Buscar

CALCULO_1-VOLUME_2

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 169 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 169 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 169 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

RESOLUÇÃO DE 
PROVAS 
PASSADAS DE 
CÁLCULO I 
 
Prof. Luiz Roberto Marim 
Prof. Airton Eiras 
2013 
 
Segundo Bimestre 
Exercícios resolvidos e comentados 
de 2006 a 2012 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
2 
 
Marim / Eiras 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
3 
 
Marim / Eiras 
 
Apresentação 
 
 
Durante os anos letivos de 2011 e 2012, os alunos frequentaram aulas extras que 
tinham o objetivo de prepara-los para as provas bimestrais, utilizando para tal, 
exercícios solicitados em anos anteriores. A receptividade por parte dos nossos alunos 
foi muito positiva, não somente como instrumento pedagógico, mas também por meio 
do reconhecimento de que tal instrumento auxiliou significativamente no processo de 
discussão e compreensão e do conteúdo do curso de Cálculo 1. 
 
Diante desse cenário, pensamos em ampliar a experiência, organizando os exercícios 
que foram solicitados em provas passadas, desde 2006 até as mais recentes, 
transformando a experiência das aulas em uma ferramenta de estudo adicional ao livro 
texto. 
 
A coleção de exercícios está dividida em assuntos, os quais seguem o conteúdo 
programático de cada bimestre. Assim, teremos ao todo, quatro volumes, cada qual 
com exercícios temáticos e solucionados com alto grau de detalhamento. Pensamos 
que o detalhamento do processo de solução dos exercícios auxilie nosso aluno a 
compreender com clareza a teoria desenvolvida no curso de Cálculo 1. 
 
Finalmente, pensamos que o conteúdo este material possui uma característica 
dinâmica, pois permite constantes atualizações tanto na forma, como no conteúdo. 
Agradecemos antecipadamente aos colegas Professores que colaboraram conosco, 
lendo, sugerindo e corrigindo erros não observados por nós. Agradecemos 
especialmente à Profa. Marilda por nos ter auxiliado na revisão desse material. 
 
 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
4 
 
Marim / Eiras 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
5 
 
Marim / Eiras 
 
ÍNDICE 
 
 
14. PONTOS CRÍTICOS ..........................................................................................................................7 
15. DERIVAÇÃO GRÁFICA .................................................................................................................. 27 
16. REGRAS DE DERIVAÇÃO .............................................................................................................. 37 
17. DERIVADAS DE FUNÇÕES .......................................................................................................... 55 
18. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA .............................................................................................................. 83 
19. TEOREMAS ..................................................................................................................................... 105 
20. TAXAS RELACIONADAS ........................................................................................................... 125 
21. REGRA DE L’HÔPITAL ................................................................................................................. 153 
 
 
 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
6 
 
Marim / Eiras 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
7 
 
Marim / Eiras 
 
14. PONTOS CRÍTICOS 
 
 
Máximos e Mínimos 
 
Definição 1 Uma função 
 f x 
tem um máximo absoluto em c, também chamado de máximo 
global, se 
   f c f x
 para todo x pertencente ao domínio de f. 
 
Definição 2 Uma função 
 f x 
tem um mínimo absoluto em c, também chamado de mínimo 
global, se 
   f c f x 
para todo x pertencente ao domínio de f. 
 
 
Observações: 
 
i) Os valores de máximo e mínimo de 
 f x 
são denominados de valores extremos de f. 
 
ii) A função 
 y f x 
é denominada crescente se, para quaisquer valores de x1 e x2, sendo 
2 1x x
, tem-se 
   2 1f x f x
. 
 
iii) A função 
 y f x 
é denominada decrescente se, para quaisquer valores de x1 e x2, sendo 
2 1x x
, tem-se 
   2 1f x f x
. 
 
 
Definição 3 Uma função 
 f x 
tem um máximo local em c, também chamado de máximo 
relativo, se 
   f c f x 
para todo x pertencente a um intervalo aberto contento c: 
 
  ( ), 0.f c f c x para x    
 
 
 
Definição 4 Uma função 
 f x 
tem um mínimo local em c, também chamado de mínimo 
relativo, se 
   f c f x 
para todo x pertencente a um intervalo aberto contento c: 
 
  ( ), 0.f c f c x para x    
 
 
 
Definição 5 Um número crítico de uma função 
 y f x
 é um número x0 pertencente ao 
domínio de f, onde a primeira derivada se anula, 
 0' 0f x 
, ou apresenta descontinuidade. 
 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
8 
 
Marim / Eiras 
 
Estudo da Primeira Derivada de uma Função 
 
A primeira derivada de uma função nos fornece o coeficiente angular da reta tangente à curva 
 y f x
 no ponto 
  0 0,x f x
. A derivada também nos fornece o comportamento da curva 
em cada ponto do domínio de 
 f x
. 
 
Definição 1 
 
i) Se 
 ' 0f x 
 em um intervalo do domínio, então 
 f x 
é crescente nesse intervalo. 
 
ii) Se 
 ' 0f x 
em um intervalo do domínio, então 
 f x 
é decrescente nesse intervalo. 
 
 
Definição 2 Teste da Primeira Derivada 
 
Considere que x0 seja um número crítico da função 
 y f x
. Então: 
 
i) Se o sinal de 
 'f x 
mudar de positivo para negativo em 
0x
, 
 f x 
tem um máximo local 
em 
0x
. 
 
ii) Se o sinal de 
 'f x 
mudar de negativo para positivo em 
0x
, 
 f x
 tem um mínimo local 
em 
0x
. 
 
iii) Se 
 'f x 
não mudar de sinal em 
0x
, 
 f x
 não apresenta mínimo ou máximo locais em 
0x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
 
x0 
 
x 
y 
 
x
0
 
f(x) não possui máximo ou mínimo 
locais 
x 
y 
 
 
x0 
 
x 
y 
 
 
x0 
máximo local mínimo local 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
9 
 
Marim / Eiras 
Concavidade e Pontos de Inflexão 
 
Definição 1 Se o gráfico de 
 y f x 
estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo 
 ,a b
, então ele é dito côncavo para cima. Contrariamente, se o gráfico de 
 y f x 
estiver 
abaixo de todas as suas tangentes no intervalo 
 ,a b
, então ele é dito côncavo para baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste da Concavidade 
 
i) Se 
 " 0f x 
 para todo 
 ,x a b
, então o gráfico 
 y f x 
é côncava para cima no 
intervalo. 
 
ii) Se 
 " 0f x 
 para todo 
 ,x a b
, então o gráfico 
 y f x 
é côncava para baixo no 
intervalo. 
 
 
 
Definição 2 Um ponto P na curva 
 y f x
 é denominado ponto de inflexão se 
f
 é contínua 
no ponto e a curva mudar de concavidade no ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x
0
 
 
x 
y 
x
0
 
Côncavo para baixo Côncavo para cima 
x 
y 
 
 
 
x
0 
 
 
x 
y 
 
 
x
0
 
P = (x0 , f(x0 )) é ponto de inflexão 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - SegundoBimestre 
10 
 
Marim / Eiras 
Teste da Segunda Derivada 
 
 
Considere que 
 "f x
 seja contínua nas proximidades do número 
0x
. 
 
i) Se 
 0' 0f x 
 e 
 0" 0f x 
, então 
 f x 
tem um mínimo local em 
0x
. 
 
ii) Se 
 0' 0f x  
e 
 0" 0f x 
, então 
 f x 
tem um máximo local em 
0x
. 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
11 
 
Marim / Eiras 
QUESTÕES DE PROVAS PASSADAS 
 
 
 (MAUÁ – 2007) Seja a função 
  3 22 15 36f x x x x  
 definida no intervalo 
 1, 4
. 
 
(a) Determine os números críticos desta função. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Um número crítico é aquele para o qual 
 ' 0f x 
 ou 
 'f x apresenta uma descontinuidade. 
Assim, calculando-se a primeira derivada da função 
 f x e igualando o resultado a zero, tem-
se: 
 
  0f x  26 30 36 0x x   
 
Colocando-se o 6 em evidência e fatorando o polinômio ficamos com: 
 
 26 5 6 0x x     6 2 3 0x x   
 
ou seja, 
1 2x 
 e 
2 3x 
. Portanto, os números críticos da função 
  3 22 15 36f x x x x   são 
1 2x 
 e 
2 3x 
, 
 'f x
 é um polinômio e, por isso, contínuo em todos os reais. 
 
 
(b) Determine se os números críticos encontrados no item (a) correspondem a um ponto de 
máximo ou mínimo local. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Calculando-se a segunda derivada da função 
 f x
, tem-se: 
 
  3012"  xxf 
 
Para 
1 2x 
, obtém-se: 
 
  0630)2(122" f
 
 
Concluímos que o ponto 
 2, 28
 é um ponto de máximo local. 
 
Analogamente, para 
2 3x 
, obtém-se: 
 
  0630)3(123" f
 
 
ou seja, o ponto 
 3, 27
 é um ponto de mínimo local. 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
12 
 
Marim / Eiras 
Podemos observar pelo diagrama a seguir que primeira derivada muda o sinal positivo para 
negativo em 
1 2x 
, caracterizando um ponto de máximo local da função 
 f x
. Já no ponto 
2 3x 
, a primeira derivada muda de sinal negativo para positivo, mostrando que esse ponto é 
mínimo local da 
 f x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Determine os valores máximo e mínimo absoluto desta função 
 
RESOLUÇÃO 
 
Calculando-se os valores da função nos extremos dos intervalos, tem-se: 
 
   3 21 2.1 15.1 36.1 1 23f f    
 
   3 24 2.4 15.4 36.4 4 32f f    
 
Devemos também conhecer o valor da função nos pontos 
1 2x 
 e 
2 3x 
. 
 
