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Prova 3a 2014

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
3a Prova - MAT 135 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
DATA: 10/11/2014
NOME: MATRI´CULA: TURMA:
Em todas as questo˜es justifique suas respostas.
Boa Prova!
1a Questa˜o: (34 pontos) Seja β = {v1 = (1, 1, 1, 1) , v2 = (−1,−1, 0, 2) , v3 = (1, 3,−6, 2)}
conjunto de vetores em IR4.
(a) (4 pontos) Mostre que β e´ um conjunto ortogonal.
(b) (11 pontos) Encontre o subespac¸o, W , gerado por β e determine a dimensa˜o de W .
(c) (3 pontos) Verifique se u = (0, 0, 1, 3) e w = (1,−1,−1, 4) pertencem a W .
(d) (6 pontos) Complete o conjunto β de modo a obter uma base ortogonal de IR4.
(e) (10 pontos) Sendo γ = {u1 = (1, 1, 0,−2) , u2 = (0, 0− 1,−3) , u3 = (1, 2,−1, 6)}, determine [I]γβ,
a matriz de mundac¸a da base γ para a base β.
1
2
2a Questa˜o: (28 pontos) Considere a matriz A =
 1 λ 40 1 3
0 0 2
 .
(a) (8 pontos) Determine o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores da matriz A.
(b) (10 pontos) Determine, se existirem, os valores reais de λ para os quais A e´ matriz diagonaliza´vel.
(c) (10 pontos) Caso seja poss´ıvel, considerando os valores de λ determinados no item (b), encontre
uma base de IR3 formada por autovetores.
3
3a Questa˜o: (18 pontos) Sejam U = {(x, y, z) ∈ IR3/ x+y+z = 0} eW = [(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (2,−1, 0)]
subespac¸os vetoriais de IR3.
(a) (8 pontos) Determine uma base para U e para W .
(b) (10 pontos) Determine uma base e a dimensa˜o de U ∩W .
4
4a Questa˜o: (20 pontos) Verifique se as sentenc¸as abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas (V ou F).
Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
(a) (7 pontos) ( ) Se λ = 0 e´ autovalor de A, enta˜o A e´ na˜o invert´ıvel.
(b) (7 pontos) ( ) Se W1 e W2 sa˜o dois subespac¸os vetoriais de IR
n tais que W1 ⊆ W2, enta˜o W1∪W2
e´ subespac¸o vetorial de IRn.
(c) (6 pontos) ( ) O conjunto W = {(x, y, z) ∈ IR3/z = 2} e´ subespac¸o vetorial de IR3.
5

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