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CONSIDERAÇÕES INICIAIS AO AJUSTAMENTO UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO CAMPUS DE ALTA FLORESTA DEPARTAMENTO DE ENG. FLORESTAL Alta Floresta - MT 2016 Docente: Profº Pedro Paulo G. de Oliveira Considerações iniciais O ajustamento é um ramo da matemática aplicada. Tem por objetivo encontrar solução única para problemas: Onde o número de observações (ou medidas) é redundante e o sistema de equações inconsistente. A inconsistência do sistema de equações é devido às flutuações probabilísticas das observações; Isto faz com que um determinado subconjunto de dados proporcione valores diferentes de um outro subconjunto. A solução única nestes tipos de problemas é fornecida pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) desenvolvido independentemente por GAUSS (1795) e LEGENDRE (1805). Considerações iniciais Não faz sentido falar em ajustamento para problemas onde os dados (observações ou medidas) não excedem o mínimo requerido para a solução do problema. Além disso, o ajustamento não melhora os resultados das medições. Considerações iniciais Ao final do ajustamento o que se obtém são valores para as incógnitas e a estimativa de sua precisão. Pois qualquer parâmetro estimado, além de apresentar solução única, deve ser acompanhado da estimativa de sua qualidade, que representa a dispersão do resultado. Nenhum resultado terá valor cientifico ou técnico se não estiver acompanhado de sua precisão. Considerações iniciais Com base nas técnicas do ajustamento, pode-se também detectar a presença de erros grosseiros em um conjunto de observações, Efetuar o planejamento da coleta de dados e saber a priori se tais dados atenderão as prescrições estabelecidas. Considerações iniciais O ajustamento beneficiou-se, nas últimas décadas, • Linguagem matricial, • Desenvolvimento ocorrido na computação eletrônica que tornou exeqüível a manipulação de matrizes • Técnicas estatísticas, empregadas na análise do ajustamento, Que pode nos fornecer informações a respeito da confiabilidade e qualidade dos resultados. Considerações iniciais Conceito de Observação Os termos medida ou observação, são usados na prática para referir-se à operação, bem como para o resultado da operação. Propriedades fundamentais da medida: 1. Medir significa realizar uma operação física; • processo de medida consiste de várias operações elementares; tais como: preparação, calibração, pontaria, do instrumento a usar, O valor resultante deste conjunto de procedimentos, expresso numa determinada unidade, representa a medição. “ 3. A medida é sempre realizada com o auxílio de instrumentos 4. As medidas estão referenciadas a um padrão, os quais são estabelecidos por convenção. Medir é então comparar uma grandeza a um padrão, tendo então unidade e dimensão; 5. A medida é um conceito teórico, usada para distância e ângulo, permitem descrever certos elementos da natureza, como localização, área... As medidas se referem a modelos, o qual em nossa área será sempre um modelo matemático. O modelo matemático é de importância básica para os objetivos do ajustamento As observações, ou medidas, possuem uma propriedade característica essencial a elas, conhecida por: flutuações probabilísticas. pois quando se repete n vezes a medida de uma grandeza, os n valores não são idênticos, mas estão dispersos numa certa região ou intervalo, que tradicionalmente eram classificados como erros de observação. Nos casos mais simples realizamos medidas diretamente sobre as próprias grandezas incógnitas (observações diretas). Algumas vezes as incógnitas se ligam por equações de condições (observações diretas condicionadas). Em outras medimos grandezas que se vinculam com as incógnitas (ou parâmetros) através de relações funcionais conhecidas (observações indiretas). Conceito de Modelo Matemático Sempre que se necessita descrever matematicamente uma realidade física, recorre- se a fórmulas, expressões ou equações que representam tal realidade com suficiente aproximação. O modelo matemático é definido como sendo um sistema teórico ou um conceito pelo qual se descreve uma situação física ou uma série de eventos. Desta forma, tal descrição não necessita explicar totalmente a situação física, mas relacionar somente os aspectos ou propriedades de interesse. Tendo em vista que o modelo serve para um propósito particular, ele pode apresentar-se de formas diferentes para uma mesma situação física, dependendo portando do propósito em questão. O modelo teórico está estritamente relacionado à aproximação desejada, como por exemplo: a) A representação da Terra ou parte dela, realidade física nas disciplinas de Topografia e Geodésia, utilizando os modelos teóricos: • Planos, • Esfera, • Elipsóide. b) Considerando em Fotogrametria, que uma foto aérea é perfeitamente vertical; ou admitindo que o raio luminoso, que se propaga através da atmosfera e sistema de lentes tem trajetória reta; São exemplos de modelo teóricos. Nota-se que o modelo matemático não descreve exatamente: • o fenômeno, • os eventos . • realidade física. Descreve aspectos