Sombra e Convexidade de Superfícies

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
Sombra e Convexidade de Superf´ıcies
Maria Cec´ılia Ribeiro
Orientadora: Susana Caˆndida Fornari
Belo Horizonte, abril de 2008
Agradecimentos
A` minha famı´lia, pelo amor e incentivo.
Ao Daniel, pelo carinho e compreensa˜o (e pela ajuda nas figuras).
A` minha orientadora Susana Fornari, principalmente pela pacieˆncia.
Aos meus professores e colegas, especialmente ao E´den.
A Deus, por ter colocado pessoas ta˜o especiais em meu caminho.
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 3
2 Preliminares 5
2.1 Domı´nios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Horizonte e Fronteira de Sombras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Func¸o˜es Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Demonstrac¸a˜o do Teorema 1 22
4 Demonstrac¸a˜o do Teorema 2 28
5 Demonstrac¸a˜o do Teorema 3 32
6 Apeˆndice 34
1 Introduc¸a˜o
Esse trabalho foi baseado no artigo ShadowandConvexityofSurfaces, de Mohammad
Ghomi, publicado no Annals of Mathematics, 155 (2002).
Sejam M uma variedade de dimensa˜o 2 orientada e fechada (isto e´, M e´ compacta e ∂M =
bordo de M 6= ∅), f : M → R3 uma imersa˜o C∞ de M no espac¸o euclidiano tri-dimensional e
N : M → S2 a Aplicac¸a˜o Normal de Gauss.
Uma aplicac¸a˜o diferencia´vel f : M → R3 e´ uma imersa˜o se a diferencial dfp : TpM → TpR3
e´ injetiva para todo p ∈M . E, como M e´ compacta, e´ um mergulho se e´ uma imersa˜o injetiva.
Um mergulho f : M → R3 e´ um mergulho convexo se f(M) e´ bordo de uma regia˜o convexa,
isto e´, de um conjunto convexo limitado, fechado e com interior na˜o-vazio. Um conjunto X ⊂ R3
e´ convexo se dados x, y ∈ X o segmento de reta unindo x e y esta´ contido em X.
Um subconjunto X de uma variedade M e´ conexo se na˜o pode ser escrito como unia˜o de
outros dois conjuntos abertos disjuntos e na˜o-vazios e e´ simplesmente conexo se e´ conexo e
qualquer curva fechada de X pode ser deformada continuamente em um ponto.
Para todo u ∈ S2, definimos o conjunto sombra, Su, por Su := {p ∈ M ; 〈N(p), u〉 > 0},
onde 〈 , 〉 e´ o produto interno usual de R3.
Se f e´ um mergulho convexo, enta˜o e´ intuitivo que Su e´ um subconjunto conexo de M , para
todo u ∈ S2.
O objetivo central deste trabalho e´ mostrar os seguintes resultados:
Teorema 1. A imersa˜o f e´ um mergulho convexo se, e somente se, Su e´ simplesmente conexo,
para todo u ∈ S2.
E´ necessa´rio que Su seja simplesmente conexo. Se Su e´ conexo ∀u, o mergulho pode na˜o
ser convexo, como prova o Teorema 2.
Teorema 2. Existe um mergulho C∞ do toro, f : S1×S1 → R3, tal que, ∀u ∈ S2, Su e´ conexo.
Observamos que um mergulho do toro e´ sempre na˜o convexo e faz sentido procurar um
mergulho do toro que na˜o seja o usual, pois para o toro de revoluc¸a˜o, existe u ∈ S2 tal que Su
na˜o e´ conexo, como mostra o Exemplo 1.
3
O Teorema 2 explicita, portanto, que a conexidade da sombra, em geral, na˜o e´ uma condic¸a˜o
forte o bastante para assegurar a convexidade ou mesmo determinar a topologia de f(M). No
entanto, podemos mostrar que
Teorema 3. Se M e´ topologicamente uma esfera e Su e´ conexo ∀u ∈ S2, enta˜o f e´ um mergulho
convexo.
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2 Preliminares
Inicialmente, vamos estabelecer algumas definic¸o˜es, notac¸o˜es e resultados ba´sicos que uti-
lizaremos no decorrer deste trabalho.
Mas, antes, vamos ao Exemplo 1, que motiva o Teorema 2.
Exemplo 1. Sejam u = (0, 1, 0) e M o Toro de Revoluc¸a˜o parametrizado por
X(θ, φ) = ((r cos(θ) + a) cos(φ), (r cos(θ) + a) sin(φ), r sin(θ)); com θ, φ ∈ (0, 2pi), a > r.
Figura 1: Como θ e φ variam na parametrizac¸a˜o do toro
Vamos mostrar que Su = {p ∈ M ; 〈N(p), u〉 > 0} na˜o e´ conexo. Dado p = X(θ, φ),
temos N(p) = (cos(φ) cos(θ), sin(φ) cos(θ), sin(θ)), donde 〈N(p), u〉 = cos(θ) sin(φ). Enta˜o
Su = {X(θ, φ)}, onde (θ, φ) satisfazem as condic¸o˜es abaixo:
θ φ
(0, pi/2) ∪ (3pi/2, 2pi) (0, pi)
(pi/2, 3pi/2) (pi, 2pi)
Logo, Su na˜o e´ conexo.
Na figura 2, Su esta´ representado pela parte sombreada.
Uma curva Γ ⊂ M e´ uma curva regular se, para cada p ∈ Γ, existe uma vizinhanc¸a aberta
U de p em M e um homeomorfismo ϕ : U → R2 tal que ϕ(U ∩ Γ) = R, onde R e´ uma reta,
5
Figura 2: Su, representado pela parte sombreada, na˜o e´ conexo
ou seja, Γ e´ uma subvariedade de M de dimensa˜o 1, com a topologia induzida. Em particular,
uma curva regular na˜o precisa ser diferencia´vel.
Denominamos por superf´ıcie uma variedade de dimensa˜o 2 e consideramos, neste trabalho,
que toda superf´ıcie e´ de classe C∞.
A pro´xima proposic¸a˜o caracteriza conjuntos simplesmente conexos na esfera.
Proposic¸a˜o 2.1. Se U ⊂ S2 e´ um conjunto aberto conexo e na˜o-vazio e S2 − U e´ conexo com
pontos interiores, enta˜o U e´ simplesmente conexo.