   3 22 2.2 15.2 36.2 2 28f f    
 
   3 23 2.3 15.3 36.3 3 27f f   
 
 
Portanto, o máximo absoluto de 
 f x
 no intervalo 
 1, 4
 é o ponto 
 4, 32
 e o mínimo 
absoluto é o ponto 
 1, 23
. 
 
 
 (MAUÁ – 2007) Para a função 
 
1
x
f x
x


cuja derivada é 
 
 
2
1 1
' .
2 1
x
f x
xx
 


, 
determine o(s) ponto(s) crítico(s) e intervalo(s) de crescimento e decrescimento de
 f x
. 
Classifique o(s) ponto(s) crítico(s). 
 
RESOLUÇÃO 
 
Pontos críticos: 
 
 
2
1 1
' . 0 1
2 1
x
f x x
xx
 
   

 que não é ponto crítico pois não 
pertence ao domínio de 
f
. Por outro lado 
 'f x
 não existe para 
0x 
, que pertence ao 
domínio de 
f
, mas é extremo do intervalo. Não há ponto crítico. 
2 3 
+ + 
_ 
Sinais de 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
13 
 
Marim / Eiras 
Como a imagem da raiz quadrada, é sempre um número positivo, o sinal de 
 'f x
 é sempre 
negativo, o que implica que a função 
f
 é sempre decrescente. 
 
 
 
 
 
 
Assim, os intervalos em que a função é decrescente:  0, ,  1,   . 
 
 
 
 (MAUÁ – 2008) Dado o gráfico da derivada da função 
 f x
, contínua em seu domínio. 
 
 
 
 
Pede-se: 
 
(a) Intervalos onde a função cresce e onde decresce. 
 
RESOLUÇÃO 
 
A função 
 f x
 é crescente nos intervalos em que a sua derivada é positiva, ou seja: 
 
 1,8; 3
 e 
 4, 5
 
 
A função 
 f x
 é decrescente nos intervalos em que a sua derivada é negativa, ou seja: 
 
 2; 1,8 
 e 
 3, 4
 
 
 
(b) Pontos críticos e quais correspondem a máximo e mínimo locais. 
 
 
 
        





x
y
0 1 
- - 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
14 
 
Marim / Eiras 
RESOLUÇÃO 
 
Em 
1,8x  
 e 
4x 
 temos pontos de mínimo local, pois o sinal da derivada passa de negativo 
para positivo. Em 
3x 
 temos ponto de máximo local. 
 
(c) Intervalos onde a concavidade da função é para cima e onde é para baixo. 
 
RESOLUÇÃO 
 
A concavidade da função 
 f x
 está para cima nos intervalos em que a segunda derivada é 
positiva, ou seja, nos intervalo em que a 
 'f x
 está crecendo. Assim, temos que a função 
 f x
 tem concavidade para cima nos intervalos: 
 
 2; 1 
, 
 0,4; 1 
e 
 3; 5
 
 
A concavidade da função 
 f x
 está para baixo nos intervalos em que a segunda derivada é 
negativa, ou seja, nos intervalo em que a 
 'f x
 está decrecendo. Assim, temos que a função 
 f x
 tem concavidade para baixo nos intervalos: 
 
 1; 0,4 
e 
 1; 3
 
 
(d) Pontos de inflexão. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Os pontos de inflexão são aqueles em que a função muda de concavidade, ou seja: 
 
1x  
, 
1x 
, 
0,4x 
 e 
3x 
. 
 
 
 (MAUÁ - 2009) Se 
  3/11 xxf 
, determine: 
 
(a) Interceptos com os eixos coordenados. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Considerando 
0y 
, obtém-se a ordenada na qual a função intercepta o eixo das abscissas. 
Assim: 
 
31 0 1x x   
 
 
Portanto, o ponto de intersecção de 
 f x
 com o eixo das abscissas é 
 1, 0P
. 
 
No caso do eixo das ordenadas, considera-se que 
0x 
. Assim, devemos determinar 
 0f
, ou 
seja: 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
15 
 
Marim / Eiras 
 
  1/30 1 0f     10 f
 
 
Portanto, o ponto de intersecção de 
 f x
 com o eixo das ordenadas é 
 0, 1Q
. 
 
 
(b) Ponto(s) crítico(s) e intervalo(s) de crescimento e decrescimento de 
 f x
. Classifique o(s) 
ponto(s) crítico(s). 
 
RESOLUÇÃO 
 
Calculando-se a primeira derivada da função, obtém-se: 
 
 
23
1
'
3
f x
x
 
 
 
Visto que 
 'f x
 não está definida para 
0x 
, tem-se que 
 0, 1Q
 é ponto crítico da função. 
 
 
 
 
 
 
 
Os sinais das derivadas mostram que a função 
 f x
 é sempre decrescente, e para 
0x 
, a 
derivada não está definida, ou seja, a reta tangente a este ponto é vertical. 
 
(c) Estudo da concavidade. Pontos de inflexão. 
 
RESOLUÇÃO 
 
A concavidade da função é obtida a partir do sinal da segunda derivada da função. Assim, 
calculando-se 
 "f x
: 
 
53
2
"
9
f x
x

 
 
Para o intervalo 
0x 
, 
 " 0f x 
, ou seja, a função 
f
 é côncava para baixo, enquanto que 
para o intervalo 
0x 
, 
 " 0f x 
, mostrando que 
f 
é côncava para cima. Assim, 
 0, 1Q
 é 
um ponto de inflexão, pois se observa uma mudança no sinal da concavidade da função. 
 
 
 
 
 
 
0 
_ 
+ 
Sinais de 
0 
_ _ 
Sinais de f´(x) 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
16 
 
Marim / Eiras(MAUÁ – 2010) Considere a função 4
2
1x
y
x


, justificando todos os itens: 
 
(a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento desta função. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Calculando-se a primeira derivada da função a partir da regra do quociente, tem-se: 
 
 3 2 4
4
4 . 1 .2
'
x x x x
y
x
 

 
5
4
2 2
'
x x
y
x


 
 4
3
2 1
'
x
y
x


 
 
O estudo dos sinais da função derivada 
 'y x
 é obtido por meio dos limites laterais em relação 
aos pontos 
1x  
 e 
1x 
, nos quais 
 ' 0y x 
 e 
0x 
, onde 
 'y x
 não está definida, como 
ilustra o gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo dos sinais de 
'y 
 
 
(b) Determine os pontos críticos desta função. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Pela definição, os pontos críticos da função 
 y x
 são 
 1 1, 2P 
 e 
 2 1, 2P
. Observe que o 
número 
0x 
 não é um ponto crítico, pois não pertence ao domínio de 
 y x
. 
 
 
(c) Encontre as coordenadas dos pontos de máximo e mínimo locais. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Como descrito no item anterior, o ponto 
 1 1, 2P 
 é ponto de mínimo local, pois a função 
passa de negativa para positiva. O ponto 
 2 1, 2P
 é ponto de máximo local, pois a função passa 
de positiva para negativa. 
 
+ 
+ + 
+ 
+ + 
_ _ 
_ _ 
_ _ -1 1 0 NUMERADOR 
DENOMINADOR 
QUOCIENTE 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
17 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2010) Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função 
 
2
2 1
x
f x
x


, 
no intervalo 
 1, 2
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Inicialmente vamos calcular a derivada da função dada utilizando a regra do quociente. Assim: 
 
 
 
 
2 2
2
2
2 1 2
'
1
x x x x
f x
x
 


 
 
 
3 3
2
2
2 2 2
'
1
x x x
f x
x
 


 
 
 
 
2
2
2
'
1
x
f x
x


 
 
Notamos que a derivada terá valor igual a zero quando 
0x 
. Para valores de 
0x 
 a derivada 
é negativa e a função é decrescente. Para valores de 
0x 
 a derivada é positiva e a função é 
crescente. 
 
   
   
' 0 para 0 decrescente
' 0 para 0 crescente
f x x f x
f x x f x
  
  
 
 
O ponto 
0x 
 é um ponto de mínimo local, pois a função é decrescente antes de 
0x 
 e 
crescente depois de 
0x 
. 
 
Vamos agora calcular o valor da função nos extremos do intervalo 
 1, 2
. 
 
 
 
 
2
2
1
1
1 1
f

 
  
 
1
1
2
f   
 
 
 
 
2
2
2
2
2 1
f 
 
 
4
2
5
f  
 
Devemos ainda determinar o valor da função em 
0x 
. Ou seja: 
 
 
 
 
2
2
0
0
0 1
f 
 
 0 0f 
 
 
Dessa forma concluímos que o ponto 
 0, 0
 é mínimo absoluto (além de mínimo local) e o 
ponto 
 42, 5
 é máximo absoluto. 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
18 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2010) Dizemos que uma função 
f
 tem concavidade para cima num intervalo 
 ,I a b 
se todas as retas tangentes a esta função naquele intervalo estão abaixo da função. 
(Na figura abaixo estão ilustradas algumas retas tangentes à curva dada). 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) A função 
 'f x 
é crescente ou decrescente no intervalo assinalado? Explique observando a 
figura. 
 
RESOLUÇÃO 
 
No intervalo 
 ,a b
 a função derivada é crescente, pois seu valor é negativo para 
0a x 
, 
 ' 0f x 
, e positivo para 
0 x b 
, 
 ' 0f x 
, passando pelo valor 
0)(' xf
 no número 
0x 
. 
 
(b) Mostre que se 
f
 tem concavidade para cima em 
I
, 
 
   
'
f b f a
f c
b a



 para todo x I . 
 
