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Introduc¸a˜o a` Probabilidade e Estat´ıstica
Professor Cristian F. Coletti
(1) Para cada um dos casos abaixo, escreva o espac¸o amostral correspondente e conte seus
elementos.
a) Uma moeda e´ lanc¸ada duas vezes e observam-se as faces obtidas.
b) Um dado e´ lanc¸ado duas vezes e a ocorreˆncia de face par ou ı´mpar e´ observada.
c) Uma urna conte´m 10 bolas azuis e 10 vermelhas. Treˆs bolas sa˜o selecionadas ao acaso
com reposic¸a˜o e as cores sa˜o anotadas.
d) Em uma cidade, famı´lias com 3 crianc¸as sa˜o selecionadas ao acaso, anotando-se o
sexo de cada uma.
e) Uma ma´quina produz 20 pec¸as por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se
o nu´mero de defeituosas na pro´xima hora.
a) Denotando cara por C e coroa por T temos que Ω = {CC,CT, TC, TT}
b) Denotando por P a ocorreˆncia de uma fase par e por I a ocorreˆncia de uma fase
impar, temos que Ω = {PP, PI, IP, II}
c) Denotando a ocorreˆncia de uma bola azul por A e por V a ocorreˆncia de uma bola
vermelha temos que Ω = {AAA,AAV,AV A, V AA,AV V, V AV, V V A, V V V }.
d) Denotando por M uma crianc¸a do sexo masculino e por F uma crianc¸a do sexo fe-
menino temos que Ω = {MMM,MMF,MFM,FMM,MFF,FMF,FFM,FFF}.
e) Sendo que so´ contamos o nu´mero de defeituosas, Ω = {0, 1, 2, . . . , 20}.
(2) Sendo A e B dois eventos em um mesmo espac¸o amostral traduza para a linguagem da
Teoria dos Conjuntos, as seguintes situac¸o˜es:
a) Pelo menos um dos eventos ocorre.
b) Exatamente um dos eventos ocorre.
c) Nenhum deles ocorre.
d) O evento A ocorre mas B na˜o.
a) A ∪B.
b) (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B).
c) Ac ∩Bc.
d) A ∩Bc
(3) Sejam A e B dois eventos em um dado espac¸o amostral, tais que P[A] = 0, 2;P[B] =
0, 4;P[A ∪B] = 0, 5 e P[A ∩B] = p. Determine o valor de p.
Pelo principio de inclusa˜o-exclusa˜o sabemos que
P[A ∪B] = P[A] + P[B]− P[A ∩B].
Substituindo temos que
0, 5 = 0, 2 + 0, 4− p.
Logo, p = 0, 1.
(4) Seis dados honestos sa˜o lanc¸ados. Qual a probabilidade de que cada dado mostre na sua
face virada para cima um nu´mero diferente?
O espac¸o amostral para este experimento e´
Ω = {(x1, x2, x3, x4, x5, x6) : xi ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, }
Logo, |Ω| = 66. Por outro lado, se A denota o evento A= Cada dado mostra na sua face
virada para cima um nu´mero diferente, enta˜o |A| = 6× 5× 4× 3× 2× 1 = 6!. Logo,
P[A] =
6!
66
.
1
2
(5) Quantas permutac¸o˜es diferentes existem das letras A,B,C,D,E, F
(a) que teˆm as letras A,B juntas em qualquer ordem?
(b) que teˆm a letra A em primeiro lugar ou a letra F em u´ltimo?
(c) em que a letra A vem antes da letra B?
(d) em que a letra E na˜o e´ a u´ltima?
a) Imaginamos as letras A e B coladas como uma letra so´, na ordem AB, o que fornece
5! permutac¸o˜es. Como tambe´m existem 5! permutac¸o˜es nas quais a letra B esta´ ime-
diatamente antes da letra A, obtemos um total de 2.5! = 240 permutac¸o˜es diferentes.
b) Sejam A o conjunto das permutac¸o˜es que comec¸am por A e F o conjunto das per-
mutac¸o˜es que terminam em F . Logo, o nu´mero de permutac¸o˜es que comec¸am por A
ou terminam em F e´
|A ∪ F| = |A|+ |F| − |A ∩ F| = 5! + 5!− 4! = 216.
c) Existe um total de 6! = 720 permutac¸o˜es poss´ıveis, e existem tantas com A antes de
B quantas com B antes de A, logo a resposta e´ 360.
d) Existem 5! permutac¸o˜es em que a letra E e´ a u´ltima, portanto 6!− 5! = 600 permu-
tac¸o˜es em que E na˜o e´ a u´ltima letra.