Demonstrac¸a˜o: Seja p um ponto interior de S2 − U . Enta˜o a projec¸a˜o estereogra´fica com
relac¸a˜o a p mapeia U em um conjunto V aberto conexo e na˜o-vazio com complementar conexo,
ja´ que a projec¸a˜o estereogra´fica e´ um homeomorfismo entre S2 − {p} e o plano e leva p no
“infinito”. Enta˜o, por [6, pag. 143], U e´ simplesmente conexo. �
O resultado a seguir mostra que ser convexo e´ mais forte que ser simplesmente conexo.
Proposic¸a˜o 2.2. Se U ⊂ Rn e´ um conjunto convexo na˜o-vazio, enta˜o U e´ simplesmente conexo.
Demonstrac¸a˜o: Sejam U um conjunto convexo e γ : [0, 1]→ U uma curva cont´ınua fechada
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em U . Fixando z ∈ U definimos H : [0, 1]× [0, 1]→ U por
H(s, t) = (1− t)γ(s) + tz.
H(s, t) ⊂ U , ja´ que z e γ(s) ∈ U , e, para cada s fixo, H(s, t) e´ o segmento que une γ(s) a z.
Trivialmente, H e´ cont´ınua. Logo, e´ uma homotopia entre γ e a curva constante z. Como γ e´
uma curva arbitra´ria, segue que U e´ simplesmente conexo. �
A seguinte proposic¸a˜o mostra que a unia˜o dos grandes c´ırculos da esfera contidos em planos
ortogonais a u ∈ S2, quando u varia em um aberto, e´ um aberto.
Proposic¸a˜o 2.3. Dado u ∈ S2, seja u⊥ := {v ∈ S2; 〈u, v〉 = 0}. Se U e´ aberto, enta˜o
U⊥ :=
⋃
u∈U u
⊥ e´ aberto.
Ide´ia da Demonstrac¸a˜o: Se p ∈ U⊥, enta˜o p ∈ u⊥, para algum u ∈ U , onde u⊥ e´ um grande
c´ırculo. Seja W um aberto de u em S2 tal que W = B(u) ∩ S2, onde B(u) e´ uma bola de
R3 centrada em u e W ⊂ U . Enta˜o o conjunto A = ⋃v∈W v⊥ e´ uma faixa aberta ao redor do
“equador”u⊥; em particular, e´ um aberto de S2. Mais ainda, A ⊂ U⊥ e p ∈ A, logo U⊥ e´
aberto. (Ver figura 3.) �
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Figura 3: Prova da Proposic¸a˜o 2.3
Dado um conjunto A, o fecho de A, A, e´ o conjunto de todos os pontos aderentes de A, ou
seja, o conjunto de todos os pontos que sa˜o limite de alguma sequ¨eˆncia de pontos pertencentes
a A. Observamos que a ∈ A se, e somente se, toda bola aberta de centro a conte´m pontos de
A.
A proposic¸a˜o seguinte nos diz que a projec¸a˜o ortogonal de uma bola de R3 em um plano
que na˜o intersepta a bola e´ um disco de mesmo raio.
Proposic¸a˜o 2.4. Sejam p ∈ R3, r > 0, B(p, r) ∈ R3 a bola de R3 de centro p e raio r e Π
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um plano tal que Π ∩ B(p, r) = ∅. Considere pi : R3 → Π a projec¸a˜o ortogonal em Π. Enta˜o
pi(B(p, r)) e´ o disco de raio r e centro pi(p) no plano Π.
Demonstrac¸a˜o: Considere o sistema de coordenadas (x, y, z) em R3 centrado em pi(p) e tal
que o plano xy e´ Π e a reta de pi(p) a p e´ o eixo z. Enta˜o, p = (0, 0, z0) para algum z0 > 0
e B(p, r) = {(x, y, z);x2 + y2 + (z − z0)2 ≤ r2}. Vejamos que pi(B(p, r)) = D(pi(p), r), onde
D(pi(p), r) e´ o disco fechado de centro pi(p) e raio r em Π. Tomando (x, y, z) ∈ B(p, r),
pi((x, y, z)) = (x, y) e x2 + y2 ≤ r2, o que implica que (x, y) ∈ D(pi(p), r) e, portanto,
pi(B(p, r)) ⊂ D(pi(p), r). Vejamos agora que D(pi(p),r) ⊂ pi(B(p, r)): seja (x, y) ∈ D(pi(p), r);
enta˜o x2 + y2 ≤ r2. Tome z ∈ R3 tal que x2 + y2 + (z − z0)2 ≤ r2. Enta˜o (x, y, z) ∈ B(p, r) e
pi((x, y, z)) = (x, y). Analogamente, a projec¸a˜o de uma bola aberta e´ um disco aberto. �
Figura 4: A projec¸a˜o ortogonal de uma bola e´ um c´ırculo
2.1 Domı´nios
Nesta sec¸a˜o, vamos falar de domı´nios, isto e´, conjuntos abertos conexos Ω ⊂M . Um domı´nio
Ω e´ adjacente a uma tripla de pontos {p1, p2, p3} ⊂ M , se pi ∈ ∂Ω. Ale´m disso, o domı´nio
Ω e´ regular pro´ximo a pi se existem uma vizinhanc¸a aberta Ui de pi e um homeomorfismo
ϕi : Ui → R2 tais que Ui ∩ Ω e´ levado por ϕi no semi-plano superior. Um triaˆngulo de Ω (com
ve´rtices em {p1, p2, p3}) e´ uma curva simples fechada T ⊂ Ω tal que pi ∈ T e T−{p1, p2, p3} ⊂ Ω.
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Exemplo 2. Um domı´nio que na˜o e´ regular. Seja Ω ⊂ R2 o disco unita´rio centrado na origem,
com o segmento [0, 1) × {0} removido. Enta˜o Ω e´ um domı´nio que na˜o e´ regular pro´ximo a
A = (a, 0), para todo a ∈ (0, 1]: de fato, se V e´ uma vizinhanc¸a de A, enta˜o V ∩Ω na˜o e´ conexo;
portanto nenhum homeomorfismo ϕ : V → R2 podera´ levar V ∩ Ω no semi-plano superior. No
entanto, Ω e´ regular pro´ximo ao ponto O = (0, 0): de fato, a bola B0.2(O) e´ uma vizinhanc¸a
de O e a mudanc¸a de coordenadas de cartesinas (x, y) para polares (r, θ) e´ um homeomorfismo
entre a B0.2(O) ∩ Ω e o retaˆngulo r × θ, com r ∈ (0, 0.2), θ ∈ (0, 2pi), que e´ homeomorfo ao
semi-plano superior.
