[Periçaro]Apostila_Análise_Real

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANA´
NOTAS DE AULA:
ANA´LISE REAL
Profa.: Gislaine Aparecida Peric¸aro
Curso: Matema´tica, 4º ano
CAMPO MOURA˜O
2013
Cap´ıtulo 1
Conjuntos e Func¸o˜es
Neste cap´ıtulo vamos fazer uma breve revisa˜o de alguns conceitos referentes a
conjuntos e func¸o˜es que sera˜o usados com frequeˆncia no decorrer dos cap´ıtulos seguintes.
1.1 Conjuntos
A palavra conjunto e´ usada para designar uma colec¸a˜o qualquer de objetos,
os quais sa˜o denominados elementos do conjunto. Quando um objeto x e´ um dos
elementos que constitui o conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos x ∈ A.
Para denotar que x na˜o pertence a A escrevemos x /∈ A.
Usamos a notac¸a˜o X = {a, b, c, . . .} para representar o conjunto X cujos ele-
mentos sa˜o a, b, c, etc. Quando os elementos de X sa˜o nu´meros, dizemos que X e´ um
conjunto nume´rico. Por exemplo:
ˆ N = {1, 2, 3, . . .}: conjunto dos nu´meros naturais.
ˆ Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, · · ·}: conjunto dos nu´meros inteiros.
ˆ Q = {p/q| p ∈ Z, q ∈ Z, q 6= 0}: conjunto dos nu´meros racionais.
Um conjunto pode ser definido especificando-se os seus elementos, o que nem
sempre e´ poss´ıvel, ou por meio de uma propriedade desses. Por exemplo,
X = {x ∈ N | x > 10}
e´ o conjunto formado pelos nu´meros naturais x que gozam da seguinte propriedade: x
e´ maior do que 10.
Um conjunto e´ dito vazio e denotado por ∅ quando e´ desprovido de elementos.
Por exemplo, X = {x ∈ N | 2 < x < 3} = ∅.
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A e´ subconjunto de B quando todo
elemento de A e´ tambe´m elemento de B e denotamos esse fato por A ⊂ B (leˆ-se A
esta´ contido em B) ou, ainda, B ⊃ A (leˆ-se B conte´m A). Por exemplo, sejam X o
2
conjunto dos quadrados e Y o conjunto dos retaˆngulos, enta˜o vale a seguinte inclusa˜o:
X ⊂ Y .
Quando escrevemos X ⊂ Y na˜o exclu´ımos a possibilidade de ser X = Y . No
caso em que X ⊂ Y e X 6= Y , dizemos que X e´ um subconjunto pro´prio de Y e
podemos representar esse fato pela notac¸a˜o X Y .
Para mostrar que X na˜o e´ subconjunto de Y , deve-se obter x ∈ X tal que
x /∈ Y . Assim, conclu´ımos que o conjunto vazio ∅ e´ subconjunto de qualquer conjunto
X. De fato, se ∅ na˜o fosse subconjunto de X, existiria algum x ∈ ∅ tal que x /∈ X.
Mas, como na˜o existe x ∈ ∅, devemos admitir que ∅ ⊂ X, para qualquer conjunto X.
A relac¸a˜o de inclusa˜o A ⊂ B e´
ˆ Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A;
ˆ Anti-sime´trica: se A ⊂ B e B ⊂ A, enta˜o A = B;
ˆ Transitiva: se A ⊂ B e B ⊂ C, enta˜o A ⊂ C.
A propriedade anti-sime´trica diz que dois conjuntos A e B sa˜o iguais quando
possuem os mesmos elementos. Assim, quando tivermos que provar a igualdade entre
dois conjuntos, devemos primeiro mostrar que A ⊂ B e, depois, que B ⊂ A.
1.1.1 Operac¸o˜es entre conjuntos
1. Unia˜o: A ∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.
2. Intersec¸a˜o: A ∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
Quando A ∩B = ∅, dizemos que os conjuntos A e B sa˜o disjuntos.
3. Diferenc¸a: A−B = A \B = {x | x ∈ A e x /∈ B}.
Na˜o e´ necessa´rio que B esteja contido em A para formar a diferenc¸a A − B.
Quando A e B sa˜o disjuntos, tem-se A − B = A. Quando se tem B ⊂ A,
a diferenc¸a A − B chama-se complementar de B em relac¸a˜o a A e escreve-se
A − B = {AB. No entanto, quando consideramos subconjuntos de um mesmo
conjunto X, a diferenc¸a X − A chama-se simplesmente complementar de A e
indica-se por X − A = Ac.
4. Produto cartesiano: A×B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}.
5. Unia˜o infinita:
∞⋃
n=1
An = {x | x ∈ An para algum n ∈ N}.
6. Intersec¸a˜o infinita:
∞⋂
n=1
An = {x | x ∈ An para todo n ∈ N}.
3
1.1.2 Exerc´ıcios
1. Mostre que A ∪B = B ∪ A.
2. Prove que A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.
3. Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
1ª) X ⊃ A e X ⊃ B,
2ª) Se Y ⊃ A e Y ⊃ B, enta˜o Y ⊃ X.
Prove que X = A ∪B.
4. Prove que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
5. Prove que B − A = B ∩ Ac.
6. (Leis De Morgan) Prove que (A ∪B)c = Ac ∩Bc e (A ∩B)c = Ac ∪Bc.
1.2 Func¸o˜es
Uma func¸a˜o f : A → B e´ uma regra que associa cada elemento x ∈ A a
um u´nico elemento f(x) ∈ B. O conjunto A e´ chamado domı´nio da func¸a˜o e B e´
denominado contradomı´nio. Podemos dizer apenas “func¸a˜o f” em vez de f : A → B,
ficando subentendidos o conjunto A, domı´nio de f , e o conjunto B, contradomı´nio de
f . E´ importante notar a diferenc¸a entre f e f(x): f e´ a func¸a˜o enquanto que f(x)
e´ o valor que a func¸a˜o assume em um elemento x de seu domı´nio. Func¸o˜es reais de
varia´veis reais sa˜o func¸o˜es cujo domı´nio e contradomı´nio sa˜o subconjuntos dos nu´meros
reais.
Dada uma func¸a˜o f : A → B, o conjunto dos elementos y ∈ B para os quais
existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y e´ chamado imagem de A pela func¸a˜o f
e designado por f(A). Assim, f(A) = {f(x) | x ∈ A}.
Exemplo 1.1 Seja f : R → R+ a func¸a˜o definida por f(x) = x2, isto e´, a func¸a˜o
que associa a cada real x o seu quadrado x2. Temos que f(R) = R+ (aqui estamos
usando o fato, que ainda sera´ provado, de que todo nu´mero real positivo possui uma
raiz quadrada) .
O gra´fico de uma func¸a˜o f : A → B e´ o subconjunto G(f) do produto carte-
siano A × B formado pelos pares ordenados (x, f(x)), em que x ∈ A e´ arbitra´rio. Ou
seja,
G(f) = {(x, y) ∈ A×B | x ∈ A e y = f(x)} .
Para que um subconjunto G ⊂ A × B seja o gra´fico de uma func¸a˜o f : A → B, e´
necessa´rio e suficiente que, para cada x ∈ A, exista um u´nico ponto (x, y) ∈ G cuja
primeira coordenada seja x.
4
Definic¸a˜o 1.2 Dizemos que a func¸a˜o f : A→ B e´
(i) injetiva quando para quaisquer x e y em A tais que x 6= y, tem-se f(x) 6= f(y)
ou, equivalentemente, quando para quaisquer x e y em A, f(x) = f(y) implica
x = y.
(ii) sobrejetiva quando para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y,
isto e´, quando f(A) = B.
(iii) bijetiva quando e´ injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo.
Exemplo 1.3 A func¸a˜o f : Z → Z, definida por f(x) = 2x − 1 e´ injetiva, pois se
f(x) = f(y) enta˜o 2x − 1 = 2y − 1, donde segue que x = y. No entanto, f na˜o e´
sobrejetiva, pois na˜o existe x ∈ Z tal que 2x− 1 = 0.
Definic¸a˜o 1.4 Considere uma func¸a˜o f : A → B e um conjunto Y ⊂ B. A imagem
inversa de Y pela func¸a˜o f e´ o conjunto f−1(Y ), formado por todos os pontos x ∈ A
tais que f(x) ∈ Y . Assim, f−1(Y ) = {x ∈ A | f(x) ∈ Y }. Dado y ∈ B, escrevemos
f−1(y) em vez de f−1({y}).
Exemplo 1.5 Seja f : Z→ Z a func¸a˜o dada por f(x) = x2. Para Y = {−3,−2,−1}
tem-se f−1(Y ) = ∅. Temos ainda que f−1(4) = {−2, 2}.
Definic¸a˜o 1.6 Sejam as func¸o˜es f : A → B e g : C → D. Suponha que f(A) ⊂ C.
Assim, podemos definir a func¸a˜o composta g ◦ f : A→ D que consiste em aplicar f e
depois g. Mais precisamente, podemos escrever (g ◦ f)(x) = g(f(x)) para todo x ∈ A.
Exemplo 1.7 Sejam f : [−1, 1] → R e g : R+ → R+ e as func¸o˜es dadas por f(x) =
1− x2 e g(x) = √x. Temos que g(f(x)) = √1− x2, x ∈ [−1, 1].
Definic¸a˜o 1.8 Seja f : A → B uma func¸a˜o bijetiva. Enta˜o, para cada x ∈ B existe
um u´nico y ∈ A tal que f(y) = x. Isso nos permite considerar uma func¸a˜o g : B → A
dada por g(x) = y ⇔ f(y) = x. A func¸a˜o g denomina-se func¸a˜o inversa de f e,
geralmente, e´ denotada por f−1. Quando f admite inversa, dizemos que f e´ invers´ıvel.
Note que se g e´ a inversa de f , enta˜o g(f(x)) = x para todo x ∈ A e f(g(x)) = x
para todo x ∈ B.
Exemplo 1.9 A inversa da func¸a˜o bijetiva f : R → R dada por f(x) = 3x + 2 e´ a
func¸a˜o g : R→ R dada por g(x) = x− 2
3
.
Exemplo 1.10 Seja f : [0, 1) → [0,+∞) a func¸a˜o dada por f(x) = x
1− x . Temos
que f e´ bijetiva e, portanto, invers´ıvel. Sua inversa e´ a func¸a˜o f−1 : [0,+∞)→ [0, 1)
dada por f−1(x) =
x
1 + x
.
5
Exemplo 1.11 Seja f : [−1, 0] → [0, 1] a func¸a˜o dada por f(x) = √1− x2. Temos
que f e´ bijetiva e, portanto, invers´ıvel. Sua inversae´ a func¸a˜o f−1 : [0, 1] → [−1, 0]
dada por f−1(x) = −√1− x2.
1.2.1 Exerc´ıcios
1. Sejam a func¸a˜o f : A→ B e os subconjuntos X e Y de A.
a) Prove que f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ).
b) Prove que f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y ). Deˆ um contra-exemplo para mostrar
que f(X ∩ Y ) pode ser diferente de f(X) ∩ f(Y ).
c) Mostre que se f for injetiva enta˜o f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y ).
d) Prove que f(X − Y ) ⊃ f(X)− f(Y ).
e) Mostre que se f for injetiva enta˜o f(X − Y ) = f(X)− f(Y ).
2. Mostre que f : A→ B e´ injetiva se, e somente se, f(A−X) = f(A)− f(X) para
todo X ⊂ A.
3. Sejam a func¸a˜o f : A→ B e os subconjuntos X e Y de B.
a) Prove que f−1(X ∪ Y ) = f−1(X) ∪ f−1(Y ).
b) Prove que f−1(X ∩ Y ) = f−1(X) ∩ f−1(Y ).
4. Dados a func¸a˜o f : A→ B e um subconjunto Y de B, mostre que f−1(B−Y ) =
A− f−1(Y ).
5. Dada a func¸a˜o f : A→ B, prove que:
a) f−1(f(X)) ⊃ X para todo X ⊂ A;
b) f e´ injetiva se, e somente se, f−1(f(X)) = X para todo X ⊂ A.
6. Dada a func¸a˜o f : A→ B, prove que:
a) f(f−1(Z)) ⊂ Z para todo Z ⊂ B;
b) f e´ sobrejetiva se, e somente se, f(f−1(Z)) = Z para todo Z ⊂ B.
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1.2.1 Exerc´ıcios
1. Sejam a func¸a˜o f : A→ B e os subconjuntos X e Y de A.
a) Prove que f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ).
Resoluc¸a˜o: Seja y ∈ f(X ∪ Y ). Enta˜o existe x ∈ X ∪ Y tal que f(x) = y.
Se x ∈ X enta˜o y ∈ f(X). Se x ∈ Y enta˜o y ∈ f(Y ). Em ambos os casos
temos que y ∈ f(X) ∪ f(Y ). Logo, f(X ∪ Y ) ⊂ f(X) ∪ f(Y ).
Seja y ∈ f(X) ∪ f(Y ). Enta˜o y ∈ f(X) ou y ∈ f(Y ). Se y ∈ f(X), existe
x ∈ X ⊂ X ∪ Y tal que f(x) = y. Se y ∈ f(Y ), existe z ∈ Y ⊂ X ∪ Y
tal que f(z) = y. Em ambos os casos conclu´ımos que y ∈ f(X ∪ Y ). Logo,
f(X ∪ Y ) ⊃ f(X) ∪ f(Y ).
b) Prove que f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y ). Deˆ um contra-exemplo para mostrar
que f(X ∩ Y ) pode ser diferente de f(X) ∩ f(Y ).
Resoluc¸a˜o: Seja y ∈ f(X ∩ Y ). Enta˜o existe x ∈ X ∩ Y tal que f(x) = y.
