Funções elem.exerciciosI 14.1-B

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UNIFACS- Universidade Salvador
Ciência da Computação-14.1
Fundamentos de Matemática para Computação
Prof. Benedito Ikeda 
Exercicios-FUNÇÕES ELEMENTARES
1.Resolva analítica e graficamente os sistemas:
a) b) c)
2. . Ache a equação da reta que 
a) passa pelo ponto P(-3,-4) e e´paralela à reta y= -4x+2.
b) passa pelo ponto P( e e´paralela à reta y= x-4
c) passa pelo ponto P(1 e e´paralela ao eixo Oy
 3.) Ache a equação da reta que passa pelos pontos 
a) , b) P(0,-3) e Q( 2,5) c) P(-2,2) e Q(0,2) 
 
3. O clube ATB cobra uma anuidade de R$ 300,00 e o aluguel da quadra de tênis é de R$5,00 por hora. O clube GRT, com instalações semelhantes, cobra uma anuidade de R$400,00 e o aluguel da quadra é de R$ 3,00 por hora. Ache um critério para a escolha do clube.Faça uma análise gráfica do problema. (valor:2,0)
4. A fabrica de sandálias “Azaréa” vende cada par por 70,00. O custo fixo da fábrica é de R$ 4.000,00 por mês e o custo de produção é de R$ 45,00 por par,
 a) expresse o custo total CT e a receita total RT com funções da quantidade produzida 
 e vendida q:
 b) determine o ponto de equilíbrio PE e esboce os gráficos de CT e RT :
 c) quantos pares devem ser produzidos e vendidos para se obter um lucro de 
 R$ 2.000,00 ? (valor: 2,0)
5. Determine as leis que definem as funções cujos gráficos estão abaixo: 
 y=f(x) y=g(x) y=h(x)
	
	
	
6. Dado o gráfico abaixo, determine :
a) a lei que define a parábola y=f(x);
b) D(f) e Im(f)
c) as raízes da parábola (justifique !)
d) os intervalos onde a parábola é positiva e negativa
 
7. Uma papelaria adquire dicionários a R$ 18,00 a unidade. Estima-se que, se cada dicionário for vendido por p reais, a papelaria venderá (60-p) unidades por mês,
a) expresse o lucro mensal como função do preço e construa o gráfico correspondente;
b)determine o preço òtimo de venda e o lucro correspondente
	
	
8. Determine a equação que define a parábola ao lado. 
 
 Para que valores de x a parábola é positiva? Negativa? 
 
9. A loja “Sanipé”, no comércio, adquire sandálias por R$ 11,00 o par. Estima-se que, se cada par for vendido por “p” reais, serão vendidos 73-p pares por mês,
 a) expresse o lucro L, como função do preço p;
 b) esboce o gráfico de L;
c) determine o preço ótimo de venda. 
1.FUNÇÕES ELEMENTARES
 Vimos que o gráfico de uma função pode tomar as mais diferentes formas, a depender da lei que a define. A construção desses gráficos de forma mais precisa, em geral, exige recursos como um programa gráfico ( winplot, excel, maple, etc...) ou o conhecimento do conceito de derivada de uma função, que veremos mais tarde. Aqui vamos fazer um estudo resumido de algumas funções mais simples e usuais. Teremos assim uma idéia das características de seus gráficos. 
 
1-Função Linear, Função Afim ou Função do 1ºgrau.
 A lei ou equação que define a função linear é da forma y=ax+b. Já vimos vários exemplos desse tipo, lembra-se? Por exemplo, quando estudamos o preço de uma corrida de táxi, obtivemos a equação P=0,60x+8, que é da forma y=ax+b, onde y=P, a=0,60 e b=8. Outro caso foi quando determinamos que o preço P a pagar por l litros de gasolina é dado por P=3,10l. Nesse caso, y=P,x=l e b=0. Vejamos algumas características da função linear y=ax+b,
- o gráfico da função afim é uma reta;
- o coeficiente(número) a é denominado inclinação, declividade ou coeficiente angular da reta; 
- o coeficiente (número) b é denominado intercepto-y ou coeficiente linear da reta;
- se a>o, a reta é crescente, isto é, a medida que o valor de x aumenta (caminha para a direita no eixom Ox), o valor de sua imagem f(x) também aumenta (caminha para cima no eixo Oy);
- se a<0, a reta é decrescente, isto é, a medida que o valor de x aumenta, o valor de sua imagem f(x) diminui (caminha para baixo no eixo Oy)
- se a=0, a reta é horizontal, isto é , paralela ao eixo Ox. Neste caso, chamamos a função de função constante.
Exemplo 
 Vamos construir o gráfico da função y=2x-1. Pelo que vimos acima, sabemos que o gráfico é uma reta crescente Como nos exemplos anteriores, vamos construir uma tabela, atribuindo alguns valores arbitrários para x,
	 x
	 -2
	 -1
	 0
	 1
	2
	3
	 y
	 -5
	 -3
	 -1
	 1 
	3
	5
 