(6) Em uma prova, um estudante deve responder exatamente 7 questo˜es de um total de 10
questo˜es.
(a) Quantas escolhas ele tem?
(b) Quantas escolhas ele tem se entre as 7 questo˜es deve responder pelo menos 3 das
primeiras 5 questo˜es?
a) O estudante deve escolher um subconjunto de tamanho 7 de um conjunto com 10
elementos, logo tem
(
10
7
)
= 120 escolhas.
b) No caso em que entre as 7 questo˜es deve responder pelo menos 3 das primeiras 5
questo˜es, o estudante possui treˆs opc¸o˜es (disjuntas):
– Escolher exatamente 3 das primeiras 5 questo˜es e 4 das 5 u´ltimas;
– Escolher exatamente 4 das primeiras 5 questo˜es e 3 das 5 u´ltimas;
– Escolher as 5 primeiras questo˜es e 2 das 5 u´ltimas.
Assim, o total de escolhas que tem e´(
5
3
)(
5
4
)
+
(
5
4
)(
5
3
)
+
(
5
5
)(
5
2
)
= 110.
(7) Em uma urna ha´ 20 bolas brancas e 30 bolas vermelhas. Retiramos, sem reposic¸a˜o e ao
acaso, 36 bolas da urna. Qual a probabilidade de ter retirado k bolas brancas? (0 ≤ k ≤
20)
O espac¸o amostral Ω e´ a familia de todos os subconjuntos de 36 bolas das 20 + 30 = 50
bolas que ha´ na urna. Enta˜o, |Ω| = (5036).
Agora devemos contar os subconjuntos de 36 bolas nos quais ha´ k bolas brancas e 36− k
bolas vermelhas. Note que ao retirarmos 36 de uma urna com 20 brancas e 30 vermel-
has, temos que 6 ≤ k ≤ 20. O nu´mero de tais subconjuntos e´ (20k )( 3036−k). Assim, a
probabilidade procurada e´
(20k )(
30
36−k)
(5036)
para 6 ≤ k ≤ 20.
(8) Quantos sa˜o os anagramas da palavra PARAGUAIO que na˜o possuem consoantes adja-
centes?
Permutemos, inicialmente, as vogais, o que pode ser feito de 6!/3! = 120 modos, e
depois colocamos as consoantes de forma que na˜o fiquem adjacentes. Arrumadas as vogais,
temos 7 escolhas para a colocac¸a˜o do P , 6 para o R e 5 para o G. Assim, existem
120.7.6.5 = 25200 anagramas de PARAGUAIO que na˜o possuem consoantes adjacentes.
3
(9) Um grupo de 20 piratas encontra um cofre com 500 moedas de ouro.
(a) De quantas formas podemos distribuir as moedas de ouro entre os piratas?
(b) De quantas formas podemos distribuir as moedas de ouro se o chefe do grupo decide
que cada pirata deva receber pelos menos 10 moedas?
a) O nu´mero de formas de repartir as moedas de ouro entre os piratas nada mais e´ que
o nu´mero de soluc¸o˜es inteiras e na˜o negativas de x1 + · · · + x20 = 500 onde xi(≥ 0)
representa o nu´mero de moedas de ouro recebidas pelo i-e´simo pirata. Tal nu´mero e´(
500+20−1
20−1
)
=
(
519
19
)
.
b) Por outro lado, se cada pirata deve receber pelo menos 10 moedas, enta˜o podemos
escrever xi (nu´mero de moedas de ouro recebidas pelo i-e´simo pirata) como xi =
10 + yi, onde yi ≥ 0. Logo temos que achar o nu´mero de soluc¸o˜es inteiras e na˜o
negativas de
10 + y1 + · · ·+ 10 + y20 = 500;
o qual e´ equivalente a achar o nu´mero de soluc¸o˜es inteiras e na˜o negativas de
200 + y1 + · · ·+ y20 = 500;
que por sua vez e´ equivalente a achar o nu´mero de soluc¸o˜es inteiras e na˜o negativas
de
y1 + · · ·+ y20 = 300.
Como ja´ sabemos tal nu´mero e´
(
300+20−1
20−1
)
=
(
319
19
)
.
(10) Em uma urna ha´ N bolas enumeradas de 1 a N . Algue´m escolhe n bolas (1 ≤ n ≤ N)
simultaneamente da urna. Qual a probabilidade de que o menor nu´mero escolhido seja k
(k ≤ N −m)?