RESOLUÇÃO 
 
Para quaisquer valores de 
1x
 e 
2x
, sendo 
2 1x x
, pertencentes ao intervalo 
 ,a b
, tem-se 
   2 1' 'f x f x
. Lembrando que, 
 
   2 1
2 1
' ''
0
f x f xf
x x x

 
 
 
 
e considerando o limite, 
x
f
x 


'
lim
0
 , obtemos que 
 " 0f x 
. 
        








x
y
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
19 
 
Marim / Eiras 
 
 (MAUÁ – 2010) Dado o gráfico da derivada da função 
 f x
: 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Determine os intervalos em que 
f
 é côncava para cima; 
 
RESOLUÇÃO 
 
Uma função 
 f x
 é côncava para cima o sinal da primeira derivada altera de negativo para 
positivo, passando pelo zero. Isto significa que a função 
 f x
 tem um ponto de mínimo. O 
gráfico mostra que a função 
 f x
 é côncava para cima nos intervalos 
 0 2,x x
 e 
 6 8,x x
. 
 
 
(b) Determine as abscissas dos pontos críticos e dos pontos de inflexão de 
f
; 
 
RESOLUÇÃO 
 
Relembrando que números críticos são aqueles números pertencentes ao domínio da função, 
nos quais a primeira derivada é nula, ou não está definida. A partir do gráfico, tem-se que os 
números críticos são: 
1x
, 
3x
, 
4x
, 
5x
 e 
7x
. O número 
6x
 define um ponto de inflexão, visto que 
 6" 0f x 
. 
 
 
(c) Classifique os pontos críticos de 
f
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Mínimo local: 
1x
, 
4x
 e 
7x
. 
 
Máximo local: 
3x
 e 
5x
. 
 
 
x
y
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
20 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2010) Mostre que a função cúbica 
  3 2f x x ax bx  
é crescente para todo 
valor de 
x
 se 
2 3b a
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
A função 
( )f x é crescente no intervalo para o qual sua derivada é positiva,  ' 0f x  . Assim: 
 
  2' 3 2 0f x x ax b    
 
Para que a função derivada (
 'f x
) seja sempre positiva, devemos impor que 
0 
, ou seja: 
 
24 12 0a b 
. 
 
Assim, necessariamente tem-se: 2
3
a
b 
. 
 
 
 (MAUÁ – 2012) Dada a função 
 
 ln
xe
f x
x

, justificando sua resposta: Observação: 
 .ln 1 1,76x x se x 
. 
 
(a) Determine seu domínio; 
 
RESOLUÇÃO 
 
Essa função é composta por uma divisão de suas outras funções. O numerador é representado 
por uma exponencial, que não tem nenhuma restrição quanto aos valores de 
x
. Já o 
denominador, além de não poder ser nulo, é composto por um logaritmo, que só é definido 
para números positivos. Assim, somente os valores de 
x
 positivos, não nulo, podem ser 
utilizados. Para que o denominador não se anule, vamos impor que: 
 
 ln 0x 
 
 
Isso ocorrerá quando 
1x 
. Portanto, ficamos com o domínio dessa função como: 
 
 0 1fD x x e x   
 
 
(b) Determine a abscissa de todos os pontos críticos; 
 
RESOLUÇÃO 
 
Lembrando que pontos críticos são os quais 
 ' 0f x 
, ou quando 
 'f x não está definida, 
tem-se: 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
21 
 
Marim / Eiras 
 
 
  
2
1
.ln
'
ln
x xe x e
xf x
x


 
 
  
 
2
.ln 1
' .
ln
x x xe
f x
xx
 
  
 
 
 
Para
 ' 0f x 
, tem-se: 
 .ln 1 0x x   1,76x 
 
 
Observação: 'f x
 não está definida em 
0x 
 e 
1x 
. No entanto, estes pontos pertencen 
ao domínio da função e, portanto, não são pontos críticos. 
 
 
 (c) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de 
f
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
A função 
 f x é crescente no intervalo para o qual sua derivada é positiva,  ' 0f x  . Pelo 
resultado do item (b), tem-se que 
 f x
 é crescente para 
1,76x 
. 
 
 
(d) Classifique os pontos críticos. 
 
RESOLUÇÃO 
 
O número 
1,76x 
 é ponto de mínimo local. 
 
 
O gráfico ilustra os resultados apresentados acima. 
 
 
 
x
y
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
22 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2012) A curva de Gauss 
2xy e
 
é uma importante função matemática 
amplamente utilizada em Estatística. 
 
(a) Estude a concavidade desta curva; 
 
RESOLUÇÃO 
 
Lembrando que se 
 '' 0f x 
, a função é côncava para cima e se 
 '' 0f x 
, a função é 
côncava para baixo no respectivo intervalo, calcula-se a segunda derivada da função: 
 
 
2 2''( ) 2 1 2xy x e x   
 
Igualando o resultado a zero, obtém-se: 
 
2
2
x
 
 
Observe que para 
2
2
x
 e 
2
2
x
, 
 '' 0y x 
, ou seja, a concavidade é para cima nestes 
intervalos. No intervalo 
2
2
2
2
 x
, 
 '' 0y x 
, mostrando que a concavidade é para 
baixo. 
 
(b) Determine os pontos de inflexão da curva; 
 
 
RESOLUÇÃO 
Os pontos de inflexão possuem os seguintes valores de abscissas: 
1
2
2
x  
 e 
2
2
2
x  
. 
 
 
 (MAUÁ – 2012) Um homem descansa em um barco quando recebe um recado urgente, 
que o faz retornar para casa. Ele então se desloca de barco em linha reta z até o ponto B. Sua 
velocidade no mar é constante, de 4 km/h. A partir do ponto B, desloca-se de bicicleta com 
velocidade de 5 km/h. 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
23 
 
Marim / Eiras 
 
(a) Escreva a distância percorrida do ponto A ao C em função de 
x
; 
 
RESOLUÇÃO 
 
A distância total entre A e C é dada pela função: 
 
   2 29 15ACD x x x    
 
 
(b) Escreva o tempo total do percurso lembrando que a velocidade é constante em cada trecho; 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Lembrando que velocidade constante é definida pela razão entre o deslocamento e o intervalo 
de tempo, temos para o trecho AB: 
 
281
4
AB
AB
AB
S x
t
v
 
  
 
 
Analogamente, para o trecho BC: 
 
15
5
BC
BC
BC
S x
t
v
 
   
 
O tempo total em função da coordenada x é dado por: 
 
281 15
( )
4 5
AB BC
x x
T x t t
 
      
 
 
(c) Determine a coordenada 
x
 do ponto B no qual ele deve desembarcar para que o tempo seja 
mínimo. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Derivando a função 
 T x
 e igualando a zero, obtém-se: 
 
 
2
1
' 0
54 81
x
T x
x
  
 
12x km
 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
24 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2012) Dado o gráfico da derivada da função 
 f x
, 
 
 
 
determine, justificando sua resposta: 
 
 
(a) Números críticos de 
 f x
; 
 
RESOLUÇÃO 
 
Lembrando que pontos críticos são tais que 
 ' 0f x 
, ou quando 
 'f x 
não está definida, 
tem-se, a partir do gráfico: 
 
1 4,5x   , 2 0,50x  , 3 2,5x  e 4 3,0x  
 
 
(b) Abscissa dos pontos de inflexão; 
 
RESOLUÇÃO 
 
A partir do teste da concavidade, há um ponto de inflexão sempre que a segunda derivada 
mudar de sinal. Assim, do gráfico observa-se que as abscissas dos pontos de inflexão são: 
 
1 2,0x   e 2
1,0x  
 
(c) Intervalos onde a concavidade é para cima; 
 
RESOLUÇÃO 
 
A concavidade da função 
 f x é para cima no intervalo compreendido entre os pontos de 
inflexão: 
 
0,10,2  x
 
 
             







x
y
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
25 
 
Marim / Eiras 
(d) Abscissa dos pontos de máximo e mínimo locais. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Lembrando que pontos de máximo ou mínimo são tais que 
 ' 0f x 
, tem-se: 
 
Pontos de mínimo local: 
0,5x 
 e 
3,0x 
 
 
Pontos de máximo local: 
4,0x  
, 
2,5x 
 e 
4,0x 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
26 
 
Marim / Eiras 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
27 
 
Marim / Eiras 
15. DERIVAÇÃO GRÁFICA 
 
 
 
Se uma função 
 f x
 é derivável em um ponto a, então 
 f x
 é contínua em a. 
Consequentemente, se uma função não é contínua no ponto a, ela não é derivável nesse ponto. 
 
 
 
 
Essa função não é continua, nem derivável no ponto 
1x  
. 
 
Existem outras duas situações em que a função é contínua, mas não derivável em um 
determinado ponto. Quando a função apresenta um “bico”, como na figura a seguir: 
 
 
 
 
Podemos observar a ocorrência de um “bico” no ponto 
0x 
. Nesse ponto não podemos 
calcular a derivada. No entanto, a função é contínua em 
0x 
. 
 
 
Outra situação em que a curva não possui derivada pode ser vista na figura a seguir: 
 
 
 
        




x
y
        





x
y
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
28 
 
Marim / Eiras 
 
 
Notamos que no ponto 
2x 
 a curva tem uma tangente vertical. Dizemos então que a curva 
não possui derivada em 
2x 
 apesar de ser contínua nesse ponto. 
 
