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MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 1 REVISÃO DE MATRIZES MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 2 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 3 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 4 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 5 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 6 REPRESENTAÇÃO DE MODELOS DINÂMICOS: ESPAÇO DE ESTADOS MODELAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo matemático de um sistema que algebricamente relaciona a entrada e a saída. Desvantagem: o sistema deve ser linear e invariante no tempo. Vantagem: conseguem estabilidade rapidamente e informação quanto à resposta do transiente. Problema: muitos sistemas não são LTI MODELAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO APROXIMAÇÃO ESTADO-ESPAÇO Método para modelagem, análise e projeto de uma grande variedade de sistemas; Sistemas não-lineares, condições iniciais não-nulas, variantes no tempo, sistemas com múltiplas saídas. Problema: uso não é tão intuitivo. PASSOS PARA MODELAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO 1 – definimos um subconjunto das variáveis do sistema para serem as variáveis de estado. 2 – para um sistema de n-ésima ordem, escrevemos n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas (equações de estado). 3- resolvemos as equações diferenciais para , se conhecemos as condições iniciais para todas as variáveis de estado para e 4 – combinamos as variáveis de estado com a entrada do sistema e encontramos todas as outras variáveis para (isso gera a equação de saída). 5 – Representação estado espaço: equações de estado + equações de saída. MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 7 Variáveis de Estado: É o menor conjunto de variáveis que determina o estado de um sistema dinâmico. Se pelo menos “n”variáveis ) ) )) são necessárias para descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico, então estas “n” variáveis são um conjunto de variáveis de estado. Modelo de Variáveis de Estado: É um conjunto de equações diferenciais de 1ª ordem na forma matricial, representando as relações entre as entradas e saídas, e algumas características internas do sistema. É possível enviar para dentro do modelo mais informações a cerca da planta (ou sistema), pois o sistema pode ter mais de uma entrada. Vários modelos de variáveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema, depende da escolha das variáveis de estado. A simulação de sistemas geralmente necessita de modelo de variáveis de estado. As técnicas no domínio do tempo podem ser usadas para sistemas não-lineares, variantes no tempo e multivariáveis. MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 8 Um sistema variante no tempo é um sistema para o qual um ou mais parâmetros do sistema podem variar em função do tempo. O domínio de tempo é o domínio matemático que incorpora a resposta e a descrição de um sistema em termos do tempo t. Um sistema de equações diferenciais descreve o comportamento do sistema em termos da taxa de variação de cada uma das variáveis de estado. MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 9 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 10 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 11 Para calcular os autovetores basta utilizar e substituir o pelos valores dos autovalores um de cada vez. MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 12 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 13 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 14 Primeiro, selecionamos um conjunto de variáveis de estado, chamadas variáveis de fase, onde cada variável de estado subsequente é definida como a derivada da variável de estado anterior. Considere a seguinte equação diferencial: uma forma simples de proceder é escolher a saída y(t) e suas (n-1) derivadas como variáveis de estado. Escolha das Variáveis de Fase MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 15 Resumindo, para converter uma função de transferência para representação estado-espaço na forma de variáveis de fase, primeiro convertemos a função de transferência para a forma de equação diferencial por multiplicação cruzada e tomando o inverso da transformada de Laplace, assumindo condições iniciais nulas. Então, representamos as equações diferenciais no estado-espaço na forma de variáveis fase. Caso 1: Apenas uma constante no numerador da função de transferência MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 16 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 17 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 18 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta– AULAS 9,10 E 11- Página 19 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 20 OUTRAS REPRESENTAÇÕES MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 21 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 22 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 23 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 24 Exemplo: G(S) = ) ) EXEMPLO GENÉRICO: MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 25 PARA GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 26 Dado o gráfico de fluxo de sinais abaixo, defina suas equações de estado: MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 27 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 28 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 29 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 30 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 31 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 32 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 33 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 34 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 35 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 36 MODELAGEM ANÁLISE E DE SISTEMAS DINÂMICOS ESPAÇO DE ESTADOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta – AULAS 9,10 E 11- Página 37
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