aula-interpretação-geometrica-derivadas

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Derivada de uma função Derivada de uma função 
de uma variável de uma variável 
FATEC – SorocabaFATEC – Sorocaba
Profa. Ângela C. S. VilcarromeroProfa. Ângela C. S. Vilcarromero
Disciplina: CálculoDisciplina: Cálculo
ADS– 2ADS– 2o.o. Período Período
Setembro/2014Setembro/2014
Objetivo:Objetivo:
Dada uma função f e um ponto 
P(x0,y0) no seu gráfico, determine o 
coeficiente angular da reta tangente ao 
gráfico em P.
O “PROBLEMA DA TANGENTE”O “PROBLEMA DA TANGENTE”
Como traçar a reta tangente a uma curva dada num determinado 
ponto da curva?
tangente
Circunferência raio
P
1 – A tangente em P é uma reta que passa por P, 
perpendicularmente ao raio por esse mesmo ponto.
2 – A tangente em P é a reta que só toca a circunferência neste 
ponto.
A reta em vermelho é a reta 
tangente ao gráfico da 
função? 
Mas ela está tocando o 
gráfico da função em 
mais do que um ponto! 
E agora?
Devido as dúvidas surgidas Devido as dúvidas surgidas 
anteriormente, devemos ter uma anteriormente, devemos ter uma 
definição mais precisa do conceito de definição mais precisa do conceito de 
reta tangente ao gráfico da função em reta tangente ao gráfico da função em 
um ponto dado.um ponto dado.
 Analisando o gráfico a seguir como determinar a 
inclinação da reta tangente a curva no 
ponto ?
( )y f x=
))(,( 00 xfxP
 Para responder a essa pergunta foi tomado um ponto Para responder a essa pergunta foi tomado um ponto 
Q(xQ(x11, f(x, f(x11)) sobre a curva e foi calculado a inclinação da reta secante )) sobre a curva e foi calculado a inclinação da reta secante 
PQ.PQ.
DerivadaDerivada
 Quando o ponto Q se 
aproxima do ponto P, a 
reta secante vai inclinando 
até atingir uma posição 
limite. Essa posição limite 
é o que chamamos de reta 
tangente.
tangenteretasecante)(retalim =
→ PQ
DerivadaDerivada
 Portanto definimos o 
coeficiente angular da reta 
tangente ao gráfico de 
y = f(x) no ponto P(x0,y0) 
por:
0
0
sectan
)()(lim
lim
xx
xfxf
mm
o
o
xx
xx
−
−
=
=
→
→
x
y
y = f(x)
∆x
f(x+ ∆x)-f(x)
Logo, a secante msec é dada 
por x
xfxxfm
∆
−∆+
=
)()(
sec
secante
P
Definindo a tangente em P:
x
f(x)
Q
x+∆x
f(x+∆x)
x
y = f(x)
P
Definindo a tangente em P:
x
f(x)
Q
x+∆x
f(x+∆x)
∆x
f(x+ ∆x)-f(x)
Q1
secante
y
x
y
y = f(x)
P
Definindo a tangente em P:
x
f(x)
Q
x+∆x
f(x+∆x)
∆x
f(x+ ∆x) - f(x)
Q1 secante
Q2
A tangente mtang é definida por: 
x
xfxxfm
xg ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim
0tan
P
x
f(x)
Q
tangente em P
f(x+∆x)
x+∆x
secante
Definição de DerivadaDefinição de Derivada
A função f’ definida pela fórmula
x
xfxxfxf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)('
0
é chamada de derivada de f em relação a x. 
O domínio de f’ consiste de todo x para o qual o limite 
existe.
Gráfico da Derivada
Exemplo 1: : Dado o gráfico da função y = f(x), conforme 
a figura abaixo, determine o gráfico de f’(x).
Observe o comportamento do coeficiente angular da 
reta tangente ao gráfico da função:
Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada
Variação do coef. angular da reta 
tangente ao gráfico da função
Gráfico de f ’(x)
Exemplo 2: Dado o gráfico da função y = f(x), conforme 
a figura abaixo, determine o gráfico de f’(x).
Observe o comportamento do coeficiente angular da 
reta tangente ao gráfico da função:
Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada
Variação do coef. angular da reta 
tangente ao gráfico da função
Gráfico de f ’(x)
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