        






x
y
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
29 
 
Marim / Eiras 
QUESTÕES DE PROVAS PASSADAS 
 
 
 (MAUÁ – 2007) Use o gráfico da função 
 y f x
 na figura abaixo para encontrar os 
sinais de 
/dy dx
 e 
2 2d y dx
 nos pontos A, B, C e D. Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Lembrando que 
 'f x
 é positiva para funções crescentes, 
 'f x é negativa para funções 
decrescentes e 
 ' 0f x  nos pontos de máximo e mínimo, podemos determinar os sinais da 
 f x
 nos pontos pedidos. 
 
Nos pontos A e D, a função é decrescente, portanto, sua derivada é negativa. 
 
Nos pontos B e C, a função é crescente, portanto, sua derivada é positiva. 
 
O quadro abaixo fornece os sinais da primeira derivadas obtidos a partir do gráfico. 
 
A B C D 
0
dy
dx

 
0
dy
dx

 
0
dy
dx

 
0
dy
dx

 
 
 
Lembrando que a segunda derivada é positiva quando a função tem concavidade para cima e 
que a segunda derivada é negativa quando a função tem concavidade para baixo. 
 
Nos pontos A e B, a função tem concavidade para cima, portanto, sua segunda derivada é 
positiva. 
 
Nos pontos C e D, a função tem concavidade para baixo, portanto, sua segunda derivada é 
negativa. 
 
 
 
A 
B 
C 
D 
y 
x 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
30 
 
Marim / Eiras 
O quadro a seguir fornece os sinais da segunda derivadas obtidos a partir dos gráficos. 
 
A B C D 
2
2
0
d y
dx

 2
2
0
d y
dx

 2
2
0
d y
dx

 2
2
0
d y
dx

 
 
 
OBSERVAÇÃO: Note que o ponto B está numa região em que pode ser considerado um ponto 
de inflexão, pois aconcavidade da função pode mudar nesse ponto. Como isso não está claro, 
vamos considerar essa possibilidade. Assim, a segunda derivada nesse ponto também pode 
assumir o valor zero. 
 
 
 
 (MAUÁ – 2008) É dado o gráfico da função 
f 
abaixo. 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
 
(a) A função 
f
 é derivável em 
0x
? Explique por que. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Sim, a função 
f
 é derivável em 
0x
, pois ela é contínua e não tem “bico” ou reta tangente 
vertical em 
0x x
. 
 
 
(b) A função 
f
 é derivável em 
1x
? Explique por que. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Não, pois a função 
f
 apresenta um “bico” em 
1x x
. 
 
 
        






x
y
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
31 
 
Marim / Eiras 
(c) Esboce o gráfico da derivada de 
f
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Devemos considerar três intervalos distintos para desenharmos a derivada da função dada. O 
primeiro trecho vai de 
1x   até 0x x . Nesse intervalo a função toma a forma de um 
polinômio de terceiro grau, cuja derivada é um polinômio de segundo grau. 
 
O segundo trecho vai de 
0x x
 até 
1x x
. Nesse intervalo o gráfico da função é uma reta 
crescente, que tem como coeficiente angular um valor positivo e pode ser determinado 
diretamente do gráfico. 
 
O terceiro e último intervalo vai de 
1x x
 até 
6x 
. O gráfico da função é representado por 
uma parábola com concavidade para cima. Sua derivada é uma reta crescente. 
 
O gráfico abaixo ilustra um esboço do gráfico da derivada da função 
f
. 
 
 
 
 
 
 (MAUÁ – 2009) Dado o gráfico da função a seguir, 
 
 
 
(a) Para quais valores de 
x
 esta função é derivável? 
 
          







x
y
        






x
y
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
32 
 
Marim / Eiras 
RESOLUÇÃO 
 
Uma função 
 f x
 não é derivável nos pontos onde houver descontinuidade e nos pontos onde 
houver “bicos”. Assim, observando o gráfico, tem-se que a derivada de 
 f x
 está definida para 
todo valor de 
x
, no intervalo aberto 
 4, 4
, tal que 
1x  
 e 
2x 
. 
 
 
(b) Esboce o gráfico da função derivada. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
No intervalo 
4 1x   
, a função derivada 
 'f x
 é constante, pois o gráfico da 
 f x
 é uma 
reta, enquanto que no intervalo 
1 2x  
, 
 'f x
 é negativa. Em particular, para 
1x 
, 
observa-se um ponto de inflexão, visto que 
 ' 0f x  sem que se observe a mudança de sinal 
na função derivada. 
 
No intervalo 
1 1x  
, a função é representada por uma parábola com concavidade para 
cima. Nesse trecho a sua derivada é uma reta decrescente. No intervalo 
1 2x 
, a função é 
representada por uma parábola com concavidade para baixo. Nesse trecho a sua derivada é 
uma reta decrescente. 
 
No último intervalo, 
2 4x 
, a função é representada por uma reta decrescente. Assim, sua 
derivada é uma função constante negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
        






x
y
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
33 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2010) O gráfico da curva 
2.2 4. 1xy x 
 está representado abaixo. 
 
 
(a) Esboce o gráfico de 
dx
dy
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Para o esboço do gráfico, podemos destacar algumas características importantes: 
 
i) Para 
0x 
 (aproximadamente), 
 ' 0y x 
. 
ii) Para 
2,5x 
 (aproximadamente), 
 ' 0y x 
. 
iii) 
 'y x
 
é negativa para 
0x  
e para 
2,5x 
. 
iv) 
 'y x
 
é positiva no intervalo 
0 2,5x 
. 
v) 
 'y x
 
possui um ponto de máximo entre as raízes, e um ponto de mínimo para um 
valor de 
x
 maior que 2,5, pois a função tende assintoticamente a zero. 
 
Juntando essas informações podemos esboçar o gráfico a seguir como sendo um possível 
gráfico da derivada. 
 
 
 
(b) Determine algebricamente a inclinação da reta tangente à curva no ponto de abscissa 
1x 
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Primeiramente vamos reescrever a equação dada, isolando-se o 
y
. Assim, ficamos com: 
 
              













x
y
              








x
y
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
34 
 
Marim / Eiras 
2.2 4. 1xy x   
24 1
2x
x
y x


 
 
Usando a regra do quociente, temos: 
 
 
24 1
2x
x
y x


 
 
   2
2
8 .2 4 1 .2 ln 2
'
2
x x
x
x x
y x
 

 
 
Substituindo 
1x 
, ficamos com: 
 
 
   1 2 1
2.1
8.1.2 4.1 1 .2 .ln 2
' 1
2
y
 

 
 
 16 10.ln 2
' 1
4
y


 
 
 
 (MAUÁ – 2012) Use o gráfico da função 
 y f x
na figura a seguir para encontrar os 
sinais de 
dy dx e 2 2d y dx nos pontos A, B, C e D. Justifique sua resposta. 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
A partir da interpretação geométrica, tem-se que o sinal da derivada no ponto é dado pelo sinal 
do coeficiente angular da reta tangente ao ponto estudado. Observando o gráfico dado, tem-se 
que em A, B e D, a derivada 
dy dx é positiva, enquanto que no ponto C, dy dx é negativa. 
 
Esboçando o gráfico da função derivada 
 'y x
, podemos utilizar novamente a interpretação 
geométrica para identificar o sinal da segunda 
2 2d y dx
 derivada nos pontos citados. 
 
 
        





x
y
A 
B 
C 
D 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
35 
 
Marim / Eiras 
 
 
Assim, observa-se que no ponto A, 
2 2d y dx é negativa, enquanto que nos pontos C e D, 
2 2d y dx é positiva. Em particular, 2 2 0d y dx  no ponto B, pois trata-se de um ponto de 
máximo da função derivada 
dy dx
. O ponto B é um ponto de inflexão. 
 
Outra maneira de se determinar o sinal da segunda derivada é observar a concavidade da 
função 
 y f x
. No ponto A, a concavidade da função é para baixo, com isso o sinal de 
2 2d y dx
 é negativo. Nos pontos C e D a concavidade da função é para cima, com isso o sinal da 
2 2d y dx
 é positivo. O ponto B é um ponto de inflexão, pois à esquerda dele a função tem 
concavidade para cima e à direita a função tem concavidade para baixo. 
 
 
 (MAUÁ – 2012) Dado o gráfico da função 
 xf
, determine: 
 
 
 
(a) O sinal da primeira derivada nos intervalos indicados abaixo. 
 
RESOLUÇÃO 
 
O sinal da primeira derivada está relacionado com a declividade da reta tangente à função. 
Assim, nos trechos 
5 1x   
, 
1 0x  
 e 
2 5x 
, a derivada tem sinal negativo (note a 
função é decrescente nesses intervalos). No trecho 
0 2x 
, a derivada é positiva (a função é 
        





x
y
          







x
y
A 
B 
C 
D 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
36 
 
Marim / Eiras 
crescente nesse intervalo). O quadro abaixo resume nossa resposta para o sinal da primeira 
derivada. 
 
-5 -1 0 2 5 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + -- - - - - - - - - - - 
 
 
(b) O sinal da segunda derivada nos intervalos indicados abaixo. 
 
RESOLUÇÃO 
 
O sinal da segunda derivada está relacionado com a concavidade da função. Assim, como nos 
trechos 
1 0x  
 e 
0 5x 
, a concavidade da função é para baixo, concluímos que a 
segunda derivada nesses intervalos é negativa. Já no trecho 
5 1x   
, a concavidade da 
função é para cima, fazendo com que a segunda derivada seja positiva. O quadro abaixo 
resume nossa resposta para o sinal da segunda derivada. 
 