Assim, temos que x ∈ X e, portanto, y ∈ f(X). Temos tambe´m que x ∈ Y
e, portanto, y ∈ f(Y ). Logo, y ∈ f(X) ∩ f(Y ). Segue que f(X ∩ Y ) ⊂
f(X) ∩ f(Y ).
c) Mostre que se f for injetiva enta˜o f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y ).
Resoluc¸a˜o: Seja y ∈ f(X) ∩ f(Y ). Enta˜o existe x1 ∈ X tal que f(x1) = y e
existe x2 ∈ Y tal que f(x2) = y. Assim, temos que f(x1) = f(x2) e, como
f e´ injetiva, x1 = x2. Portanto, x1 ∈ X ∩ Y e y ∈ f(X ∩ Y ). Conclu´ımos
que se f for injetiva f(X ∩Y ) ⊃ f(X)∩f(Y ). O resultado provado no item
(b) completa a demonstrac¸a˜o.
d) Prove que f(X − Y ) ⊃ f(X)− f(Y ).
Resoluc¸a˜o: Seja y ∈ f(X) − f(Y ). Enta˜o y ∈ f(X) e y /∈ f(Y ). Assim,
existe x ∈ X − Y tal que f(x) = y. Portanto, y ∈ f(X − Y ).
e) Mostre que se f for injetiva enta˜o f(X − Y ) = f(X)− f(Y ).
Resoluc¸a˜o: Seja y ∈ f(X − Y ). Enta˜o existe x1 ∈ X − Y , tal que f(x1) =
y, ou seja, y ∈ f(X). Suponha que exista x2 ∈ Y tal que f(x2) = y.
Dessa forma, como f e´ injetiva, obtemos a contradic¸a˜o x1 = x2. Portanto,
conclu´ımos que y ∈ f(X) − f(Y ), ou seja, f(X − Y ) ⊂ f(X) − f(Y ). A
outra inclusa˜o segue do item (d).
2. Mostre que f : A→ B e´ injetiva se, e somente se, f(A−X) = f(A)− f(X) para
todo X ⊂ A.
Resoluc¸a˜o: Se f e´ injetiva, enta˜o segue diretamente do item (e) do Exerc´ıcio 1
que f(A−X) = f(A)− f(X).
Agora, suponha que f(A−X) = f(A)−f(X). Considere x1, x2 ∈ A tais que x1 �=
x2. Temos que x1 ∈ A− {x2} e, portanto, f(x1) ∈ f(A− {x2}) = f(A)− f(x2).
Assim, temos f(x1) �= f(x2), donde segue que f e´ injetiva.
3. Sejam a func¸a˜o f : A→ B e os subconjuntos X e Y de B.
a) Prove que f−1(X ∪ Y ) = f−1(X) ∪ f−1(Y ).
Resoluc¸a˜o: Temos que x ∈ f−1(X ∪ Y ) ⇔ f(x) ∈ X ∪ Y ⇔ f(x) ∈ X ou
f(x) ∈ Y ⇔ x ∈ f−1(X) ou x ∈ f−1(Y ) ⇔ x ∈ f−1(X) ∪ f−1(Y ).
b) Prove que f−1(X ∩ Y ) = f−1(X) ∩ f−1(Y ).
Resoluc¸a˜o: Temos que x ∈ f−1(X ∩ Y ) ⇔ f(x) ∈ X ∩ Y ⇔ f(x) ∈ X e
f(x) ∈ Y ⇔ x ∈ f−1(X) e x ∈ f−1(Y ) ⇔ x ∈ f−1(X) ∩ f−1(Y ).
4. Dados a func¸a˜o f : A→ B e um subconjunto Y de B, mostre que f−1(B−Y ) =
A− f−1(Y ).
Resoluc¸a˜o: Temos que x ∈ f−1(B − Y ) ⇔ f(x) ∈ (B − Y ) ⇔ f(x) ∈ B e
f(x) /∈ Y ⇔ x ∈ A e x /∈ f−1(Y ) ⇔ x ∈ (A− f−1(Y )).
5. Dada a func¸a˜o f : A→ B, prove que:
a) f−1(f(X)) ⊃ X para todo X ⊂ A;
Resoluc¸a˜o: Seja a ∈ X. Assim, f(a) ∈ f(X) e, portanto, a ∈ f−1(f(X)).
b) f e´ injetiva se, e somente se, f−1(f(X)) = X para todo X ⊂ A.
Resoluc¸a˜o: De (a) temos que X ⊂ f−1(f(X)) para todo X ⊂ A. Vamos
mostrar que se f e´ injetiva, enta˜o f−1(f(X)) ⊂ X. Seja a ∈ f−1(f(X)).
Assim, f(a) ∈ f(X) e, dessa forma, existe x ∈ X tal que f(x) = f(a). Mas,
como f e´ injetiva, temos que x = a, donde segue que a ∈ X. Portanto, se
f e´ injetiva, f−1(f(X)) = X.
Suponha agora que f−1(f(X)) = X para todo X ⊂ A. Considere x1, x2 ∈
A tais que f(x1) = f(x2). Por hipo´tese temos que f
−1(f(x1)) = x1 e
f−1(f(x2)) = x2. Assim, obtemos x1 = x2 e, portanto, f e´ injetiva.
6. Dada a func¸a˜o f : A→ B, prove que:
a) f(f−1(Z)) ⊂ Z para todo Z ⊂ B;
Resoluc¸a˜o: Seja y ∈ f(f−1(Z)). Enta˜o, existe x ∈ f−1(Z) tal que f(x) = y.
Mas, x ∈ f−1(Z) implica f(x) ∈ Z, donde segue que y ∈ Z. Portanto,
f(f−1(Z)) ⊂ Z para todo Z ⊂ B.
b) f e´ sobrejetiva se, e somente se, f(f−1(Z)) = Z para todo Z ⊂ B.
Resoluc¸a˜o: De (a) temos que f(f−1(Z)) ⊂ Z para todo Z ⊂ B. Vamos
mostrar que a inclusa˜o f(f−1(Z)) ⊃ Z e´ va´lida se f for sobrejetiva. Seja
z ∈ Z. Como f e´ sobrejetiva, existe x ∈ f−1(Z) tal que f(x) = z, logo
z ∈ f(f−1(Z)).
Suponha agora que f(f−1(Z)) = Z para todo Z ⊂ B. Vamos mostrar que
f e´ sobrejetiva. Seja y ∈ B. Enta˜o, por hipo´tese temos que f(f−1(y)) = y
e, portanto, y ∈ f(A). Assim, existe x ∈ A tal que f(x) = y. Logo, f e´
sobrejetiva.
Cap´ıtulo 2
Conjuntos Finitos e Infinitos
Discutiremos a seguir as definic¸o˜es formais de conjuntos finitos, infinitos e
enumera´veis. Vamos considerar inicialmente o conjunto dos nu´meros naturais.
2.1 Nu´meros Naturais
O conjunto dos naturais pode ser caracterizado a partir dos treˆs axiomas dados
a seguir, conhecidas como axiomas de Peano.
Considere um conjunto N, cujos elementos sa˜o chamados nu´meros naturais e
uma func¸a˜o s : N → N. A imagem s(n) de cada nu´mero natural n ∈ N chama-se
sucessor de n. A func¸a˜o s satisfaz aos seguintes axiomas:
1. s : N→ N e´ injetiva.
2. Existe um u´nico nu´mero natural 1 ∈ N tal que 1 6= s(n) para todo n ∈ N.
3. Se X ⊂ N e´ um subconjunto tal que 1 ∈ X e para todo n ∈ X tem-se s(n) ∈ X,
enta˜o X = N.
O axioma 3 e´ conhecido como Princ´ıpio da Induc¸a˜o e tambe´m pode ser enun-
ciado da seguinte forma: Se uma propriedade P e´ va´lida para o nu´mero 1 e se, do fato
de um nu´mero natural n satisfazer P puder-se concluir que seu sucessor s(n) tambe´m
satisfaz P, enta˜o P e´ va´lida para todos os nu´meros naturais.
Exemplo 2.1 Mostre por induc¸a˜o que para todo n ∈ N tem-se s(n) 6= n.
2.1.1 Operac¸o˜es com naturais
No conjunto dos nu´meros naturais sa˜o definidas duas operac¸o˜es fundamentais:
a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o, sendo caracterizadas por:
(i) m+ 1 = s(m);
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(ii) m+ s(n) = s(m+ n), isto e´, m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1;
(iii) m · 1 = m;
(iv) m(n+ 1) = m · n+m.
Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades da adic¸a˜o e da multiplicac¸a˜o:
ˆ Associatividade: (m+ n) + p = m+ (n+ p), m · (n · p) = (m · n) · p;
ˆ Distributividade: m · (n+ p) = m · n+m · p;
ˆ Comutatividade: m+ n = n+m, m · n = n ·m;
ˆ Lei do corte: n+m = p+m⇒ n = p e n ·m = p ·m⇒ n = p.
2.1.2 Relac¸a˜o de ordem
Dados m e n naturais, dizemos que m e´ menor que n e escrevemos
m < n
quando existe p ∈ N tal que n = m+ p.
A notac¸a˜o m ≤ n significa que m < n ou m = n.
A relac¸a˜o < goza das seguintes propriedades:
(i) Transitividade: se m < n e n < p, enta˜o m < p.
(ii) Tricotomia: dados m,n ∈ N, uma e somente uma das treˆs alternativas e´ va´lida.
m = n ou m < n ou n < m.
(iii)Monotonicidade da adic¸a˜o: sem < n enta˜o, paratodo p ∈ N tem-sem+p < n+p.
Exerc´ıcio 2.2 Mostre por induc¸a˜o que:
a) 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
b) n! > 2n para todo n ≥ 4.
Exerc´ıcio 2.3 Mostre que para qualquer n ∈ N, na˜o existe p ∈ N tal que
n < p < n+ 1.
Definic¸a˜o 2.4 Seja X um conjunto de nu´meros naturais. Diz-se que um nu´mero
p ∈ X e´ o menor elemento de X (ou elemento mı´nimo de X) quando se tem p ≤ n
para todo n ∈ X. Analogamente, um nu´mero q ∈ X chama-se o maior elemento de X
(ou elemento ma´ximo de X) quando se tem q ≥ n para todo n ∈ X
8
O teorema a seguir estabelece que todo subconjunto na˜o vazio dos naturais
possui um elemento mı´nimo. Ja´ o elemento ma´ximo nem sempre existe. O pro´prio N
na˜o possui um maior elemento, uma vez que, para todo n ∈ N, n+1 > n. No entanto,
quando o maior elemento de um conjunto X ⊂ N existe, ele e´ u´nico. De fato, se p ∈ X
e q ∈ X sa˜o ambos elementos ma´ximos, enta˜o p ≥ q e q ≥ p, logo, p = q.
Teorema 2.5 (Princ´ıpio da Boa Ordenac¸a˜o) Todo subconjunto na˜o vazio A ⊂ N
possui um menor elemento, isto e´, um elemento n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A.
Demonstrac¸a˜o. Seja In = {p ∈ N | 1 ≤ p ≤ n}. Considere o subconjunto X ⊂ N for-
mado pelos nu´meros n ∈ N tais que In ⊂ N − A. Assim, dizer que n ∈ X significa
que n /∈ A e que todos os nu´meros naturais menores que n tambe´m na˜o pertencem
a A. Se 1 ∈ A, enta˜o 1 sera´ o menor elemento de A. Pore´m, se 1 /∈ A, enta˜o como
I1 = {1} ⊂ N − A, temos que 1 ∈ X. Ale´m disso, como X ⊂ N − A e A 6= ∅, enta˜o
X 6= N. Logo, a conclusa˜o do axioma 3 na˜o e´ va´lida. Assim, deve existir n ∈ X tal
que n + 1 /∈ X. Se n ∈ X enta˜o In ⊂ N − A. Logo, todos os inteiros desde 1 ate´
n pertencem ao complementar de A, mas n + 1 ∈ A. Dessa forma, n + 1 e´ o menor
elemento do conjunto de A, pois na˜o existe nu´mero natural entre n e n+ 1 (Exerc´ıcio
2.3).
Teorema 2.6 (Segundo Princ´ıpio de Induc¸a˜o) Seja X ⊂ N um conjunto com a
seguinte propriedade: dado n ∈ N, se X conte´m todos os nu´meros naturais m tais que
m < n, enta˜o n ∈ X. Nessas condic¸o˜es, X = N.
Demonstrac¸a˜o. Seja Y = N−X. Afirmamos que Y = ∅. De fato, se Y na˜o fosse vazio,
pelo Teorema 2.5 exitiria um elemento mı´nimo p ∈ Y . Assim, para todo nu´mero natural
m < p, ter´ıamos m ∈ X. Mas, pela propriedade de X, isso nos leva a` contradic¸a˜o
p ∈ X.
O Segundo Princ´ıpio da Induc¸a˜o constitui um me´todo u´til para demonstrar
proposic¸o˜es referentes a nu´meros naturais e tambe´m pode ser enunciado da seguinte
forma: seja P uma propriedade relativa a nu´meros naturais. Se, dado n ∈ N, do fato
de todo nu´mero natural m < n gozar da propriedade P puder ser inferido que n goza
de P, enta˜o todo nu´mero natural tem a propriedade P. O exemplo a seguir ilustra uma
aplicac¸a˜o desse me´todo de demonstrac¸a˜o.
Exemplo 2.7 (Teorema Fundamental da Aritme´tica) Dizemos que um nu´mero
natural p e´ primo quando p 6= 1 e na˜o se pode escrever p = m · n com m < p e n < p.
Mostre que todo nu´mero natural se decompo˜e, de modo u´nico, como produto de fatores
primos.