Figura 5: O domı´nio Ω, exemplo 2, na˜o e´ regular pro´ximo a A
Lema 2.5. Todo domı´nio Ω adjacente a {p1, p2, p3} admite um triaˆngulo. Ale´m disso, se Ω e´
simplesmente conexo e regular pro´ximo a pi, com i = 1, 2, 3, enta˜o existe homotopia (atrave´s de
uma famı´lia de triaˆngulos de Ω com ve´rtices fixos) entre qualquer par de triaˆngulos com ve´rtices
em pi.
Demonstrac¸a˜o: Como Ω e´ conexo, Ω tambe´m o e´, e ja´ que Ω e´ aberto, existe um arco
regular A12 ⊂ Ω cujos pontos finais sa˜o p1 e p2. Como A12 e´ regular, existe uma componente
(Ω−A12)+ de Ω−A12 que conte´m p3 em seu fecho. Seja A23 ⊂ (Ω−A12)+ o arco regular cujos
pontos finais sa˜o p2 e p3. Enta˜o, analogamente, existe uma componente ((Ω − A12)+ − A23)+
de (Ω−A12)+ −A23 que conte´m p1 em seu fecho. Finalmente, seja A31 ⊂ ((Ω−A12)+ −A23)+
o arco cujos pontos finais sa˜o p3 e p1. A unia˜o desses treˆs arcos com seus pontos finais resulta
no triaˆngulo desejado.
Agora, suponha que Ω e´ simplesmente conexo e regular pro´ximo a pi. Sejam T e T
′ um
par de triaˆngulos de Ω com ve´rtices em {p1, p2, p3} (que existem, pelo para´grafo anterior) e
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A12 e A
′
12 os arcos, respectivamente, de T e T
′ ligando p1 e p2. Como Ω e´ regular pro´ximo a
pi, podemos perturbar A12, homotopicamente, mantendo os pontos finais fixos, por pequenas
perturbac¸o˜es pro´ximo a p1, de modo que A12 e A
′
12, coincidam ao longo de um segmento, numa
vizinhanc¸a de p1. Analogamente, podemos considerar que A12 e A
′
12 coincidem ao longo de
um segmento numa vizinhanc¸a de p2. Falta levar homotopicamente subarcos pro´prios de A12
em subarcos pro´prios de A′12 com mesmos pontos finais em Ω. Mas, como Ω e´ simplesmente
conexo, existe uma homotopia entre tais subarcos mantendo os pontos finais fixos. Portanto,
A12 e A
′
12 sa˜o homoto´picos atrave´s de uma famı´lia de arcos de Ω cujos pontos finais sa˜o p1 e p2.
Pelo mesmo racioc´ınio, os outros arcos de T podem ser levados homotopicamente nos outros
arcos de T ′, atrave´s de famı´lias de arcos de Ω. �
Exemplo 3. Um domı´nio que na˜o e´ simplesmente conexo. Seja Ω ⊂ R2 o anel entre os c´ırculos
centrados na origem e tendo raios 1/2 e 1. Enta˜o Ω e´ um domı´nio na˜o simplesmente conexo.
Sejam p1 = (−1, 0), p2 = (1, 0) e A e B arcos de Ω ligando p1 e p2 tais que A e´ formado por
pontos da forma (a, y) com y > 0 e B e´ formado por pontos da forma (b, y) com y < 0. Enta˜o
na˜o existe homotopia deixando p1 e p2 fixos entre esses dois arcos; portanto na˜o ha´ homotopia
entre dois triaˆngulos que tenham A e B como arcos.
Figura 6: O domı´nio Ω, anel entre as curvas pontilhadas, exemplo 3 na˜o e´ simplesmente conexo.
Na˜o existe homotopia entre os arcos A e B, deixando p1 e p2 fixos.
Sem a suposic¸a˜o de Ω ser regular pro´ximo a pi, a segunda afirmac¸a˜o do Lema 2.5 na˜o e´
verdadeira em geral. Sejam Ω ⊂ R2 o disco unita´rio centrado na origem, com o segmento
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[0, 1) × {0} removido, A = (0, 0), B = (1/2, 0), C = (1, 0). Enta˜o, A,B,C ∈ ∂Ω, mas um
triaˆngulo T de Ω com ve´rtices em {A,B,C} que esta´ acima do eixo Ox na˜o pode ser levado
homotopicamente em Ω, deixando os ve´rtices fixos, em outro triaˆngulo T ′ de mesmos ve´rtices
que esta´ abaixo do eixo Ox.
Figura 7: Na˜o existe homotopia entre os triaˆngulos T e T ′ deixando os ve´rtices A,B,C fixos.
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Proposic¸a˜o 2.6. Para uma orientac¸a˜o fixada de M , os domı´nios Ω e Ω′ simplesmente conexos
que sa˜o adjacentes e regulares pro´ximo a uma tripla de pontos (distintos) {p1, p2, p3} ⊂ M
determinam, em forma u´nica, permutac¸o˜es αΩ e αΩ′ de {p1, p2, p3} tais que:
i) se Ω e Ω′ teˆm um triaˆngulo em comum com ve´rtices em {pi}, enta˜o αΩ = αΩ′;
ii) se ∂Ω = ∂Ω′ e´ curva regular e Ω e Ω′ sa˜o distintos, enta˜o αΩ 6= αΩ′.