 
 
 Fig.III.1 - y=2x-1
 Observe que o gráfico intercepta o eixo Ox no ponto (0,-1). Isto significa que quando fazemos x=0 obtemos y=-1, que é exatamente o coeficiente b da equação da reta. Daí o nome de intercepto-y dado ao coeficiente b.
	O gráfico de uma função afim y=ax+b é uma reta que intercepta o eixo Ox no ponto (0,b)
 Para construirmos o gráfico acima usamos uma tabela com seis valores, mas poderíamos te-lo construído usando apenas o intercepto-y e atribuindo mais um valor qualquer para x, pois, para desenhar uma reta bastam dois pontos. 
2.Função quadrática ou de 2º grau
 A função quadrática é definida por uma equação, sentença ou lei da forma onde . Por exemplo, , onde a=5, b=-3 e c=7. Vejamos alguma propriedades da função quadrática,
- o gráfico é uma curva denominada “parábola”, já vista na fig.II.5 do resumo anterior.
- se a>0, então a parábola tem a concavidade voltada para cima ;
 se a<0, então a parábola tem a concavidade voltada para baixo ;
- as raízes (interceptos-x) são obtidas fazendo y=0 na equação da parábola. Isso significa que devemos resolver a equação de 2º grau, , e para isso usamos a fórmula de Bhaskara , .;
- se >0, então, então a parábola tem duas raízes distintas, ou seja corta o eixo-x em dois pontos distintos, ;
- se =0, então, a parábola tem duas raízes iguais , ou seja, tangencia o eixo-x;
- se <0, então, a parábola não tem raízes, ou seja, não intercepta o eixo-x (porque?);
- as coordenadas do vértice , o ponto mais baixo ou mais alto da parábola, a depender do sinal de a, são dadas por:
 
- o intercepto-y da parábola é dado por (0,c). 
2.1 EXEMPLOS
Esboce os gráficos das funções :
a) 
Solução:
Temos a=1 , b=-1 e c=2 e , logo, a concavidade é voltada para cima e existem duas raízes.
- vamos calcular as raízes,
 
- vamos determinar o vértice V da parábola,
 
- o intercepto-y é dado por (0,-2)
- vamos construir uma tabela com alguns valores além dos já calculados, 
 
		 x
	 y
	
	-2
	 4
	
	-1
	 0
	raiz
	 0
	-2
	int-y
	 1
	-2
	
	1/2
	-9/4
	vértice
	 2
	 0
	raiz
 
	
 Fig. 2.1- 
 
 
 b) 
 Solução:Temos , logo, teremos duas raízes distintas, que são x’=-3 e x’’=1 (confira!). As coordenadas do vértice são : (confira!) 
 
	 
	 x
	 y
	
	 -3
	 0
	raiz
	 -2
	 6
	
	 -1
	 8
	vértice
	 0
	 6
	
	 1 
	 0
	raiz
	 2-11
	
 
	
 
. Fig.2.2-
Observe que o vértice da parábola é simétrica em relação a reta vertical que passa pelo ponto médio entre as duas raízes. Isto significa que o é o ponto médio entre x’ e x’’, logo pode ser calculado pela fórmula do ponto médio, .
c) 
Solução:
Temos a=1 ,b=0 e c=3. Neste caso,não existem raízes, pois, 
 . 
As coordenadas do vértice são facilmente calculadas : .
 
	
	 x
	 y
	
	 -2
	 7
	
	 -1
	 4
	
	 0
	 3
	vértice
	 1
	 4
	
	 2
	 7
	
	
 Fig.3.2 
Observe que neste exemplo, a parábola não intercepta o eixo Ox.(Porque?)
0bservação: Existem no mercado vários “softwares” para a construção de gráficos. Um deles, o “WINPLOT”, é bastante simples e é livre .Procurem baixá-lo e construir os gráficos dos exercícios acima.