Resoluc¸a˜o: Seja n ∈ N e suponha que todo nu´mero natural menor que n possa ser
decomposto como produto de fatores primos. Assim, ou n e´ primo, sendo de modo
9
trivial produto de fatores primos, ou enta˜o n = m · k, com m < n e k < n. Nesse
segundo caso, segue da hipo´tese de induc¸a˜o que m e k sa˜o produtos de fatores primos
e, portanto, n tambe´m o e´. Assim, pelo Segundo Princ´ıpio da Induc¸a˜o, conclu´ımos
que todo nu´mero natural e´ produto de nu´meros primos. Vamos mostrar agora que tal
decomposic¸a˜o e´ unica. Considere n ∈ N e suponha que a decomposic¸a˜o em fatores
primos de todo nu´mero natural menor que n seja u´nica, exceto pela ordem dos fatores.
Se n for primo, na˜o ha´ o que provar. Caso contra´rio, como n se decompo˜e como produto
de fatores primos, podemos escrever n = pq, em que p e´ primo. Como q < n, temos pela
hipo´tese de induc¸a˜o que q admite uma u´nica decomposic¸a˜o em fatores primos e, assim,
a decomposic¸a˜o de pq tambe´m e´ u´nica. Mas como n = pq, segue que a decomposic¸a˜o de
n e´ u´nica. Portanto, pelo Segundo Princ´ıpio da Induc¸a˜o, conclu´ımos que todo nu´mero
natural se decompo˜e de modo u´nico como produto de fatores primos.
2.2 Conjuntos finitos
Considere o conjunto In = {p ∈ N | p ≤ n} = {1, 2, 3, · · · , n}.
Definic¸a˜o 2.8 Um conjunto X e´ finito quando e´ vazio ou quando existe, para algum
n ∈ N, uma bijec¸a˜o f : In → X.
No primeiro caso dessa definic¸a˜o dizemos que X tem zero elementos. No
segundo caso, dizemos que n ∈ N e´ o nu´mero de elementos de X, ou seja, que X possui
n elementos (n tambe´m pode ser chamado de nu´mero cardinal do conjunto finito X).
Intuitivamente, uma bijec¸a˜o f : In → X representa uma contagem dos elementos de
X. Escrevendo f(1) = x1, f(2) = x2, · · · , f(n) = xn, temos X = {x1, x2, · · · , xn}.
Da Definic¸a˜o 2.8 segue que In e´ finito e possui n elementos. Ale´m disso, se
f : X → Y e´ uma bijec¸a˜o, um desses conjuntos e´ finito se, e somente se, o outro e´.
Vejamos a seguir alguns dos importantes resultados sobre conjuntos finitos.
Lema 2.9 Se existe uma bijec¸a˜o f : X → Y enta˜o, dados a ∈ X e b ∈ Y , existe
tambe´m uma bijec¸a˜o g : X → Y tal que g(a) = b.
Demonstrac¸a˜o. Seja b′ = f(a). Como f e´ sobrejetiva, existe a′ ∈ X tal que f(a′) = b.
Vamos definir g : X → Y como g(a) = b, g(a′) = b′ e g(x) = f(x) se x ∈ X e´ diferente
de a e de a′. Dessa forma, g tambe´m e´ uma bijec¸a˜o.
Teorema 2.10 Se A e´ um subconjunto pro´prio de In, na˜o pode existir uma bijec¸a˜o
f : A→ In.
Demonstrac¸a˜o. Suponha, por absurdo, que o teorema seja falso e considere n0 ∈ N o
menor nu´mero natural para o qual existem um subconjunto pro´prio A ⊂ In0 e uma
bijec¸a˜o f : A → In0 . Se n0 ∈ A, enta˜o pelo Lema 2.9, existe uma bijec¸a˜o g : A → In0
10
com g(n0) = n0. Neste caso, a restric¸a˜o de g a A−{n0} e´ uma bijec¸a˜o do subconjunto
pro´prio A− {n0} sobre In0−1, o que contraria a minimalidade de n0. Se, ao contra´rio,
tivermos n0 /∈ A enta˜o tomamos a ∈ A com f(a) = n0 e a restric¸a˜o de f ao subconjunto
pro´prio A− {a} ⊂ In0−1 sera´ uma bijec¸a˜o sobre In0−1, o que novamente vai contrariar
a minimalidade de n0.
Corola´rio 2.11 Se f : Im → X e g : In → X sa˜o bijec¸o˜es, enta˜o m = n.
Corola´rio 2.12 Seja X um conjunto finito. Uma aplicac¸a˜o f : X → X e´ injetiva se,
e somente se, e´ sobrejetiva.
Corola´rio 2.13 Na˜o pode existir uma bijec¸a˜o f : X → Y de um conjunto finito X
sobre uma parte pro´pria Y ⊂ X.
Teorema 2.14 Se X e´ um conjunto finito enta˜o todo subconjunto Y ⊂ X e´ finito.
Demonstrac¸a˜o. Primeiro vamos provar que se a ∈ X enta˜o X − {a} e´ finito. De fato,
existe uma bijec¸a˜o f : In → X a qual, pelo Lema 2.9, podemos supor que cumpre
f(n) = a. Se n = 1 enta˜o X − {a} = ∅, que e´ finito. Se n > 1, a restric¸a˜o de f a In−1
e´ uma bijec¸a˜o sobre X − {a}. Logo, X − {a} e´ finito e tem n − 1 elementos. Vamos
provar agora o caso geral por induc¸a˜o no nu´mero n de elementos de X. Suponha que
todo subconjunto de um conjunto com n elementos e´ finito. Sejam X um conjunto
com n + 1 elementos e Y um subconjunto qualquer de X. Se X = Y , o teorema esta´
provado. Caso contra´rio, existe a ∈ X tal que a /∈ Y . Enta˜o Y ⊂ X − {a}. Como
X − {a} tem n elementos, segue da hipo´tese de induc¸a˜o que Y e´ finito.
Definic¸a˜o 2.15 Um subconjunto X ⊂ N diz-se limitado quando existe p ∈ N tal que
x ≤ p para todo x ∈ X.
Corola´rio 2.16 Um subconjunto X ⊂ N e´ finito se, e somente se, e´ limitado.
Demonstrac¸a˜o. Seja X = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ N. Enta˜o, tomando p = x1+x2+ · · ·+xn,
temos que x ≤ p para todo x ∈ X. Logo, X e´ limitado. Reciprocamente, se X ⊂ N e´
limitado, enta˜o existe p ∈ N tal que x ≤ p para todo x ∈ X. Logo, X ⊂ Ip. Como Ip
e´ finito, segue do Teorema 2.14 que X tambe´m o e´.
Exerc´ıcio 2.17 Indicando por card(X) o nu´mero de elementosdo conjunto finito X,
prove que:
a) Se X e´ finito e Y ⊂ X enta˜o card(Y ) ≤ card(X).
Resoluc¸a˜o: Como X e´ finito, podemos supor X = In. Se Y ⊂ X, enta˜o Y e´
finito. Logo, existe uma bijec¸a˜o f : Im → Y e card(Y ) = m. Suponha que
m > n. Neste caso, In e´ um subconjunto pro´prio de Im e como Y ⊂ X, segue
que Y e´ subconjunto pro´prio de Im, contrariando o Corola´rio 2.13. Logo, m ≤ n
11
b) Se X e Y sa˜o finitos, enta˜o X ∪ Y e´ finito e
card(X ∪ Y ) = card(X) + card(Y )− card(X ∩ Y ).
Resoluc¸a˜o: Vamos considerar inicialmente o caso em que X e Y sa˜o disjuntos.
Temos que existem bijec¸o˜es f : In → X e g : Im → Y , sendo card(X) = n e
card(Y ) = m. Vamos definir a func¸a˜o h : In+m → X ∪ Y como h(x) = f(x) se
1 ≤ x ≤ n e h(x) = g(x − n) se n + 1 ≤ x ≤ m + n. Logo, h e´ uma bijec¸a˜o
e, portanto, X ∪ Y e´ finito e possui n + m elementos, ou seja, card(X ∪ Y ) =
card(X) + card(Y ).
Considere agora o caso em que X ∩ Y 6= ∅. Podemos escrever X e X ∪ Y como
a unia˜o de conjuntos disjuntos, da seguinte forma:
X = (X − Y ) ∪ (X ∩ Y ) (2.1)
e
X ∪ Y = (X − Y ) ∪ Y. (2.2)
Observe que os conjuntos X − Y e X ∩ Y sa˜o finitos, pois sa˜o subconjuntos de
X. Logo, X ∪ Y e´ finito e de (2.1) e (2.2) segue que
card(X) = card(X−Y )+card(X∩Y ) e card(X∪Y ) = card(X−Y )+card(Y ).
Portanto, card(X ∪ Y ) = card(X) + card(Y )− card(X ∩ Y ).
Exerc´ıcio 2.18 Seja P(X) o conjunto cujos elementos sa˜o os subconjuntos de X.
Prove por induc¸a˜o que se X e´ finito, enta˜o card
(P(X)) = 2card(X).
Resoluc¸a˜o: Se n = 1, enta˜o X = {a} possui dois subconjuntos, {a} e ∅. Logo,
card(P(X)) = 21. Seja X um conjunto com n elementos e suponha que card(P(X)) =
2n. Considere o conjunto Y = X ∪ {a} tal que a /∈ X. Assim, card(Y ) = card(X) +
card({a}) = n+1. Vamos mostrar que card(P(Y )) = 2n+1. Para tanto, basta observar
que os 2n subconjuntos de X tambe´m sa˜o subconjuntos de Y e, como a /∈ X, podemos
obter os demais subconjuntos de Y unindo cada subconjunto de X ao conjunto {a}.
Dessa forma, obtemos card
(P(Y )) = 2card(P(X)) = 2 · 2n = 2n+1.
2.3 Conjuntos infinitos
Um conjunto e´ infinito quando na˜o for finito. Assim, X e´ infinito quando na˜o
e´ vazio e na˜o existe, para qualquer n ∈ N, uma bijec¸a˜o f : In → X.
Exemplo 2.19 O conjunto N do nu´meros naturais e´ infinito. Justifique.
12
Teorema 2.20 Se X e´ um conjunto infinito, enta˜o existe uma aplicac¸a˜o injetiva
f : N→ X.
Demonstrac¸a˜o. Vamos definir uma func¸a˜o f : N → X recursivamente. Para isso,
definimos A1 = X e escolha x1 ∈ A1. Note que esta escolha e´ poss´ıvel, pois como
X e´ infinito, A1 e´ na˜o vazio. Agora definimos f(1) = x1, A2 = X − {f(1)} e es-
colhemos x2 ∈ A2. Prosseguindo dessa forma para n ≥ 3, tomamos xn ∈ An =
X − {f(1), f(2), . . . , f(n− 1)} e definimos f(n) = xn. Nestas condic¸o˜es, temos que f
e´ injetiva, pois se m 6= n, digamos m < n, enta˜o f(m) ∈ {f(1), f(2), . . . , f(n− 1)}
enquanto f(n) ∈ X − {f(1), f(2), . . . , f(n− 1)}. Logo, f(m) 6= f(n).
Corola´rio 2.21 Um conjunto X e´ infinito se, e somente se, existe uma bijec¸a˜o
g : X → Y sobre um subconjunto pro´prio Y ⊂ X.
Demonstrac¸a˜o. Sejam X infinto e f : N → X uma aplicac¸a˜o injetiva, cuja existeˆncia
e´ garantida pelo Teorema 2.20. Escreva para cada n ∈ N, f(n) = xn e considere o
subconjunto pro´prio Y = X − {x1}. Agora podemos definir uma bijec¸a˜o g : X → Y ,
pondo g(x) = x se x na˜o e´ um dos xn e g(xn) = xn+1, para todo n ∈ N. Reciprocamente,
se existe uma bijec¸a˜o de X sobre um subconjunto pro´prio Y ⊂ X, enta˜o segue do
Corola´rio 2.13 que X e´ infinito.
Exerc´ıcio 2.22 Construa uma bijec¸a˜o entre o conjunto N e o conjunto dos nu´meros
ı´mpares positivos.
Exerc´ıcio 2.23 Dadas f : X → Y , prove que:
a) Se X e´ infinito e f e´ injetiva enta˜o Y e´ infinito.
b) Se Y e´ infinito e f e´ sobrejetiva, enta˜o X e´ infinito.
2.4 Conjuntos enumera´veis
Um conjuntoX diz-se enumera´vel quando e´ finito ou quando existe uma bijec¸a˜o
f : N→ X. Neste caso, f chama-se uma enumerac¸a˜o dos elementos de X. Escrevendo
f(1) = x1, f(2) = x2, · · · , f(n) = xn, · · · , temos X = {x1, x2, · · · , xn, · · ·}.
Exemplo 2.24 O conjunto Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · ·} dos nu´meros inteiros e´ enu-
mera´vel. Basta considerar a bijec¸a˜o f : N→ Z, dada por f(n) = n− 1
2
para n ı´mpar
e f(n) = −n
2
para n par.
Teorema 2.25 Todo subconjunto X ⊂ N e´ enumera´vel.
13
Demonstrac¸a˜o. Se X e´ finito, enta˜o na˜o ha´ o que provar. Considere enta˜o X infinito.
Vamos definir uma func¸a˜o f : N→ X da seguinte forma: f(1) = min {X} (a existeˆncia
do elemento mı´nimo e´ garantida pelo Princ´ıpio da Boa Ordenac¸a˜o, uma vez queX e´ na˜o
vazio), f(2) = min {X − {f(1)}} , . . . , f(n + 1) = min {X − {f(1), . . . , f(n)}}. Note
que f e´ injetiva, pois f(n+1) > f(n), para todo n ∈ N. Vamos mostrar que f tambe´m
e´ sobrejetiva. Suponha por absurdo que exista algum x ∈ X diferente de todos os f(n),
n ∈ N. Enta˜o, x seria um nu´mero natural maior do que todos os elementos do conjunto
infinito Y = {f(1), f(2), . . . , f(n), . . .}. Dessa forma, Y seria limitado, contrariando o
Corola´rio 2.16. Logo, f : N→ X e´ uma bijec¸a˜o, ou seja, X e´ enumera´vel.
