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Aulas 09, 10 e 11 Espaço de estados - Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos

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MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 1 
 
 REVISÃO DE MATRIZES 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 2 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 3 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 4 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 5 
 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 6 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE MODELOS DINÂMICOS: ESPAÇO DE ESTADOS 
MODELAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo 
matemático de um sistema que algebricamente relaciona a entrada e a saída. 
Desvantagem: o sistema deve ser linear e invariante no tempo. 
Vantagem: conseguem estabilidade rapidamente e informação quanto à resposta do transiente. 
Problema: muitos sistemas não são LTI 
 
MODELAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO 
APROXIMAÇÃO ESTADO-ESPAÇO 
 Método para modelagem, análise e projeto de uma grande variedade de sistemas; 
 Sistemas não-lineares, condições iniciais não-nulas, variantes no tempo, sistemas com múltiplas 
saídas. 
Problema: uso não é tão intuitivo. 
 
PASSOS PARA MODELAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO 
 1 – definimos um subconjunto das variáveis do sistema para serem as variáveis de estado. 
 2 – para um sistema de n-ésima ordem, escrevemos n equações diferenciais de primeira ordem 
simultâneas (equações de estado). 
 3- resolvemos as equações diferenciais para , se conhecemos as condições iniciais para 
todas as variáveis de estado para e 
 4 – combinamos as variáveis de estado com a entrada do sistema e encontramos todas as outras 
variáveis para (isso gera a equação de saída). 
 5 – Representação estado espaço: equações de estado + equações de saída. 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 7 
 
 
 
Variáveis de Estado: 
É o menor conjunto de variáveis que determina o estado de um sistema dinâmico. Se pelo menos 
“n”variáveis ) ) )) são necessárias para descrever completamente o comportamento 
de um sistema dinâmico, então estas “n” variáveis são um conjunto de variáveis de estado. 
Modelo de Variáveis de Estado: 
É um conjunto de equações diferenciais de 1ª ordem na forma matricial, representando as relações entre 
as entradas e saídas, e algumas características internas do sistema. 
É possível enviar para dentro do modelo mais informações a cerca da planta (ou sistema), pois o sistema 
pode ter mais de uma entrada. 
Vários modelos de variáveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema, depende da escolha 
das variáveis de estado. 
A simulação de sistemas geralmente necessita de modelo de variáveis de estado. 
 
 
As técnicas no domínio do tempo podem ser usadas para sistemas não-lineares, variantes no tempo e 
multivariáveis. 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 8 
 
Um sistema variante no tempo é um sistema para o qual um ou mais parâmetros do sistema podem variar 
em função do tempo. 
O domínio de tempo é o domínio matemático que incorpora a resposta e a descrição de um sistema em 
termos do tempo t. 
 
Um sistema de equações diferenciais descreve o comportamento do sistema em termos da taxa de 
variação de cada uma das variáveis de estado. 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 9 
 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 10 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 11 
 
 
 
 
 
 
Para calcular os autovetores basta utilizar e substituir o pelos valores dos autovalores um de 
cada vez. 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 12 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 13 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 14 
 
 
Primeiro, selecionamos um conjunto de variáveis de estado, chamadas variáveis de fase, onde cada 
variável de estado subsequente é definida como a derivada da variável de estado anterior. 
Considere a seguinte equação diferencial: 
 
uma forma simples de proceder é escolher a saída y(t) e suas (n-1) derivadas como variáveis de estado. 
Escolha das Variáveis de Fase 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 15 
 
 
Resumindo, para converter uma função de transferência para representação estado-espaço na forma de 
variáveis de fase, primeiro convertemos a função de transferência para a forma de equação diferencial por 
multiplicação cruzada e tomando o inverso da transformada de Laplace, assumindo condições iniciais 
nulas. 
Então, representamos as equações diferenciais no estado-espaço na forma de variáveis fase. 
Caso 1: Apenas uma constante no numerador da função de transferência 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 16 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 17 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 18 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta– AULAS 9,10 E 11- Página 19 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 20 
 
 
 
 
 
 
OUTRAS REPRESENTAÇÕES 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 21 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 22 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 23 
 
 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 24 
 
 
 
Exemplo: G(S) = 
 )
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO GENÉRICO: 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARA GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 26 
 
 
 
 
 
Dado o gráfico de fluxo de sinais abaixo, defina suas equações de estado: 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 27 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 29 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 30 
 
 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 31 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 32 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 33 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 34 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 35 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 36 
 
 
 
 
 
MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 37

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