Fracoes_parciais

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Frações Parciais
Caderno de Exercícios
Produção: profª Maria Cristina Kessler 
Nome:
2013
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O método de resolução de integrais por frações parciais consiste em reescrever a fração do integrando por meio de soma de outras frações mais simples, facilitando o processo de integração. 
A decomposição é feita a partir de fatoração do polinômio que aparece no denominador, associando a cada fator linear ou quadrático, irredutível, uma ou mais frações parciais.
 
Frações Parciais
Mãos à obra!
Uma função F(x) = , 
na qual f(x) e g(x) são polinômios, é chamada de função racional.
Se em uma fração o grau do numerador é maior que o grau do denominador então a nomeamos de fração própria, e, consequentemente a função F(x) de função racional própria; 
Se o grau do denominador for maior que o grau do denominador então a nomeamos de fração imprópria, e, consequentemente a função F(x) de função racional imprópria. 
Toda fração racional própria pode ser expressa como uma soma de frações mais simples (frações parciais), cujos denominadores são da forma: 
  
 e , sendo n um 
número inteiro e positivo. 
 
Podemos pensar em 4 casos, dependendo da natureza dos fatores do denominador:
Desafio: Resolver a integral.
Frações: Algumas considerações
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Saiba mais sobre decomposição de polinômios.
Caso I: Fatores lineares distintos
A cada fator linear da forma ax+b que aparece uma vez no denominador de uma fração racional própria, corresponde uma fração parcial da forma 
 ,
sendo A, uma constante a determinar.
 
Vamos ao desafio...
Fatoração do denominador: (x²-4) = (x-2)(x+2). 
Logo:
 
 
Eliminando-se os denominadores:
1 = A(x+2) + B (x-2). 
Esta identidade se verifica para infinitos valores de x. 
Tomando x = -2, B = -1/4. 
tomando x = 2, então A = 1/4.
Assim, 
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Outro exemplo:
 
Tomando x = -4, A = 6.
Tomando x =1/ 2, então B = 5/2.
Assim, 
Coeficiente do termo de maior grau
Fatoração do denominador:
2x²+7x-4=2(x+4)(x-1/2)
11x+17= A(x-1/2) + B (2x+8) 
Eliminando-se os denominadores:
Simplificando a fração por 2.
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Saiba mais sobre raízes múltiplas.
Caso II: Fatores lineares repetidos
A cada fator linear da forma ax+b que aparece n vezes no denominador de uma fração racional própria, corresponde uma soma de n frações parciais da forma 
 
sendo A1 , A2,... An constantes a determinar.
Vamos ao desafio...
Fatoração do denominador: x³+2x²+x= x(x-1)(x-1) 
Logo:
 
 
Eliminando-se os denominadores:
Esta identidade se verifica para infinitos valores de x. 
Tomando-se x = 0, A =6. 
Tomando x = -1, C = 9.
Sabendo A e C, e tomando x = 1, B = -1.
Assim, 
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Caso III: Fatores quadráticos distintos
A cada fator do 2º grau, irredutível, da forma 
ax²+bx+C que aparece uma vez no denominador de uma fração racional própria, corresponde uma fração parcial da forma 
 
 
sendo A e B, constantes a determinar.
 
Vamos ao desafio...
Fatoração do denominador: 
O termo é irredutível.
Logo:
 
 
Eliminando-se os denominadores:
 
Esta identidade se verifica para infinitos valores de x. 
Tomando x = 1, A = 1.
Tomando x = 0, então C = -1.
Tomando x = -1, então B = 0.
Assim, 
Não pode ser fatorado isto é, não possui raízes reais.
Saiba mais sobre esta integral.
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Caso IV: Fatores quadráticos repetidos
A cada fator do 2º grau, irredutível, da forma 
ax²+bx+C que aparece n vezes no denominador de uma fração racional própria, corresponde uma soma de n frações parciais da forma 
corresponde uma soma de n frações parciais da forma 
 
 
 
sendo A1 , A2, ..., An , constantes a determinar 
Vamos ao desafio...
 
Eliminando-se os denominadores:
 x²+x+2 = (Ax+B)(x²+2x+3)+Cx+D 
x²+x+2 = Ax³+(2A+B)x²+(3A+2B+C)x+(3B+D). 
Resolvendo o sistema de equações: 
A = 0. 
B = 1. 
C = -1 e D = -1.
Assim, 
Saiba mais sobre esta integral.
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E se a função for imprópria? 
 
Assim, 
Uma função racional imprópria pode ser expressa como a soma de um polinômio e de uma fração racional própria. 
Assim, 
Saiba mais sobre divisão de polinômios.
Fatores lineares distintos
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Teorema: 
Todo polinômio de grau n,  pode ser decomposto em fatores lineares da forma
 ( x - a ) e um fator igual ao coeficiente de  xn.
Seja P(x) um polinômio de grau n dado por:
Desta forma podemos expressar P(x) da seguinte forma:
Sendo    , as raízes de P(x). 
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Raízes Múltiplas
 
Se alguns fatores da divisão de um polinômio de grau n se repetem, então podemos agrupá-los e decompor o polinômio, da seguinte forma:
 
Onde:  
E, neste caso, dizemos que    é uma raiz de multiplicidade k1 .
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Uma função racional imprópria, exemplo,
pode ser expressa como a soma de um polinômio e de uma fração racional própria. 
A divisão dos polinômios da função acima resulta em 2x-1 com resto 5.
Assim se pode escrever: 
Vídeo: divisão de polinômios .
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(x+1/2)²=x²+x+1/4
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(x+1)²=x²+2x+1
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