Corola´rio 2.26 Seja f : X → Y injetiva. Se Y e´ enumera´vel enta˜o X tambe´m e´.
Em particular, todo subconjunto de um conjunto enumera´vel e´ enumera´vel.
Corola´rio 2.27 Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X e´ enumera´vel, enta˜o Y tambe´m e´.
Corola´rio 2.28 O produto cartesiano de dois conjuntos enumera´veis e´ um conjunto
enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o. Sejam X e Y conjuntos enumera´veis, enta˜o existem sobrejec¸o˜es f : N→
X e g : N→ Y . Logo, a func¸a˜o h : N×N→ X×Y , dada por h(m,n) = (f(m), g(n)) e´
sobrejetiva. Portanto, usando o Corola´rio 2.27, basta mostrar que N×N e´ enumera´vel.
Para isto, considere a func¸a˜o ϕ : N × N → N dada por ϕ(m,n) = 2m · 3n. Pela
unicidadade da decomposic¸a˜o de um nu´mero em fatores primos, ϕ e´ injetiva. Logo,
pelo Corola´rio 2.26, N× N e´ enumera´vel.
Exemplo 2.29 Nem todo conjunto infinito e´ enumera´vel. Por exemplo, seja S o con-
junto de todas as sequeˆncias infinitas cujos elementos sa˜o bina´rios, ou seja, os elemen-
tos de S sa˜o da forma s = (011010001 . . .). Afirmamos que S e´ na˜o-enumera´vel. De
fato, suponha que S seja enumera´vel. Nesse caso, podemos escrever
S =
{
s1, s2, . . . , sm, . . .
}
.
Seja smn o n−e´simo termo da sequeˆncia sm ∈ S. Vamos formar uma nova sequeˆncia s∗
tomando s∗m = 1−smm. Assim, s∗ e´ uma sequeˆncia com elementos 0 e 1 e, portanto esta´
em S. Mas, como s∗m 6= smm, temos que s∗ 6= sm para todo m ∈ N, ou seja, s∗ /∈ S, o
que e´ uma contradic¸a˜o. Logo, S e´ na˜o-enumera´vel. O racioc´ıcio usado nesse exemplo
e´ devido ao matema´tico George Cantor e e´ conhecido como “me´todo da diagonal”.
Exemplo 2.30 O conjunto Q =
{m
n
| m,n ∈ Z, n 6= 0
}
dos nu´meros racionais e´ enu-
mera´vel. De fato, podemos definir uma func¸a˜o sobrejetiva f : Z × Z∗ → Q, como
f(m,n) =
m
n
.
14
Exerc´ıcio 2.31 Sejam A um conjunto finito e B um conjunto enumera´vel. Mostre
que o conjunto A ∪B e´ enumera´vel.
Exerc´ıcio 2.32 Mostre que se A e B sa˜o conjuntos infinitos enumera´veis, enta˜o A∪B
tambe´m e´ enumera´vel.
2.5 Lista de Exerc´ıcios
1. Use induc¸a˜o para provar que:
a) 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ 2n− 1 = n2
b) 3 + 32 + 33 + · · ·+ 3n = 3
2
(3n − 1)
c) 1 + 2 + 3 + · · ·+ n < (2n+ 1)
2
8
d) 2n+ 1 < 2n para todo n ≥ 3
e) (a− 1)(1 + a+ · · ·+ an) = an+1 − 1 para quaisquer a, n ∈ N
f) (a+ b)n =
(
n
0
)
an+
(
n
1
)
an−1b+
(
n
2
)
an−2b2+ · · ·+
(
n
r
)
an−rbr+ · · ·+
(
n
n
)
bn
para todo n ∈ N, em que
(
n
r
)
=
n!
r!(n− r)! (Binoˆmio de Newton)
2. Dados n,m ∈ N, com n > m, prove que ou n e´ mu´ltiplo de m ou existem q, r ∈ N
tais que n = mq + r e r < m.
3. Dadosm,n ∈ N, prove que se m < n enta˜o para todo p ∈ N tem-se mp < np
(monotonicidade da multiplicac¸a˜o).
4. Prove a lei do corte para multiplicac¸a˜o, isto e´, dados m,n, p ∈ N, mp = np ⇒
m = n.
5. Seja X ⊂ N um subconjunto na˜o vazio tal que m,n ∈ X ⇔ m,m+n ∈ X. Prove
que existe k ∈ N tal que X e´ o conjunto dos mu´ltiplos de k.
6. Prove que todo nu´mero primo maior que 2 e´ ı´mpar.
7. Prove o Princ´ıpio da Casa de Pombos: se m > n na˜o existe func¸a˜o injetiva
f : Im → In (quando m > n, para alojar m pombos em n casas e´ preciso que
pelo menos uma casa abrigue mais de um pombo).
8. Prove que o conjunto P dos nu´meros primos e´ infinito.
15
Cap´ıtulo 3
Nu´meros Reais
3.1 Corpos
Um corpo K e´ um conjunto munido de duas operac¸o˜es, chamadas adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o, que satisfazem certas condic¸o˜es (axiomas de corpo) que sera˜o especifi-
cadas a seguir. A adic¸a˜o faz corresponder a cada par de elementos x, y ∈ K, sua soma
x + y ∈ K, enquanto a multiplicac¸a˜o associa a esses elementos o produto x · y ∈ K.
Estas operac¸o˜es devem obedecer os seguintes axiomas:
1. Comutatividade: para quaisquer x, y ∈ K tem-se x+ y = y + x e x · y = y · x.
2. Associatividade: para quaisquer x, y, z ∈ K tem-se (x + y) + z = x + (y + z) e
(x · y) · z = x · (y · z).
3. Existeˆncia de elementos neutros : existem em K dois elementos distintos 0 e 1
tais que x+ 0 = x e x · 1 = x, para qualquer x ∈ K.
4. Existeˆncia de elementos inversos : para cada x ∈ K existe um elemento inverso
aditivo −x ∈ K tal que x + (−x) = 0 e, se x 6= 0, existe tambe´m um inverso
multiplicativo x−1 ∈ K tal que x · x−1 = 1.
5. Distributividade: para quaisquer x, y, z ∈ K, tem-se que x · (y+ z) = x · y+ x · z.
E´ fa´cil verificar que o conjuntoQ dos nu´meros racionais e´ um corpo e o conjunto
Z dos nu´meros inteiros na˜o e´ corpo.
Da comutatividade resulta que 0 + x = x e −x + x = 0 para todo x ∈ K.
Analogamente, 1 · x = x e, para x 6= 0, x−1 · x = 1. A soma x+ (−y) sera´ indicada por
x − y e chamada diferenc¸a entre x e y. Se y 6= 0, o produto x · y−1 sera´ representado
tambe´m por x/y e chamado quociente de x por y. As operac¸o˜es (x, y) → x − y e
(x, y)→ x/y chamam-se subtrac¸a˜o e divisa˜o, respectivamente.
Exerc´ıcio 3.1 Dados a e b em um corpo K, mostre que a equac¸a˜o a + x = b tem
soluc¸a˜o u´nica.
16
Exerc´ıcio 3.2 Dados a 6= 0 e b em um corpo K, mostre que a equac¸a˜o ax = b tem
soluc¸a˜o u´nica.
Exerc´ıcio 3.3 Mostre que dados x, y em um corpo K, com x · y = 0, tem-se x = 0 ou
y = 0.
3.1.1 Corpo ordenado
Um corpo K e´ ordenado se contiver um subconjunto P , chamado subconjunto
dos elementos positivos de K, com as seguintes propriedades:
(P1) x, y ∈ P implica x+ y ∈ P e x · y ∈ P .
(P2) Dado x ∈ K, exatamente uma das treˆs possibilidades ocorre: ou x = 0 ou x ∈ P
ou −x ∈ P .
Assim, se indicarmos por −P o conjunto dos elementos −x tais que x ∈ P ,
temos K = P ∪ (−P )∪ {0}, sendo os conjuntos P , −P e {0} dois a dois disjuntos. Os
elementos de −P chamam-se negativos.
Observe que em um corpo ordenado K, se a 6= 0, ou a ∈ P ou −a ∈ P . No
primeiro caso, a2 = a · a ∈ P . No segundo caso, a2 = (−a) · (−a) ∈ P . Logo, se a 6= 0,
a2 ∈ P . Em particular, 1 = 1 · 1 e´ sempre positivo e −1 ∈ −P .
Observac¸a˜o 3.4 O conjunto Q e´ um corpo ordenado, em que P e´ o conjunto Q+ dos
racionais positivos.
Em um corpo ordenado K podemos introduzir uma ordem estrita entre seus
elementos, da seguinte forma:
x < y (x e´ menor que y) se y − x ∈ P.
Escreve-se tambe´m y > x e diz-se: y e´ maior que x.
Note que se definirmos K+ = {x ∈ K | x > 0}, segue que K+ = P .
A relac¸a˜o de ordem x < y num corpo ordenado K goza das seguintes pro-
priedade:
1. Transitividade: se x < y e y < z enta˜o x < z.
2. Tricotomia: dados x, y ∈ K, ocorre exatamente umas das seguintes possibili-
dades: ou x = y, ou x < y, ou y < x.
3. Monotonicidade da adic¸a˜o: se x < y enta˜o, para todo z ∈ K, tem-se x+z < y+z.
4. Monotonicidade da multiplicac¸a˜o: se x < y enta˜o, para todo z > 0, tem-se
xz < yz. Se, pore´m, z < 0, enta˜o x < y implica yz < xz.
17
Uma outra relac¸a˜o de ordem existente num corpo ordenado K e´ a relac¸a˜o ≤.
Essa notac¸a˜o indica que x < y ou x = y. Isso significa que
x ≤ y ⇔ y − x ∈ P ∪ {0} .
Observac¸a˜o 3.5 Em um corpo ordenado K as seguintes incluso˜es sa˜o va´lidas: N ⊂
Z ⊂ Q ⊂ K. De fato, como 1 > 0 temos que 1 < 1+1 < 1+1+1 < . . .. Logo, N ⊂ K.
Uma vez que dado n ∈ K temos que −n ∈ K e, ainda, 0 ∈ K, podemos concluir que
Z ⊂ K. Ale´m disso, se m,n ∈ Z, com n 6= 0, enta˜o m/n = m · n−1 ∈ K, o que nos
permite concluir que Q ⊂ K.
Exerc´ıcio 3.6 Seja K um corpo ordenado.
1. Mostre que para quaisquer x, y ∈ K, x < y e´ equivalente a −y < −x.
2. Sejam a, b, c, d ∈ K. Mostre que se a < b e c < d enta˜o a+ c < b+ d.
3. Mostre que o inverso multiplicativo de um nu´mero positivo x ∈ K tambe´m e´
positivo.
4. Mostre que se x, y ∈ K+ e x < y, enta˜o y−1 < x−1.
Exerc´ıcio 3.7 (Desigualdade de Bernoulli) Seja K um corpo ordenado e n ∈ N.
Mostre que se x ≥ −1 enta˜o (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Definic¸a˜o 3.8 Sejam K um corpo ordenado, A um subconjunto de K e a, b ∈ K.
(i) b e´ uma cota superior de A se b ≥ x, para todo x ∈ A
(ii) a e´ uma cota inferior de A se a ≤ x, para todo x ∈ A
Existem conjuntos que na˜o possuem cotas superiores ou inferiores. Por exem-
plo, considere o corpo ordenado Q dos nu´meros racionais. Temos que N ∈ Q na˜o possui
cota superior e Z ∈ Q na˜o possui cota superior nem inferior.
Definic¸a˜o 3.9 Dizemos que um subconjunto A do corpo ordenado K e´ limitado supe-
riormente quando possui cota superior e, limitado inferiormente, quando possui cota
inferior. Dizemos que A e´ limitado se e´ limitado inferior e superiormente.
Seja K um corpo ordenado e A ⊂ K um subconjunto na˜o vazio limitado
superiormente. Um nu´mero b ∈ K chama-se supremo do conjunto A quando e´ a
menor das cotas superiores de A, e escreve-se b = supA. Em outras palavras, b e´
supremo de A quando cumpre as condic¸o˜es:
(i) x ≤ b para todo x ∈ A.
18
(ii) se c ∈ K e c < b enta˜o existe x ∈ A tal que c < x. Equivalentemente, podemos
dizer que, para todo ε > 0 existe x ∈ A tal que b− ε < x.
Analogamente, se A ∈ K e´ na˜o vazio e limitado inferiormente, um nu´mero
a ∈ A chama-se ı´nfimo do conjunto A, e escreve-se a = inf A, quando e´ a maior
das cotas inferiores de A. Ou ainda, dizemos que a e´ ı´nfimo de A quando cumpre as
condic¸o˜es:
(i) a ≤ x para todo x ∈ A.
(ii) se c ∈ K e a < c enta˜o existe x ∈ A tal que x < c. Equivalentemente, podemos
dizer que, para todo ε > 0 existe x ∈ A tal que x < a+ ε.
Exerc´ıcio 3.10 Sejam K um corpo ordenado e X = {x ∈ K | a < x < b}. Mostre que
infX = a e supX = b.
Dizemos que b ∈ A e´ o maior elemento de A se x ≤ b para todo x ∈ A. Isto
significa que b e´ uma cota superir de A que pertence a A. Analogamente, a ∈ A e´ o
menor elemento de A se x ≥ a para todo x ∈ A. Assim, vemos que se um conjunto
possui elemento ma´ximo, enta˜o este sera´ seu supremo e, se possui elemento mı´nimo,
este sera´ seu ı´nfimo. Reciprocamente, se supA pertence a A enta˜o ele sera´ o maior
elemento de A; se inf A pertence a A, enta˜o ele sera´ seu menor elemento. A noc¸a˜o
de supremo (´ınfimo) serve para substituir a ideia de maior (menor) elemento de um
conjunto quando esse maior (menor) elemento na˜o existe.