-5 -1 0 2 5 
 + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
37 
 
Marim / Eiras 
 
16. REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
 
 
Regra do Produto 
 
 
Se as funções 
 f x
 e 
 g x
 são ambas diferenciáveis, então: 
 
 
           . ' ' . . 'f x g x f x g x f x g x   
 
 
 
Ou, escrevendo de uma maneira mais simplificada. Sendo 
 u f x
 e 
 v g x
, temos: 
 
 
 . ' '. . 'u v u v u v 
 
 
 
 
Regra do Quociente 
 
 
Se as funções 
 f x
 e 
 g x
 são ambas diferenciáveis e 
  0g x 
, então: 
 
 
 
 
       
 
2
' . . ''f x f x g x f x g x
g x g x
  
 
    
 
 
 
Ou, escrevendo de uma maneira mais simplificada. Sendo 
 u f x
 e 
 v g x
, temos: 
 
 
2
' '. . 'u u v u v
v v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
38 
 
Marim / Eiras 
Regra da Cadeia 
 
 
Se 
 g x
 é diferenciável em 
x
 e
 f x
 é diferenciável em 
 g x
, então, a função composta 
F f g
, definida por 
   F x f g x   
 é diferenciável em 
x
 e 
'F
 é dado pelo produto: 
 
 
     ' ' . 'F x f g x g x   
 
 
 
Utilizando a notação de Leibnitz, se 
 y f u
 e 
 u g x
. Então: 
 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
Algumas derivadas básicas 
 
 
  1.n n
d
x n x
dx
  x xd e e
dx

 
 
 
   . .
d d
c f c f
dx dx
   0d c c
dx
 constante 
 
 
  ' ' 'f g f g     ' ' 'f g f g  
 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
39 
 
Marim / Eiras 
QUESTÕES DE PROVAS PASSADAS 
 
 
 (MAUÁ – 2006) Derive a função 
  cos ln 5y x
, simplificando o resultado: 
 
RESOLUÇÃO 
 
Trata-se de uma função composta e, portanto, devemos utilizar a regra da cadeia. Assim: 
 
 
1
' sen ln(5 ) . .5
5
y x
x
  
 sen ln(5 )
'
x
y
x


 
 
 
 
 (MAUÁ – 2006) Derive a função 
( 1)y arctg x 
, simplificando o resultado: 
 
RESOLUÇÃO 
 
Trata-se de uma função composta e, portanto, devemos utilizar a regra da cadeia. Assim: 
 
 
2
1 1
' . .1
2 11 1
y
xx

  
1 1
' .
1 1 2 1
y
x x

  
 
 
1
'
2 1
y
x x


 
 
 
 
 (MAUÁ – 2007) (a) Calcule a derivada de  ln 1x
y
x


. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Temos uma divisão de duas funções e para encontrarmos a derivada devemos utilizar a regra 
do quociente, 
2
' '. . 'u u v u v
v v
 
 
 
. Assim: 
 
 
2
1
ln 1 .1
1'
x x
xy
x
 

 
 
Reduzindo-se ao mesmo denominador, ficamos com: 
 
   
2
1 .ln 1
1'
x x x
xy
x
  

 
   
 2
1 .ln 1
'
. 1
x x x
y
x x
  

 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
40 
 
Marim / Eiras 
Ou ainda: 
 
 
 
2
ln 11
' 
. 1
x
y
x x x

 

 
 
(b) Calcule a derivada de  2 2
.
x
y x e


. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Nesse caso, temos um produto de duas funções. Devemos agora utilizar a regra do produto, 
 . ' '. . 'u v u v u v 
. Note que no segundo termo do produto existe uma função composta, 
devemos nos lembrar de aplicar a regra da cadeia. Assim: 
 
   2 22 21
' . . .2
2
x x
y e x e x
x
 
 
 
 
Colocando-se a exponencial em evidência, ficamos com: 
 
 2 2 1
' . .2
2
x
y e x x
x
  
  
 
 
 
Escrevendo a soma entre colchetes como um único termo, chegamos a: 
 
 2
2
2 1 4
' .
2
x x
y e
x
 

 
 
 
 
 (MAUÁ – 2007) Calcule: 
 
(a) A derivada de 
 
21
2.
x
f x x e


 
 
RESOLUÇÃO 
 
Aplicando a regra do produto, 
 . ' '. . 'u v u v u v  
(note que o segundo termo é uma função 
composta e devemos utilizar a regra da cadeia), tem-se: 
 
   
2 21 1
2 2' 1. . .
x x
f x e x e x
 
  
 
 
Colocando-se a exponencial em evidência, ficamos com: 
 
   
21
2 2' . 1
x
f x e x

 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
41 
 
Marim / Eiras 
(b) A derivada de 
 
2
ln
x x
x x
e e
f x
e e


  
     
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Para facilitar o calculo da derivada, devemos lembrar que: 
 
 
xx
xx
ee
ee
x




tgh
 
 
Assim, a função 
 f x
, pode ser reescrita como: 
 
    
2
2
ln ln tgh
x x
x x
e e
f x x
e e


  
          
 
Aplicando a regra da cadeia, obtém-se: 
 
   
 
  
1
' 2.ln tgh . . tgh '
tgh
f x x x
x
   
 
 
Ou ainda: 
 
 
   
 
22.ln tgh .sech x
'
tgh
x
f x
x
  
 
 
 
 (MAUÁ – 2007) (a) Calcule a derivada de xe
y
x


 quando 
1x 
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Temos uma divisão de duas funções e para encontrarmos a derivada devemos utilizar a regra 
do quociente, 
2
' '. . 'u u v u v
v v
 
 
 
 
(Não devemos nos esquecer de aplicar a regra da cadeia na 
função do numerador, pois é uma função composta). Assim: 
 
 
2
1
. .
2'
x xe x e
xy
x
  
 
 
Reduzindo-se ao mesmo denominador, ficamos com: 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
42 
 
Marim / Eiras 
2 .
2'
x xx e e
xy
x
  

 
2 .
'
2
x xx e e
y
x x
  

 
 
 
Colocando a exponencial em evidência, teremos: 
 
2 1
' .
2
x xy e
x x
  
 
 
Quando 
1x 
, ficamos com: 
 
  1
2.1 1
' 1 .
2.1. 1
y e

 
 
 
3
' 1
2
y
e
 
 
 
 
(b) Sabendo que nos intervalos onde 
 " 0f x 
, a concavidade de f é para baixo e onde 
 " 0f x 
 a concavidade é para cima, a função 
   
1
sen
2
f x x x 
 em 
2
x


 tem 
concavidade para cima? Justifique sua resposta algebricamente. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Vamos determinar inicialmente a primeira derivada. Assim: 
 
   
1
' cos
2
f x x 
 
 
Agora determinamos a segunda deriva. 
 
   " senf x x
 
 
Vamos determinar o valor da segunda derivada quando 
2
x


. Ou seja: 
 
" sen
2 2
f
    
   
   
 
" 1
2
f
 
 
 
 
 
Como a segunda derivada no ponto dado é positiva, concluímos que a função 
f
 
tem 
concavidade para cima em 
2
x


. 
 
 
 (c) Mostre que a inclinação da reta tangente à curva  ln
1x
y
x


 no ponto de abscissa 1 é 
1
2
. 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
43 
 
Marim / Eiras 
RESOLUÇÃO 
 
Temos uma divisão de duas funções e para encontrarmos a derivada devemos utilizar a regra 
do quociente, 
2
' '. . 'u u v u v
v v
 
 
 
. Assim, teremos: 
 
   
 
2
1
. 1 ln .1
'
1
x x
xy
x
 


 
 
Para 
1x 
, ficamos com: 
 
 
   
 
2
1
. 1 1 ln 1 .1
1' 1
1 1
y
 

 
 
2 1
' 1
4 2
y  
 
 
Como a inclinação da reta tangente é igual ao valor da derivada da função no ponto dado, 
temos que a inclinação pedida vale 1/2. 
 
 
 
 (MAUÁ – 2007) Calcule: 
 
3
4 1
' cos
5 1
d x
f x
dx x
   
        
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Utilizando a regra da cadeia, teremos: 
 
 
   
 
2
2
4. 5 1 4 1 .54 1 4 1
' 3cos . -sen .
5 1 5 1 5 1
x xx x
f x
x x x
        
               
 
 
Ou ainda: 
 
 
 
2
2
9 4 1 4 1
' -3. .cos .sen
5 1 5 15 1
x x
f x
x xx
      
      
      
 
 
Finalmente: 
 
 
 
2
2
27 4 1 4 1
' .cos .sen
5 1 5 15 1
x x
f x
x xx
     
    
    
 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
44 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2007) Derive a função 
2
3 5
1
x
y
x



. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Temos uma divisão de duas funções e para encontrarmos a derivada devemos utilizar a regra 
do quociente, 
2
' '. . 'u u v u v
v v
 
 
 
. Assim, teremos: 
 
        
 
2
2
2
5 ln 5 . 1 3 5 . 2
'
1
x xx x
y
x
  


 
 
Ou ainda: 
 
   
 
2
2
2
5 . .ln 5 5 .ln 5 6 2 .5
'
1
x x xx x x
y
x
  


 
 
Colocando-se o termo 
5x
 em evidência, ficamos com: 
 
 
   
 
2
2
2
5 . ln 5 2 ln 5 6
'
1
x x x x
y
x
    

 
 
 
 
 (MAUÁ – 2008) Calcule as derivadas: 
 
(a)
1
arctg
1
d x
dx x
 
 
  
 
RESOLUÇÃO 
 
Para calcular a derivada da função 
 arctgy x
, utilizamos a função inversa,
  tgx y
. 
Derivando ambos os lados em relação à 
x
, temos: 
 
   21 tg sec ( ).
d dy
y y
dx dx
 
 
 
Utilizando a relação trigonométrica entre secante e tangente, 
   2tg 1 sec  
, teremos: 
 
 21 ( ) 1 .
dy
tg y
dx
 
 
 21 1 .
dy
x
dx
 
 
 
Isolando a derivada de 
y
, chegamos a: 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
45 
 
Marim / Eiras 
2
1
1
dy
dx x

 
 
2
1
1
d
arctg x
dx x


 
 
Para esse problema, temos que 
1
1
x
y arctg
x
 
  
 
. Assim: 
 
2
1 1 1
. '
1 11
1
1
d x x
arctg
dx x xx
x
    
   
     
 
 
 
 
 
 
     
 
2 2
2
1. 1 1 . 11 1
.
1 1 1
1
1
x xd x
arctg
dx x x x
x
    
 
   


 
 
 
     
2
2 2 2
11 1 1
.
1 1 1 1
xd x x x
arctg
dx x x x x
    
 
      
 
   
2 2 2 2
1 2 2
1 1 2 1 21 1
d x
arctg
dx x x x x xx x
 
  
         
 
 
2 2
1 2 1
1 2 2 1
d x
arctg
dx x x x
 
  
   
 
 
Observe que as derivadas das funções 
1
arctg
1
x
y
x
 
  
 
 e 
 arctgy x
 são iguais. O gráfico 
abaixo ilustra essas funções. 
 