Ha´
(
N
n
)
subconjuntos de n bolas entre as N bolas. Se a bola k pertence ao subconjunto
e se e´ a bola com o menor nu´mero, o restante das n− 1 bolas devem ser escolhidas entre
N − k bolas (i.e. k + 1, ..., N). Isto deixa (N−kn−1) escolhas. A probabilidade a ser achada e´
(N−kn−1)
(Nn)
.
(11) Em uma caixa ha´ 100 bolas enumeradas de 1 a 100. Cinco bolas sa˜o escolhidas ao acaso.
Qual a probabilidade de que os nu´meros correspondentes as cinco bolas escolhidas sejam
consecutivos?
Ha´
(
100
5
)
subconjuntos de 5 bolas entre as 100 bolas. Um racioc´ıno simples permite ver
que ha´ 96 subconjuntos de 5 bolas em que os nu´meros das bolas escolhidas sa˜o consecutivos.
A probabilidade a ser achada e´ 96
(1005 )
.
(12) 25 novos estagiarios sa˜o distribuidos em 5 dependeˆncias de uma empresa. So´ cinco deles
falam ingleˆs.
(a) Qual a probabilidade de que cada dependeˆncia receba um estagiario que fale ingleˆs?
(b) Qual a probabilidade de que so´ uma dependeˆncia receba os cinco estagiarios que falam
ingleˆs?
a) O nu´mero de formas de distribuir 25 estagia´rios em 5 dependeˆncias de forma equitativa
e´ 25!5!5!5!5!5! . O nu´merode formas de distribuir um estagia´rio que fale ingleˆs em cada
grupo e´ 5!. Logo, temos que distribuir os restantes 20 estagia´rios de forma equitativa
em 5 grupos. Isto pode ser feito em 20!4!4!4!4!4! . Logo, a probabilidade a ser achada e´
(5! 20!4!4!4!4!4! )
( 25!5!5!5!5!5! )
.
4
b) Agora, se uma dependencia recebe os 5 estagia´rios que falam ingleˆs, ha´ 5 posibilidades
dependendo de qual dependeˆncia seja escolhida. Logo, os restantes 20 estagia´rios
devem ser distribuidos em 4 dependeˆncias. Isto pode ser feito em 20!5!5!5!5! . Logo, a
probabilidade a ser achada e´
(5 20!5!5!5!5! )
( 25!5!5!5!5!5! )
.
(13) Em uma populac¸a˜o de n elementos, n1 sa˜o vermelhos e n2 = n−n1 sa˜o negros. Escolhemos
ao acaso um grupo com r elementos. Qual a probailidade de que o grupo escolhido contenha
exatamente k elementos vermelhos, com 0 ≤ k ≤ min{n1, r}?
Este problema e´ semelhante ao problema 7. A probabilidade a ser calculada e´(
n1
k
)(
n−n1
r−k
)(
n
r
) .
(14) Um baralho comum consiste de 52 cartas separadas em 4 naipes com 13 cartas de cada
um. Para cada naipe, os valores da carta sa˜o 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q;K e A. Um
baralho comum e´ embaralhado. Qual e´ a probabilidade de que as quatro cartas do topo
tenham
(a) valores diferentes?
(b) naipes diferentes?
Sendo que consideramos relevante a ordem entre as quatro cartas do topo, temos que
o espac¸o amostral consiste de 52.51.50.49 resultados.. Ale´m disso, existem 52.48.44.40
resultados em que as cartas teˆm valores diferentes e´ 52.39.26.13 resultados em que as
cartas teˆm naipes diferentes. Enta˜o, as probabilidades desejadas sa˜o
a)
52.48.44.40
52.51.50.49
e b)
52.39.26.13
52.51.50.49
(15) Uma secreta´ria atrapalhada prepara quatro cartas com conteudos distintos para enviar a
quatro firmas distintas. Na hora de envelopa´-las, bate um vento que derruba as cartas e
os envelopes, e, com pressa, a secreta´ria coloca aleatoriamente as cartas nos envelopes.
(a) Determine a probabilidade de que nenhuma carta tenha sido corretamente envelopada.
(b) Sabendo que ao menos uma carta foi colocada no envelope certo, calcule a probabili-
dade de que todas as cartas tenham sido corretamente envelopadas.
a) Sejam os eventos
A : Pelo menos uma carta foi colocada no envelope certo
B : A i-e´sima carta foi colocada no envelope certo,
Como A = ∪4i=1Ai, temos que,
P[A] =
4∑
i=1
P[Ai]−
∑
i<j
P[Ai ∩Aj ] +
∑
i<j<k
P[Ai ∩Aj ∩Ak]− P[A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4]
Pore´m,
P[Ai] =
3!