Exemplo 3.11 Considere os conjuntos
A = {x ∈ Q | 0 < x < 1} e B = {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1} .
Temos que supA = supB = 1, inf A = inf B = 0. Assim, vemos que o inf e o sup de
um conjunto, quando existem, podem pertencer ou na˜o ao conjunto.
Exerc´ıcio 3.12 Mostre que na˜o existe nu´mero racional cujo quadrado seja igual a 2.
Exerc´ıcio 3.13 Mostre que o conjunto A = {x ∈ Q | x2 > 2 e x > 0} na˜o tem ı´nfimo
em Q.
Resoluc¸a˜o: Suponha por absurdo que exista α ∈ Q tal que α = inf A.Como 0 e´ cota
inferior de A, temos que α ≥ 0. Ale´m disso, sabemos que na˜o existe nu´mero racional
cujo quadrado e´ igual a 2. Logo, ou α2 > 2 ou α2 < 2, isto e´, ou α ∈ A ou α ∈ B, em
que B = {y ∈ Q | y2 < 2 e y ≥ 0}. Observe que para quaisquer x ∈ A e y ∈ B, temos
que y2 < 2 < x2, ou seja, y < x. Logo, os elementos de B sa˜o cotas inferiores de A e os
elementos de A sa˜o cotas superiores de B. Vamos analisar agora as duas possibilidades
para α.
19
Se α ∈ A, enta˜o podemos mostrar que existe um nu´mero r ∈ Q+ tal que α− r ∈ A, o
que contraria o fato de α ser o ı´nfimo de A. Para provar a existeˆncia de tal nu´mero,
observe que se r ∈ Q+, enta˜o
(α− r)2 = α2 − 2αr + r2 > α2 − 2αr.
Assim, tomando r <
α2 − 2
2α
, obtemos (α − r)2 > 2. Ale´m disso, como α
2 − 2
2α
< α,
temos que α− r > 0. Portanto, α− r ∈ A.
Por outro lado, se α ∈ B, temos que existe um nu´mero racional 0 < r < 1 tal que
α+ r ∈ B. De fato, se 0 < r < 1 enta˜o r2 < r e
(α+ r)2 = α2 + 2αr + r2 < α2 + 2αr + r = α2 + r(2α+ 1).
Assim, tomando r < min
{
1,
2− α2
2α+ 1
}
, obtemos (α+ r)2 < 2 e, como α+ r > 0, segue
que α+ r ∈ B. Logo, α+ r e´ cota inferior de A, o que contraria o fato de α ser ı´nfimo
de A, pois α < α+ r.
Dessa forma, conclu´ımos que A na˜o possui ı´nfimo em Q.
Exerc´ıcio 3.14 Mostre que o conjunto B = {x ∈ Q | x2 < 2 e x ≥ 0} na˜o tem supre-
mo em Q.
3.1.2 Corpo ordenado completo
Um corpo K ordenado e´ dito completo quando todo subconjunto na˜o vazio,
limitado superiormente, X ⊂ K, possui um supremo em K.
Resulta da definic¸a˜o acima que, num corpo ordenado completo, todo conjunto
na˜o vazio limitado inferiormente, Y ⊂ K, possui um ı´nfimo em K. De fato, dado Y ,
sejaX = −Y , isto e´, X = {−y | y ∈ Y }. Enta˜oX e´ na˜o vazio e limitado superiormente,
logo existe a = supX e −a = inf Y .
Observe que nos Exerc´ıcios 3.13 e 3.14 temos que A e´ um conjunto limitado
inferiormente e B e´ um conjunto limitado de nu´meros racionais. Como A na˜o tem
ı´nfimo e B na˜o tem supremo em Q, vemos que Q na˜o constitui um corpo ordenado
completo.
Vamos apresentar agora o Axioma Fundamental da Ana´lise Matema´tica, o
qual estabelece que o conjunto R dos nu´meros reais e´ um corpo ordenado completo.
Axioma: Existe um corpo ordenado completo, R, chamado corpo dos nu´meros
reais.
O teorema a seguir estabelece algumas das consequeˆncias da completeza de R.
20
Teorema 3.15
(i) o conjunto N ⊂ R dos nu´meros naturais na˜o e´ limitado superiormente;
(ii) o ı´nfimo do conjunto X = {1/n | n ∈ N} e´ igual a 0;
(iii) dados a, b ∈ R+, existe n ∈ N tal que n · a > b.
Demonstrac¸a˜o.
(i) Se N ⊂ R fosse limitado superiormente, existiria c = supN. Assim, c− 1 na˜o seria
cota superior de N, isto e´, existiria n ∈ N com c−1 < n. Da´ı resultaria c < n+1
e, como n+ 1 ∈ N, c na˜o seria cota superior de R. Esta contradic¸a˜o prova (i).
(ii) Temos que 0 e´ uma cota inferior de X, pois
1
n
> 0 para todo n ∈ N. Enta˜o, basta
mostrar que nenhum c > 0 e´ cota inferior de X. De fato, dado c > 0, segue de (i)
que existe n ∈ N tal que n > 1
c
e, portanto,
1
n
< c. Logo, c na˜o e´ cota superiror
de X.
(iii) Dados a, b ∈ R+, segue de (i) que existe n ∈ N tal que n > b
a
. Logo, n · a > b.
As propriedades (i), (ii), e (iii) do teorema anterior sa˜o equivalente e significam
que R e´ um corpo arquimediano.
Da observac¸a˜o 3.5 temos que, sendo R um corpo ordenado completo, existem
elementos em R que na˜o esta˜o em Q. Tais elementos formam o conjunto dos nu´meros
irracionais R−Q = I.
Exerc´ıcio 3.16 Mostre que x, y ∈ R teˆm quadrados iguais, enta˜o x = ±y.
Exerc´ıcio 3.17 Prove que a equac¸a˜o x2 = 2 tem uma u´nica soluc¸a˜o real positiva, a
qual denotamos por
√
2.
Resoluc¸a˜o: Como Q ⊂ R, temos que o cojunto A = {x ∈ Q | x2 > 2 e x > 0} dado
no Exerc´ıcio 3.13 e´ um subconjunto de R. Ale´m disso, como A e´ na˜o vazio e limitado
inferiormente, por exemplo por 1, temos pela definic¸ao de corpo ordenado completo,
que existe x ∈ R+ tal que x = inf A e, pelo que foi provado no Exerc´ıcio 3.13, temos
que o quadrado de x na˜o pode ser maior nem menor que 2. Logo, x2 = 2, provando a
existeˆncia de soluc¸a˜o para a equac¸a˜o dada.
Vamos provar agora a unicidade da soluc¸a˜o. Suponha que existam a, b ∈ R+ tais que
a2 = 2 e b2 = 2. Enta˜o, a2 = b2 e, pelo Exerc´ıcio 3.16, a = b ou a = −b. Pore´m, a
segunda possibilidade contraria o hipo´tese de que a e b sa˜o positivos. Logo, a = b.
21
Pode-se provar o seguinte resultado que generaliza o Exerc´ıcio 3.17: dados
a > 0 em R e n ∈ N quaisquer, existe um u´nico nu´mero real b > 0 tal que bn = a. O
nu´mero b chama-se ra´ız n-e´sima de a e e´ representado pelo s´ımbolo n
√
a. Ale´m disso,
como visto no Exerc´ıcio 3.12,
√
2 e´ um nu´mero irracional. Generalizando esse fato,
temos que dado n ∈ N, se um nu´mero natural a na˜o possui uma raiz n-e´sima natural,
tambe´m na˜o possuira´ uma raiz racional, ou seja, dados a, n ∈ N, se n√a /∈ N enta˜o
n
√
a ∈ I.
3.2 Lista de Exerc´ıcios
1. Seja K um corpo. Dados a, b, c, d ∈ K, mostre que se b 6= 0 e d 6= 0
a) (b · d)−1 = b−1 · d−1 e conclua que
(
b
d
)−1
=
d
b
.
b)
a
b
· c
d
=
a · c
b · d .
c)
a
b
+
c
d
=
a · d+ b · c
b · d .
2. Dados x, y ∈ R, prove que se x2 + y2 = 0, enta˜o x = y = 0.
3. Dados x ∈ R e n ∈ N, prove que (1 + x)2n ≥ 1 + 2nx.
4. Prove que se x e y forem reais positivos, enta˜o
√
xy ≤ 1
2
(x+ y).
5. Sejam A,B ⊂ R conjuntos limitados e A+B = {x+ y | x ∈ A, y ∈ B}. Mostre
que sup(A+B) = supA+ supB e inf(A+B) = inf A+ inf B.
3.2.1 Valor Absoluto
A relac¸a˜o de ordem em R permite definir o valor absoluto (ou mo´dulo) de um
nu´mero real x (assim como em qualquer outro corpo ordenado), da seguinte forma:
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0 ,
ou, equivalentemente, |x| = max {x,−x}. Assim, temos que |x| ≥ x e |x| ≥ −x. Esta
u´ltima desigualdade pode ser escrita como −|x| ≤ x. Logo, −|x| ≤ x ≤ |x|, para todo
x ∈ R.
Teorema 3.18 Se x, y ∈ R enta˜o
(i) |x+ y| ≤ |x|+ |y|
(ii) |x · y| = |x| · |y|
22
Teorema 3.19 Dados a, x, r ∈ R, tem-se |x−a| ≤ r se, e somente se, a−r ≤ x ≤ a+r.
Exerc´ıcio 3.20 Dados a, b,m ∈ R, com a < b e m > 0, encontre o conjunto soluc¸a˜o
da equac¸a˜o |x− a|+ |x− b| = m.
Exerc´ıcio 3.21 Seja A ⊂ R. Mostre que A e´ limitado se, e somente se, existe M > 0
tal que |x| ≤M para todo x ∈ A.
3.2.2 Intervalos
No conjunto R dos nu´meros reais, assim como em qualquer corpo ordenado,
existe uma importante noc¸a˜o de intervalos, que sa˜o tipos especiais de conjuntos. Dados
a, b ∈ R, com a < b, usaremos as seguintes notac¸o˜es:
ˆ [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} (intervalo fechado)
ˆ [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} (intervalo fechado a` esquerda)
ˆ (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} (intervalo fechado a` direita)
ˆ (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} (intervalo aberto)
ˆ (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b} (semi-reta esquerda fechada, de origem b)
ˆ (−∞, b) = {x ∈ R | x < b} (semi-reta esquerda aberta, de origem b)
ˆ [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x} (semi-reta direita fechada, de origem a)
ˆ (a,+∞) = {x ∈ R | a < x} (semi-reta direita aberta, de origem a)
ˆ (−∞,+∞) = R
Os quatro primeiros intervalos sa˜o limitados, ja´ os demais sa˜o ilimitados.
Quando a = b, o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um u´nico elemento e chama-se
intervalo degenerado.
E´ conveniente imaginar o conjunto R como uma reta (a reta real) e os nu´meros
reais como pontos dessa reta. Assim, a relac¸a˜o x < y significa que o ponto x esta´ a`
esquerda de y, os intervalos sa˜o segmentos de reta e |x − y| e´ a distaˆncia do ponto x
ao ponto y.
Exerc´ıcio 3.22 Descreva geometricamente os conjuntos
A =
{
1 <
1
x
< 2
}
e B =
{
x ∈ R | x
2 + 1
x+ 3
≤ 5
}
.
Exerc´ıcio 3.23 Descreva geometricamente o conjunto {x ∈ R | |x− 2|≤ |a− 2|}, con-
siderando os va´rios casos poss´ıveis para o paraˆmetro a.
23
Teorema 3.24 (Intervalos encaixados) Dada uma sequeˆncia decrescente I1 ⊃ I2 ⊃
. . . ⊃ In ⊃ . . . de intervalos limitados e fechados In = [an, bn], existe pelo menos um
nu´mero real c tal que c ∈ In para todo n ∈ N.
Demonstrac¸a˜o. Note que as incluso˜es In ⊃ In+1 significam que
a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ bn ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1.
Portanto, o conjunto A = {a1, a2, . . . , an, . . .} e´ limitado superiormente. Seja c = supA.
Assim, an ≤ c para todo n ∈ N e, como bn e´ cota superior de A, temos que c ≤ bn para
todo n ∈ N. Portanto, c ∈ In, qualquer que seja n ∈ N.
Teorema 3.25 O conjunto dos nu´meros reais na˜o e´ enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o. Ja´ conhecemos uma demonstrac¸a˜o para esse teorema usando o Me´todo
da Diagonal de Cantor. Agora vamos ver uma prova que usa o Teorema 3.24. Para
tanto, basta mostrar que nenhuma func¸a˜o f : N→ R pode ser sobrejetiva. Supondo f
dada, vamos contruir uma sequeˆncia decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . . de intervalos
fechados tais que f(n) /∈ In. Para tanto, tomamos I1 = [a1, b1] tal que f(1) /∈ I1 e,
supondo obtidos I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In tais que f(j) /∈ Ij, olhamos para In = [an, bn]. Se
f(n + 1) /∈ In, podemos tomar In+1 = In. Pore´m, se f(n + 1) ∈ In, pelo menos um
dos extremos, digamos an, e´ diferente de f(n + 1), isto e´, an < f(n + 1). Neste caso,
tomamos In+1 = [an+1, bn+1], com an+1 = an e bn+1 =
an + f(n+ 1)
2
. Pelo Teorema
3.24, existe um nu´mero real c que pertence a todos os In e, da forma com que os
intervalos foram constru´ıdos, nenhum dos valores de f(n) pode ser igual a c. Logo, f
na˜o e´ sobrejetiva.
Como Q e´ enumera´vel, segue do Teorema 3.25 que o conjunto I dos nu´mero
irracionais na˜o e´ enumera´vel, pois R = Q∪I e assim, se I fosse enumera´vel, R tambe´m
seria.