 
 
 
 
Note que a função 
1
arctg
1
x
y
x
 
  
 
 apresenta uma descontinuidade em 
1x 
. No restante do 
domínio as duas funções têm retas tangentes paralelas. 
 
        




x
y
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
46 
 
Marim / Eiras 
(b)
 
22 1 xy y e  
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
Aplicando a regra do produto, 
 . ' '. . 'u v u v u v 
, e a regra da cadeia, tem-se: 
 
     
2 22' 2 . ' 1 2 .x xy y y e y x e     
 
 
 
Isolando 
'y
: 
 
 
2 221 2 ' 2 ( 1)x xye y x y e     
 
2
2
22 ( 1)
'
1 2
x
x
x y e
y
ye


 


 
Considerando que 
 
22 1 xy y e 
, tem-se que: 
 
2
2 .
'
1 2 . x
x y
y
y e



 
 
 
 
(c)
   2 2.ln 1f x x x  
 
RESOLUÇÃO 
 
Aplicando a regra do produto, 
 . ' '. . 'u v u v u v 
, ficamos com: 
 
     2 2 2
2
1
' 2 .ln 1 . . 1 '
1
f x x x x x
x
   

 
 
   2 2
2 2
1
' 2 .ln 1 . .
1 1
x
f x x x x
x x
  
 
 
 
Simplificando, teremos: 
 
   
3
2
2
' 2 .ln 1
1
x
f x x x
x
  

 
 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
47 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2008) Derive 
2 1
x
y
x


, simplificando o resultado. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Temos uma divisão de duas funções e para encontrarmos a derivada devemos utilizar a regra 
do quociente, 
2
' '. . 'u u v u v
v v
 
 
 
. Assim, teremos: 
 
   
 
2
2
2
1
. 1 . 2
2'
1
x x x
xy
x
 


 
 
Reduzindo ao mesmo denominador o numerador, ficamos com: 
 
   
 
2
2
2
1 2 . 2
2'
1
x x x
xy
x
 


 
 
 
2 2
2
2
1 4
'
2 . 1
x x
y
x x
 


 
 
E, portanto: 
 
 
2
2
2
1 3
'
2 . 1
x
y
x x



 
 
 
 
 (MAUÁ – 2008) Calcule a derivada da função 
   2 2.ln 1f x x x 
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Temos um produto de duas funções, sendo que uma delas é uma função composta. Dessa 
forma, devemos utilizar a regra do produto e a regra da cadeia. Portanto: 
 
 
   2 2
2 2
1 1
' 2 .ln 1 . . .2
1 2 1
f x x x x x
x x
  
  
 
 
   
3
2
2
' 2 .ln 1
1
x
f x x x
x
  

 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
48 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2008) Calcule a derivada da função 
  3
4 1
cos
5 1
x
f x
x
 
   
. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Trata-se de uma função composta e devemos utilizar a regra da cadeia. Além disso, temos uma 
divisão de duas funções no argumento do cosseno. Aí deveremos utilizar a regra do quociente. 
Então, ficamos com: 
 
 
   
 
2
2
4. 5 1 4 1 .54 1 4 1
' 3.cos . .
5 1 5 1 5 1
x xx x
f x sen
x x x
       
            
 
 
 
2
2
4 1 4 1 20 4 20 5
' 3. cos .
5 1 5 1 5 1
x x x x
f x sen
x x x
       
           
 
 
 
2
2
4 1 4 1 9
' 3. cos .
5 1 5 1 5 1
x x
f x sen
x x x
    
           
 
Finalmente 
 
 
 
2
2
27 4 1 4 1
' . cos
5 1 5 15 1
x x
f x sen
x xx
     
        
 
 
 
 
 (MAUÁ – 2008) Dada a função 
 arcsen 1y x 
. Calcule 
dy
y
dx

. 
 
 
RESOLUÇÃOTemos uma função composta e, portanto, devemos utilizar a regra da cadeia. Assim: 
 
 
2
1 1
' .
2
1 1
y
x
x

 
 1 1' .
21 2 1
y
xx x

  
 
 
1 1
' .
22
y
xx x


 1' .
2 . 2
y
x x x


 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
49 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2009) Calcule a derivada da função 
   23 . 4h t t t 
. Simplifique ao máximo 
sua expressão. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Inicialmente podemos reescrever a função dada como sendo: 
 
   
1
23. 4h t t t  
 
Aplicando a distributiva, ficamos com: 
 
 
7 1
3 34.h t t t 
 
 
Dessa forma a função fica bem mais fácil de derivar. Assim: 
 
 
7 11 1
3 3
7 1
' . 4.
3 3
h t t t
 
    4 23 37 4' .
3 3
h t t t

 
 
 
Podemos reescrever esse resultado da seguinte forma: 
 
   4 23 31' 7. 4
3
h t t t

   
6
3
2 2
3 3
1 7. 4
'
3
t
h t
t t
 
  
 
 
 
 
 
2
2
3
1 7. 4
'
3
t
h t
t
 
  
 
  
2
23
7. 4
'
3
t
h t
t


 
 
 
 
 (MAUÁ – 2009) Derive 
 
 
 
. 2
ln
e arcsen x
f x
x


. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Neste caso, para aplicarmos a derivada da razão, é mais prático derivar as funções 
separadamente, ou seja: 
 
   2u x arcsen x
 
 
2
2
'
1 4
u x
x


 
 
e 
 
   lnv x x
 
 
 
1 1
'
2 ln
v x
xx

 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
50 
 
Marim / Eiras 
 
Aplicando a regra da derivada da razão, 
2
'. . '
'
u u v u v
v v
 
 
 
, tem-se: 
 
 
 
 
2
' . ( ) ( ). ( ) '
' .
( )
u x v x u x v x
f x e
v x
 
 
 
Assim, ficamos com: 
 
 
   
 
 
2
2 1 1
. ln 2 . .
2 ln1 4
' .
ln
x arcsen x
xxx
f x e
x




 
 
 
   
   
2
2
4ln . 1 4 . 2
' .
2. .ln . ln . 1 4
x x x arcsen x
f x e
x x x x
  
 
 
 
 
 
 (MAUÁ – 2009) Calcule a derivada da função 
    3 .ln cosxg x e x
. Simplifique ao 
máximo sua expressão. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Aplicando a regra do produto, 
 . ' '. . 'u v u v u v 
, e a regra da cadeia, tem-se: 
 
      
   
  3 3
1 1
' . 3 .ln cos . . . sen
cos 2 cos
x xg x e x e x
x x
 
 
    
 
 
 
 
 
      
 
3 3 sen' 3 .ln cos .
2cos
x x xg x e x e
x
   
 
 
 
Colocando-se a exponencial em evidência, chegamos a: 
 
 
      
 
3 sen' 3ln cos
2cos
x xg x e x
x

 
   
 
 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
51 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2010) Seja 
 xg
uma função derivável onde é sua imagem e domínio. 
Suponha ainda que 
 3 5g 
 e 
 ' 3 2g 
. Calcule a derivada 
 ' 3G
 onde 
    G x arctg g x
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Lembrando que a derivada da função 
 arctg x é dada por  
2
1
( )
1
d
arctg x
dx x


, e aplicando 
a regra da cadeia, tem-se: 
 
 
 
 
2
'
'
1
g x
G x
g x

   
 
 
Substituindo 
3x 
, obtém-se: 
 
 
 
 
2
' 3
' 3
1 3
g
G
g

   
 
 
Com os valores fornecidos no enunciado, chegamos a: 
 
 
2
2 2 1
' 3
1 5 26 13
G   

 
 
 
 
 
 (MAUÁ – 2010) Seja 
 g x
 uma função derivável onde é sua imagem e domínio. 
Suponha ainda que 
 3 5g 
 e 
 ' 3 2g 
. Determine o domínio e imagem de 
    3logH x g x
 e calcule 
 'H x
 
 
RESOLUÇÃO 
 
A função 
 H x
 é composta por uma função logarítmica que tem como domínio os números 
reais positivos não nulos. Como a função 
 g x
 tem domínio nos números reais, teremos que o 
domínio da função 
 H x
 será: 
 
  0HD x g x  
 
 
O conjunto imagem da função 
 H x
 é o conjunto dos números reais, assim como a função 
logarítmica. Ou seja: 
 
ImH 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
52 
 
Marim / Eiras 
A derivada da função 
 H x
 pode ser escrita como: 
 
 
 
   
'
'
. ln 3
g x
H x
g x

 
 