Demonstrac¸a˜o: Pelo Lema 2.5, sabemos que existe um triaˆngulo T de Ω com ve´rtices nestes
treˆs pontos. Como Ω e´ um domı´nio simplesmente conexo, T limita um subdomı´nio U de Ω
que tambe´m e´ simplesmente conexo. Como M e´ orientada, U herda a orientac¸a˜o de M , que,
consequ¨entemente, induz uma orientac¸a˜o (ou sentido de direc¸a˜o) em T . Essa orientac¸a˜o de
T , por sua vez, induz uma permutac¸a˜o em {p1, p2, p3} de maneira o´bvia: se, iniciando em p1
percorremos T passando por p2 antes de p3, enta˜o escolhemos a permutac¸a˜o αΩ como o ciclo
(p1, p2, p3); caso contra´rio, escolhemos o ciclo (p1, p3, p2). Claramente, essas permutac¸o˜es de-
pendem continuamente de variac¸o˜es cont´ınuas de T . Assim, como todos os triaˆngulos de Ω sa˜o
homoto´picos (pois Ω e´ simplesmente conexo), segue que αΩ na˜o depende da escolha de T e esta´
bem definida. Ale´m disso, se Ω e Ω′ teˆm um triaˆngulo em comum, como a orientac¸a˜o de um
triaˆngulo e´ bem definida, αΩ = αΩ′ .
Agora, suponha que ∂Ω = ∂Ω′ e´ curva regular e que Ω e Ω′ sa˜o distintos. Enta˜o Ω e Ω′
induzem orientac¸o˜es opostas em ∂Ω, que originam permutac¸o˜es distintas de {p1, p2, p3}, pois
pi ∈ ∂Ω = ∂Ω′. Mas, por pequenas perturbac¸o˜es, ∂Ω = ∂Ω′ pode ser levada homotopicamente
em um triaˆngulo de Ω, bem como em um triaˆngulo de Ω′. Portanto, as orientac¸o˜es que Ω e Ω′
induzem em ∂Ω sa˜o consistentes com as orientac¸o˜es que Ω e Ω′ induzem em seus triaˆngulos.
Logo, αΩ 6= αΩ′ . �
2.2 Horizonte e Fronteira de Sombras
Dadas X e Y variedades e g : X → Y uma aplicac¸a˜o C∞, dizemos que um ponto y ∈ Y e´
um valor regular de g se a diferencial dg : TxX → TyY e´ sobrejetiva em todo ponto x tal que
g(x) = y.
Para cada u ∈ S2, definimos a func¸a˜o sombra σu : M → R por σu(p) = 〈N(p), u〉;
Hu := σ
−1
u (0) e´ chamado o horizonte na direc¸a˜o u e Su = {p ∈ M ;σu(p) > 0} como definido
anteriormente.
Em geral, ∂Su 6= Hu 6= ∂S−u, como mostra o seguinte exemplo:
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Exemplo 4. Na figura seguinte, considerando o vetor u indicado, vemos que a curva A na˜o
pertence aos bordos de Su e S−u; no entanto, e´ uma componente de Hu = A ∪ B. Portanto,
∂Su = Hu 6= ∂S−u.
Figura 8: Em geral, ∂Su = Hu 6= ∂S−u
Entretanto, usando o Teorema de Sard (vide Apeˆndice e [5, pag. 359]), podemos mostrar
que
Proposic¸a˜o 2.7. Para quase todo u ∈ S2, Hu e´ uma curva regular; neste caso, ∂Su e ∂S−u
tambe´m sa˜o curvas regulares. Ale´m disso, se Hu e´ conexo, enta˜o ∂Su = Hu = ∂S−u.
Demonstrac¸a˜o: Seja TpM o plano tangente de M em p, que no´s identificaremos com um
subespac¸o de R3 (identificamos TpM com df(TpM) e transladamos paralelamente oselementos
de df(TpM) para a origem de R3). Sejam UTM = {(p, u); p ∈M,u ∈ TpM, ‖u‖ = 1}, onde ‖.‖
denota a norma euclidiana, o fibrado tangente unita´rio de M; e τ : UTM → S2 o mapa definido
por τ(p, u) = u. Como τ ∈ C∞ (pois e´ a restric¸a˜o a UTM da projec¸a˜o Π2 : R3 = R⊕R2 → R2),
pelo Teorema de Sard (vide Apeˆndice e [5, pag. 359]), o conjunto dos valores regulares de τ
e´ denso em S2. E, se u e´ valor regular de τ , segue do Teorema da Pre´-Imagem (vide [3, pag
21]) que τ−1(u) e´ uma subvariedade de dimensa˜o 1 de UTM , ou seja, e´ uma curva regular em
UTM . Logo, τ−1(u) e´ curva regular de UTM para quase todo u ∈ S2.
Considere agora pi : UTM → M dada por pi(p, u) = p, e fixe u valor regular qualquer de τ .
Queremos mostrar que pi : τ−1(u)→M e´ um mergulho.
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Observamos que pi e´ injetiva em τ−1(u) (pois p = pi(p, u) = pi(q, u) = q, enta˜o (p, u) =
(q, u)), pi|τ−1(u) e´ cont´ınua e a derivada de pi e´ dpi(p,u)(v, w) = v. Temos ainda que UTM e´
compacto, o que implica que τ−1(u) e´ compacto (pois e´ fechado, ja´ que e´ pre´-imagem de um
conjunto fechado por func¸a˜o cont´ınua, e esta´ contido em um conjunto compacto), e, portanto,
pi|τ−1(u) e´ um homeomorfismo sobre sua imagem (vide [5, pag. 46, cor. 3]). Logo, pi : τ−1(u)→
M e´ um mergulho.
Ale´m disso, note que
pi(τ−1(u)) = {p ∈M ; (p, u) ∈ UTM} = {p ∈M ;u ∈ TpM, ‖u‖ = 1} =
{p ∈M ; 〈N(p), u〉 = 0} = Hu.
Assim, como τ−1(u) e´ curva regular, e mergulho leva curva regular em curva regular, Hu e´
curva regular. Como pelo Lema 2.8 (seguinte), ∂Su e ∂S−u sa˜o abertos em Hu, segue que ∂Su
e ∂S−u sa˜o curvas regulares. Mas ∂Su e ∂S−u sa˜o tambe´m fechados em Hu, o que implica que,
quando Hu e´ conexo, ∂Su = Hu = ∂S−u. �
Lema 2.8. As fronteiras ∂Su e ∂S−u sa˜o abertas em Hu.
Demonstrac¸a˜o: Se p ∈ ∂Su, enta˜o 〈N(p), u〉 = 0, e, portanto, ∂Su ⊂ Hu. Mais ainda,
toda vizinhanc¸a V de p em M conte´m pontos de Su e de S−u. Assim, se q ∈ V ∩ Hu, enta˜o
〈N(q), u〉 = 0 e tomando V˜ vizinhanc¸a de q em M temos que V˜ conte´m pontos de Su e de S−u.