Teorema 3.26 Todo intervalo na˜o-degenerado e´ na˜o-enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o. Seja f : (0, 1) → (a, b) a func¸a˜o dada por f(x) = (b − a)x + a. Como
f e´ uma bijec¸a˜o de (0, 1) em (a, b), basta provar que (0, 1) na˜o e´ enumera´vel, pois
assim podemos concluir, pelo Corola´rio 2.26, que (a, b) tambe´m e´ na˜o-enumera´vel. Na
verdade, ja´ sabemos que (0, 1) e´ na˜o enumera´vel pelo Me´todo da Diagonal de Cantor.
Agora vamos ver uma forma alternativa de provar esse resultado. Ora, se (0, 1) fosse
enumera´vel, (0, 1] tambe´m seria e, consequentente, para cada n ∈ Z o intervalo (n, n+1]
seria enumera´vel, pois a func¸a˜o g : (0, 1] → (n, n + 1] dada por g(x) = x + n e´ uma
bijec¸a˜o e, assim, a conclusa˜o de que (n, n + 1] seria enumera´vel segue do Corola´rio
24
2.27. Mas, dessa forma, ter´ıamos que R =
⋃
n∈Z
(n, n + 1] e´ enumera´vel, contrariando o
Teorema 3.25 .
Teorema 3.27 Todo intervalo na˜o-degenerado I conte´m nu´meros racionais e irra-
cionais.
Demonstrac¸a˜o. O intervalo I certamente conte´m nu´meros irracionais, pois do contra´rio
seria enumera´vel. Vamos provar que I tambe´m conte´m racionais. Para isso tomamos
[a, b] ⊂ I, onde a < b podem ser supostos irracionais. Fixando n ∈ N tal que 1
n
< b−a,
temos que os intervalos Im =
[
m
n
,
m+ 1
n
]
, com m ∈ Z, cobrem toda a reta, isto e´,
R =
⋃
m∈Z
Im. Portanto, existe m ∈ Z tal que a ∈ Im. Como a e´ irracional, temos que
m
n
< a <
m+ 1
n
e, sendo o comprimento
1
n
do intervalo Im menor do que b− a, segue
que
m+ 1
n
< b. Logo, o nu´mero racional
m+ 1
n
pertence ao intervalo [a, b] e, portanto,
a I.
3.3 Lista de Exerc´ıcios
1. Seja a ∈ R. Mostre que √a2 = |a|.
2. Para quaisquer x, y, z ∈ R, prove que
a) |x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|.
b) |x| − |y| ≤ ||x| − |y|| ≤ |x− y|.
3. Descreva geometricamente os seguintes conjuntos:
a) {x ∈ R | x2 − x− 6 < 0}
b) {x ∈ R | (x− 1)(x− 2)(x− 3) ≥ 0}
c)
{
x ∈ R |
∣∣∣∣ x+ 22x− 3
∣∣∣∣ < 4}
d) {x ∈ R | 2x+ 7 + |x+ 1| ≥ 0}
4. Prove que para todo x ∈ R tem-se |x− 1|+ |x− 2| ≥ 1.
5. Prove que se |a− b| < ε, enta˜o |a| < |b|+ ε.
6. Mostre que se a ∈ R+, enta˜o |x| > a⇔ x > a ou x < −a.
25
Cap´ıtulo 4
Sequeˆncias de Nu´meros Reais
Uma sequeˆncia de nu´meros reais e´ uma func¸a˜o x : N→ R, que associa a cada
nu´mero natural n um nu´mero xn, chamado n-e´simo termo da sequeˆncia. Denotaremos
uma sequeˆncia por (x1, x2, . . . , xn, . . .), ou (xn)n∈N, ou simplesmente (xn).
Definic¸a˜o 4.1 Uma sequeˆncia (xn) diz-se limitada superiormente (inferiormente)
quando existe c ∈ R tal que xn ≤ c (xn ≥ c) para todo n ∈ N. A sequeˆncia e´
dita limitada quando e´ limitada superior e inferiormente, ou seja, quando existe k ∈ R
tal que |xn| ≤ k para todo n ∈ N. Da´ı resulta que (xn) e´ limitada se, e somente se,
(|xn|) e´ limitada.
Exemplo 4.2 A sequeˆncia x : N → R dada por xn = 0 para n par e xn = 1 para
n ı´mpar pode ser escrita como (1, 0, 1, 0, . . .). O conjunto dos termos da sequeˆncia e´
{0, 1}. Assim, (xn) e´ limitada.
Exerc´ıcio 4.3 Mostre que a sequeˆncia (a, a2, a3, . . . , an, . . .), com a > 1, e´ limitada
apenas inferiormente.
Definic¸a˜o 4.4 Uma subsequeˆncia de (xn) e´ uma restric¸a˜o dessa sequeˆncia a um sub-
conjunto infinito N ′ = {n1 < n2 < . . . < nk < . . .} ⊂ N. Equivalentemente, uma sub-
sequeˆncia de (xn) e´ uma sequeˆncia do tipo (xn)n∈N′ ou (xnk)k∈N.
Exemplo 4.5 Considere a sequeˆncia (xn) =
(
1,
1
2
, 3,
1
4
, 5,
1
6
, . . .
)
. Se N′ ⊂ N e´ o con-
junto dos nu´meros pares e N′′ ⊂ N e´ o conjunto dos nu´meros ı´mpares, enta˜o podemos
definir duas subsequeˆncias: (xn)n∈N′ =
(
1
2
,
1
4
, . . . ,
1
n
, . . .
)
e (xn)n∈N′′ = (1, 3, . . . , n, . . .).
Observe que (xn)n∈N′ e´ limitada superiormente por
1
2
e inferiormente por 0, enquanto
a subsequeˆncia (xn)n∈N′′ e´ limitada apenas inferiormente por 1.
Definic¸a˜o 4.6 Uma sequeˆncia (xn) chama-se mono´tona quando se tem xn ≤ xn+1
para todo n ∈ N ou enta˜o xn+1 ≤ xn para todo n ∈ N. No primeiro caso, diz-se
26
que (xn) e´ mono´tona na˜o-decrescente e, no segundo, diz-se que (xn) e´ mono´tona na˜o-
crescente. Se as desigualdades forem estritas diremos que (xn) e´ crescente no primeiro
caso e decrescente no segundo.
Uma sequeˆncia na˜o-decrescente e´ sempre limitada inferiormente pelo seu pri-
meiro termo. Da mesma forma, uma sequeˆncia na˜o-crescente e´ sempre limitada supe-
riormente pelo seu primeiro termo. Para que uma sequeˆncia mono´tona seja limitada e´
suficiente que ela possua uma subsequeˆncia limitada. De fato, seja (xn) uma sequeˆncia
mono´tona, digamos na˜o-decrescente, e xn1 ≤ xn2 ≤ . . . ≤ xnk ≤ . . . ≤ b uma sub-
sequeˆncia limitade de (xn). Enta˜o, para qualquer n ∈ N existe nk > n e, portanto,
xn ≤ xnk ≤ b. Logo, xn ≤ b para todo n ∈ N, donde segue que (xn) e´ limitada.
Exemplo 4.7 A sequeˆncia constante xn = 1 e´ limitada, na˜o-decrescente e tambe´m
na˜o-crescente.
Exemplo 4.8 A sequeˆncia x : N → R dada por xn = 1
n
e´ mono´tona decrescente e
limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.
Definic¸a˜o 4.9 Diz-se que a ∈ R e´ limite da sequeˆncia (xn) quando, para todo ε > 0
dado, e´ poss´ıvel obter n0 ∈ N tal que |xn − a| < ε, sempre que n > n0. Neste caso,
tambe´m dizemos que a sequeˆncia (xn) converge para a (ou tende para a) e indicamos
esse fato por xn → a, ou lim
n→∞
xn = a, ou simplesmente limxn = a. Uma sequeˆncia
que possui um limite chama-se convergente. Do contra´rio, dizemos que a sequeˆncia e´
divergente.
Lembre-se que |xn − a| < ε e´ equivalenete a xn ∈ (a − ε, a + ε). Assim,
dizer que a ∈ R e´ limite da sequeˆncia (xn) significa para cada ε > 0, o conjunto
N′ = {n ∈ N | |xn − a| ≥ ε} e´ finito, ou seja, fora do intervalo (a− ε, a+ ε) so´ podera˜o
estar, no ma´ximo, os termos x1, x2, . . . , xn0 .
Teorema 4.10 (Unicidade do Limite) Uma sequeˆncia na˜o pode convergir para dois
limites distintos, ou seja, se limxn= a e limxn = b enta˜o a = b.
Demonstrac¸a˜o. Sejam a = limxn e b um nu´mero real tal que b 6= a. Tomando ε =
|b− a|
2
, temos que os intervalos (a− ε, a+ ε) e (b− ε, b+ ε) sa˜o disjuntos. Ale´m disso,
como limxn = a, existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ (a− ε, a+ ε) e, portanto,
xn /∈ (b− ε, b+ ε) para todo n > n0. Logo, na˜o podemos ter limxn = b.
Exerc´ıcio 4.11 Mostre que o limite da sequeˆncia xn =
3n2
n2 + 5
e´ 3.
Exerc´ıcio 4.12 Mostre que lim
n→∞
2n
n− cos 3n = 2.
27
Teorema 4.13 Se limxn = a enta˜o toda subsequeˆncia de (xn) converge para a.
Demonstrac¸a˜o. Seja (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .) uma subsequeˆncia de (xn). Como limxn =
a, temos que dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |xn − a| < ε sempre que n > n0. Como
os ı´ndices da subsequeˆncia formam um conjunto infinito, existe um nk0 > n0. Enta˜o,
para nk > nk0 > n0, temos que |xnk − a| < ε. Portanto, limxnk = a.
Corola´rio 4.14 Se limxn = a enta˜o, para todo k ∈ N, limxn+k = a.
O limite de uma subsequeˆncia de (xn) e´ denominado valor de adereˆncia da
sequeˆncia (xn). Pelo Teorema 4.13, temos que para mostrar que uma sequeˆncia (xn) e´
divergente basta obter duas subsequeˆncias de (xn) com valores de adereˆncia distintos.
Teorema 4.15 Toda sequeˆncia convergente e´ limitada.
Pelo Teorema 4.15, podemos concluir que a sequeˆncia dada no Exemplo 4.5
na˜o e´ convergente, pois na˜o e´ limitada superiormente. Note que esta sequeˆncia possui
um u´nico valor de adereˆncia.
E´ importante observar que a rec´ıproca do Teorema 4.15 na˜o e´ verdadeira. Por
exemplo, a sequeˆncia dada no Exemplo 4.2 e´ limitada, pore´m na˜o e´ convergente, pois
possui duas subsequeˆncias com valores de adereˆncia distintos, a saber: a subsequeˆncia
formada pelos ı´ndices pares tem limite 0 e a subsequeˆncia formada pelos ı´ndices ı´mpares
tem limite 1.
Exerc´ıcio 4.16 A sequeˆncia xn = (−1)n + 1
n+ 1
e´ convergente?
O teorema a seguir estabelece uma condic¸a˜o suficiente para que uma sequeˆncia
seja convergente.
Teorema 4.17 Toda sequeˆncia mono´tona limitada e´ convergente.
Demonstrac¸a˜o. Seja (xn) uma sequeˆncia mono´tona na˜o-decrescente limitada. O con-
junto X = {x1, x2, . . . , xn, . . .} e´ limitado, logo possui um supremo. Seja enta˜o a =
supX. Afirmamos que xn → a. De fato, dado ε > 0, o nu´mero a − ε na˜o e´ cota
superior de X. Logo, existe n0 ∈ N tal que a − ε < xn0 ≤ a. Dessa forma, temos que
para n > n0, a− ε < xn0 ≤ xn < a+ ε, donde segue que xn → a.
Segue do Teorema 4.17 que se (xn) e´ na˜o-decrescente e limitada, enta˜o limxn
e´ o supremo do conjunto dos valores de (xn). Analogamente, se (xn) e´ na˜o-crescente e
limitada, enta˜o limxn e´ o ı´nfimo do conjunto dos valores de xn
Corola´rio 4.18 Se uma sequeˆncia mono´tona (xn) possui uma subsequeˆncia conver-
gente, enta˜o (xn) e´ convergente.
28
Teorema 4.19 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sequeˆncia limitada de nu´-
meros reais possui uma subsequeˆncia convergente.
Exerc´ıcio 4.20. Considere a sequeˆncia definida por x1 = 1, xn+1 =
√
1 + xn. Mostre
que:
a) 1 ≤ xn ≤ 2 para todo n ∈ N;
b) (xn) e´ crescente;
c) (xn) e´ convergente.
Exerc´ıcio 4.21. Considere a sequeˆncia definida por y1 = 0, yn+1 =
1
1 + 2yn
. Mostre
que:
a) 0 ≤ yn ≤ 1 para todo n ∈ N;
b) (y2n−1)n∈N e´ crescente e (y2n)n∈N e´ decrescente;
Resoluc¸a˜o: Apenas para exemplificar, temos: (yn) =
(
0, 1,
1
3
,
3
5
,
5
11
,
11
21
,
21
43
, . . .
)
.
(a) Por induc¸a˜o: (i) E´ fa´cil observar que 0 ≤ y1 ≤ 1.
(ii) Supondo que 0 ≤ yn ≤ 1. Enta˜o, 0 ≤ 2yn ≤ 2 ⇒ 1 ≤ 1 + 2yn ≤ 3 ⇒
1
3
≤ yn+1 ≤ 1.
(b) Devemos mostrar que a subsequeˆncia dos ı´ndices ı´mpares e´ crescente, ou seja,
y2n+1 > y2n−1 para todo n ∈ N, e a subsequeˆncia dos ı´ndices pares e´ decrescente,
ou seja, y2n+2 < y2n para todo n ∈ N. Tambe´m faremos por induc¸a˜o:
(i) para n = 1 e´ claro, pois y3 > y1 e y4 < y2.