Podemos determinar o valor da derivada em 
3x 
. Ficamos com: 
 
 
 
   
' 3
' 3
3 .ln 3
g
H
g

 
 
 
2
' 3
5.ln 3
H 
 
 
 
 
 (MAUÁ – 2010) Calcule 
  2ln 1d x
dx

. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Trata-se de uma função composta e, portanto, devemos utilizar a regra da cadeia. Dessa forma, 
teremos: 
 
  2 2 2
1 1
ln 1 . .2
1 2 1
d
x x
dx x x
 
 
 
 
Ou ainda: 
 
  2 2ln 1 1
d x
x
dx x
 

 
 
 
 
 (MAUÁ – 2011) Derive: 
  cosln xy e
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Vamos reescrever a função dada, como sendo: 
 
  
1
2cos
ln
x
y e
 
  
  
 
Dessa forma podemos aplicar as propriedades do logaritmo e escrever: 
 
  cos1 ln
2
x
y e  
1
cos
2
y x
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
53 
 
Marim / Eiras 
Agora podemos derivar essa função. Assim: 
 
  
1
' .
2
y sen x  
 
'
2
sen x
y  
 
 
 
 
 (MAUÁ – 2012) Calcule a derivada da função 
 22.
arctg x
y x e
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Aplicando a regra do produto, 
 . ' '. . 'u v u v u v 
, e a regra da cadeia, tem-se: 
 
   
 
 2 22 2
1
' 2 . . . . 2
1 2
arctg x arctg x
y x e x e
x
 
   
  
 
 
Colocando o termo  2
2 .
arctg x
x e
 em evidência, podemos reescrever o resultado como: 
 
 
 
2
2
' 2 . . 1
1 2
arctg x x
y x e
x
 
  
  
 
 
 
 
 (MAUÁ – 2012) Calcule 
dy
dx
 para  
3
2
2
1
x x
y
x



.
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Trata-se de uma função composta e, portanto, devemos utilizar a regra da cadeia. Antes vamos 
reescrever a função dada da seguinte forma: 
 
 
1
3
2
2
1
x x
y
x
 
  
  
1
2 3
2
2
1
x x
y
x
 
  
 
 
 
Agora podemos calcular a derivada: 
 
     
 
1 1 2 22 3
22 2
2 2 . 1 2 .21 2
' .
3 1 1
x x x x xx x
y
x x

    
  
  
 
 
 
2
2 3 2 3 23
22 2
1 2 2 2 2 2 2 4
' .
3 1 1
x x x x x x x
y
x x

      
  
  
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
54 
 
Marim / Eiras 
 
 
   
2
2 3 2
2 2
22 3
21 2 2 2
' .
3 11
x x x x
y
xx


  

 
 
 
22
2 3
4
2 3
1 2 2 2
' 2 .
3 1
x x
y x x
x
  
 

 
 
Ou ainda: 
 
   
2
4 2
2 23 3
1 2 2 2
' .
3 1 . 2
x x
y
x x x
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
55 
 
Marim / Eiras 
 
17. DERIVADAS DE FUNÇÕES 
 
 
 
Seja a reta que passa pelos pontos P e Q pertencentes à função 
 f x
. 
 
 
 
 
A inclinação dessa reta pode sercalculada como: 
 
   
PQ
f x f a
m
x a



 
 
A medida que o ponto Q se aproxima do ponto P a reta secante (que passa por P e Q) tende à 
reta tangente ao ponto P, e sua inclinação é o seguinte limite: 
 
lim PQ
x a
m m

tangente
 
 
Ou ainda: 
 
   
lim
x a
f x f a
m
x a



tangente
 
 
Assim definimos a derivada de uma função em um ponto como sendo a inclinação da reta 
tangente à função nesse ponto. Ou seja: 
 
 
   
' lim
x a
f x f a
f x
x a



 
 
Se fizermos 
h x a 
, na expressão acima, então 
x a h 
. Como x tende a a, h tenderá a 
zero. Dessa forma podemos reescrever a derivada como: 
 
 
 
   
0
' lim
h
f x h f x
f x
h
 

 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
56 
 
Marim / Eiras 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
57 
 
Marim / Eiras 
QUESTÕES DE PROVAS PASSADAS 
 
 
 (MAUÁ – 2006) Dada a tabela: 
 
 
x
 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
 f x
 1 2 -1 0 1 3 2 4 2 1 
 'f x
 2 -3 0 1 3 -1 1 -5 -2 0 
 g x
 1 3 3 2 3 4 3 2 5 7 
 'g x
 2 1 -1 0 1 -2 0 6 4 2 
 
Calcule: 
 
(a) 
   2. ' 2f g 
 
RESOLUÇÃO 
 
Utilizando a regra do produto, ficamos com: 
 
 2 2. ' 2 . '. . 'f g f f g f g   
 
 
Aplicando no ponto solicitado, 
2x 
, ficamos com: 
 
             
22. ' 2 2 2 . ' 2 . 2 2 . ' 2f g f f g f g    
 
 
Utilizando-se os valores da tabela, teremos: 
 
   2 2. ' 2 2.2.1.3 2 .0f g      2. ' 2 12f g 
 
 
(b) 
   ' 2f g 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Como se trata de uma derivada de função composta, podemos escrever como segue: 
 
      ' ' ' . 'f g f g f g g 
 
 
Aplicando no ponto solicitado, 
2x  
, ficamos com: 
 
       ' 2 ' 2 . ' 2f g f g g      
 
Substituindo-se os valores da tabela, chegamos a: 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
58 
 
Marim / Eiras 
 
       ' 2 ' 3 . 1f g f  
 
 
       ' 2 5 . 1f g        ' 2 5f g  
 
 
(c) 
 0
'f
f g
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Vamos começas escrever a regra do quociente. Assim, ficamos com: 
 
   
 
2
'. . ' '' f f g f f gf
f g f g
   
 
  
 
 
Ou, aplicando no ponto solicitado, 
0x 
, ficamos com: 
 
 
             
    
2
' 0 . 0 0 0 . ' 0 ' 0
0
0 0
' f f g f f gf
f g f g
   
 
  
 
 
Aplicando os valores da tabela, teremos: 
 
 
   
 
2
3. 1 3 1. 3 1
0
1 3
'f
f g
   
 
   
 
8
0 2
4
'f
f g
  
   
  
 
 
(d)
 
 
1
3
'
g
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Novamente podemos escrever a regra do quociente. Assim, ficamos com: 
 
   
 
2
0. 1. '1 ' g g
g g
 
 
  2
1 '' g
g g
  
 
 
 
 
No ponto solicitado, 
3x 
, ficamos com: 
 
 
 
 
2
' 31
3
3
' g
g g
 
 
    
 
 
Utilizando os dados da tabela, chegamos a: 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
59 
 
Marim / Eiras 
 
 
2
1 6 3
' 3
22g
  
   
 
 
 
 
 
 (MAUÁ – 2006) Suponha que uma função 
f
 satisfaça as seguintes condições para 
qualquer valor real de x e y: 
 
i) 
     .f x y f x f y 
 
ii) 
   1 .f x x g x 
 
 
Mostre que a derivada 
 'f x
 existe em qualquer valor de 
x
 e que 
   'f x f x
 onde 
 
0
lim 1
h
g h


. 
Sugestão: Utilize a definição de derivada 
 
   
0
' lim
h
f x h f x
f x
h
 

. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Vamos começar pela definição de derivada 
 
 
   
0
' lim
h
f x h f x
f x
h
 

 
 
Utilizando a condição (i) do enunciado, podemos reescrever a derivada como sendo: 
 
 
     
0
.
' lim
h
f x f h f x
f x
h


 
 
Podemos colocar a função 
 f x
 em evidência no numerador da fração. Assim, ficamos com: 
 
 
   
0
. 1
' lim
h
f x f h
f x
h
  
 
 
Como o limite a ser calculado é em termos de h, a função 
 f x
 pode ser retirada para fora do 
cálculo desse limite. Então: 
 
   
 
0
1
' .lim
h
f h
f x f x
h


 
 
Fazendo uso da condição (ii) do enunciado, vamos reescrever a derivada somo segue. 
 
   
 
0
1 . 1
' .lim
h
h g h
f x f x
h
 

 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
60 
 
Marim / Eiras 
Ou ainda: 
 
   
 
0
.
' .lim
h
h g h
f x f x
h

 
 
Simplificando o h do numerado com o do denominador, teremos: 
 
     
0
' .lim
h
f x f x g h


 
 
Do enunciado também sabemos que 
 
0
lim 1
h
g h


. Dessa forma chegamos ao resultado 
esperado: 
 
   ' .1f x f x
 
   'f x f x
 
 
 
 
 (MAUÁ – 2006) Dada a tabela: 
 
 
x
 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
 f x
 1 2 -1 0 1 3 2 4 2 1 
 'f x
 2 -3 0 1 3 -1 1 -5 -2 0 
 g x
 1 3 3 2 3 4 3 2 5 7 
 'g x
 2 1 -1 0 1 -2 0 6 4 2 
 
Calcule: 
 
(a) 
   2 ' 3f g
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Podemos escrever essa derivada como sendo: 
 
     2 2' ' 'f g f g    2 ' 2. . ' 'f g f f g  
 
 
No ponto solicitado, 
3x 
, ficamos com: 
 
         2 ' 3 2. 3 . ' 3 ' 3f g f f g   
 
Com os dados da tabela, temos: 
 
     2 ' 3 2.4. 5 6f g       2 ' 3 34f g  
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
61 
 
Marim / Eiras 
(b) 
 
.
' 1
f g
f g
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Essa derivada é composta por uma divisão e no numerador temos um produto. Assim a 
derivada toma a forma: 
 