Logo, q ∈ ∂Su. Portanto, ∂Su e´ aberto em Hu. Analogamente, ∂S−u e´ aberto em Hu. �
O pro´ximo resultado e´ sobre regularidade de sombras e horizontes, localmente. Para enuncia´-
lo, precisamos lembrar que a Curvatura Gaussiana, K : M → R, em p ∈ M , e´ dada pelo
determinante da matriz da derivada da Aplicac¸a˜o Normal de Gauss em p, isto e´, K(p) =
det(dNp).
Proposic¸a˜o 2.9. Se K(p) 6= 0 para algum p ∈M , enta˜o existe uma vizinhanc¸a U de p tal que
para todo u ∈ TpM , Hu ∩ U e´ curva regular C∞ e ∂Su ∩ U = Hu ∩ U = ∂S−u ∩ U .
Demonstrac¸a˜o: Como det(dNp) = K(p) 6= 0, pelo Teorema da Aplicac¸a˜o Inversa (vide
[5, pag. 282]), N e´ um difeomorfismo entre vizinhanc¸as U de p em M e V de N(p) em
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S2. Seja u ∈ TpM e defina S2u := {x ∈ S2; 〈x, u〉 > 0}. Enta˜o ∂S2u = ∂S2−u e´ curva re-
gular (e´ um grande c´ırculo da esfera), e Su = N
−1(S2u). Como N e´ difeomorfismo (local),
∂Su ∩U = N−1(∂S2u)∩U = ∂S−u ∩U e´ curva regular. Assim, como ∂Su e ∂S−u esta˜o contidas
em Hu, ∂Su = Hu = ∂S−u, nessa vizinhanc¸a. �
Observamos que se K(p) = 0, enta˜o Hu pode na˜o ser curva regular para todo u ∈ TpM
(Exemplo 5); entretanto, sera´ regular para a maioria dos u ∈ TpM . De fato, seja α(t) curva
regular tal que α(0) = p e α′(0) = v, e seja σu(p) = 〈N(p), u〉; enta˜o
(dσu)p.v =
d
dt
σ(α(t))|t=0 =
d
dt
〈N(α(t)), u〉|t=0 = 〈dNp.v, u〉 = 〈dNp.u, v〉,
onde a u´ltima igualdade segue do fato de dN ser uma aplicac¸a˜o auto-adjunta.
Assim, se dNp.u 6= 0, enta˜o dσu e´ na˜o-nula em p. Consequ¨entemente, pelo Teorema da
Func¸a˜o Impl´ıcita (vide [5, pag. 164]), σ−1u (σu(p)) = σ
−1
u (0) = Hu e´ uma curva regular C
∞
numa vizinhanc¸a de p.
Exemplo 5. Considere M o Toro de Revoluc¸a˜o parametrizado por X(θ, φ), como no Exemplo
1, e seja p = (a, 0, r) = X(pi/2, 0). Enta˜o u = (0, 1, 0) ∈ TpS e
Hu = X(θ, 0) ∪X(θ, pi) ∪X(pi/2, φ) ∪X(3/2pi, φ), 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ φ ≤ 2pi.
Como p ∈ X(θ, 0)∩X(pi/2, φ), para qualquer vizinhanc¸a U 3 p, Hu∩U na˜o e´ curva regular.
Figura 9: Hu ∩ U na˜o e´ curva regular
A observac¸a˜o seguinte e´ sobre a matriz que representa a derivada da Aplicac¸a˜o Normal de
16
Gauss.
Seja p ∈ M e considere x1, x2 um sistema de coordenadas em torno de p tal que ∂
∂x1
, ∂
∂x2
e´
base ortonormal de TpM . Assim, a matriz que representa a derivada da Aplicac¸a˜o Normal de
Gauss em p, [dN ]p = [aij]p, nessa base, e´ sime´trica; e
aij = 〈dNp. ∂
∂xj
,
∂
∂xi
〉. (1)
2.3 Hessiano
Seja g : M → R uma func¸a˜o C∞. O Hessiano da func¸a˜o g, no ponto p ∈M , (Hess g)p, e´ a
aplicac¸a˜o bilinear de TpM × TpM → R dada por
(Hess g)p(v, w) = 〈∇vgrad g, w〉,
onde ∇ denota a conexa˜o Riemanniana de M (vide [4, pag. 62]).
Associamos a essa aplicac¸a˜o bilinear uma matriz chamada Matriz Hessiana.
Apo´s alguns ca´lculos fa´ceis, observamos que a definic¸a˜o acima coincide com a definic¸a˜o dada
em [10, pag. 48], onde encontra-se tambe´m uma demonstrac¸a˜o de que se p e´ um ponto cr´ıtico de
g, isto e´, um ponto p onde a diferencial dg e´ nula, a definic¸a˜o de Hessiano, e consequ¨entemente
de Matriz Hessiana, na˜o depende da escolha do sistema de coordenadas.
Proposic¸a˜o 2.10. A aplicac¸a˜o bilinear definida acima, (Hess g)p e´ sime´trica, para cada p ∈M .
Demonstrac¸a˜o: Considere E1, E2 campos vetoriais diferencia´veis em uma vizinhanc¸a U de
p, tal que 〈Ei, Ej〉q = δij,∀ q ∈ U e (∇EiEj)(p) = 0; E1, E2 e´ chamado referencial geode´sico.
Para mostrar a simetria de (Hess g)p, basta mostrar que 〈∇Eigrad g, Ej〉p = 〈∇Ejgrad g, Ei〉p.
Temos que, em U , grad g =
∑2
i=1Ei(g)Ei. Assim,
〈∇Eigrad g, Ej〉p = 〈∇Ei
2∑
k=1
(Ek(g).Ek)(p), Ej〉 =
〈
2∑
k=1
∇Ei(Ek(g).Ek)(p), Ej〉 = 〈
2∑
k=1
(Ek(g)(p)(∇EiEk)(p) + Ei(Ek(g))(p).Ek), Ej〉 =
17
〈
2∑
k=1
Ei(Ek(g))(p).Ek, Ej〉 = Ei(Ej(g))(p).
Analogamente,
〈∇Ejgrad g, Ei〉p = Ej(Ei(g))(p).
Mas,
0 = (∇EiEj −∇EjEi)(g)p = [Ei, Ej](g)p = Ei(Ej(g))(p)− Ei(Ej(g))(p).
