Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
RESOLUÇÃO DE PROVAS PASSADAS DE CÁLCULO I Prof. Luiz Roberto Marim Prof. Airton Eiras 2013 Segundo Bimestre Exercícios resolvidos e comentados de 2006 a 2012 Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 2 Marim / Eiras Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 3 Marim / Eiras Apresentação Durante os anos letivos de 2011 e 2012, os alunos frequentaram aulas extras que tinham o objetivo de prepara-los para as provas bimestrais, utilizando para tal, exercícios solicitados em anos anteriores. A receptividade por parte dos nossos alunos foi muito positiva, não somente como instrumento pedagógico, mas também por meio do reconhecimento de que tal instrumento auxiliou significativamente no processo de discussão e compreensão e do conteúdo do curso de Cálculo 1. Diante desse cenário, pensamos em ampliar a experiência, organizando os exercícios que foram solicitados em provas passadas, desde 2006 até as mais recentes, transformando a experiência das aulas em uma ferramenta de estudo adicional ao livro texto. A coleção de exercícios está dividida em assuntos, os quais seguem o conteúdo programático de cada bimestre. Assim, teremos ao todo, quatro volumes, cada qual com exercícios temáticos e solucionados com alto grau de detalhamento. Pensamos que o detalhamento do processo de solução dos exercícios auxilie nosso aluno a compreender com clareza a teoria desenvolvida no curso de Cálculo 1. Finalmente, pensamos que o conteúdo este material possui uma característica dinâmica, pois permite constantes atualizações tanto na forma, como no conteúdo. Agradecemos antecipadamente aos colegas Professores que colaboraram conosco, lendo, sugerindo e corrigindo erros não observados por nós. Agradecemos especialmente à Profa. Marilda por nos ter auxiliado na revisão desse material. Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 4 Marim / Eiras Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 5 Marim / Eiras ÍNDICE 14. PONTOS CRÍTICOS ..........................................................................................................................7 15. DERIVAÇÃO GRÁFICA .................................................................................................................. 27 16. REGRAS DE DERIVAÇÃO .............................................................................................................. 37 17. DERIVADAS DE FUNÇÕES .......................................................................................................... 55 18. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA .............................................................................................................. 83 19. TEOREMAS ..................................................................................................................................... 105 20. TAXAS RELACIONADAS ........................................................................................................... 125 21. REGRA DE L’HÔPITAL ................................................................................................................. 153 Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 6 Marim / Eiras Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 7 Marim / Eiras 14. PONTOS CRÍTICOS Máximos e Mínimos Definição 1 Uma função f x tem um máximo absoluto em c, também chamado de máximo global, se f c f x para todo x pertencente ao domínio de f. Definição 2 Uma função f x tem um mínimo absoluto em c, também chamado de mínimo global, se f c f x para todo x pertencente ao domínio de f. Observações: i) Os valores de máximo e mínimo de f x são denominados de valores extremos de f. ii) A função y f x é denominada crescente se, para quaisquer valores de x1 e x2, sendo 2 1x x , tem-se 2 1f x f x . iii) A função y f x é denominada decrescente se, para quaisquer valores de x1 e x2, sendo 2 1x x , tem-se 2 1f x f x . Definição 3 Uma função f x tem um máximo local em c, também chamado de máximo relativo, se f c f x para todo x pertencente a um intervalo aberto contento c: ( ), 0.f c f c x para x Definição 4 Uma função f x tem um mínimo local em c, também chamado de mínimo relativo, se f c f x para todo x pertencente a um intervalo aberto contento c: ( ), 0.f c f c x para x Definição 5 Um número crítico de uma função y f x é um número x0 pertencente ao domínio de f, onde a primeira derivada se anula, 0' 0f x , ou apresenta descontinuidade. Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 8 Marim / Eiras Estudo da Primeira Derivada de uma Função A primeira derivada de uma função nos fornece o coeficiente angular da reta tangente à curva y f x no ponto 0 0,x f x . A derivada também nos fornece o comportamento da curva em cada ponto do domínio de f x . Definição 1 i) Se ' 0f x em um intervalo do domínio, então f x é crescente nesse intervalo. ii) Se ' 0f x em um intervalo do domínio, então f x é decrescente nesse intervalo. Definição 2 Teste da Primeira Derivada Considere que x0 seja um número crítico da função y f x . Então: i) Se o sinal de 'f x mudar de positivo para negativo em 0x , f x tem um máximo local em 0x . ii) Se o sinal de 'f x mudar de negativo para positivo em 0x , f x tem um mínimo local em 0x . iii) Se 'f x não mudar de sinal em 0x , f x não apresenta mínimo ou máximo locais em 0x . x y x0 x y x 0 f(x) não possui máximo ou mínimo locais x y x0 x y x0 máximo local mínimo local Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 9 Marim / Eiras Concavidade e Pontos de Inflexão Definição 1 Se o gráfico de y f x estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo ,a b , então ele é dito côncavo para cima. Contrariamente, se o gráfico de y f x estiver abaixo de todas as suas tangentes no intervalo ,a b , então ele é dito côncavo para baixo. Teste da Concavidade i) Se " 0f x para todo ,x a b , então o gráfico y f x é côncava para cima no intervalo. ii) Se " 0f x para todo ,x a b , então o gráfico y f x é côncava para baixo no intervalo. Definição 2 Um ponto P na curva y f x é denominado ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de concavidade no ponto P. x y x 0 x y x 0 Côncavo para baixo Côncavo para cima x y x 0 x y x 0 P = (x0 , f(x0 )) é ponto de inflexão Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - SegundoBimestre 10 Marim / Eiras Teste da Segunda Derivada Considere que "f x seja contínua nas proximidades do número 0x . i) Se 0' 0f x e 0" 0f x , então f x tem um mínimo local em 0x . ii) Se 0' 0f x e 0" 0f x , então f x tem um máximo local em 0x . Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 11 Marim / Eiras QUESTÕES DE PROVAS PASSADAS (MAUÁ – 2007) Seja a função 3 22 15 36f x x x x definida no intervalo 1, 4 . (a) Determine os números críticos desta função. RESOLUÇÃO Um número crítico é aquele para o qual ' 0f x ou 'f x apresenta uma descontinuidade. Assim, calculando-se a primeira derivada da função f x e igualando o resultado a zero, tem- se: 0f x 26 30 36 0x x Colocando-se o 6 em evidência e fatorando o polinômio ficamos com: 26 5 6 0x x 6 2 3 0x x ou seja, 1 2x e 2 3x . Portanto, os números críticos da função 3 22 15 36f x x x x são 1 2x e 2 3x , 'f x é um polinômio e, por isso, contínuo em todos os reais. (b) Determine se os números críticos encontrados no item (a) correspondem a um ponto de máximo ou mínimo local. RESOLUÇÃO Calculando-se a segunda derivada da função f x , tem-se: 3012" xxf Para 1 2x , obtém-se: 0630)2(122" f Concluímos que o ponto 2, 28 é um ponto de máximo local. Analogamente, para 2 3x , obtém-se: 0630)3(123" f ou seja, o ponto 3, 27 é um ponto de mínimo local. Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 12 Marim / Eiras Podemos observar pelo diagrama a seguir que primeira derivada muda o sinal positivo para negativo em 1 2x , caracterizando um ponto de máximo local da função f x . Já no ponto 2 3x , a primeira derivada muda de sinal negativo para positivo, mostrando que esse ponto é mínimo local da f x . (c) Determine os valores máximo e mínimo absoluto desta função RESOLUÇÃO Calculando-se os valores da função nos extremos dos intervalos, tem-se: 3 21 2.1 15.1 36.1 1 23f f 3 24 2.4 15.4 36.4 4 32f f Devemos também conhecer o valor da função nos pontos 1 2x e 2 3x . 3 22 2.2 15.2 36.2 2 28f f 3 23 2.3 15.3 36.3 3 27f f Portanto, o máximo absoluto de f x no intervalo 1, 4 é o ponto 4, 32 e o mínimo absoluto é o ponto 1, 23 . (MAUÁ – 2007) Para a função 1 x f x x cuja derivada é 2 1 1 ' . 2 1 x f x xx , determine o(s) ponto(s) crítico(s) e intervalo(s) de crescimento e decrescimento de f x . Classifique o(s) ponto(s) crítico(s). RESOLUÇÃO Pontos críticos: 2 1 1 ' . 0 1 2 1 x f x x xx que não é ponto crítico pois não pertence ao domínio de f . Por outro lado 'f x não existe para 0x , que pertence ao domínio de f , mas é extremo do intervalo. Não há ponto crítico. 2 3 + + _ Sinais de Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 13 Marim / Eiras Como a imagem da raiz quadrada, é sempre um número positivo, o sinal de 'f x é sempre negativo, o que implica que a função f é sempre decrescente. Assim, os intervalos em que a função é decrescente: 0, , 1, . (MAUÁ – 2008) Dado o gráfico da derivada da função f x , contínua em seu domínio. Pede-se: (a) Intervalos onde a função cresce e onde decresce. RESOLUÇÃO A função f x é crescente nos intervalos em que a sua derivada é positiva, ou seja: 1,8; 3 e 4, 5 A função f x é decrescente nos intervalos em que a sua derivada é negativa, ou seja: 2; 1,8 e 3, 4 (b) Pontos críticos e quais correspondem a máximo e mínimo locais. x y 0 1 - - Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 14 Marim / Eiras RESOLUÇÃO Em 1,8x e 4x temos pontos de mínimo local, pois o sinal da derivada passa de negativo para positivo. Em 3x temos ponto de máximo local. (c) Intervalos onde a concavidade da função é para cima e onde é para baixo. RESOLUÇÃO A concavidade da função f x está para cima nos intervalos em que a segunda derivada é positiva, ou seja, nos intervalo em que a 'f x está crecendo. Assim, temos que a função f x tem concavidade para cima nos intervalos: 2; 1 , 0,4; 1 e 3; 5 A concavidade da função f x está para baixo nos intervalos em que a segunda derivada é negativa, ou seja, nos intervalo em que a 'f x está decrecendo. Assim, temos que a função f x tem concavidade para baixo nos intervalos: 1; 0,4 e 1; 3 (d) Pontos de inflexão. RESOLUÇÃO Os pontos de inflexão são aqueles em que a função muda de concavidade, ou seja: 1x , 1x , 0,4x e 3x . (MAUÁ - 2009) Se 3/11 xxf , determine: (a) Interceptos com os eixos coordenados. RESOLUÇÃO Considerando 0y , obtém-se a ordenada na qual a função intercepta o eixo das abscissas. Assim: 31 0 1x x Portanto, o ponto de intersecção de f x com o eixo das abscissas é 1, 0P . No caso do eixo das ordenadas, considera-se que 0x . Assim, devemos determinar 0f , ou seja: Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 15 Marim / Eiras 1/30 1 0f 10 f Portanto, o ponto de intersecção de f x com o eixo das ordenadas é 0, 1Q . (b) Ponto(s) crítico(s) e intervalo(s) de crescimento e decrescimento de f x . Classifique o(s) ponto(s) crítico(s). RESOLUÇÃO Calculando-se a primeira derivada da função, obtém-se: 23 1 ' 3 f x x Visto que 'f x não está definida para 0x , tem-se que 0, 1Q é ponto crítico da função. Os sinais das derivadas mostram que a função f x é sempre decrescente, e para 0x , a derivada não está definida, ou seja, a reta tangente a este ponto é vertical. (c) Estudo da concavidade. Pontos de inflexão. RESOLUÇÃO A concavidade da função é obtida a partir do sinal da segunda derivada da função. Assim, calculando-se "f x : 53 2 " 9 f x x Para o intervalo 0x , " 0f x , ou seja, a função f é côncava para baixo, enquanto que para o intervalo 0x , " 0f x , mostrando que f é côncava para cima. Assim, 0, 1Q é um ponto de inflexão, pois se observa uma mudança no sinal da concavidade da função. 0 _ + Sinais de 0 _ _ Sinais de f´(x) Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 16 Marim / Eiras(MAUÁ – 2010) Considere a função 4 2 1x y x , justificando todos os itens: (a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento desta função. RESOLUÇÃO Calculando-se a primeira derivada da função a partir da regra do quociente, tem-se: 3 2 4 4 4 . 1 .2 ' x x x x y x 5 4 2 2 ' x x y x 4 3 2 1 ' x y x O estudo dos sinais da função derivada 'y x é obtido por meio dos limites laterais em relação aos pontos 1x e 1x , nos quais ' 0y x e 0x , onde 'y x não está definida, como ilustra o gráfico abaixo. Estudo dos sinais de 'y (b) Determine os pontos críticos desta função. RESOLUÇÃO Pela definição, os pontos críticos da função y x são 1 1, 2P e 2 1, 2P . Observe que o número 0x não é um ponto crítico, pois não pertence ao domínio de y x . (c) Encontre as coordenadas dos pontos de máximo e mínimo locais. RESOLUÇÃO Como descrito no item anterior, o ponto 1 1, 2P é ponto de mínimo local, pois a função passa de negativa para positiva. O ponto 2 1, 2P é ponto de máximo local, pois a função passa de positiva para negativa. + + + + + + _ _ _ _ _ _ -1 1 0 NUMERADOR DENOMINADOR QUOCIENTE Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 17 Marim / Eiras (MAUÁ – 2010) Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função 2 2 1 x f x x , no intervalo 1, 2 . RESOLUÇÃO Inicialmente vamos calcular a derivada da função dada utilizando a regra do quociente. Assim: 2 2 2 2 2 1 2 ' 1 x x x x f x x 3 3 2 2 2 2 2 ' 1 x x x f x x 2 2 2 ' 1 x f x x Notamos que a derivada terá valor igual a zero quando 0x . Para valores de 0x a derivada é negativa e a função é decrescente. Para valores de 0x a derivada é positiva e a função é crescente. ' 0 para 0 decrescente ' 0 para 0 crescente f x x f x f x x f x O ponto 0x é um ponto de mínimo local, pois a função é decrescente antes de 0x e crescente depois de 0x . Vamos agora calcular o valor da função nos extremos do intervalo 1, 2 . 