ∈ IR3/z = 2} e´ subespac¸o vetorial de IR3. 5
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