Prova II - 2013.1

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Ca´lculo II 2013.1
Prof. Valdecir A. dos Santos Ju´nior
1o PROVA - 1a UNIDADE
NOME:
DATA / /
OBSERVAC¸O˜ES:
• Esta avaliac¸a˜o deve ser realizada individualmente e em sileˆncio. Nenhuma
troca de material entre os alunos durante a avaliac¸a˜o sera´ permitida. O
uso de ma´quinas de ca´lculo (entenda como computadores, calculadoras,
re´guas de ca´lculo,...) na˜o e´ permitido. E´ permitido o uso de la´pis ou
grafite em toda a avaliac¸a˜o;
• Na˜o e´ permitido o uso de folhas avulsas;
• Celulares, smartphone, tablet ou quasquer aparelhos semenhantes devem
estar desligados e na mesa do professor (ou dentro das mochilas, bolsas
etc, ao lado da carteira) durante a avaliac¸a˜o;
• Apenas o professor esta´ autorizado a tirar du´vidas sobre a prova;
• O aluno que infringir alguma das regras acima tera´ a sua avaliac¸a˜o consi-
derada com nota nula;
• Questo˜es (ou partes de questo˜es) com resultado, mas sem desenvolvimento
sera˜o consideradas com nota nula. Resoluc¸o˜es desorganizadas ou na˜o iden-
tificadas sera˜o corrigidas com nota nula;
• Se alguma questa˜o for anulada, os pontos desta sera˜o redistribu´ıdos pelas
questo˜es remanescentes.
• A avaliac¸a˜o tera´ a durac¸a˜o de duas aulas. Salvo quando mencionado pelo
professor o contra´rio.
1
1. Mostre usando o teste da integral que uma p-se´rie
∞∑
n=1
1
np
=
1
1p
+
1
2p
+
1
3p
+ ... +
1
np
+ ...
converge se p > 1 e diverge se p < 1.
2. Se
∞∑
n=1
xn e´ uma se´rie convergente de termos na˜o negativos, pode se dizer
algo sobre a se´rie
∞∑
n=1
xn
n
? Explique.
3. Seja xn =
{
n
2n , se n e´ um nu´mero primo;
1
2n , caso contra´rio.
A se´rie
∞∑
n=1
xn converge? Justifique sua resposta.
Sugesta˜o: Use o teste da raiz.
4. Mostre se as se´ries convergem ou divergem.
4.1.
∞∑
n=1
en
1 + e2n
;
Sugesta˜o: Use o teste da integral.
4.2.
∞∑
n=1
3
n +
√
n
;
Sugesta˜o: Use o teste da comparac¸a˜o no limite.
4.3.
∞∑
n=1
(n + 3)!
3!n!3n
;
Sugesta˜o: Use o teste da raza˜o.
4.4.
∞∑
n=1
(−1)nn2(2
3
)n.
Sugesta˜o: Use o teste da convergencia absoluta e o teste da raza˜o.
2