2 2 1 1 1 1 f 1 1 2 f 2 2 2 2 2 1 f 4 2 5 f Devemos ainda determinar o valor da função em 0x . Ou seja: 2 2 0 0 0 1 f 0 0f Dessa forma concluímos que o ponto 0, 0 é mínimo absoluto (além de mínimo local) e o ponto 42, 5 é máximo absoluto. Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 18 Marim / Eiras (MAUÁ – 2010) Dizemos que uma função f tem concavidade para cima num intervalo ,I a b se todas as retas tangentes a esta função naquele intervalo estão abaixo da função. (Na figura abaixo estão ilustradas algumas retas tangentes à curva dada). (a) A função 'f x é crescente ou decrescente no intervalo assinalado? Explique observando a figura. RESOLUÇÃO No intervalo ,a b a função derivada é crescente, pois seu valor é negativo para 0a x , ' 0f x , e positivo para 0 x b , ' 0f x , passando pelo valor 0)(' xf no número 0x . (b) Mostre que se f tem concavidade para cima em I , ' f b f a f c b a para todo x I . RESOLUÇÃO Para quaisquer valores de 1x e 2x , sendo 2 1x x , pertencentes ao intervalo ,a b , tem-se 2 1' 'f x f x . Lembrando que, 2 1 2 1 ' '' 0 f x f xf x x x e considerando o limite, x f x ' lim 0 , obtemos que " 0f x . x y Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 19 Marim / Eiras (MAUÁ – 2010) Dado o gráfico da derivada da função f x : (a) Determine os intervalos em que f é côncava para cima; RESOLUÇÃO Uma função f x é côncava para cima o sinal da primeira derivada altera de negativo para positivo, passando pelo zero. Isto significa que a função f x tem um ponto de mínimo. O gráfico mostra que a função f x é côncava para cima nos intervalos 0 2,x x e 6 8,x x . (b) Determine as abscissas dos pontos críticos e dos pontos de inflexão de f ; RESOLUÇÃO Relembrando que números críticos são aqueles números pertencentes ao domínio da função, nos quais a primeira derivada é nula, ou não está definida. A partir do gráfico, tem-se que os números críticos são: 1x , 3x , 4x , 5x e 7x . O número 6x define um ponto de inflexão, visto que 6" 0f x . (c) Classifique os pontos críticos de f . RESOLUÇÃO Mínimo local: 1x , 4x e 7x . Máximo local: 3x e 5x . x y x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 20 Marim / Eiras (MAUÁ – 2010) Mostre que a função cúbica 3 2f x x ax bx é crescente para todo valor de x se 2 3b a . RESOLUÇÃO A função ( )f x é crescente no intervalo para o qual sua derivada é positiva, ' 0f x . Assim: 2' 3 2 0f x x ax b Para que a função derivada ( 'f x ) seja sempre positiva, devemos impor que 0 , ou seja: 24 12 0a b . Assim, necessariamente tem-se: 2 3 a b . (MAUÁ – 2012) Dada a função ln xe f x x , justificando sua resposta: Observação: .ln 1 1,76x x se x . (a) Determine seu domínio; RESOLUÇÃO Essa função é composta por uma divisão de suas outras funções. O numerador é representado por uma exponencial, que não tem nenhuma restrição quanto aos valores de x . Já o denominador, além de não poder ser nulo, é composto por um logaritmo, que só é definido para números positivos. Assim, somente os valores de x positivos, não nulo, podem ser utilizados. Para que o denominador não se anule, vamos impor que: ln 0x Isso ocorrerá quando 1x . Portanto, ficamos com o domínio dessa função como: 0 1fD x x e x (b) Determine a abscissa de todos os pontos críticos; RESOLUÇÃO Lembrando que pontos críticos são os quais ' 0f x , ou quando 'f x não está definida, tem-se: Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 21 Marim / Eiras 2 1 .ln ' ln x xe x e xf x x 2 .ln 1 ' . ln x x xe f x xx Para ' 0f x , tem-se: .ln 1 0x x 1,76x Observação: 'f x não está definida em 0x e 1x . No entanto, estes pontos pertencen ao domínio da função e, portanto, não são pontos críticos. (c) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f . RESOLUÇÃO A função f x é crescente no intervalo para o qual sua derivada é positiva, ' 0f x . Pelo resultado do item (b), tem-se que f x é crescente para 1,76x . (d) Classifique os pontos críticos. RESOLUÇÃO O número 1,76x é ponto de mínimo local. O gráfico ilustra os resultados apresentados acima. x y Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 22 Marim / Eiras (MAUÁ – 2012) A curva de Gauss 2xy e é uma importante função matemática amplamente utilizada em Estatística. (a) Estude a concavidade desta curva; RESOLUÇÃO Lembrando que se '' 0f x , a função é côncava para cima e se '' 0f x , a função é côncava para baixo no respectivo intervalo, calcula-se a segunda derivada da função: 2 2''( ) 2 1 2xy x e x Igualando o resultado a zero, obtém-se: 2 2 x Observe que para 2 2 x e 2 2 x , '' 0y x , ou seja, a concavidade é para cima nestes intervalos. No intervalo 2 2 2 2 x , '' 0y x , mostrando que a concavidade é para baixo. (b) Determine os pontos de inflexão da curva; RESOLUÇÃO Os pontos de inflexão possuem os seguintes valores de abscissas: 1 2 2 x e 2 2 2 x . (MAUÁ – 2012) Um homem descansa em um barco quando recebe um recado urgente, que o faz retornar para casa. Ele então se desloca de barco em linha reta z até o ponto B. Sua velocidade no mar é constante, de 4 km/h. A partir do ponto B, desloca-se de bicicleta com velocidade de 5 km/h. Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 23 Marim / Eiras (a) Escreva a distância percorrida do ponto A ao C em função de x ; RESOLUÇÃO A distância total entre A e C é dada pela função: 2 29 15ACD x x x (b) Escreva o tempo total do percurso lembrando que a velocidade é constante em cada trecho; RESOLUÇÃO Lembrando que velocidade constante é definida pela razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo, temos para o trecho AB: 281 4 AB AB AB S x t v Analogamente, para o trecho BC: 15 5 BC BC BC S x t v O tempo total em função da coordenada x é dado por: 281 15 ( ) 4 5 AB BC x x T x t t (c) Determine a coordenada x do ponto B no qual ele deve desembarcar para que o tempo seja mínimo. RESOLUÇÃO Derivando a função T x e igualando a zero, obtém-se: 2 1 ' 0 54 81 x T x x 12x km Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 24 Marim / Eiras (MAUÁ – 2012) Dado o gráfico da derivada da função f x , determine, justificando sua resposta: (a) Números críticos de f x ; RESOLUÇÃO Lembrando que pontos críticos são tais que ' 0f x , ou quando 'f x não está definida, tem-se, a partir do gráfico: 1 4,5x , 2 0,50x , 3 2,5x e 4 3,0x (b) Abscissa dos pontos de inflexão; RESOLUÇÃO A partir do teste da concavidade, há um ponto de inflexão sempre que a segunda derivada mudar de sinal. Assim, do gráfico observa-se que as abscissas dos pontos de inflexão são: 1 2,0x e 2 1,0x (c) Intervalos onde a concavidade é para cima; RESOLUÇÃO A concavidade da função f x é para cima no intervalo compreendido entre os pontos de inflexão: 0,10,2 x x y Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 25 Marim / Eiras (d) Abscissa dos pontos de máximo e mínimo locais. RESOLUÇÃO Lembrando que pontos de máximo ou mínimo são tais que ' 0f x , tem-se: Pontos de mínimo local: 0,5x e 3,0x Pontos de máximo local: 4,0x , 2,5x e 4,0x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 26 Marim / Eiras Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 27 Marim / Eiras 15. DERIVAÇÃO GRÁFICA Se uma função f x é derivável em um ponto a, então f x é contínua em a. Consequentemente, se uma função não é contínua no ponto a, ela não é derivável nesse ponto. Essa função não é continua, nem derivável no ponto 1x . Existem outras duas situações em que a função é contínua, mas não derivável em um determinado ponto. Quando a função apresenta um “bico”, como na figura a seguir: Podemos observar a ocorrência de um “bico” no ponto 0x . Nesse ponto não podemos calcular a derivada. No entanto, a função é contínua em 0x . Outra situação em que a curva não possui derivada pode ser vista na figura a seguir: x y x y Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 28 Marim / Eiras Notamos que no ponto 2x a curva tem uma tangente vertical. Dizemos então que a curva não possui derivada em 2x apesar de ser contínua nesse ponto. x y Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 29 Marim / Eiras QUESTÕES DE PROVAS PASSADAS (MAUÁ – 2007) Use o gráfico da função y f x na figura abaixo para encontrar os sinais de /dy dx e 2 2d y dx nos pontos A, B, C e D. Justifique sua resposta. RESOLUÇÃO Lembrando que 'f x é positiva para funções crescentes, 'f x é negativa para funções decrescentes e ' 0f x nos pontos de máximo e mínimo, podemos determinar os sinais da f x nos pontos pedidos. Nos pontos A e D, a função é decrescente, portanto, sua derivada é negativa. Nos pontos B e C, a função é crescente, portanto, sua derivada é positiva. O quadro abaixo fornece os sinais da primeira derivadas obtidos a partir do gráfico. A B C D 0 dy dx 0 dy dx 0 dy dx 0 dy dx Lembrando que a segunda derivada é positiva quando a função tem concavidade para cima e que a segunda derivada é negativa quando a função tem concavidade para baixo. Nos pontos A e B, a função tem concavidade para cima, portanto, sua segunda derivada é positiva. Nos pontos C e D, a função tem concavidade para baixo, portanto, sua segunda derivada é negativa. A B C D y x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 30 Marim / Eiras O quadro a seguir fornece os sinais da segunda derivadas obtidos a partir dos gráficos. A B C D 2 2 0 d y dx 2 2 0 d y dx 2 2 0 d y dx 2 2 0 d y dx OBSERVAÇÃO: Note que o ponto B está numa região em que pode ser considerado um ponto de inflexão, pois aconcavidade da função pode mudar nesse ponto. Como isso não está claro, vamos considerar essa possibilidade. Assim, a segunda derivada nesse ponto também pode assumir o valor zero. (MAUÁ – 2008) É dado o gráfico da função f abaixo. Pede-se: (a) A função f é derivável em 0x ? Explique por que. RESOLUÇÃO Sim, a função f é derivável em 0x , pois ela é contínua e não tem “bico” ou reta tangente vertical em 0x x . (b) A função f é derivável em 1x ? Explique por que. RESOLUÇÃO Não, pois a função f apresenta um “bico” em 1x x . x y Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 31 Marim / Eiras (c) Esboce o gráfico da derivada de f . RESOLUÇÃO Devemos considerar três intervalos distintos para desenharmos a derivada da função dada. O primeiro trecho vai de 1x até 0x x . Nesse intervalo a função toma a forma de um polinômio de terceiro grau, cuja derivada é um polinômio de segundo grau. O segundo trecho vai de 0x x até 1x x . Nesse intervalo o gráfico da função é uma reta crescente, que tem como coeficiente angular um valor positivo e pode ser determinado diretamente do gráfico. O terceiro e último intervalo vai de 1x x até 6x . O gráfico da função é representado por uma parábola com concavidade para cima. Sua derivada é uma reta crescente. O gráfico abaixo ilustra um esboço do gráfico da derivada da função f . (MAUÁ – 2009) Dado o gráfico da função a seguir, (a) Para quais valores de x esta função é derivável? x y x y Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 32 Marim / Eiras RESOLUÇÃO Uma função f x não é derivável nos pontos onde houver descontinuidade e nos pontos onde houver “bicos”. Assim, observando o gráfico, tem-se que a derivada de f x está definida para todo valor de x , no intervalo aberto 4, 4 , tal que 1x e 2x . (b) Esboce o gráfico da função derivada. RESOLUÇÃO No intervalo 4 1x , a função derivada 'f x é constante, pois o gráfico da f x é uma reta, enquanto que no intervalo 1 2x , 'f x é negativa. Em particular, para 1x , observa-se um ponto de inflexão, visto que ' 0f x sem que se observe a mudança de sinal na função derivada. No intervalo 1 1x , a função é representada por uma parábola com concavidade para cima. Nesse trecho a sua derivada é uma reta decrescente. No intervalo 1 2x , a função é representada por uma parábola com concavidade para baixo. Nesse trecho a sua derivada é uma reta decrescente. No último intervalo, 2 4x , a função é representada por uma reta decrescente. Assim, sua derivada é uma função constante negativa. x y Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 33 Marim / Eiras (MAUÁ – 2010) O gráfico da curva 2.2 4. 1xy x está representado abaixo. (a) Esboce o gráfico de dx dy RESOLUÇÃO Para o esboço do gráfico, podemos destacar algumas características importantes: i) Para 0x (aproximadamente), ' 0y x . ii) Para 2,5x (aproximadamente), ' 0y x . iii) 'y x é negativa para 0x e para 2,5x . iv) 'y x é positiva no intervalo 0 2,5x . v) 'y x possui um ponto de máximo entre as raízes, e um ponto de mínimo para um valor de x maior que 2,5, pois a função tende assintoticamente a zero. Juntando essas informações podemos esboçar o gráfico a seguir como sendo um possível gráfico da derivada. (b) Determine algebricamente a inclinação da reta tangente à curva no ponto de abscissa 1x . RESOLUÇÃO Primeiramente vamos reescrever a equação dada, isolando-se o y . Assim, ficamos com: x y x y Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 34 Marim / Eiras 2.2 4. 