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Convecção externa Fenômenos de Transporte 2 Profª Karla Miranda Barcellos Objetivos • Estudo da convecção em escoamento cruzado • Estudo da convecção sobre esfera - Camada limite Fluidodinâmica Camada limite Fluidodinâmica • A grandeza é conhecida como espessura da camada limite e é definida como o valor de y para o qual V=0,99V O perfil de velocidade na CL se refere à maneira pela qual a velocidade varia em função de y através da C.L. – O escoamento fica dividido em duas regiões • Região da camada limite – uma fina camada de fluido, onde os gradientes de velocidade e as tensões cisalhantes são grandes. • Região externa à camada limite – a velocidade nessa região é a velocidade de corrente livre e as tensões cisalhantes são desprezíveis. • A camada limite está relacionada com a velocidade do fluido • A Camada Limite pode ser chamada – C.L. fluidodinâmica ou hidrodinâmica Escoamento laminar e turbulento • O atrito na superfície e as taxas de transferência convectiva dependem fortemente das condições da camada (laminar ou turbulenta). • Camada limite laminar o movimento do fluido é organizado. • Camada limite turbulenta o movimento do fluido é muito irregular e se caracteriza pelas flutuações da velocidade. Na mecânica dos fluidos, sua importância para o engenheiro baseia-se na sua relação com a tensão de cisalhamento na superfície s e portanto os efeitos do atrito na superfície. Para escoamentos externos, ela fornece a base para a determinação do coeficiente de atrito local: Onde: Cf – é adimensional importante na determinação do arrasto viscoso na superfície. Fluidos newtonianos: A tensão cisalhante é representada por • A espessura t é definida como sendo o valor de y no qual a razão 𝑇𝑠 − 𝑇 𝑦 𝑇𝑠 − 𝑇∞ = 0,99 Camada limite térmica Camada limite térmica • A qualquer distância da borda de ataque, o fluxo térmico local pode ser obtido utilizando- se a lei de Fourier em y=0 • Camada limite térmica • A qualquer distância da borda de ataque, o fluxo térmico local pode ser obtido utilizando- se a lei de Fourier em y=0 • Da lei de resfriamento de Newton Camada limite térmica • Igualando essa equações = −𝑘𝑓 𝜕𝑇 𝜕𝑦 𝑦=0 𝑇𝑠 − 𝑇∞ = ℎ Como (𝑇𝑠 − 𝑇∞) é uma constante independente de x e o gradiente de temperatura 𝜕𝑇 𝜕𝑦 𝑦=0 diminue com o aumento de x e tem-se que q’’ e h diminuem com o aumento de x. Coeficientes Convectivos Local e Médio • Efeitos da transferência de calor por convecção sobre uma placa plana • Efeitos da transferência de calor por convecção sobre uma placa plana 𝑞 = 𝑞′′𝑑𝐴𝑠 𝐴𝑠 Sendo 𝑞 = 𝑇𝑠 − 𝑇∞ ℎ 𝑑𝐴𝑠 𝐴𝑠 𝑞 = ℎ 𝐴𝑠 𝑇𝑠 − 𝑇∞ Para o caso especial do escoamento sobre placa plana, h varia em função da distancia x. • A experiência permitiu concluir que o coeficiente de convecção depende, de um modo geral, das seguintes grandezas: h= f(,cp,,v,L,k,) • No sistema SI – - massa específica (kg/m³) – cp - calor específico a pressão constante (kJ/kg.°C) – - viscosidade dinâmica (kg/m.s) – v- velocidade média (m/s) – D - dimensão característica (m) – k - coeficiente de condução (kJ/m.s.°C) – h - coeficiente de convecção (kJ/m².s.°C) Análise Dimensional • 1º Passo – • Definir as dimensões primárias - 4 t=> Tempo M=>massa T=>temperatura L=>comprimento Análise Dimensional Análise Dimensional • Representando cada variável em termos das dimensões básicas: – - massa específica (kg/m³) [M.L-3] – - viscosidade dinâmica (N.s/m²) - (kg/m.s) [M.L-1.t-1] – v- velocidade média (m/s) [L.t-1] – D - dimensão característica (m) [L] – cp - calor específico a pressão constante (J/kg.°C) [L2. t-2 .T-1] – k - coeficiente de condução (J/m.s.°C) [M. L. t-3.T-1 ] – h - coeficiente de convecção (J/m².s.°C) [M. t-3 T-1] 1 J = 1 N.m = 1kg.m².s-2 Nº de adimensionais independentes = nº de quantidades físicas (n) - nº de unidades primárias(m) N º de adimensionais= 7-4 =3 A solução tem a seguinte forma: • F(1, 2 , 3)=0 Ou a forma • 1 = f(2, 3) Teorema dos ∏ de BUCKINGHAM • 2º Passo - Definir o núcleo – Seja o Núcleo L.k. . v • Podemos escrever os 3 adimensionais • 1 = L a. kb. c.vd . • 2 = L a’. kb’ .c’.vd’ . cp • 3 = L a”. kb”. c”.vd” . h Teorema dos ∏ de BUCKINGHAM • Escrevendo 1, 2, 3 na forma adimensional Para 1 1 = L a. kb. c.vd . D - dimensão característica (m) [L] k - coeficiente de condução (J/m.s.