4!
=
1
4
, i = 1, 2, 3, 4.
P[Ai ∩Aj ] = 2!
4!
=
1
12
, 1 ≤ i < j ≤ 4
P[Ai ∩Aj ∩Ak] = 1
4!
=
1
24
, 1 ≤ i < j < k ≤ 4 e
P[A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4] = 1
4!
=
1
24
.
5
Portanto,
P[A] = 4.
1
4
−
(
4
2
)
1
12
+
(
4
3
)
1
24
− 1
24
=
5
8
.
Assim, a probabilidade de que nenhuna carta tunha diso corretamente envelopada e´
P[Ac] =
3
8
= 0, 375
b) Visto que (A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4) ∩A = A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4, a probabilidade desejada e´
P[{A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4}/A] = P[A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4]P[A] =
1/24
5/8
=
1
15
.
(16) Em um curso secundario, 1/3 dos estudantes sa˜o do sexo masculino e 2/3 dos estudantes
sa˜o do sexo femenino. A proporc¸a˜o de rapazes que estudam cieˆncias e´ 20 por cento e
apenas 10 por cento das moc¸as dedicam-se a`s cieˆncias. Obtenha as probabilidades de que
(a) um estudante escolhido ao acaso estude cieˆncias;
(b) um estudante de cieˆncias selecionado ao acaso seja do sexo femenino.
Sejam os eventos
A : O estudante e´ do sexo femenino
B : O estudante estuda cieˆncia.
a) Pela fo´rmula da probabilidade total,
P[B] = P[B/A]P[A] + P[B/Ac]P[Ac] =
1
10
2
3
+
1
5
1
3
=
2
15
.
b) Pela fo´rmula de Bayes,
P[A/B] =
P[B/A]P[A]
P[B]
=
(1/10)(2/3)
2/15
=
1
2
.
(17) Um cliente que visita o departamento de roupa masculinas de uma loja compra um terno
com probabilidade 2/5, uma gravata com probabilidade 5/12 e uma camisa com probabil-
idade 1/2. O cliente compra um termo e uma gravata com probabilidade 2/5, um termo
e uma camisa com probabilidade 17/60 e uma gravata e uma camisa com probabilidade
1/4; compra os treˆs itens com probabilidade 1/12. Considere os eventos
A : O cliente compra um termo;
B : O cliente compra uma gravata;
C : O cliente compra uma camisa;
(a) Os eventos A, B e C sa˜o independentes?
(b) Qual a probabilidade de que o cliente na˜o compre nenhum dos itens?
(c) Dado que o cliente na˜o vai comprar uma gravata, qual a probabilidade de que compre
um terno?
(d) Dado que o cliente vai comprar uma camisa, qual a probabilidade de que tambe´m
compre uma gravata e um terno?
a) Na˜o,
b) 415 ,
c) 1635 ,
d) 16 .
6
(18) Para detectar uma certa doenc¸a, os me´dicos aplicam um teste, que, se o paciente estiver
doente, da uma resultado positivo no 99 por cento dos casos. Pore´m, pode ocorrer que
um paciente sauda´vel seja diagnosticado com um resultado positivo no 2 por cento dos
casos. Dados do Ministe´rio da Sau´de mostram que a probabilidade de um paciente estar
doente e´ 1/1000. Qual a probabilidade de um paciente com resultado positivo no teste
estar doente?
Considere os eventos
D : O paciente esta´ doente
P : O teste e´ Positivo
N : O teste e´ Negativo
Temos os seguintes dados
P[D] = 0, 001,P[P/D] = 0, 99,P[P/Dc] = 0, 02
e temos que calcular P[D/P ]. Logo,
P[D/P ] =
P[P/D]P[D]
P[P ]
.
Por outro lado,
P[P ] = P[P/D]P[D] + P[P/Dc]P[Dc].
Assim,
P[D/P ] =
(0, 99)(0, 001)
(0, 99)(0, 001) + (0, 02)(0, 999)
≈ 1
20
.
(19) Um dado honesto e´ lanc¸ado duas vezes. Dado que a soma dos nu´meros observados e´ 11,
qual a probabilidade do primeiro resultado do experimento ser k e ache os valores de k
adequados.
Definimos o evento Aki por
Aki = O nu´mero observado no i-e´simo lanc¸amento e´ k
e o evento
S = A soma dos nu´meros observados e´ 11.
Logo, queremos calcular P[Ak1/S] para k = 5, 6. O resto fica como exerc´ıcio.

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