Derivadas Parciais e Vetor Gradiente

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Derivadas Parciais, Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente
Prof. Ronaldo Portela
Derivadas Parciais
Definição: Seja f uma função de duas variáveis, x e y. A derivada parcial de f em relação a x é aquela função, denotada por Dxf, tal que seus valores funcionais em qualquer ponto (x, y) no domínio de f sejam dados por
Se o limite existir.
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Derivadas Parciais
Definição: Seja f uma função de duas variáveis, x e y. A derivada parcial de f em relação a y é aquela função, denotada por Dyf, tal que seus valores funcionais em qualquer ponto (x, y) no domínio de f sejam dados por
Se o limite existir.
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Derivadas Parciais
Para encontrar fx, trate y como uma constante e derive f(x, y) com relação a x.
Para encontrar fy, trate x como uma constante e derive f(x, y) com relação a y.
Exemplo: Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
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Derivadas Parciais
Exemplo: Se:
Calcule: 
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Derivadas Parciais
Interpretação Geométrica:
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Derivadas Parciais
Exemplo: Determine ∂z/∂x e ∂z/∂y se z é definido implicitamente como uma função de x e y pela equação:
x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1
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Derivadas parciais de ordem superior
Exemplo: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x, y) = x3 + x2y3 – 2y2
Teorema de Clairaut:
Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha o ponto (a, b). 
Se as funções fxy e fyx forem ambas contínuas em D, então
fxy(a, b) = fyx(a, b)
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A Regra da Cadeia
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A Regra da Cadeia
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Derivadas Direcionais
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Derivadas Direcionais
Definição: Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se U for o vetor unitário cos θi + sen θj, então a derivada direcional de f na direção de U, denotada por DUf, será dada por
Se o limite existir.
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Derivadas Direcionais
Teorema: Se f for uma função diferenciável de x e y e U = cos θi + sen θj, então:
Exemplo: Determine DUf , se f (x,y) = 3x2 – y2 + 4x e U for o vetor unitário na direção
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Gradiente
Definição: Seja f uma função de duas variáveis x e y, e fx(x,y) e fy(x,y) existirem, então o gradiente de f, denotado por f, será definido por
Desta forma, a derivada direcional de f (x,y) na direção do vetor U pode ser escrita como:
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Gradiente
Exemplo: Se f (x,y) = 		, ache o gradiente de f no ponto (4,3). Ache também a taxa de variação de f (x,y) na direção 
Exemplo: Determine a derivada direcional da função f(x,y) = x2y3 – 4y no ponto (2, -1) na direção do vetor v = 2i + 5j.
Observação: O vetor gradiente indica a direção onde a taxa de variação é máxima. 
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Referências Bibliográficas
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1. 3ª edição. São Paulo, Harbra, 1994.
STEWART, J. Cálculo. Volume 1. 5ª edição. São Paulo, Thomsom Learning. 2006.
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