1xy x 24 1 2x x y x Usando a regra do quociente, temos: 24 1 2x x y x 2 2 8 .2 4 1 .2 ln 2 ' 2 x x x x x y x Substituindo 1x , ficamos com: 1 2 1 2.1 8.1.2 4.1 1 .2 .ln 2 ' 1 2 y 16 10.ln 2 ' 1 4 y (MAUÁ – 2012) Use o gráfico da função y f x na figura a seguir para encontrar os sinais de dy dx e 2 2d y dx nos pontos A, B, C e D. Justifique sua resposta. RESOLUÇÃO A partir da interpretação geométrica, tem-se que o sinal da derivada no ponto é dado pelo sinal do coeficiente angular da reta tangente ao ponto estudado. Observando o gráfico dado, tem-se que em A, B e D, a derivada dy dx é positiva, enquanto que no ponto C, dy dx é negativa. Esboçando o gráfico da função derivada 'y x , podemos utilizar novamente a interpretação geométrica para identificar o sinal da segunda 2 2d y dx derivada nos pontos citados. x y A B C D Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 35 Marim / Eiras Assim, observa-se que no ponto A, 2 2d y dx é negativa, enquanto que nos pontos C e D, 2 2d y dx é positiva. Em particular, 2 2 0d y dx no ponto B, pois trata-se de um ponto de máximo da função derivada dy dx . O ponto B é um ponto de inflexão. Outra maneira de se determinar o sinal da segunda derivada é observar a concavidade da função y f x . No ponto A, a concavidade da função é para baixo, com isso o sinal de 2 2d y dx é negativo. Nos pontos C e D a concavidade da função é para cima, com isso o sinal da 2 2d y dx é positivo. O ponto B é um ponto de inflexão, pois à esquerda dele a função tem concavidade para cima e à direita a função tem concavidade para baixo. (MAUÁ – 2012) Dado o gráfico da função xf , determine: (a) O sinal da primeira derivada nos intervalos indicados abaixo. RESOLUÇÃO O sinal da primeira derivada está relacionado com a declividade da reta tangente à função. Assim, nos trechos 5 1x , 1 0x e 2 5x , a derivada tem sinal negativo (note a função é decrescente nesses intervalos). No trecho 0 2x , a derivada é positiva (a função é x y x y A B C D Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 36 Marim / Eiras crescente nesse intervalo). O quadro abaixo resume nossa resposta para o sinal da primeira derivada. -5 -1 0 2 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + -- - - - - - - - - - - (b) O sinal da segunda derivada nos intervalos indicados abaixo. RESOLUÇÃO O sinal da segunda derivada está relacionado com a concavidade da função. Assim, como nos trechos 1 0x e 0 5x , a concavidade da função é para baixo, concluímos que a segunda derivada nesses intervalos é negativa. Já no trecho 5 1x , a concavidade da função é para cima, fazendo com que a segunda derivada seja positiva. O quadro abaixo resume nossa resposta para o sinal da segunda derivada. -5 -1 0 2 5 + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 37 Marim / Eiras 16. REGRAS DE DERIVAÇÃO Regra do Produto Se as funções f x e g x são ambas diferenciáveis, então: . ' ' . . 'f x g x f x g x f x g x Ou, escrevendo de uma maneira mais simplificada. Sendo u f x e v g x , temos: . ' '. . 'u v u v u v Regra do Quociente Se as funções f x e g x são ambas diferenciáveis e 0g x , então: 2 ' . . ''f x f x g x f x g x g x g x Ou, escrevendo de uma maneira mais simplificada. Sendo u f x e v g x , temos: 2 ' '. . 'u u v u v v v Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 38 Marim / Eiras Regra da Cadeia Se g x é diferenciável em x e f x é diferenciável em g x , então, a função composta F f g , definida por F x f g x é diferenciável em x e 'F é dado pelo produto: ' ' . 'F x f g x g x Utilizando a notação de Leibnitz, se y f u e u g x . Então: . dy dy du dx du dx Algumas derivadas básicas 1.n n d x n x dx x xd e e dx . . d d c f c f dx dx 0d c c dx constante ' ' 'f g f g ' ' 'f g f g Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 39 Marim / Eiras QUESTÕES DE PROVAS PASSADAS (MAUÁ – 2006) Derive a função cos ln 5y x , simplificando o resultado: RESOLUÇÃO Trata-se de uma função composta e, portanto, devemos utilizar a regra da cadeia. Assim: 1 ' sen ln(5 ) . .5 5 y x x sen ln(5 ) ' x y x (MAUÁ – 2006) Derive a função ( 1)y arctg x , simplificando o resultado: RESOLUÇÃO Trata-se de uma função composta e, portanto, devemos utilizar a regra da cadeia. Assim: 2 1 1 ' . .1 2 11 1 y xx 1 1 ' . 1 1 2 1 y x x 1 ' 2 1 y x x (MAUÁ – 2007) (a) Calcule a derivada de ln 1x y x . RESOLUÇÃO Temos uma divisão de duas funções e para encontrarmos a derivada devemos utilizar a regra do quociente, 2 ' '. . 'u u v u v v v . Assim: 2 1 ln 1 .1 1' x x xy x Reduzindo-se ao mesmo denominador, ficamos com: 2 1 .ln 1 1' x x x xy x 2 1 .ln 1 ' . 1 x x x y x x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 40 Marim / Eiras Ou ainda: 2 ln 11 ' . 1 x y x x x (b) Calcule a derivada de 2 2 . x y x e . RESOLUÇÃO Nesse caso, temos um produto de duas funções. Devemos agora utilizar a regra do produto, . ' '. . 'u v u v u v . Note que no segundo termo do produto existe uma função composta, devemos nos lembrar de aplicar a regra da cadeia. Assim: 2 22 21 ' . . .2 2 x x y e x e x x Colocando-se a exponencial em evidência, ficamos com: 2 2 1 ' . .2 2 x y e x x x Escrevendo a soma entre colchetes como um único termo, chegamos a: 2 2 2 1 4 ' . 2 x x y e x (MAUÁ – 2007) Calcule: (a) A derivada de 21 2. x f x x e RESOLUÇÃO Aplicando a regra do produto, . ' '. . 'u v u v u v (note que o segundo termo é uma função composta e devemos utilizar a regra da cadeia), tem-se: 2 21 1 2 2' 1. . . x x f x e x e x Colocando-se a exponencial em evidência, ficamos com: 21 2 2' . 1 x f x e x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 41 Marim / Eiras (b) A derivada de 2 ln x x x x e e f x e e . RESOLUÇÃO Para facilitar o calculo da derivada, devemos lembrar que: xx xx ee ee x tgh Assim, a função f x , pode ser reescrita como: 2 2 ln ln tgh x x x x e e f x x e e Aplicando a regra da cadeia, obtém-se: 1 ' 2.ln tgh . . tgh ' tgh f x x x x Ou ainda: 22.ln tgh .sech x ' tgh x f x x (MAUÁ – 2007) (a) Calcule a derivada de xe y x quando 1x . RESOLUÇÃO Temos uma divisão de duas funções e para encontrarmos a derivada devemos utilizar a regra do quociente, 2 ' '. . 'u u v u v v v (Não devemos nos esquecer de aplicar a regra da cadeia na função do numerador, pois é uma função composta). Assim: 2 1 . . 