(ii) Supondo que as desigualdades sejam va´lidas para n, temos
1 + 2y2n+1 > 1 + 2y2n−1 ⇒ y2n+2 < y2n ⇒ 1 + 2y2n+2 < 1 + 2y2n ⇒ y2n+3 > y2n+1
e,
1+2y2n+2 < 1+2y2n ⇒ y2n+3 > y2n+1 ⇒ 1+2y2n+3 > 1+2y2n+1 ⇒ y2n+4 < y2n+2.
Exerc´ıcio 4.22 Sejam N′ e N′′ subconjuntos de N tais que N′∪N′′ = N. Mostre que se
as subsequeˆncias (xn)n∈N′ e (xn)n∈N′′ convergem para o mesmo limite a, enta˜o xn → a.
Resoluc¸a˜o: Dado ε > 0, existem n1, n2 ∈ N tais que n > n1, n ∈ N′, implica |xn − a| <
ε e n > n2, n ∈ N′′, implica |xn − a| < ε. Seja n0 = max {n1, n2}. Enta˜o, n > n0 ⇒
n > n1 e n > n2. Logo, como N = N′ ∪ N′′, temos que |xn − a| < ε para todo n > n0.
29
4.1 Propriedades dos Limites
Nessa sec¸a˜o veremos algumas propriedades dos limites e como eles se compor-
tam relativamente a`s operac¸o˜es e desigualdades.
Teorema 4.23 Considere a sequeˆncia (xn) e a ∈ R.
(i) limxn = a se, e somente se, lim |xn − a| = 0.
(ii) Se limxn = a, enta˜o lim |xn| = |a|. A rec´ıproca so´ e´ va´lida quando a = 0.
Demonstrac¸a˜o.
(i) Esse item segue direto da definic¸a˜o de limite, usando o fato de que |xn − a| =
||xn− a| − 0|. Note que tambe´m vale limxn = a se, e somente se, lim xn− a = 0.
(ii) A prova e´ imediata usando a desigualdade ||xn|− |a|| ≤ |xn−a|. Se lim |xn| = |a|
e a = 0, enta˜o por (i) conclu´ımos que limxn = 0, ou seja, nesse caso a rec´ıproca
e´ va´lida. No entanto, se a 6= 0 a rec´ıproca na˜o e´ va´lida, pois, por exemplo, se
xn = (−1)n e a = 1, enta˜o lim |xn| = |a|, mas (xn) na˜o e´ convergente.
Teorema 4.24 Sejam a = limxn e b ∈ R. Se b < a enta˜o, para todo n suficien-
temente grande, tem-se b < xn. Analogamente, se a < b enta˜o xn < b para todo n
suficientemente grande.
Demonstrac¸a˜o. Se b < a, enta˜o tomando ε = a − b, temos ε > 0 e b = a − ε. Logo,
pela definic¸a˜o de limite, existe n0 ∈ N tal que se n > n0 enta˜o a − ε < xn < a + ε e,
portanto, b < xn. Analogamente, se a < b, enta˜o tomando ε = b − a, temos ε > 0 e
b = a+ ε. Logo, como a = limxn, existe n0 ∈ N tal que a− ε < xn < a+ ε sempre que
n > n0 , portanto, xn < b para todo n > n0.
Corola´rio 4.25 (Permaneˆncia de sinal) Seja a = lim xn. Se a > 0 enta˜o, para
todo n suficientemente grande, tem-se xn > 0. Analogamente, se a < 0 enta˜o xn < 0
para todo n suficientemente grande.
Corola´rio 4.26 Sejam a = lim xn e b = lim yn. Se xn ≤ yn para todo n suficien-
temente grande enta˜o a ≤ b. Em particular, se xn ≤ b para todo n suficientemente
grande enta˜o limxn ≤ b.
Demonstrac¸a˜o. Se tive´ssemos b < a poder´ıamos tomar um c ∈ R tal que b < c < a
e pelo Teorema 4.24 existiria n0 tal que c < xn para todo n > n0. Logo, como por
hipo´tese xn ≤ yn para todo n suficientemente grande, ter´ıamos tambe´m b < c < yn
para todo n suficientemente grande, contradizendo a hipo´tese de que yn → b.
30
Observac¸a˜o 4.27 Mesmo supondo xn < yn, para todo n, na˜o se pode garantir que
limxn < lim yn. Por exemplo, tomando xn = 0 e yn =
1
n
, temos xn < yn para todo n,
pore´m, lim yn = 0.
Teorema 4.28 (Teorema do Sandu´ıche) Se limxn = lim yn = a e xn ≤ zn ≤ yn
para todo n suficientemente grande, enta˜o lim zn = a.
Demonstrac¸a˜o. Dado ε > 0, existem n1, n2 ∈ N tais que n > n1 ⇒ a− ε < xn < a+ ε e
n > n2 ⇒ a− ε < yn < a+ ε. Tomando n0 = max {n1, n2}, temos que n > n0 implica
a− ε < xn ≤ zn ≤ yn < a+ ε, donde segue que lim zn = a.
Exerc´ıcio 4.29 Seja p ≥ 1. Mostre que a sequeˆncia xn = 1
np
converge para zero.
Teorema 4.30 Se limxn = 0 e (yn) e´ uma sequeˆncia limitada (convergente ou na˜o),
enta˜o limxn · yn = 0.
Demonstrac¸a˜o. Como (yn) e´ limitada, existe c > 0 tal que |yn| ≤ c para todo n ∈ N.
Assim, temos que 0 ≤ |xn ·yn| ≤ c · |xn| e, pelo Teorema do Sandu´ıche, lim |xn ·yn| = 0.
Portanto, limxn · yn = 0.
Exemplo 4.31 Sejam xn =
1
n
e yn = cosn. Enta˜o, como |yn| ≤ 1 e xn → 0,
conclu´ımos que limxnyn = 0.
Teorema 4.32 Se limxn = a e lim yn = b enta˜o:
(i) limcxn = ca, onde c e´ uma constante.
(ii) lim(xn ± yn) = a± b.
(iii) lim(xn · yn) = a · b.
(iv) lim
xn
yn
=
a
b
, se b 6= 0.
Demonstrac¸a˜o.
(i) Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica |xn−a| < ε|c| . Logo, |cxn−ca| =
|c| · |xn − a| < ε para todo n > n0, donde segue que lim cxn = ca.
(ii) Dado ε > 0 existem n1, n2 ∈ N tais que |xn − a| < ε
2
para todo n > n1 e
|yn − b| < ε
2
para todo n > n2. Assim, tomando n0 = max {n1, n2} temos
que para todo n > n0, |(xn + yn) − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b| < ε. Logo,
lim(xn + yn) = a + b. Para provar que tambe´m vale lim(xn − yn) = a − b, note
que xn− yn = xn+ cyn, em que c = −1. Logo, usando o que acabamos de provar
juntamente com (i), conclu´ımos que lim(xn − yn) = a− b.
31
(iii) Temos que xnyn − ab = xnyn − xnb + xnb − ab = xn(yn − b) + b(xn − a). Pelo
Teorema 4.15, (xn) e´ limitada. Como lim(yn − b) = lim(xn − a) = 0, usando
o Teorema 4.30, conclu´ımos que limxn(yn − b) = 0 e lim b(xn − a) = 0. Logo,
lim(xnyn − ab) = limxn(yn − b) + lim b(xn − a) = 0 e, portanto, limxnyn = ab.
(iv) Note que
xn
yn
− a
b
=
xnb− ayn
ynb
. Como lim(xnb−ayn) = ab−ab = 0, basta mostrar
que
(
1
ynb
)
e´ limitada para concluir que lim
xn
yn
− a
b
= lim(xnb− ayn) 1
ynb
= 0 e,
portanto, lim
xn
yn
=
a
b
. Observe que ynb → b2 e seja c = b
2
2
. Como 0 < c < b2,
segue do Teorema 4.24 que ynb > c para todo n suficientemente grande. Portanto,
0 <
1
ynb
<
1
c
, ou seja,
(
1
ynb
)
e´ limitada.
Exemplo 4.33 Use o Teorema 4.32 para mostrar que a sequeˆncia xn =
(2n− 3)(n+ 2)
5n2 + 7
converge para
2
5
.
Exerc´ıcio 4.34 Use os resultados dos Exerc´ıcios 4.21 e 4.22 e as propriedades dos
limites para mostrar que a sequeˆncia definida por y1 = 0, yn+1 =
1
1 + 2yn
converge
para
1
2
.
Resoluc¸a˜o: Pelo Exerc´ıcio 4.21 temos que (y2n−1)n∈N e (y2n)n∈N sa˜o mono´tonas e lim-
itadas, portanto, ambas convergem, digamos y2n−1 → a e y2n → b. Vamos mostrar
agora que a = b =
1
2
. Note que y2n =
1
1 + 2y2n−1
e y2n+1 =
1
1 + 2y2n
. Logo, como
(y2n+1)n∈N e´ subsequeˆncia de (y2n−1)n∈N, temos que b =
1
1 + 2a
e a =
1
1 + 2b
. Por-
tanto, b+ 2ab = 1 e a+ 2ab = 1, donde segue que a = b. Para ver que este valor e´
1
2
,
basta notar que a+ 2a2 = 1 e que a = lim y2n−1 ≥ 0. Mostramos enta˜o que os termos
de ordem par e os termos de ordem ı´mpar da sequeˆncia (yn) teˆm o mesmo limite
1
2
.
Assim, podemos concluir pelo Exerc´ıcio 4.22 que yn → 1
2
.
Exerc´ıcio 4.35 Mostre que se xn > 0 para todo n ∈ N e lim xn+1
xn
= a < 1, enta˜o
limxn = 0.
Exerc´ıcio 4.36 Sejam b > 1 e k ∈ N constantes. Mostre que a sequeˆncia xn = n
k
bn
converge para zero.
Teorema 4.37 Sejam a = limxn e k ∈ N. Se xn ≥ 0 para todo n, enta˜o
lim k
√
xn =
k
√
a.
32
Demonstrac¸a˜o. Vamos provar este resultado para k = 2, considerando dois casos:
1º caso: a = 0
Vamos mostrar que lim
√
xn = 0, ou seja, que dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0
implica |√xn| < ε. Temos que xn → 0, enta˜o dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0
implica 0 ≤ xn < ε2 e, portanto, √xn < ε.
2º caso: a > 0
Como xn → a e a > a
2
temos que existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn > a
2
.
Assim,
√
xn >
√
a
2
e, portanto,
√
xn +
√
a >
√
a
2
+
√
a = c. Dessa forma, temos que
0 ≤ |√xn −
√
a| = |xn − a|√
xn +
√
a
<
|xn − a|
c
. Como xn → a, temos que |xn − a| → 0.
Portanto, segue do Teorema do Sandu´ıche que |√xn −
√
a| → 0, ou seja, √xn →
√
a.
Exerc´ıcio 4.38 Calcule o limite da sequeˆncia definida por x1 = 1, xn+1 =
√
1 + xn.
33
4.2 Limites infinitos
Dada uma sequeˆncia (xn), diz-se que “xn tende para mais infinito” e escreve-se
limxn = +∞, quando para todo nu´mero M > 0, dado arbitrariamente, existir n0 ∈ N
tal que n > n0 implica xn > M . Analogamente, limxn = −∞ significa que, para todo
M > 0 dado, pode-se achar n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn < −M .
Observac¸a˜o 4.39 Como +∞ e −∞ na˜o sa˜o nu´meros reais, segue que as sequeˆncias
cujos limites sa˜o ±∞ na˜o sa˜o convergentes.
Observac¸a˜o 4.40 Se limxn = +∞ enta˜o a sequeˆncia (xn) e´ ilimitada superiormente,
mas a rec´ıproca na˜o e´ verdadeira. Observe que a sequeˆncia dada no Exemplo 4.5 e´
ilimitada superiormente, pore´m limxn 6= +∞, pois x2n → 0. Por outro lado, se (xn)
for na˜o-decrescente, enta˜o (xn) ilimitada implica limxn = +∞. Assim, no Exerc´ıcio
4.3, ao mostrar que a sequeˆncia xn = a
n, com a > 1, e´ ilimitada superiormente,
provou-se que lim an = +∞.
Teorema 4.41 Seja xn > 0 para todo n. Enta˜o limxn = 0⇔ lim 1
xn
= +∞.
Demonstrac¸a˜o. Suponha que limxn = 0. Enta˜o dado M > 0, existe n0 ∈ N tal que
n > n0 implica |xn| < 1
M
. Como xn > 0 para todo n ∈ N, temos que 1
xn
> M , para
n > n0. Logo, lim
1
xn
= +∞. Suponha agora que lim 1
xn
= +∞. Enta˜o, dado ε > 0
existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica 1
xn
>
1
ε
. Logo, xn < ε. Segue que limxn = 0.
Exerc´ıcio 4.42 Seja 0 < p < 1. Mostre que a sequeˆncia xn =
1
np
converge para zero.
Resoluc¸a˜o: Apenas para exemplificar, considere o caso em que p e´ da forma
1
k
, com
k ∈ N, em particular, vamos tomar k = 3. Assim, temos xn = 1
n1/3
. Primeiramente
vamos analisar a sequeˆncia yn =
1
xn
= n1/3. Note que y1 = 1, y8 = 2, y27 = 3, . . ., ou
seja, yi3 = i, · · · , para todo i ∈ N. Dessa forma, temos que a sequeˆncia crescente (yn)
possui uma subsequeˆncia ilimitada e, portanto, yn → +∞. Segue que xn = 1
yn
→ 0.
