Prova 3b 2014

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
3a Prova - MAT 135 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
DATA: 06/11/2014
NOME: MATRI´CULA: TURMA: 02
Em todas as questo˜es justifique suas respostas.
Boa Prova!
1a Questa˜o: (30 pontos) Sejam os vetores u1 = (1,−2, 0, 0), u2 = (2, 3, 0,−1) e u3 = (4,−1, 0,−1)
em IR4.
(a) (6 pontos) O conjunto {u1, u2, u3} ⊂ IR4 e´ linearmente independente (L.I.) ou linearmente depen-
dente (L.D.)?
(b) (10 pontos) Determine W, o subespac¸o vetorial gerado por u1, u2 e u3 e encontre uma base β para
W .
(c) (8 pontos) Verifique se v = (2, 3, 1, 2) e w = (−3,−15, 0, 3) pertencem a W .
(d) (6 pontos) Determine uma base de IR4 que contenha a base β encontrada no item (b).
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2a Questa˜o: (20 pontos) Considere a base ordenada β = {u1, u2, u3} de IR3, sendo
u1 =
(√
2
2
,−
√
2
2
, 0
)
, u2 =
(√
6
6
,
√
6
6
,−
√
6
3
)
e u3 =
(√
3
3
,
√
3
3
,
√
3
3
)
.
(a) (5 pontos) A base ordenada β e´ ortonormal? Justifique!
(b) (10 pontos) Encontre a matriz, [ I ]αβ , de mudanc¸a da base α para a base β, sendo
α = {e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1)} a base canoˆnica de IR3.
(c) (5 pontos) Se o ponto P tem coordenadas (1, 2, 0) na base ordenada α, quais sa˜o as coordenadas
de P na base ordenada β ?
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3a Questa˜o: (30 pontos) Considere a matriz
A =
 0 −1 −1−2 −1 −2
0 0 1
 .
(a) (15 pontos) Determine o polinoˆmio caracter´ıstico, os autovalores e os autovetores da matriz A.
(b) (5 pontos) Determine uma base para cada um dos autoespac¸os associados a cada autovalor encon-
trado no item (a) e uma base para IR3 formada por autovetores de A.
(c) (8 pontos) Decida se a matriz A e´ diagonaliza´vel, justificando sua resposta. Se poss´ıvel, encontre
matrizes P e D tais que A = PDP−1.
(d) (2 pontos) Seja m 6= 0 um nu´mero inteiro ı´mpar , usando o item (c) encontre uma matriz B
quadrada de ordem 3 tal que Bm = A.
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4a Questa˜o: (20 pontos) Verifique se as sentenc¸as abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas (V ou F).
Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
(a) (6 pontos) ( ) Se λ e´ autovalor de uma matriz A, enta˜o 2λ e´ autovalor de 2A.
(b) (7 pontos) ( ) Toda matriz quadrada A possui pelo menos um autovalor real.
(c) (7 pontos) ( ) Seja S ⊂ IR4. O conjunto S⊥ ⊂ IR4 definido por
S⊥ =
{
v ∈ IR4 tal que 〈u, v〉 = 0, para todo u ∈ S} ⊂ IR4
e´ subespac¸o vetorial de IR4.
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