2' x xe x e xy x Reduzindo-se ao mesmo denominador, ficamos com: Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 42 Marim / Eiras 2 . 2' x xx e e xy x 2 . ' 2 x xx e e y x x Colocando a exponencial em evidência, teremos: 2 1 ' . 2 x xy e x x Quando 1x , ficamos com: 1 2.1 1 ' 1 . 2.1. 1 y e 3 ' 1 2 y e (b) Sabendo que nos intervalos onde " 0f x , a concavidade de f é para baixo e onde " 0f x a concavidade é para cima, a função 1 sen 2 f x x x em 2 x tem concavidade para cima? Justifique sua resposta algebricamente. RESOLUÇÃO Vamos determinar inicialmente a primeira derivada. Assim: 1 ' cos 2 f x x Agora determinamos a segunda deriva. " senf x x Vamos determinar o valor da segunda derivada quando 2 x . Ou seja: " sen 2 2 f " 1 2 f Como a segunda derivada no ponto dado é positiva, concluímos que a função f tem concavidade para cima em 2 x . (c) Mostre que a inclinação da reta tangente à curva ln 1x y x no ponto de abscissa 1 é 1 2 . Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 43 Marim / Eiras RESOLUÇÃO Temos uma divisão de duas funções e para encontrarmos a derivada devemos utilizar a regra do quociente, 2 ' '. . 'u u v u v v v . Assim, teremos: 2 1 . 1 ln .1 ' 1 x x xy x Para 1x , ficamos com: 2 1 . 1 1 ln 1 .1 1' 1 1 1 y 2 1 ' 1 4 2 y Como a inclinação da reta tangente é igual ao valor da derivada da função no ponto dado, temos que a inclinação pedida vale 1/2. (MAUÁ – 2007) Calcule: 3 4 1 ' cos 5 1 d x f x dx x . RESOLUÇÃO Utilizando a regra da cadeia, teremos: 2 2 4. 5 1 4 1 .54 1 4 1 ' 3cos . -sen . 5 1 5 1 5 1 x xx x f x x x x Ou ainda: 2 2 9 4 1 4 1 ' -3. .cos .sen 5 1 5 15 1 x x f x x xx Finalmente: 2 2 27 4 1 4 1 ' .cos .sen 5 1 5 15 1 x x f x x xx Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 44 Marim / Eiras (MAUÁ – 2007) Derive a função 2 3 5 1 x y x . RESOLUÇÃO Temos uma divisão de duas funções e para encontrarmos a derivada devemos utilizar a regra do quociente, 2 ' '. . 'u u v u v v v . Assim, teremos: 2 2 2 5 ln 5 . 1 3 5 . 2 ' 1 x xx x y x Ou ainda: 2 2 2 5 . .ln 5 5 .ln 5 6 2 .5 ' 1 x x xx x x y x Colocando-se o termo 5x em evidência, ficamos com: 2 2 2 5 . ln 5 2 ln 5 6 ' 1 x x x x y x (MAUÁ – 2008) Calcule as derivadas: (a) 1 arctg 1 d x dx x RESOLUÇÃO Para calcular a derivada da função arctgy x , utilizamos a função inversa, tgx y . Derivando ambos os lados em relação à x , temos: 21 tg sec ( ). d dy y y dx dx Utilizando a relação trigonométrica entre secante e tangente, 2tg 1 sec , teremos: 21 ( ) 1 . dy tg y dx 21 1 . dy x dx Isolando a derivada de y , chegamos a: Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 45 Marim / Eiras 2 1 1 dy dx x 2 1 1 d arctg x dx x Para esse problema, temos que 1 1 x y arctg x . Assim: 2 1 1 1 . ' 1 11 1 1 d x x arctg dx x xx x 2 2 2 1. 1 1 . 11 1 . 1 1 1 1 1 x xd x arctg dx x x x x 2 2 2 2 11 1 1 . 1 1 1 1 xd x x x arctg dx x x x x 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 21 1 d x arctg dx x x x x xx x 2 2 1 2 1 1 2 2 1 d x arctg dx x x x Observe que as derivadas das funções 1 arctg 1 x y x e arctgy x são iguais. O gráfico abaixo ilustra essas funções. Note que a função 1 arctg 1 x y x apresenta uma descontinuidade em 1x . No restante do domínio as duas funções têm retas tangentes paralelas. x y Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 46 Marim / Eiras (b) 22 1 xy y e RESOLUÇÃO Aplicando a regra do produto, . ' '. . 'u v u v u v , e a regra da cadeia, tem-se: 2 22' 2 . ' 1 2 .x xy y y e y x e Isolando 'y : 2 221 2 ' 2 ( 1)x xye y x y e 2 2 22 ( 1) ' 1 2 x x x y e y ye Considerando que 22 1 xy y e , tem-se que: 2 2 . ' 1 2 . x x y y y e (c) 2 2.ln 1f x x x RESOLUÇÃO Aplicando a regra do produto, . ' '. . 'u v u v u v , ficamos com: 2 2 2 2 1 ' 2 .ln 1 . . 1 ' 1 f x x x x x x 2 2 2 2 1 ' 2 .ln 1 . . 1 1 x f x x x x x x Simplificando, teremos: 3 2 2 ' 2 .ln 1 1 x f x x x x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 47 Marim / Eiras (MAUÁ – 2008) Derive 2 1 x y x , simplificando o resultado. RESOLUÇÃO Temos uma divisão de duas funções e para encontrarmos a derivada devemos utilizar a regra do quociente, 2 ' '. . 'u u v u v v v . Assim, teremos: 2 2 2 1 . 1 . 2 2' 1 x x x xy x Reduzindo ao mesmo denominador o numerador, ficamos com: 2 2 2 1 2 . 2 2' 1 x x x xy x 2 2 2 2 1 4 ' 2 . 1 x x y x x E, portanto: 2 2 2 1 3 ' 2 . 1 x y x x (MAUÁ – 2008) Calcule a derivada da função 2 2.ln 1f x x x . RESOLUÇÃO Temos um produto de duas funções, sendo que uma delas é uma função composta. Dessa forma, devemos utilizar a regra do produto e a regra da cadeia. Portanto: 2 2 2 2 1 1 ' 2 .ln 1 . . .2 1 2 1 f x x x x x x x 3 2 2 ' 2 .ln 1 1 x f x x x x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 48 Marim / Eiras (MAUÁ – 2008) Calcule a derivada da função 3 4 1 cos 5 1 x f x x . RESOLUÇÃO Trata-se de uma função composta e devemos utilizar a regra da cadeia. Além disso, temos uma divisão de duas funções no argumento do cosseno. Aí deveremos utilizar a regra do quociente. Então, ficamos com: 2 2 4. 5 1 4 1 .54 1 4 1 ' 3.cos . . 5 1 5 1 5 1 x xx x f x sen x x x 2 2 4 1 4 1 20 4 20 5 ' 3. cos . 5 1 5 1 5 1 x x x x f x sen x x x 2 2 4 1 4 1 9 ' 3. cos . 5 1 5 1 5 1 x x f x sen x x x Finalmente 2 2 27 4 1 4 1 ' . cos 5 1 5 15 1 x x f x sen x xx (MAUÁ – 2008) Dada a função arcsen 1y x . Calcule dy y dx . RESOLUÇÃOTemos uma função composta e, portanto, devemos utilizar a regra da cadeia. Assim: 2 1 1 ' . 2 1 1 y x x 1 1' . 21 2 1 y xx x 1 1 ' . 22 y xx x 1' . 2 . 2 y x x x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 49 Marim / Eiras (MAUÁ – 2009) Calcule a derivada da função 23 . 4h t t t . Simplifique ao máximo sua expressão. RESOLUÇÃO Inicialmente podemos reescrever a função dada como sendo: 1 23. 4h t t t Aplicando a distributiva, ficamos com: 7 1 3 34.h t t t Dessa forma a função fica bem mais fácil de derivar. Assim: 7 11 1 3 3 7 1 ' . 4. 3 3 h t t t 4 23 37 4' . 3 3 h t t t Podemos reescrever esse resultado da seguinte forma: 4 23 31' 7. 4 3 h t t t 6 3 2 2 3 3 1 7. 4 ' 3 t h t t t 2 2 3 1 7. 4 ' 3 t h t t 2 23 7. 4 ' 3 t h t t (MAUÁ – 2009) Derive . 2 ln e arcsen x f x x . RESOLUÇÃO Neste caso, para aplicarmos a derivada da razão, é mais prático derivar as funções separadamente, ou seja: 2u x arcsen x 2 2 ' 1 4 u x x e lnv x x 1 1 ' 2 ln v x xx Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 50 Marim / Eiras Aplicando a regra da derivada da razão, 2 '. . ' ' u u v u v v v , tem-se: 2 ' . ( ) ( ). ( ) ' ' . ( ) u x v x u x v x f x e v x Assim, ficamos com: 2 2 1 1 . ln 2 . . 2 ln1 4 ' . ln x arcsen x xxx f x e x 2 2 4ln . 