Logo, temos a igualdade desejada e, portanto, a simetria de (Hess g)p. �
2.4 Func¸o˜es Altura
Dado u ∈ S2, a func¸a˜o altura hu : M → R, associada a` imersa˜o f : M → R3 e´ definida por
hu(p) = 〈f(p), u〉.
Proposic¸a˜o 2.11. Um ponto p ∈M e´ ponto cr´ıtico de hu se, e somente se, u = ±N(p).
Demonstrac¸a˜o: Seja α : (−�, �)→M uma curva em M com α(0) = p e α′(0) = v. Enta˜o,
(dhu)p.v =
d
dt
hu(α(t))
∣∣∣
t=0
=
d
dt
〈f(α(t)), u〉
∣∣∣
t=0
= 〈v, u〉.
Assim, p e´ ponto cr´ıtico de hu, ou seja, (dhu)p.v = 0, se, e somente se, u e´ ortogonal a v,
para todo v ∈ TpM . �
Notamos que para todo q ∈M , ∂hu
∂xi
(q) = (dhu)q.(
∂
∂xi
) = 〈 ∂
∂xi
, u〉q. Assim,
∂2hu
∂xj∂xi
(q) =
∂
∂xj
〈 ∂
∂xi
, u〉(q) = 〈∇ ∂
∂xj
∂
∂xi
, u〉(q). (2)
18
A proposic¸a˜o a seguir mostra que em um ponto cr´ıtico de hu, as matrizes Hessiana e da
derivada da Aplicac¸a˜o Normal de Gauss, sa˜o iguais a menos de sinal. Consequ¨entemente, como
sa˜o matrizes de ordem 2, seus determinantes coincidem.
Proposic¸a˜o 2.12. Em um ponto cr´ıtico p de hu,
∂2hu
∂xj∂xi
(p) = ±aij.
Demonstrac¸a˜o: Para todo q ∈M ,
0 =
∂
∂xj
〈 ∂
∂xi
, N〉(q) = 〈∇ ∂
∂xj
∂
∂xi
, N〉(q) + 〈 ∂
∂xi
(q), dNq.(
∂
∂xj
)(q)〉. (3)
Relacionando as equac¸o˜es (1), (2) e (3), segue que se p e´ ponto cr´ıtico, enta˜o
∂2hu
∂xj∂xi
(p) = 〈∇ ∂
∂xj
∂
∂xi
, u〉(p) = ±〈∇ ∂
∂xj
∂
∂xi
, N(p)〉 = ±〈 ∂
∂xi
(p), dNp.(
∂
∂xj
)(p)〉 = ±aij
�
Dada uma variedade X, dizemos que uma func¸a˜o C∞ g : X → R e´ uma Func¸a˜o de
Morse se todos seus pontos cr´ıticos sa˜o na˜o-degenerados, isto e´, se em todo ponto cr´ıtico p
de g,(Hess g)p 6= 0. Em particular, a func¸a˜o hu definida acima e´ de Morse se, em cada ponto
cr´ıtico p, a forma bilinear sime´trica (Hess(hu))p e´ na˜o-degenerada, o que e´ equivalente a dizer
que a matrizHessiana em p tem determinante na˜o-nulo, ou seja, det[ ∂
2hu
∂xj∂xi
(p)] 6= 0.
Como, pela Proposic¸a˜o 2.11, p e´ ponto cr´ıtico de hu se, e somente se, u = ±N(p), observamos
que hu e´ func¸a˜o de Morse se, e somente se, u e −u sa˜o valores regulares de N .
O Lema seguinte mostra outras propriedades da func¸a˜o altura hu.
Lema 2.13. i) hu e´ func¸a˜o de Morse se, e somente se, K 6= 0 em todos os pontos cr´ıticos de
hu.
ii) hu e´ func¸a˜o de Morse para quase todo u ∈ S2.
iii) O conjunto U ⊂ S2, tal que hu e´ func¸a˜o de Morse para todo u ∈ U , e´ aberto.
Demonstrac¸a˜o: Se p e´ ponto cr´ıtico de hu, segue da Proposic¸a˜o 2.12 que det[
∂2hu
∂xj∂xi
(p)] =
det[dNp] = K(p); e, portanto, hu e´ func¸a˜o de Morse se, e somente se, K(p) 6= 0, para todo
p ∈M ponto cr´ıtico de hu.
Seja U ⊂ S2 o conjunto dos valores regulares da Aplicac¸a˜o Normal de Gauss, isto e´,
19
U = {u ∈ S2;u e´ valor regular de N} = {u ∈ S2;hu e´ func¸a˜o de Morse}. Enta˜o, como con-
sequ¨eˆncia do Teorema de Sard (vide Apeˆndice e [5, pag. 359]), U e´ denso em S2, o que significa
que hu e´ func¸a˜o de Morse para quase todo u ∈ S2.
Ale´m disso, como M e´ compacta e o conjunto dos pontos cr´ıticos de N e´ fechado (pois o
conjunto dos pontos cr´ıticos de N e´ dado por g−1(0), onde g : M → R e´ tal que g(p) = det(dNp);
como g e´ cont´ınua, g−1(0) e´ fechado), esse conjunto e´ compacto. Do fato de N ser cont´ınua,
segue que a imagem do conjunto dos pontos cr´ıticos de N , S2 − U e´ compacto, e, portanto,
fechado. Logo, o conjunto dos valores regulares, U , e´ aberto. �
Lema 2.14. Se f na˜o e´ um mergulho convexo, enta˜o existe uma func¸a˜o altura de Morse, hu,
com pelo menos 3 pontos cr´ıticos.
Demonstrac¸a˜o: Se hu e´ func¸a˜o de Morse, enta˜o todos os seus pontos cr´ıticos sa˜o na˜o-
degenerados e, portanto, isolados. Do fato de M ser compacta, segue que, para cada u ∈ S2, o
conjunto dos pontos cr´ıticos de hu, C(hu) e´ finito. Ale´m disso, dado u ∈ S2 com hu func¸a˜o de
Morse, existe um aberto U de u tal que ∀ v ∈ U , hv e´ func¸a˜o de Morse e #C(hu) = #C(hv);
assim, #C(hu) : S
2 → N e´ localmente constante. Logo, #C(hu) e´ integra´vel.
