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Convecção Forçada - Escoamento Externo

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Convecção externa 
Fenômenos de Transporte 2 
Profª Karla Miranda Barcellos 
 
Objetivos 
• Estudo da convecção em escoamento cruzado 
• Estudo da convecção sobre esfera 
 
 
- 
Camada limite Fluidodinâmica 
 
Camada limite Fluidodinâmica 
 
 
 
 
• A grandeza  é conhecida como espessura da 
camada limite e é definida como o valor de y 
para o qual V=0,99V 
O perfil de velocidade na CL se refere à maneira pela 
qual a velocidade varia em função de y através da 
C.L. 
– O escoamento fica dividido em duas regiões 
• Região da camada limite – uma fina camada de fluido, onde 
os gradientes de velocidade e as tensões cisalhantes são 
grandes. 
• Região externa à camada limite – a velocidade nessa região 
é a velocidade de corrente livre e as tensões cisalhantes são 
desprezíveis. 
• A camada limite está relacionada com a 
velocidade do fluido 
• A Camada Limite pode ser chamada 
– C.L. fluidodinâmica ou hidrodinâmica 
Escoamento laminar e turbulento 
• O atrito na superfície e as taxas de transferência 
convectiva dependem fortemente das condições da 
camada (laminar ou turbulenta). 
• Camada limite laminar o movimento do fluido 
é organizado. 
• Camada limite turbulenta o movimento do 
fluido é muito irregular e se caracteriza pelas 
flutuações da velocidade. 
 
 
Na mecânica dos fluidos, sua importância para o engenheiro 
baseia-se na sua relação com a tensão de cisalhamento na 
superfície s e portanto os efeitos do atrito na superfície. 
 
Para escoamentos externos, ela fornece a base para a 
determinação do coeficiente de atrito local: 
 
Onde: 
Cf – é adimensional importante na determinação do arrasto 
viscoso na superfície. 
 
Fluidos newtonianos: A tensão cisalhante é representada por 
 
 
 
 
 
 
• A espessura t é definida como sendo o valor de y no qual a razão 
 
𝑇𝑠 − 𝑇 𝑦
𝑇𝑠 − 𝑇∞
= 0,99 
 
 
Camada limite térmica 
Camada limite térmica 
 
 
 
 
• A qualquer distância da borda de ataque, o 
fluxo térmico local pode ser obtido utilizando-
se a lei de Fourier em y=0 
• 
Camada limite térmica 
 
• A qualquer distância da borda de ataque, o 
fluxo térmico local pode ser obtido utilizando-
se a lei de Fourier em y=0 
 
 
• Da lei de resfriamento de Newton 
 
Camada limite térmica 
• Igualando essa equações 
 
 = 
 
−𝑘𝑓
𝜕𝑇
𝜕𝑦 𝑦=0
𝑇𝑠 − 𝑇∞
= ℎ 
 
Como (𝑇𝑠 − 𝑇∞) é uma constante independente de x e o 
 gradiente de temperatura 
𝜕𝑇
𝜕𝑦 𝑦=0
diminue com o aumento de 
x e tem-se que q’’ e h diminuem com o aumento de x. 
Coeficientes Convectivos Local e Médio 
• Efeitos da transferência de calor por convecção sobre 
uma placa plana 
 
• Efeitos da transferência de calor por convecção sobre 
uma placa plana 
𝑞 = 𝑞′′𝑑𝐴𝑠
𝐴𝑠
 
Sendo 
 
𝑞 = 𝑇𝑠 − 𝑇∞ ℎ 𝑑𝐴𝑠
𝐴𝑠
 
 
 𝑞 = ℎ 𝐴𝑠 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 
 
 
Para o caso especial do escoamento sobre placa plana, 
h varia em função da distancia x. 
• A experiência permitiu concluir que o coeficiente de convecção 
depende, de um modo geral, das seguintes grandezas: 
 
h= f(,cp,,v,L,k,) 
 
 
• No sistema SI 
 
–  - massa específica (kg/m³) 
– cp - calor específico a pressão constante (kJ/kg.°C) 
–  - viscosidade dinâmica (kg/m.s) 
– v- velocidade média (m/s) 
– D - dimensão característica (m) 
– k - coeficiente de condução (kJ/m.s.°C) 
– h - coeficiente de convecção (kJ/m².s.°C) 
 