1 4 . 2 ' . 2. .ln . ln . 1 4 x x x arcsen x f x e x x x x (MAUÁ – 2009) Calcule a derivada da função 3 .ln cosxg x e x . Simplifique ao máximo sua expressão. RESOLUÇÃO Aplicando a regra do produto, . ' '. . 'u v u v u v , e a regra da cadeia, tem-se: 3 3 1 1 ' . 3 .ln cos . . . sen cos 2 cos x xg x e x e x x x 3 3 sen' 3 .ln cos . 2cos x x xg x e x e x Colocando-se a exponencial em evidência, chegamos a: 3 sen' 3ln cos 2cos x xg x e x x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 51 Marim / Eiras (MAUÁ – 2010) Seja xg uma função derivável onde é sua imagem e domínio. Suponha ainda que 3 5g e ' 3 2g . Calcule a derivada ' 3G onde G x arctg g x . RESOLUÇÃO Lembrando que a derivada da função arctg x é dada por 2 1 ( ) 1 d arctg x dx x , e aplicando a regra da cadeia, tem-se: 2 ' ' 1 g x G x g x Substituindo 3x , obtém-se: 2 ' 3 ' 3 1 3 g G g Com os valores fornecidos no enunciado, chegamos a: 2 2 2 1 ' 3 1 5 26 13 G (MAUÁ – 2010) Seja g x uma função derivável onde é sua imagem e domínio. Suponha ainda que 3 5g e ' 3 2g . Determine o domínio e imagem de 3logH x g x e calcule 'H x RESOLUÇÃO A função H x é composta por uma função logarítmica que tem como domínio os números reais positivos não nulos. Como a função g x tem domínio nos números reais, teremos que o domínio da função H x será: 0HD x g x O conjunto imagem da função H x é o conjunto dos números reais, assim como a função logarítmica. Ou seja: ImH Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 52 Marim / Eiras A derivada da função H x pode ser escrita como: ' ' . ln 3 g x H x g x Podemos determinar o valor da derivada em 3x . Ficamos com: ' 3 ' 3 3 .ln 3 g H g 2 ' 3 5.ln 3 H (MAUÁ – 2010) Calcule 2ln 1d x dx . RESOLUÇÃO Trata-se de uma função composta e, portanto, devemos utilizar a regra da cadeia. Dessa forma, teremos: 2 2 2 1 1 ln 1 . .2 1 2 1 d x x dx x x Ou ainda: 2 2ln 1 1 d x x dx x (MAUÁ – 2011) Derive: cosln xy e RESOLUÇÃO Vamos reescrever a função dada, como sendo: 1 2cos ln x y e Dessa forma podemos aplicar as propriedades do logaritmo e escrever: cos1 ln 2 x y e 1 cos 2 y x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 53 Marim / Eiras Agora podemos derivar essa função. Assim: 1 ' . 2 y sen x ' 2 sen x y (MAUÁ – 2012) Calcule a derivada da função 22. arctg x y x e . RESOLUÇÃO Aplicando a regra do produto, . ' '. . 'u v u v u v , e a regra da cadeia, tem-se: 2 22 2 1 ' 2 . . . . 2 1 2 arctg x arctg x y x e x e x Colocando o termo 2 2 . arctg x x e em evidência, podemos reescrever o resultado como: 2 2 ' 2 . . 1 1 2 arctg x x y x e x (MAUÁ – 2012) Calcule dy dx para 3 2 2 1 x x y x . RESOLUÇÃO Trata-se de uma função composta e, portanto, devemos utilizar a regra da cadeia. Antes vamos reescrever a função dada da seguinte forma: 1 3 2 2 1 x x y x 1 2 3 2 2 1 x x y x Agora podemos calcular a derivada: 1 1 2 22 3 22 2 2 2 . 1 2 .21 2 ' . 3 1 1 x x x x xx x y x x 2 2 3 2 3 23 22 2 1 2 2 2 2 2 2 4 ' . 3 1 1 x x x x x x x y x x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 54 Marim / Eiras 2 2 3 2 2 2 22 3 21 2 2 2 ' . 3 11 x x x x y xx 22 2 3 4 2 3 1 2 2 2 ' 2 . 3 1 x x y x x x Ou ainda: 2 4 2 2 23 3 1 2 2 2 ' . 3 1 . 2 x x y x x x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 55 Marim / Eiras 17. DERIVADAS DE FUNÇÕES Seja a reta que passa pelos pontos P e Q pertencentes à função f x . A inclinação dessa reta pode sercalculada como: PQ f x f a m x a A medida que o ponto Q se aproxima do ponto P a reta secante (que passa por P e Q) tende à reta tangente ao ponto P, e sua inclinação é o seguinte limite: lim PQ x a m m tangente Ou ainda: lim x a f x f a m x a tangente Assim definimos a derivada de uma função em um ponto como sendo a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. Ou seja: ' lim x a f x f a f x x a Se fizermos h x a , na expressão acima, então x a h . Como x tende a a, h tenderá a zero. Dessa forma podemos reescrever a derivada como: 0 ' lim h f x h f x f x h Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 56 Marim / Eiras Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 57 Marim / Eiras QUESTÕES DE PROVAS PASSADAS (MAUÁ – 2006) Dada a tabela: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 f x 1 2 -1 0 1 3 2 4 2 1 'f x 2 -3 0 1 3 -1 1 -5 -2 0 g x 1 3 3 2 3 4 3 2 5 7 'g x 2 1 -1 0 1 -2 0 6 4 2 Calcule: (a) 2. ' 2f g RESOLUÇÃO Utilizando a regra do produto, ficamos com: 2 2. ' 2 . '. . 'f g f f g f g Aplicando no ponto solicitado, 2x , ficamos com: 22. ' 2 2 2 . ' 2 . 2 2 . ' 2f g f f g f g Utilizando-se os valores da tabela, teremos: 2 2. ' 2 2.2.1.3 2 .0f g 2. ' 2 12f g (b) ' 2f g RESOLUÇÃO Como se trata de uma derivada de função composta, podemos escrever como segue: ' ' ' . 'f g f g f g g Aplicando no ponto solicitado, 2x , ficamos com: ' 2 ' 2 . ' 2f g f g g Substituindo-se os valores da tabela, chegamos a: Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 58 Marim / Eiras ' 2 ' 3 . 1f g f ' 2 5 . 1f g ' 2 5f g (c) 0 'f f g RESOLUÇÃO Vamos começas escrever a regra do quociente. Assim, ficamos com: 2 '. . ' '' f f g f f gf f g f g Ou, aplicando no ponto solicitado, 0x , ficamos com: 2 ' 0 . 0 0 0 . ' 0 ' 0 0 0 0 ' f f g f f gf f g f g Aplicando os valores da tabela, teremos: 2 3. 1 3 1. 3 1 0 1 3 'f f g 8 0 2 4 'f f g (d) 1 3 ' g RESOLUÇÃO Novamente podemos escrever a regra do quociente. Assim, ficamos com: 2 0. 1. '1 ' g g g g 2 1 '' g g g No ponto solicitado, 3x , ficamos com: 2 ' 31 3 3 ' g g g Utilizando os dados da tabela, chegamos a: Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 59 Marim / Eiras 2 1 6 3 ' 3 22g (MAUÁ – 2006) Suponha que uma função f satisfaça as seguintes condições para qualquer valor real de x e y: i) .f x y f x f y ii) 1 .f x x g x Mostre que a derivada 'f x existe em qualquer valor de x e que 'f x f x onde 0 lim 1 h g h . Sugestão: Utilize a definição de derivada 0 ' lim h f x h f x f x h . RESOLUÇÃO Vamos começar pela definição de derivada 0 ' lim h f x h f x f x h Utilizando a condição (i) do enunciado, podemos reescrever a derivada como sendo: 0 . ' lim h f x f h f x f x h Podemos colocar a função f x em evidência no numerador da fração. Assim, ficamos com: 0 . 1 ' lim h f x f h f x h Como o limite a ser calculado é em termos de h, a função f x pode ser retirada para fora do cálculo desse limite. Então: 0 1 ' .lim h f h f x f x h Fazendo uso da condição (ii) do enunciado, vamos reescrever a derivada somo segue. 0 1 . 