Como, pela Proposic¸a˜o 2.11, p e´ ponto cr´ıtico de hu se, e somente se, N(p) = ±u, temos
que ∫
S2
#C(hu)dS
2 =
∫
S2
#N−1(±u)dS2 = 2
∫
S2
#N−1(u)dS2 =
2
∫
M
|det(dN)|dM = 2
∫
M
|K|dM,
onde dM e´ o elemento de volume de M, e a mudanc¸a de varia´veis e´ va´lida porque estamos
integrando somente para os u tais que hu e´ func¸a˜o de Morse (que e´ um conjunto denso de S
2,
pelo Lema 2.13), e N e´ difeomorfismo em todo ponto cr´ıtico de hu se hu e´ de Morse.
Supondo enta˜o que f na˜o e´ um mergulho convexo, um teorema bem conhecido de Chern e
Lashof (vide Apeˆndice e [2]) diz que: ∫
M
|K|dM > 4pi.
Assim, combinando as expresso˜es anteriores, segue que:
1
4pi
∫
S2
#C(hu)du > 2.
20
Como hu e´ func¸a˜o de Morse para quase todo u ∈ S2 (pelo Lema 2.13), segue que existe uma
func¸a˜o altura de Morse tal que #C(hu) > 2. �
21
3 Demonstrac¸a˜o do Teorema 1
Comec¸aremos mostrando que se f e´ um mergulho convexo, enta˜o Su e´ simplesmente
conexo ∀ u ∈ S2.
Seja C ⊂ R3 corpo convexo tal que ∂C = f(M). Como M e´ compacta, existe x ∈ R3 tal
que x /∈ C. Enta˜o, dado u ∈ S2, sejam Π o plano ortogonal a u passando por x e pi : R3 → Π a
projec¸a˜o ortogonal. Ja´ que pi e´ uma transformac¸a˜o linear, pi(C) e´ convexo. Seja D := pi(f(M)).
Afirmac¸a˜o 1: D = pi(C)
Como f(M) ⊂ C, D = pi(f(M)) ⊂ pi(C). Falta mostrar que pi(C) ⊂ D. Seja y ∈ pi(C).
Enta˜o, y = pi(p), para algum p ∈ C. Vamos analisar as duas possibilidades para p: ou
p ∈ ∂C ou p ∈ int(C), onde int(C) denota o interior de C. Se p ∈ ∂C = f(M), enta˜o
pi(p) ∈ pi(f(M)) = D. Se p ∈ int(C), seja A a semi-reta com origem em p e direc¸a˜o e sentido de
u. Como C e´ um conjunto limitado, existe q ∈ A ∩ (R3 −C), e como p ∈ A ∩C, pelo Teorema
da Alfaˆndega (vide Apeˆndice e [5, pag. 57, teo. 32]) resulta que A conte´m algum ponto da
fronteira de C, isto e´, de f(M). Seja p1 ∈ A ∩ ∂C. Como pi(p1) = pi(p), pi(p) ∈ pi(f(M)) = D.
Logo pi(C) ⊂ D e a afirmac¸a˜o 1 esta´ demonstrada. (Vide figura 10)
Figura 10: Afirmac¸a˜o 1
Isso mostra que D e´ convexo.
22
Afirmac¸a˜o 2: O interior de D, int(D), e´ na˜o-vazio.
De fato, se p ∈ int(C), enta˜o existe r > 0 tal que a bola centrada em p de raio r, B(p, r),
esta´ contida no interior de C. Pela Proposic¸a˜o 2.4, pi(B(p, r)) e´ o disco de centro pi(p) e raio r
em Π. Portanto, pi(p) e´ um ponto interior de pi(C) = D.
Como int(D) e´ convexo e na˜o-vazio, segue da Proposic¸a˜o 2.2 que int(D) e´ simplesmente
conexo.
Afirmac¸a˜o 3: f(Su) e´ um gra´fico sobre int(D).
Sejam y ∈ int(D) e r a reta por y paralela a u. Como y ∈ int(D), existe p ∈ int(C)
tal que pi(p) = y. Enta˜o p ∈ r e podemos escrever r como a unia˜o das duas semi-retas A e A′
iniciando em p: A tem o sentido de u e A′ tem o sentido contra´rio. Ja´ que C e´ um conjunto
limitado, existe q1 ∈ A ∩ (R3 − C) e como p ∈ A ∩ C, resulta do Teorema da Alfaˆndega (vide
Apeˆndice e [5, pag. 57, Teo. 32]) que A conte´m algum ponto da fronteira de C. Analogamente,
A′ conte´m algum ponto da fronteira de C. Mais ainda, por C ser convexo, A e A′ conteˆm,
cada um deles, um u´nico ponto da fronteira de C. Sejam p1 = A ∩ ∂C e p2 = A′ ∩ ∂C.
Como a superf´ıcie f(M) e´ convexa, segue de [11, pag. 91] que f(M) esta´ contida em um dos
subespac¸os determinados pelo plano tangente Tp1f(M) e esta´ contida em um dos subespac¸os
determinados por Tp2f(M) (vide figura 11). Logo, 〈u,N(p1)〉 e 〈u,N(p2)〉 teˆm sinais opostos.
Supondo, sem perda de generalidade, que 〈u,N(p1)〉 > 0, p1 ∈ Su, p2 ∈ S−u e, mais ainda, p1 e´
o u´nico ponto de M tal que pi(f(p1)) = y e 〈u,N(p1)〉 > 0. Portando a afirmac¸a˜o 3 esta´ provada.
23
Figura 11: Afirmac¸a˜o 3
Assim, pi ◦ f : Su → int(D) e´ um homeomorfismo, e como int(D) e´ simplesmente conexo,
resulta que Su e´ simplesmente conexo. Como u ∈ S2 e´ arbitra´rio, Su e´ simplesmente conexo
∀ u ∈ S2.
Agora vamos mostrar que, se Su e´ simplesmente conexo ∀ u ∈ S2 , enta˜o f e´ um
mergulho convexo. Por contradic¸a˜o, suponha que Su e´ simplesmente conexo ∀u ∈ S2 e f
na˜o e´ um mergulho convexo. Assim,
Lema 3.1. Se f na˜o e´ um mergulho convexo, enta˜o existe um par de vetores ortogonais u0, v0 ∈
S2 tais que:
i) hu0 e´ uma func¸a˜o de Morse com pelo menos 3 pontos cr´ıticos;
ii) ∂Sv0 = Hv0 = ∂S−v0 e´ uma curva regular.