 
Análise Dimensional 
• 1º Passo – 
• Definir as dimensões primárias - 4 
 
 
t=> Tempo 
M=>massa 
T=>temperatura 
L=>comprimento 
 
 
Análise Dimensional 
Análise Dimensional 
 
• Representando cada variável em termos das dimensões básicas: 
 
–  - massa específica (kg/m³) [M.L-3] 
–  - viscosidade dinâmica (N.s/m²) - (kg/m.s) [M.L-1.t-1] 
– v- velocidade média (m/s) [L.t-1] 
– D - dimensão característica (m) [L] 
– cp - calor específico a pressão constante (J/kg.°C) [L2. t-2 .T-1] 
– k - coeficiente de condução (J/m.s.°C) [M. L. t-3.T-1 ] 
– h - coeficiente de convecção (J/m².s.°C) [M. t-3 T-1] 
 
 
 1 J = 1 N.m = 1kg.m².s-2 
 
 
 
Nº de adimensionais independentes = nº de quantidades físicas (n) - nº de 
unidades primárias(m) 
 
 
 
N º de adimensionais= 7-4 =3 
 
 
A solução tem a seguinte forma: 
 
• F(1, 2 , 3)=0 
Ou a forma 
• 1 = f(2, 3) 
 
 
Teorema dos ∏ de BUCKINGHAM 
• 2º Passo - Definir o núcleo 
– Seja o Núcleo L.k. . v 
 
• Podemos escrever os 3 adimensionais 
• 1 = L
a. kb. c.vd .  
• 2 = L
a’. kb’ .c’.vd’ . cp 
• 3 = L
a”. kb”. c”.vd” . h 
 
Teorema dos ∏ de BUCKINGHAM 
• Escrevendo 1, 2, 3 na forma adimensional 
Para 1 
1 = L
a. kb. c.vd .  
 
D - dimensão característica (m) [L] 
k - coeficiente de condução (J/m.s.°C) [M. L. t-3.T-1 ] 
 - viscosidade dinâmica (N.s/m²) - (kg/m.s) [M.L-1.t-1] 
v- velocidade média (m/s) [L.t-1] 
 - massa específica (kg/m³) [M.L-3] 
 
• M0.L0.t0.T0=1=La. [M. L. t-3.T-1 ] b. [M.L-1.t-1]c. [L.t-1]d . [M.L-3] 
 
 M0.L0.t0.T0=1=La. Mb. Lb . t-3b.T-1b. Mc.L-1c.t-1c. Ld.t-1d . M. L-3 
 
M0.L0.t0.T0=1=La. Mb. Lb . t-3b.T-1b. Mc.L-1c.t-1c. Ld.t-1d . M. L-3 
 
 
 Para L 0=a+b-c+d-3 
 Para M 0= b+c+1 
 Para t 0=-3b-c-d 
 Para T 0=-b 
 
 
• 4 equações e 4 incógnitas 
• Resolvendo a=1; b=0; c=-1 e d=1 
 
• Logo 
 
1 = (L v /)= nº de Reynolds =Re 
 
• Resolvendo os dois outros ’s obtêm os adimensionais 
Nº de Prandtl (Pr) e nº de Nusselt (NU) 
 
Pr = (.cp/k) Nu= (h.L/k) 
 
NU= f( Re, Pr) 
 
• O Número de Nusselt - Nu 
 relaciona as quantidades de calor transmitidas por convecção e por condução. 
Assim, quanto maior for este número, maior é a convecção. 
 
• O Número de Reynolds - Re 
relaciona forças de inércia e as de viscosidade. Quando as forças de 
inércia ultrapassam as de viscosidade, o escoamento passa de laminar para 
turbulento. 
 
• O Número de Prandtl - Pr 
 estabelece a relação entre a quantidade de movimento e a transmissão de 
calor por condução. O comprimento de Prandtl é a distância percorrida, em 
média, pelas porções turbulentas de fluido numa direção normal à do 
escoamento médio. Ele somente depende das propriedades físicas do meio, 
assim podemos dizer que tal número relaciona propriedades físicas do 
meio,logo deve depender da temperatura. 
 
