Função inversa

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Conteúdo: Profª Maria Cristina Kessler
Implementação: Prof. Claudio Gilberto de Paula
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FUNÇÃO INVERSA
Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra.
Dada uma função f, dizemos que ela é invertível quando podemos determinar outra função g que "desfaz o serviço de f". Nesse caso, g é denominada a função inversa de f e, portanto, f é a inversa de g. Normalmente, a função inversa de f é representada por f-1. 
Pergunta: Dada uma função f, como fazemos, na prática, para determinar sua inversa?
Vejamos: se temos a função f, significa que para cada valor da variável independente x obtemos, em correspondência, um valor para a variável dependente y.
Dom f
f
Ao procurar a inversa de f pretendemos encontrar a função g que, a cada y na imagem de f associa o x inicial no domínio de f. Em linguagem simples, “o x vira y e o y vira x”.
Im g = Dom f
Dom g = Im f
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FUNÇÃO INVERSA
Vejamos a função representada no diagrama abaixo:
1
2
4
3
3
5
9
7
Observe o domínio da função:
Observe o conjunto imagem da função: B = {3,5,7,9}
Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y:
Y = 
Clique aqui para conferir .
Vamos agora encontrar a função inversa trocando o y pelo x e vice-versa:
3
5
9
7
1
2
4
3
Agora o domínio da função é: 
B = {3,5,7,9} e
o conjunto imagem A = {1,2,3,4}.
O contradomínio da função: A
Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y:
Y = 
Clique para conferir .
A
B
s4
A
B
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OBSERVE QUE:
Tudo isso sugere as seguintes relações:
a imagem de f é o domínio
 de f -1 
O domínio de f é a imagem de f -1 
Para encontrarmos a função inversa de f(x), a f-1 (x) devemos realizar as seguintes etapas: 
1
trocar x por y e y por x; 
fica :
x = 2y + 1
2
isolar novamente o y, deixando-o em função de x.
ou seja f-1 (x) = 
Considerando a função y = 2x+1, 
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EXEMPLO
Considerando a função 
f(x) = x+2, encontre f-1(x).
Utilizando o winplot construa o gráfico de f(x) e da sua inversa e cole-o no espaço ao lado.
Clique aqui para conferir a resposta.
Observe que os gráficos dessas funções são simétricos em relação à reta y = x (função identidade).
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Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. 
Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x).
Clique aqui para conferir a resposta.
EXERCÍCIOS
1) y = 2x+3 
s7
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Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. 
Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x).
Clique aqui para conferir a resposta.
EXERCÍCIOS
2) y = x+4 
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Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. 
Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x).
Clique aqui para conferir a resposta.
EXERCÍCIOS
3) y = x³
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Vamos agora analisar as condições, a serem cumpridas, para que uma função admita inversa:
Vejamos a função representada no diagrama abaixo:
O domínio da função: Dom f {1,2,3} e o 
conjunto imagem {2,4,6}.
Cont f : {2,4,6,8}.
Se fôssemos agora tentar encontrar a inversa, trocando o x pelo y, teríamos:
condiçõs
1
2
3
2
4
8
6
Neste exemplo o conjunto imagem não é igual ao contradomínio da função.	 
1
2
3
2
4
8
6
Observe que não temos uma função, pois o elemento 8 não tem correspondente no conjunto B. 
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B.
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Desta forma para que uma função admita inversa algumas condições precisam ser cumpridas: 	
A função precisa ser sobrejetora
Analisaremos agora outra situação a partir do diagrama abaixo:
condiçõs1
-1
1
-2
1
4
-1
1
-2
1
4
Uma função é dita sobrejetora quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio da função.
1
2
Na tentativa de encontrar a inversa, troca-se o x pelo y. 
2
Observe que este conjunto de pares ordenados não representa uma função. 
{(1,-1); (1,1), (4, -2); (4,2)}
Os elementos 1 e 4 apresentam duas imagens, o que contraria a definição de função.
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y), tal que para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B.
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Desta forma temos outra condição a ser cumprida:	
A função precisa ser injetora
Conclusão: Para que uma função admita inversa ela precisa ser bijetora.
condiçõs2
Uma função é dita injetora se, para diferentes valores de x, apresentar diferentes imagens.
2
sobrejetora+ injetora.
Vejamos o seguinte exemplo:
Considere-se a função f(x) = x²
Esta função, f: R→R 
com imagem de [0, +∞), não admite inversa pois não é injetora, mas se restringíssemos o domínio da função para f: [0, +∞) →[0, +∞)?
É preciso ficar claro que se uma função não for invertível, é possível estabelecer uma restrição, ou seja, restringir o domínio de tal modo que a função definida nesse novo domínio o seja. 
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Observe os gráficos de f(x)= x² , da sua inversa f-1(x) e de y = x.
condic3
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EXERCÍCIOS	
a) Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo, estabelecendo, quando necessário, uma restrição. 
b) Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x). 
c) Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria. 
Exerc.1
Clique aqui para conferir .
y = x² + 1 
Dom f: 
Dom f-1 
Im f: 
Im f-1 
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EXERCÍCIOS	
Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo estabelecendo, quando necessário uma restrição. 
Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x). 
Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria. 
Exerc.2
Clique aqui para conferir .
y = x² - 3 
Dom f: 
Dom f-1 
Im f: 
Im f-1 
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Resp 1
RESPOSTA:
y = 2x+1
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Resp 2
RESPOSTA:
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Resp 3
RESPOSTA:
1) f = 2x+3 
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Resp 3a
RESPOSTA:
2) f = x+4 
f-1 = x+4 
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Resp 3aa
RESPOSTA:
3) y = x³
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Resp 4
RESPOSTA:
Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [1, +∞) 
Im f: [1, +∞) Im f-1: [0,+∞) 
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Resp 5
RESPOSTA:
Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [-3, +∞) 
Im f: [-3, +∞) Im f-1: [0,+∞) 
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Resp 3
RESPOSTA:
1) f = 2x+1 
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