°C) [M. L. t-3.T-1 ] - viscosidade dinâmica (N.s/m²) - (kg/m.s) [M.L-1.t-1] v- velocidade média (m/s) [L.t-1] - massa específica (kg/m³) [M.L-3] • M0.L0.t0.T0=1=La. [M. L. t-3.T-1 ] b. [M.L-1.t-1]c. [L.t-1]d . [M.L-3] M0.L0.t0.T0=1=La. Mb. Lb . t-3b.T-1b. Mc.L-1c.t-1c. Ld.t-1d . M. L-3 M0.L0.t0.T0=1=La. Mb. Lb . t-3b.T-1b. Mc.L-1c.t-1c. Ld.t-1d . M. L-3 Para L 0=a+b-c+d-3 Para M 0= b+c+1 Para t 0=-3b-c-d Para T 0=-b • 4 equações e 4 incógnitas • Resolvendo a=1; b=0; c=-1 e d=1 • Logo 1 = (L v /)= nº de Reynolds =Re • Resolvendo os dois outros ’s obtêm os adimensionais Nº de Prandtl (Pr) e nº de Nusselt (NU) Pr = (.cp/k) Nu= (h.L/k) NU= f( Re, Pr) • O Número de Nusselt - Nu relaciona as quantidades de calor transmitidas por convecção e por condução. Assim, quanto maior for este número, maior é a convecção. • O Número de Reynolds - Re relaciona forças de inércia e as de viscosidade. Quando as forças de inércia ultrapassam as de viscosidade, o escoamento passa de laminar para turbulento. • O Número de Prandtl - Pr estabelece a relação entre a quantidade de movimento e a transmissão de calor por condução. O comprimento de Prandtl é a distância percorrida, em média, pelas porções turbulentas de fluido numa direção normal à do escoamento médio. Ele somente depende das propriedades físicas do meio, assim podemos dizer que tal número relaciona propriedades físicas do meio,logo deve depender da temperatura. • O Número de Peclet – Pe Pe= Re. Pr Equações de Conservação de Massa, Momento e Energia para o escoamento laminar sobre uma placa plana • Considerações: 1. O escoamento é bidimensional, isto é, a distribuição de velocidade é a mesma em qualquer plano perpendicular ao eixo z. 2. O fluido é incompressível. 3. O escoamento é em regime permanente 4. As variações de pressão na direção perpendicular à superfície são desprezíveis. 5. As propriedades físicas são constantes. 6. As forças de cisalhamento viscoso na direção x são desprezíveis. 7. As forças viscosas normais são desprezíveis em x e y 8. O termo da condução ao longo da direção x é desprezível comparado à condução na direção y e aos termos convectivos. 9. Não há geração de calor Equações de Conservação de Massa, Momento e Energia para o escoamento laminar sobre uma placa plana • Equação da continuidade • Equação do momento na direção de x • Equação da energia Solução Fluidodinâmica- Método de Blasius • Os componentesda velocidade são definidos em termos de uma função corrente ψ(x,y) tal que: – Velocidade na direção de x e y são definidas de forma que satisfazem a equação da continuidade é dado por: • A solução da equação diferencial foi obtida por Blausius, em 1908. Os resultados significativos são mostrados na figura 1. • Os perfis de velocidade de Blasius, na camada limite sobre uma placa plana estão representadas na forma adimensional, juntamente com os dados experimentais obtidos por Hansen. • A ordenada é a velocidade local , na direção x, u dividida pela velocidade do fluido ao longe, u, e a abscissa é adimensional Reynolds - Re • A velocidade u atinge 99% do valor da velocidade do fluido ao longe u quando a abscissa é igual a 5. Portanto =0 em x=0 e aumenta ao longo da placa com x x x Re 5 – A força de cisalhamento na parede pode ser obtida determinando a inclinação da tangente a curva obtida pór Blasius do perfil de velocidade na Camada Limite Laminar (CLL), passando por (0,0). Rearranjando podemos obter o gradiente de velocidade na superfície. s 332,0 Re/ / 0 y xxy uu Re332,00 x u y u y • A tensão cisalhante para um fluido newtoniano • Substituindo obtido anteriormente x c y c s x u gy u g Re332,00 0 y c s y u g 0 y y u Conclusão • A tensão cisalhante varia ao longo da placa plana e perto da borda de ataque é muito grande e diminui com o aumento da distancia a partir da borda de ataque. • Para obter o valor médio sobre a placa plana Coeficiente local de atrito-Cfx • Em coordenadas adimensionais divide-se ambos os membros pela pressão dinâmica da corrente livre ( u2/2)/gc x c s fx gu C Re/664,0 2/2 Coeficiente médio de atrito-𝐶𝑓,𝑥 Balanço de energia • As duas equações são semelhantes, Balanço da quantidade de movimento e balanço de energia. • Se tivermos = e se a temperatura da placa Ts é constante, substituindo T por u e observando as condições de contorno – tanto para T como para u são idênticas. Balanço de energia • As condições de contorno são: • Como o adimensional nº de Prandtl é: • Para Pr =1, a distribuição de velocidade é idêntica à distribuição de temperatura. • A maioria dos gases têm Pr que variam entre 0,65 e 1,0 e a analogia é portanto satisfatória. Distribuição de temperatura no fluido em escoamento sobre uma placa aquecida para vários números de Prandtl Escoamento Laminar externo- Placa plana isotérmica • Coeficiente Médio Transferência de calor por convecção médio – Nusselt médio: Escoamento Turbulento externo- Placa plana isotérmica • Coeficiente de atrito local – cf(x) • Espessura da Camada limite turbulenta Escoamento Turbulento externo- Placa plana isotérmica • Nusselt Local – Nu (x) Camada limite Mista • Coeficiente médio de transferência de calor por convecção Camada limite Mista • Coeficiente médio de transferência de calor por convecção
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