     
 
2
. '. . ..
'
f g f g f g f gf g
f g f g
    
 
  
 
 
     
 
2
'. . ' . . ..
'
f g f g f g f g f gf g
f g f g
     
 
   
 
No ponto solicitado, 
1x 
, ficamos com: 
 
 
                   
   
2
' 1 . 1 1 . ' 1 . 1 1 1 . 1 . 1 1.
' 1
1 1
f g f g f g f g f gf g
f g f g
                 
      
 
Com os valores da tabela, chegamos a: 
 
 
         
 
2
1 .4 3. 2 . 3 4 3.4. 1 2.
' 1
3 4
f g
f g
                
   
 
.
' 1 2
f g
f g
 
  
 
 
 
(d) 
 
1
0
'
f
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Podemos tratar essa derivada através da regra do quociente. Assim, ficamos com: 
 
   
 
2
0. 1. '1 ' f f
f f
 
 
  2
1 '' f
f f
  
 
 
 
 
No ponto solicitado, 
0x 
, ficamos com: 
 
 
 
 
2
' 01
0
0
' f
f f
 
 
    
 
 
Utilizando os dados da tabela, chegamos a: 
 
 
 
2
1 3
0
1
'
f
  
 
  
 
1
0 3
'
f
 
  
 
 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
62 
 
Marim / Eiras 
 
 
 (MAUÁ– 2007) Utilizando o limite fundamental  
0
sen
lim 1




, calcule  
 3
3 9
lim
3x
tg x
sen x


. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Vamos começar a resolução desse problema partindo da condição que 
x
 tende a 3. Ou seja: 
 
Se 
3x 
, então 
 3 0x  
. E, se 
 3 0x  
, então 
 3. 3 0x  
 e, portanto, 
 3 9 0x  
. Dessa forma, podemos estabelecer que: 
 
   
0 3
sen sen 3
lim lim 1
3x
x
x

 

 

 
 
Vamos agora calcular o limite pedido, substituindo a função 
 3 9tg x 
 por  
 
3 9
cos 3 9
sen x
x


, ou 
seja: 
 
 
 
 
   3 3
3 9 3 9 1
lim lim .
3 cos 3 9 3x x
tg x sen x
sen x x sen x 
 

  
 
 
Ou ainda: 
 
 
 
 
   3 3
3 9 3 9 1
lim lim .
3 3 cos 3 9x x
tg x sen x
sen x sen x x 
 

  
 
 
Fazendo uso das propriedades dos limites, vamos separar o limite de um produto em um 
produto de dois limites. Assim, ficamos com: 
 
 
 
 
   
 
3 3 3
3 9 3 9 1
lim lim . lim 1
3 3 cos 3 9x x x
tg x sen x
sen x sen x x  
    
            
 
 
O segundo limite é de fácil resolução, pois basta utilizar a substituição direta. Assim: 
 
     
 
3
1 1 1
lim 1 2
cos 3 9 cos 3.3 9 cos 0x x
  
 
 
 
Para o cálculo do primeiro limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador por 
 3 9x 
. Assim, ficamos com: 
 
 
 
 
 
 
 3 3
3 9 3 9 3 9
lim lim .
3 3 3 9x x
sen x sen x x
sen x sen x x 
  

   
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
63 
 
Marim / Eiras 
 
 
 
 
 
 3 3
3 9 3 9 3 9
lim lim .
3 3 9 3x x
sen x sen x x
sen x x sen x 
  

  
 
 
Novamente podemos utilizar a propriedade dos limites e escrever: 
 
 
 
 
 
 
 3 3 3
3 9 3 9 3 9
lim lim . lim
3 3 9 3x x x
sen x sen x x
sen x x sen x  
     
            
 
 
Sabemos do limite fundamental que  
 3
3 9
lim 1
3 9x
sen x
x



. Assim: 
 
 
 
 
 3 3
3 9 3 9
lim lim
3 3x x
sen x x
sen x sen x 
 

  
 
A fração do segundo lado da igualdade pode ser escrita como: 
 
 
   
 
3 3
3 9 1
lim lim
33
3 9
x x
sen x
sen xsen x
x
 




 
 
Mais uma vez podemos utilizar as propriedades dos limites e escrever: 
 
 
   
 
3
3
3 9 1
lim
33
lim
3 9
x
x
sen x
sen xsen x
x






 
 
   
 
3
3
3 9 1
lim
33
lim
3. 3
x
x
sen x
sen xsen x
x






 
 
O número três no denominador do denominador pode sair do limite e ficamos com: 
 
 
   
 
3
3
3 9 1
lim
33 1
lim
3 3
x
x
sen x
sen xsen x
x






 
 
   
 
3
3
3 9 3
lim
33
lim
3
x
x
sen x
sen xsen x
x






 
 
Novamente sabemos pelo limite fundamental que  
 3
3
lim 1
3x
sen x
x



. E, assim: 
 
 
 
 
3
3 9
lim 3 3
3x
sen x
sen x



 
 
Substituindo os resultados [2] e [3] na equação [1], ficamos com: 
 
 
 3
3 9
lim 3.1 3
3x
tg x
sen x

 

 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
64 
 
Marim / Eiras 
 (MAUÁ – 2007) Sabe-se que a equação diferencial da forma 
2" .y m y
 tem como 
solução a função 
   .senh . .cosh .y A m x B m x 
. Encontre a solução de 
" 9y y com 
condições iniciais: 
 0 4y  
 e 
 ' 0 6y 
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Para resolvermos a equação diferencial dada no enunciado, precisamos conhecer a função e 
sua segunda derivada. A função é do tipo 
     .senh . .cosh .y x A m x B m x 
. Precisamos 
determinar os valore se A, B e m. Inicialmente valor calcular as derivadas dessa função. Ou seja: 
 
     ' . .cosh . . .senh .y x A m m x B m m x 
 
 
E a segunda derivada fica: 
 
     2 2" . .senh . . .cosh .y x A m m x B m m x 
 
 
Utilizando a informação que 
 0 4y  
. Chegamos a seguinte equação: 
 
     0 .senh .0 .cosh .0y A m B m 
 
 
   4 .senh 0 .cosh 0A B  
 
 
Como 
 senh 0 0
 e 
 cosh 0 1
, concluímos que: 
 
4 .0 .1A B   4B  
 
 
Utilizando a outra informação que 
 ' 0 6y 
. Chegamos a seguinte equação: 
 
     ' 0 . .cosh .0 . .senh .0y A m m B m m  
 
   6 . .cosh 0 . .senh 0A m B m  
 
Como 
 senh 0 0
 e 
 cosh 0 1
, concluímos que: 
 
6 . .1A m . 6A m 
 
 
Mas ainda sabemos do enunciado que a função 
y
 é da forma
2" .y m y
. A equação diferencial 
dada é 
" 9y y
. Sai diretamente daí o que 
3m 
. Assim concluímos que: 
 
.3 6A  2A 
 
 
Dessa forma a equação final da nossa função é: 
 
     1 2.senh 3 4.cosh 3y x x x 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
65 
 
Marim / Eiras 
OBSERVAÇÃO: Não foi dito no enunciado que o valor de m deveria ser positivo. Na verdade ele 
pode ser positivo ou negativo, pois a função 
y
 tem a forma
2" .y m y
. A equação diferencial 
dada é 
" 9y y
. Devemos concluir que 
3m 
 ou 
3m  
. Assim, para uma resposta mais 
completa devemos considerar as duas possibilidades. Quando 
3m 
 já está resolvido, vamos 
então, para encerrar, considerar o caso em que 
3m  
. Nessa situação teremos uma mudança 
no valor do A 
 
. 6A m   . 3 6A   2A  
 
 
Agora a equação toma a forma: 
 
     2 2.senh 3 4.cosh 3y x x x    
 
 
 
 
 (MAUÁ – 2007) Calcule 
  3
1
'
d
f t t
dt t
 
  
 
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
O cálculo dessa derivada se torna mais fácil se escrevermos como segue: 
 
   1 13' df t t t
dt
 
 
 
Assim: 
 
 
1 1 23
1
' 1.
3
f t t t
  
 
 
2
23
1
'
3
f t t t
  
 
 
 
223
1 1
'
3
f t
tt
 
 
 
 
 
 (MAUÁ – 2007) (a) Verifique que 
 tgy x
 é solução da equação: 
 " 2 '.tg 0y y x 
. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Para se fazer essa verificação devemos calcular a primeira e a segunda derivadas da função 
dada. Assim: 
 
 tgy x  2' secy x       " 2sec . sec .tgy x x x 
 
   2" 2sec .tgy x x 
 
Resolução de Provas Passadas de Cálculo I - Segundo Bimestre 
66 
 
Marim / Eiras 
Substituindo na equação 
 " 2 '.tg 0y y x 
, temos: 
 
       2 22sec .tg 2sec .tg 0x x x x  0 0 
 
Portanto, a função 
 tgy x
 é solução da equação 
 " 2 '.tg 0y y x 
. 
 
(b) Calcule a derivada de ordem 10 da função 
2xy e
, isto é, derive a função, depois derive a 
função resultante, e assim sucessivamente, derivando 10 vezes. Apresente o resultado final. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Vamos determinar as primeiras derivadas da função dada: 
 
2xy e 
2' 2. xy e 
2 2 2" 2.2. 2 .x xy e e  
2 3 2'" 2.2.2. 2 .x xy e e  
 4 2 4 22.2.2.2. 2 .x xy e e 
 
 
 
Analogamente, podemos escrever a décima derivada como sendo: 
 
 10 10 22 . xy e
 
 
Podemos generalizar esse resultado para a

Outros materiais

Outros materiais