Vamos provar agora que xn → 0, qualquer que seja 0 < p < 1. Considere a sequeˆncia
yn = n
p, tal que p >
1
k
, com k ∈ N. Dado i ∈ N, tome ni = ik. Assim, temos que
(ni)
p > (ni)
1/k = i. Dessa forma, temos que (yn) possui uma subsequeˆncia ilimitada e,
como (yn) e´ crescente, conclu´ımos que yn → +∞. Logo, xn = 1
yn
→ 0.
Nem todas as propriedades de limites de sequeˆncias convergentes podem ser
estendidas aos limites infinitos. Por exemplo, a propriedade lim(xn + yn) = limxn +
lim yn na˜o e´ sempre verdadeira. Se tomarmos xn = n e yn = −n essa propriedade
34
implica em 0 = +∞−∞. Por outro lado, se tive´ssemos xn = n2 + n e yn = −n, enta˜o
essa mesma propriedade implicaria em +∞ = +∞−∞, levando ao absurdo 0 = +∞.
Vejamos agora algumas das propriedade va´lidas para limites infinitos, sob cer-
tas condic¸o˜es.
Teorema 4.43 Considere as sequeˆncias (xn) e (yn).
(i) Se limxn = +∞ e (yn) e´ limitada inferiormente enta˜o lim(xn + yn) = +∞.
(ii) Se limxn = +∞ e existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N enta˜o lim(xnyn) =
+∞.
(iii) Se xn > c > 0, yn > 0 para todo n ∈ N e lim yn = 0 enta˜o lim xn
yn
= +∞.
(iv) Se (xn) e´ limitada e lim yn = +∞ enta˜o lim xn
yn
= 0.
Exerc´ıcio 4.44 Considere as sequeˆncias xn = n, yn = 2+ (−1)n e zn = 1
n
. Analise a
convergeˆncia de: (xn), (yn), (xn + yn),
(
xn
yn
)
e
(
yn
zn
)
.
Exerc´ıcio 4.45 A sequeˆncia xn =
(−1)n
n2
e´ convergente? Justifique.
Exerc´ıcio 4.46 Seja a > 1. Mostre que lim
an
n2
= +∞.
4.3 Lista de Exerc´ıcios
1. Use a definic¸a˜o de limite para provar que:
a) lim
n→∞
n2 + n
3n2 + 15
=
1
3
b) lim
n→∞
5n+ sen 2n
n+ 1
= 5
2. Mostre que a sequeˆncia xn = a
n converge para zero quando |a| < 1. Sugesta˜o:
analise separadamente os casos: a = 0, 0 < a < 1 e −1 < a < 0.
3. Considere a sequeˆncia definida por x1 = 2 e xn+1 =
xn + 3
2
. Mostre que:
a) 2 ≤ xn ≤ 3.
b) (xn) e´ crescente.
c) (xn) e´ convergente e calcule seu limite.
35
4. Sejam a e b nu´meros positivos com a > b. Considere as sequeˆncias (xn) e (yn)
dadas por:
x1 =
a+ b
2
, y1 =
√
ab, xn+1 =
xn + yn
2
e yn+1 =
√
xnyn.
a) Mostre que (xn) e´ decrescente e (yn) e´ crescente.Sugesta˜o: Lembre-se que
se x e y sa˜o nu´meros positivos, enta˜o
x+ y
2
≥ √xy.
b) Mostre que (xn) e (yn) sa˜o convergentes e convergem para o mesmo limite.
5. Seja (xn) uma sequeˆncia limitada. Defina uma subsequeˆncia de (xn) como segue.
(i) Considere [a0, b0] um intervalo que conte´m a sequeˆncia toda e escolha um
elemento xn0 qualquer;
(ii) Dividindo o intervalo [a0, b0] ao meio, sabemos que em pelo menos um dos
dois intervalos resultantes ha´ uma infinidade de termos da sequeˆncia. In-
dique este intervalo por [a1, b1] e escolha um elemento xn1 ∈ [a1, b1], com
n1 > n0;
(iii) Indutivamente, repetindo o procedimento anterior, escolha xni ∈ [ai, bi], com
ni > ni−1.
Mostre que:
(a) (an) e (bn) convergem para o mesmo valor, digamos c ∈ [a0, b0];
(b) lim
i→∞
xni = c.
Note que obtemos deste exerc´ıcio uma demonstrac¸a˜o do teorema de Bolzano-
Weierstrass.
6. Mostre que as sequeˆncias xn =
an
n!
, com a > 1, e yn =
n!
nn
sa˜o convergentes e que
ambas convergem para zero. Sugesta˜o: use o Exerc´ıcio 4.35.
7. Seja (xn) uma sequeˆncia de termos positivos. Mostre que se lim
n→∞
n
√
xn < 1 enta˜o
lim
n→∞
xn = 0. Use esse resultado para mostrar que a sequeˆncia xn =
an
nn
, com
a > 1, converge para zero.
8. Mostre que a sequeˆncia xn =
lnn
n
converge para zero. Sugesta˜o: Use a desigual-
dade ln
√
n <
√
n.
9. Prove que uma sequeˆncia limitada converge se, e somente se, possui um u´nico
valor de adereˆncia.
10. Diz-se que (xn) e´ uma sequeˆncia de Cauchy quando, para todo ε > 0 dado, existe
n0 ∈ N tal que m,n > n0 implica |xm − xn| < ε.
36
a) Prove que toda sequeˆncia de Cauchy e´ limitada.
b) Prove que uma sequeˆncia de Cauchy na˜o pode ter dois valores de adereˆncia
distintos.
c) Prove que uma sequeˆncia (xn) e´ convergente se, e somente se, e´ de Cauchy.
11. Considere a sequeˆncia definida por y1 = 1, yn+1 = 1 +
1
yn
. Mostre que:
a) 1 ≤ yn ≤ 2 para todo n ∈ N;
b) (y2n−1)n∈N e´ crescente e (y2n)n∈N e´ decrescente;
c) yn → 1 +
√
5
2
.
12. Prove o Teorema 4.43.
13. Se lim xn = +∞, prove que lim
n→∞
[√
ln(xn + 2)−
√
lnxn
]
= 0.
14. Mostre que lim
n→∞
log(n+ 1)
log n
= 1. Sugesta˜o: observe que
(
log(n+ 1)
log n
− 1
)
→ 0.
15. Seja a ∈ R. Deˆ exemplos de sequeˆncias satisfazendo xn → +∞ e yn → −∞ tais
que:
a) xn + yn → a
b) xn + yn → +∞
c) xn + yn → −∞
16. Seja a ∈ R. Deˆ exemplos de sequeˆncias satisfazendo xn → 0 e yn → +∞ tais
que:
a) xnyn → a
b) xnyn → +∞
c) xnyn → −∞
37
Cap´ıtulo 5
Se´ries nume´ricas
Neste cap´ıtulo vamos considerar a soma dos termos de uma sequeˆncia de
nu´meros reais (an) a qual denominamos se´rie nume´rica, representada por:
∑
an =
∞∑
n=1
an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .
A parcela an e´ denominada n-e´simo termo ou termo geral da se´rie. A`s vezes e´ conve-
niente considerar se´ries do tipo
+∞∑
n=0
an que comec¸am em a0 em vez de a1.
Seja (sn) a sequeˆncia dada por
s1 = a1, s2 = a1 + a2, · · · , sn = a1 + a2 + · · ·+ an,
denominada sequeˆncia de somas parciais da se´rie
∑
an. Se existir o limite s = lim sn
enta˜o diremos que a se´rie
∑
an e´ convergente e s sera´ a soma da se´rie, caso contra´rio,
diremos que a se´rie e´ divergente.
Exemplo 5.1 A se´rie
+∞∑
n=1
(−1)n e´ divergente, pois s2n = 0 e s2n−1 = −1. Portanto,
(sn) na˜o converge.
Exemplo 5.2 A se´rie geome´trica
+∞∑
n=0
qn, com |q| < 1, e´ convergente, pois sn =
1− qn+1
1− q converge para
1
1− q . Logo,
+∞∑
n=0
=
1
1− q . Por outro lado, se |q| ≥ 1, enta˜o a
se´rie diverge.
Exerc´ıcio 5.3 Mostre que
+∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
= 1.
A seguir estudaremos condic¸o˜es que devem ser satisfeitas para que uma se´rie
seja convergente.
38
5.1 Se´ries convergentes
O teorema a seguir estabelece a primeira condic¸a˜o necessa´ria para a con-
vergeˆncia de uma se´rie.
Teorema 5.4 Se
∑
an e´ uma se´rie convergente, enta˜o lim an = 0.
Demonstrac¸a˜o. Sejam sn = a1 + a2 + · · ·+ an e s = lim sn. Enta˜o,
lim an = lim(sn − sn−1) = s− s = 0.
E´ importante observar que a condic¸a˜o dada no Teorema 5.4 e´ apenas necessa´ria
e na˜o suficiente. Por exemplo, a sequeˆncia an =
√
n+ 1−√n converge para zero. No
entanto, a se´rie
∑
an e´ divergente, pois lim sn = lim(
√
n+ 1− 1) = +∞.
Um outro exemplo cla´ssico de se´rie divergente, cujo termo geral converge para
zero, e´ a se´rie harmoˆnica apresentada no exemplo a seguir.
Exemplo 5.5 A se´rie harmoˆnica
+∞∑
n=1
1
n
e´ divergente. Para provar esse resultado, basta
mostrar que (sn) diverge. Com efeito, temos
s2n = 1 +
1
2
+
(
1
3
+
1
4
)
+
(
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
)
+ · · ·+
(
1
2n−1 + 1
· · ·+ 1
2n
)
> 1 +
1
2
+
2
4
+
4
8
+ · · ·+ 2
n−1
2n
= 1 +
n
2
Segue que lim s2n = +∞ e, portanto, (sn) na˜o converge.
Note que o Teorema 5.4 nos fornece um teste para divergeˆncia de uma se´rie, a
saber, se lim an 6= 0 ou na˜o existe, enta˜o na se´rie
∑
an e´ divergente.
Exemplo 5.6 A se´rie
+∞∑
n=1
n+ 1
2n
na˜o converge, pois lim
n→+∞
n+ 1
2n
=
1
2
6= 0.
Teorema 5.7 Se as se´ries
∑
an e
∑
bn sa˜o convergentes e c e´ uma constante, enta˜o∑
can e
∑
(an + bn) tambe´m convergem e∑
can = c
∑
an e
∑
(an + bn) =
∑
an +
∑
bn.
O Teorema 5.7 e´ uma consequeˆncia imediata das propriedades ana´logas es-
tabelecidas para sequeˆncias (Teorema 4.32). A partir desse resultado segue que se
verificarmos a convergeˆncia de uma se´rie considerando apenas os termos com ı´ndices
superiores a k, enta˜o a se´rie toda e´ convergente e vale a igualdade
+∞∑
n=1
an = sk +
+∞∑
n=1
an+k.
39
Teorema 5.8 (Crite´rio da comparac¸a˜o) Sejam
∑
an e
∑
bn se´ries de termos na˜o-
negativos. Se existem c > 0 e n0 ∈ N tais que an ≤ cbn para todo n > n0 enta˜o a
convergeˆncia de
∑
bn implica a convergeˆncia de
∑
an, enquanto que a divergeˆncia de∑
an acarreta a divergeˆncia de
∑
bn.
Demonstrac¸a˜o. Sem perda de generalidade, podemos assumir que an ≤ cbn para todo
n ∈ N. Como an ≥ 0 e bn ≥ 0 para todo n ∈ N, enta˜o as sequeˆncias de somas
parciais (sn) e (tn) de
∑
an e
∑
bn, respectivamente, sa˜o na˜o-decrescentes e tem-se
0 ≤ sn ≤ ctn para todo n ∈ N. Assim, se
∑
bn converge, (tn) e´ convergente e,
portanto, limitada. Logo, a sequeˆncia mono´tona (sn) tambe´m e´ limitada, donde segue
que
∑
an e´ convergente. Por outro lado, se
∑
an e´ divergente, pelo fato de (sn) ser
na˜o-decrescente, segue que (sn) e´ ilimitada e, como tn ≥ sn
c
, tn tambe´m e´ ilimitada.
Portanto,
∑
bn e´ divergente.
Exemplo 5.9 A se´rie
+∞∑
n=0
1
n!
e´ convergente, pois
1
n!
=
1
2 · 3 · · ·n ≤
1
2 · 2 · · · 2 =
1
2n−1
= 2 · 1
2n
para todo n ≥ 0. Como
+∞∑
n=0
1
2n
e´ convergente, segue que a se´rie dada tambe´m e´.
Lembre-se que e = lim
n→+∞
(
2 +
1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
n!
)
=
+∞∑
n=0
1
n!
.
Exerc´ıcio 5.10 Mostre que a se´rie
+∞∑
n=1
1
np
e´ divergente se p ≤ 1 e convergente se
p > 1.
Exerc´ıcio 5.11 Mostre que a se´rie
+∞∑
n=1
15n+ 2
5n3 + 2n
√
n+ 2− 3 e´ convergente e a se´rie
+∞∑
n=1
n
√
n+ 1
n2 − 3 e´ divergente.
Teorema 5.12 (Leibniz) Se (an) e´ uma se´rie mono´tona na˜o-crescente que tende para
zero, enta˜o
+∞∑
n=1
(−1)n+1an e´ uma se´rie convergente.
Demonstrac¸a˜o. Seja sn = a1 − a2 + · · ·+ (−1)n+1an. Assim, temos que
s2n+2 = s2n + a2n+1 − a2n+2 ≥ s2n, pois a2n+1 − a2n+2 ≥ 0
e,
s2n+1 = s2n−1 − a2n + a2n+1 ≤ s2n−1, pois − a2n + a2n+1 ≤ 0.
40
Logo, (s2n) e´ mono´tona na˜o-decrescente e (s2n−1) e´ mono´tona na˜o-crescente. Ale´m
disso, como s2n−1