de interesse desta realidade e com aproximação requerida. O modelo matemático é freqüentemente composto de duas partes, dividido em: • Modelo Funcional • Modelo Estocástico. O modelo funcional constitui a parte determinística da realidade física ou evento em consideração. O modelo estocástico descreve as propriedades não determinísticas (estocásticas) das variáveis envolvidas, particularmente aquelas representando as observações. O modelo funcional e o estocástico devem ser tratados juntos, podendo-se ter várias combinações. Conceito de Modelo Funcional Quando as medidas são planejadas, um modelo funcional é usualmente escolhido para representar o sistema físico ou fictício com o qual as medidas estão associadas. As medidas são feitas usualmente com a finalidade de avaliar valores para alguns ou todos os parâmetros do modelo funcional. Em Topografia, Geodésia e Fotogrametria, geralmente trabalha-se com modelos geométricos que independem do tempo e, ocasionalmente com modelos dinâmicos; por exemplo: a) Modelo geométrico em Topografia: Um triângulo plano no espaço euclidiano é caracterizado por 3 ângulos, 3 vértices, 3 lados e talvez também uma orientação com respeito a um sistema de coordenadas; b) Modelo geométrico em Fotogrametria: fotos aéreas são consideradas imagens perspectiva dos pontos do terreno; c) Modelo dinâmico em Geodésia: campo da gravidade terrestre. Embora os modelos geométricos usados sejam fáceis e simples de visualizar, os elementos físicos para os quais eles se referem não são freqüentemente e claramente distinguíveis. Deve ser reconhecido, entretanto, que não há na natureza objetos tais como pontos, ângulos, distâncias ou coordenadas. Elas são somente elementos do modelo funcional que são usados para descrever feições de objeto natural ou sua localização. Modelos funcionais não são freqüentemente estabelecidos explicitamente, mas por implicação. Se por um momento um topógrafo diz que mediu uma distância, ele se refere que dois objetos são abstraídos e considerados como dois pontos geométricos. A distância geométrica deve ser reduzida ao plano de projeçãoou sobre o elipsóide. O mesmo se diz dos ângulos. O modelo funcional deve proporcionar acuracidade suficiente para o propósito em questão. As observações efetuadas são então introduzidas no modelo e todas as considerações devem ser levadas a efeito. Conceito de Modelo Estocástico O modelo estocástico descreve as propriedades estatísticas das observações, que sempre estão sujeitas a incontáveis influências. Elas podem estar sujeitas as influências físicas que não podem ser completamente controladas, resultando em uma certa variabilidade do resultado quando as observações são repetidas. A variabilidade do resultado das medidas não pode ser atribuída a causas específicas. Tem-se ainda como causas, além das físicas, a fallha humana e as imperfeições instrumentais. Conceito de Modelo Estocástico No passado estas variações eram entendidas como sendo devidas aos erros de observação. Atualmente se aceita a variabilidade do resultado como uma propriedade da observação e inerente a conceitos estatísticos. Do ponto de vista prático é difícil estabelecer as propriedades estatísticas das observações. Um caminho é repetir as medidas e derivar as propriedades requeridas, mas isto demanda tempo e dinheiro. Outro caminho, freqüentemente usado na prática é assumir as propriedades estatísticas com base em observações similares (mesmo tipo e circunstância) que foram realizadas no passado. Entretanto, quando as medidas são realizadas, todas as circunstâncias físicas e ambientais devem ser registradas, com a finalidade de proporcionar subsídio para julgar os resultados apropriadamente. Todas as suposições sobre as propriedades das variáveis envolvidas são levadas em consideração no modelo estocástico. Ele inclui todas as variáveis do modelo. Elas podem ser consideradas FIXAS (constantes durante o ajustamento ou conhecida a priori), LIVRES (incógnitas do ajustamento) e SEMI-LIVRES (podem variar, porém sujeitas a certas restrições). A teoria clássica do ajustamento não explicitava especificadamente o conceito de modelo estocástico. Ao invés, o termo erro observacional ou propriedades dos erros de observação eram usados. AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES Motivação para AJUSTAR OBSERVAÇÕES! As observações conduzidas pelo homem se caracterizam pela inevitável presença dos “erros de medida”. Erros que decorrem não apenas de falhas humanas, mas também da imperfeição do equipamento e da influência das condições ambientais nas quais se processa a mensuração. A desconfiança no resultado de uma medida isolada, fruto da certeza na falibilidade humana, leva naturalmente à repetição das observações. Assim, a partir da pluralidade de observações, sabidamente incorretas – pelas discrepâncias que apresentam. Como extrair um resultado que seja único e que possa representar com confiança a grandeza medida? O ajustamento de observações proporciona este resultado bem como estima a precisão da solução adotada.
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