• O Número de Peclet – Pe Pe= Re. Pr 
Equações de Conservação de Massa, Momento e 
Energia para o escoamento laminar sobre uma placa 
plana 
• Considerações: 
 
1. O escoamento é bidimensional, isto é, a distribuição de 
velocidade é a mesma em qualquer plano perpendicular 
ao eixo z. 
2. O fluido é incompressível. 
3. O escoamento é em regime permanente 
4. As variações de pressão na direção perpendicular à 
superfície são desprezíveis. 
5. As propriedades físicas são constantes. 
6. As forças de cisalhamento viscoso na direção x são 
desprezíveis. 
7. As forças viscosas normais são desprezíveis em x e y 
8. O termo da condução ao longo da direção x é desprezível 
comparado à condução na direção y e aos termos 
convectivos. 
9. Não há geração de calor 
Equações de Conservação de Massa, Momento e Energia 
para o escoamento laminar sobre uma placa plana 
• Equação da continuidade 
 
• Equação do momento na direção de x 
 
 
• Equação da energia 
 
Solução Fluidodinâmica- Método de 
Blasius 
• Os componentesda velocidade são definidos 
em termos de uma função corrente ψ(x,y) tal 
que: 
– Velocidade na direção de x e y são definidas de 
forma que satisfazem a equação da continuidade 
é dado por: 
 
• A solução da equação diferencial foi obtida por 
Blausius, em 1908. Os resultados significativos 
são mostrados na figura 1. 
• Os perfis de velocidade de Blasius, na camada 
limite sobre uma placa plana estão representadas 
na forma adimensional, juntamente com os 
dados experimentais obtidos por Hansen. 
• A ordenada é a velocidade local , na direção x, u 
dividida pela velocidade do fluido ao longe, u, e 
a abscissa é adimensional Reynolds - Re 
 
 
• A velocidade u atinge 99% do valor da 
velocidade do fluido ao longe u quando a 
abscissa é igual a 5. 
 
 
 
Portanto =0 em x=0 e aumenta ao longo da 
placa com x 
 
 
x
x
Re
5

– A força de cisalhamento na parede pode ser 
obtida determinando a inclinação da tangente a 
curva obtida pór Blasius do perfil de velocidade na 
Camada Limite Laminar (CLL), passando por (0,0). 
 
 
 
 
 
Rearranjando podemos obter o gradiente 
de velocidade na superfície. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s
 
 
332,0
Re/
/
0 




y
xxy
uu
Re332,00
x
u
y
u
y

 


• A tensão cisalhante para um fluido newtoniano 
 
 
 
• Substituindo obtido anteriormente 
x
c
y
c
s
x
u
gy
u
g
Re332,00

 




0


 y
c
s
y
u
g


0


y
y
u
Conclusão 
 
• A tensão cisalhante varia ao longo da placa 
plana e perto da borda de ataque é muito 
grande e diminui com o aumento da distancia 
a partir da borda de ataque. 
• Para obter o valor médio sobre a placa plana 
Coeficiente local de atrito-Cfx 
• Em coordenadas adimensionais divide-se 
ambos os membros pela pressão dinâmica da 
corrente livre ( u2/2)/gc 
 
x
c
s
fx
gu
C Re/664,0
2/2



Coeficiente médio de atrito-𝐶𝑓,𝑥 
Balanço de energia 
 
 
 
 
 
 
• As duas equações são semelhantes, Balanço da quantidade 
de movimento e balanço de energia. 
• Se tivermos = e se a temperatura da placa Ts é constante, 
substituindo T por u e observando as condições de 
contorno 
– tanto para T como para u são idênticas. 
Balanço de energia 
• As condições de contorno são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Como o adimensional nº de Prandtl é: 
 
 
• Para Pr =1, a distribuição de velocidade é idêntica à distribuição de 
temperatura. 
• A maioria dos gases têm Pr que variam entre 0,65 e 1,0 e a analogia é 
portanto satisfatória. 
 
Distribuição de temperatura no fluido em escoamento sobre 
uma placa aquecida para vários números de Prandtl 
Escoamento Laminar externo- Placa 
plana isotérmica 
• Coeficiente Médio Transferência de calor por 
convecção médio – 
 
 
 
Nusselt médio: 
 
 
 
 
Escoamento Turbulento externo- 
Placa plana isotérmica 
 
• Coeficiente de atrito local – cf(x) 
 
 
• Espessura da Camada limite turbulenta 
 
 
Escoamento Turbulento externo- 
Placa plana isotérmica 
 
• Nusselt Local – Nu (x) 
 
 
 
 
Camada limite Mista 
• Coeficiente médio de transferência de calor 
por convecção 
Camada limite Mista 
• Coeficiente médio de transferência de calor 
por convecção

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