1 ' .lim h h g h f x f x h Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 60 Marim / Eiras Ou ainda: 0 . ' .lim h h g h f x f x h Simplificando o h do numerado com o do denominador, teremos: 0 ' .lim h f x f x g h Do enunciado também sabemos que 0 lim 1 h g h . Dessa forma chegamos ao resultado esperado: ' .1f x f x 'f x f x (MAUÁ – 2006) Dada a tabela: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 f x 1 2 -1 0 1 3 2 4 2 1 'f x 2 -3 0 1 3 -1 1 -5 -2 0 g x 1 3 3 2 3 4 3 2 5 7 'g x 2 1 -1 0 1 -2 0 6 4 2 Calcule: (a) 2 ' 3f g RESOLUÇÃO Podemos escrever essa derivada como sendo: 2 2' ' 'f g f g 2 ' 2. . ' 'f g f f g No ponto solicitado, 3x , ficamos com: 2 ' 3 2. 3 . ' 3 ' 3f g f f g Com os dados da tabela, temos: 2 ' 3 2.4. 5 6f g 2 ' 3 34f g Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 61 Marim / Eiras (b) . ' 1 f g f g RESOLUÇÃO Essa derivada é composta por uma divisão e no numerador temos um produto. Assim a derivada toma a forma: 2 . '. . .. ' f g f g f g f gf g f g f g 2 '. . ' . . .. ' f g f g f g f g f gf g f g f g No ponto solicitado, 1x , ficamos com: 2 ' 1 . 1 1 . ' 1 . 1 1 1 . 1 . 1 1. ' 1 1 1 f g f g f g f g f gf g f g f g Com os valores da tabela, chegamos a: 2 1 .4 3. 2 . 3 4 3.4. 1 2. ' 1 3 4 f g f g . ' 1 2 f g f g (d) 1 0 ' f RESOLUÇÃO Podemos tratar essa derivada através da regra do quociente. Assim, ficamos com: 2 0. 1. '1 ' f f f f 2 1 '' f f f No ponto solicitado, 0x , ficamos com: 2 ' 01 0 0 ' f f f Utilizando os dados da tabela, chegamos a: 2 1 3 0 1 ' f 1 0 3 ' f Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 62 Marim / Eiras (MAUÁ– 2007) Utilizando o limite fundamental 0 sen lim 1 , calcule 3 3 9 lim 3x tg x sen x . RESOLUÇÃO Vamos começar a resolução desse problema partindo da condição que x tende a 3. Ou seja: Se 3x , então 3 0x . E, se 3 0x , então 3. 3 0x e, portanto, 3 9 0x . Dessa forma, podemos estabelecer que: 0 3 sen sen 3 lim lim 1 3x x x Vamos agora calcular o limite pedido, substituindo a função 3 9tg x por 3 9 cos 3 9 sen x x , ou seja: 3 3 3 9 3 9 1 lim lim . 3 cos 3 9 3x x tg x sen x sen x x sen x Ou ainda: 3 3 3 9 3 9 1 lim lim . 3 3 cos 3 9x x tg x sen x sen x sen x x Fazendo uso das propriedades dos limites, vamos separar o limite de um produto em um produto de dois limites. Assim, ficamos com: 3 3 3 3 9 3 9 1 lim lim . lim 1 3 3 cos 3 9x x x tg x sen x sen x sen x x O segundo limite é de fácil resolução, pois basta utilizar a substituição direta. Assim: 3 1 1 1 lim 1 2 cos 3 9 cos 3.3 9 cos 0x x Para o cálculo do primeiro limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador por 3 9x . Assim, ficamos com: 3 3 3 9 3 9 3 9 lim lim . 3 3 3 9x x sen x sen x x sen x sen x x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 63 Marim / Eiras 3 3 3 9 3 9 3 9 lim lim . 3 3 9 3x x sen x sen x x sen x x sen x Novamente podemos utilizar a propriedade dos limites e escrever: 3 3 3 3 9 3 9 3 9 lim lim . lim 3 3 9 3x x x sen x sen x x sen x x sen x Sabemos do limite fundamental que 3 3 9 lim 1 3 9x sen x x . Assim: 3 3 3 9 3 9 lim lim 3 3x x sen x x sen x sen x A fração do segundo lado da igualdade pode ser escrita como: 3 3 3 9 1 lim lim 33 3 9 x x sen x sen xsen x x Mais uma vez podemos utilizar as propriedades dos limites e escrever: 3 3 3 9 1 lim 33 lim 3 9 x x sen x sen xsen x x 3 3 3 9 1 lim 33 lim 3. 3 x x sen x sen xsen x x O número três no denominador do denominador pode sair do limite e ficamos com: 3 3 3 9 1 lim 33 1 lim 3 3 x x sen x sen xsen x x 3 3 3 9 3 lim 33 lim 3 x x sen x sen xsen x x Novamente sabemos pelo limite fundamental que 3 3 lim 1 3x sen x x . E, assim: 3 3 9 lim 3 3 3x sen x sen x Substituindo os resultados [2] e [3] na equação [1], ficamos com: 3 3 9 lim 3.1 3 3x tg x sen x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 64 Marim / Eiras (MAUÁ – 2007) Sabe-se que a equação diferencial da forma 2" .y m y tem como solução a função .senh . .cosh .y A m x B m x . Encontre a solução de " 9y y com condições iniciais: 0 4y e ' 0 6y . RESOLUÇÃO Para resolvermos a equação diferencial dada no enunciado, precisamos conhecer a função e sua segunda derivada. A função é do tipo .senh . .cosh .y x A m x B m x . Precisamos determinar os valore se A, B e m. Inicialmente valor calcular as derivadas dessa função. Ou seja: ' . .cosh . . .senh .y x A m m x B m m x E a segunda derivada fica: 2 2" . .senh . . .cosh .y x A m m x B m m x Utilizando a informação que 0 4y . Chegamos a seguinte equação: 0 .senh .0 .cosh .0y A m B m 4 .senh 0 .cosh 0A B Como senh 0 0 e cosh 0 1 , concluímos que: 4 .0 .1A B 4B Utilizando a outra informação que ' 0 6y . Chegamos a seguinte equação: ' 0 . .cosh .0 . .senh .0y A m m B m m 6 . .cosh 0 . .senh 0A m B m Como senh 0 0 e cosh 0 1 , concluímos que: 6 . .1A m . 6A m Mas ainda sabemos do enunciado que a função y é da forma 2" .y m y . A equação diferencial dada é " 9y y . Sai diretamente daí o que 3m . Assim concluímos que: .3 6A 2A Dessa forma a equação final da nossa função é: 1 2.senh 3 4.cosh 3y x x x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 65 Marim / Eiras OBSERVAÇÃO: Não foi dito no enunciado que o valor de m deveria ser positivo. Na verdade ele pode ser positivo ou negativo, pois a função y tem a forma 2" .y m y . A equação diferencial dada é " 9y y . Devemos concluir que 3m ou 3m . Assim, para uma resposta mais completa devemos considerar as duas possibilidades. Quando 3m já está resolvido, vamos então, para encerrar, considerar o caso em que 3m . Nessa situação teremos uma mudança no valor do A . 6A m . 3 6A 2A Agora a equação toma a forma: 2 2.senh 3 4.cosh 3y x x x (MAUÁ – 2007) Calcule 3 1 ' d f t t dt t . RESOLUÇÃO O cálculo dessa derivada se torna mais fácil se escrevermos como segue: 1 13' df t t t dt Assim: 1 1 23 1 ' 1. 3 f t t t 2 23 1 ' 3 f t t t 223 1 1 ' 3 f t tt (MAUÁ – 2007) (a) Verifique que tgy x é solução da equação: " 2 '.tg 0y y x . RESOLUÇÃO Para se fazer essa verificação devemos calcular a primeira e a segunda derivadas da função dada. Assim: tgy x 2' secy x " 2sec . sec .tgy x x x 2" 2sec .tgy x x Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 66 Marim / Eiras Substituindo na equação " 2 '.tg 0y y x , temos: 2 22sec .tg 2sec .tg 0x x x x 0 0 Portanto, a função tgy x é solução da equação " 2 '.tg 0y y x . (b) Calcule a derivada de ordem 10 da função 2xy e , isto é, derive a função, depois derive a função resultante, e assim sucessivamente, derivando 10 vezes. Apresente o resultado final. RESOLUÇÃO Vamos determinar as primeiras derivadas da função dada: 2xy e 2' 2. xy e 2 2 2" 2.2. 2 .x xy e e 2 3 2'" 2.2.2. 2 .x xy e e 4 2 4 22.2.2.2. 2 .x xy e e Analogamente, podemos escrever a décima derivada como sendo: 10 10 22 . xy e Podemos generalizar esse resultado para a
Compartilhar