Demonstrac¸a˜o: Pelo Lema 2.14, existe u0 ∈ S2 tal que a func¸a˜o altura hu0 e´ de Morse e
tem pelo menos treˆs pontos cr´ıticos. Ale´m disso, segue do item iii) do Lema 2.13 que esse u0
pode ser escolhido num aberto U ⊂ S2 tal que, ∀u ∈ U , hu e´ Func¸a˜o de Morse.
Seja u⊥ := {v ∈ S2; 〈v, u〉 = 0}, isto e´, u⊥ e´ o grande c´ırculo da esfera ortogonal a u. Pela
Proposic¸a˜o 2.3, U⊥ :=
⋃
u∈U u
⊥ e´ aberto. Assim, pela Proposic¸a˜o 2.7 existe v0 ∈ u⊥0 ⊂ U⊥ tal
que Hv0 , ∂Sv0 e ∂S−v0 sa˜o curvas regulares. Como Sv0 e´ simplesmente conexo por hipo´tese,
Hv0 ⊃ ∂Sv0 e M −Hv0 = Sv0 ∪ S−v0 , Hv0 divide M em dois conjuntos simplesmente conexos.
24
Logo, Hv0 e´ uma curva conexa. Segue, portanto, da Proposic¸a˜o 2.7, que ∂Sv0 = Hv0 = ∂S−v0 . �
Observamos que a hipo´tese de que Su e´ simplesmente conexo, para todo u ∈ S2 foi usada
somente para concluir que Hv0 e´ uma curva conexa e, portanto, que as fronteiras ∂Sv0 e ∂S−v0
sa˜o iguais a Hv0 .
Seja v̂0 ∈ S2 ortogonal a ambos u0 e v0, e considere, para cada θ ∈ R,
v(θ) = v0 cos(θ) + v̂0 sin(θ) (4)
isto e´, v(θ) parametriza o c´ırculo de raio 1 contido na intersec¸a˜o de S2 com o plano ortogonal
a u0.
Sejam p1, p2, p3 treˆs pontos cr´ıticos (distintos) de hu0 . Temos:
Lema 3.2. Para todo θ ∈ R2, Sv(θ) e´ um domı´nio adjacente e regular pro´ximo a pi.
Demonstrac¸a˜o: Como Sv(θ) e´ simplesmente conexo, em particular,e´ conexo, e portanto
Sv(θ) e´ um domı´nio. Se pi e´ ponto cr´ıtico de hu0 , enta˜o N(pi) = ±u0. Assim, para todo θ ∈ R,
σv(θ)(pi) = 〈v(θ), N(pi)〉 = 〈v(θ),±u0〉 = 0, pela definic¸a˜o de v(θ), o que implica que pi ∈ Hv(θ).
Como hu0 e´ func¸a˜o de Morse, segue do item i) do Lema 2.13 que K(pi) 6= 0, para i = 1, 2, 3
e, assim, pela Proposic¸a˜o 2.9, existe vizinhanc¸a Ui de pi tal que ∀w ∈ TpiM , Hw ∩ Ui e´ curva
regular C∞ e ∂Sw ∩ Ui = Hw ∩ Ui = ∂S−w ∩ Ui. Em particular, como v(θ) ∈ TpiM , ∀ θ ∈ R
e i = 1, 2, 3 (ja´ que o vetor normal a TpiM e´ u0 que e´ ortogonal a v(θ)), Hv(θ) ∩ Ui e´ curva
regular C∞ e ∂Sv(θ) ∩Ui = Hv(θ) ∩Ui = ∂S−v(θ) ∩Ui. Logo, como pi ∈ Hv(θ) ∩Ui = ∂Sv(θ) ∩Ui,
pi ∈ ∂Sv(θ),∀ θ ∈ R, o que significa que Sv(θ) e´ domı´nio adjacente a pi, para todo θ ∈ R e para
i = 1, 2, 3. Ale´m disso, como ∂Sv(θ) ∩Ui e´ curva regular C∞, existe uma vizinhanc¸a U˜i ⊂ Ui de
pi e um homeomorfismo ϕi : U˜i → R2 tal que ϕi(U˜i ∩ ∂Sv(θ)) = R, o que implica que ϕi leva
U˜i ∩ Sv(θ) no semi-plano superior; e portanto, Sv(θ) e´ regular pro´ximo a pi. �
Enta˜o, como Sv(θ) e´ simplesmente conexo ∀ θ ∈ R, segue da Proposic¸a˜o 2.6 que Sv(θ) deter-
mina unicamente uma permutac¸a˜o em {p1, p2, p3} que vamos denotar por αθ := αSv(θ) . Ale´m
disso, como pelo Lema 3.1 ∂Sv0 = ∂S−v0 , segue tambe´m da Proposic¸a˜o 2.6 que α0 6= αpi.
No entanto, denotando por Sym o grupo sime´trico, o Lema 3.3 (seguinte), juntamente com
25
a Proposic¸a˜o 2.6, mostra que a func¸a˜o
R 3 θ 7→ αθ ∈ Sym{p1, p2, p3}
e´ localmente constante (pois dado θ0 ∈ R existe uma vizinhanc¸a V de θ0 tal que Sv(θ) e Sv(θ0)
teˆm um triaˆngulo em comum ∀ θ ∈ V ; e do item i) da Proposic¸a˜o 2.6 segue que αθ = αθ0).
Mas, como [0, pi] e´ conexo, resulta que α0 = αpi, obtendo uma contradic¸a˜o. Logo, se Su e´
simplesmente conexo ∀u ∈ S2 enta˜o f e´ um mergulho convexo. �
Vamos agora ao Lema 3.3, lembrando que p1, p2 e p3 sa˜o pontos cr´ıticos distintos de hu0 :
Lema 3.3. Para cada θ0 ∈ R, existe um � > 0 tal que se |θ − θ0| < � enta˜o Sv(θ) e Sv(θ0) teˆm
um triaˆngulo em comum com ve´rtices em {p1, p2, p3}.
Demonstrac¸a˜o: Inicialmente observamos que, localmente, ∂Sv(θ) depende continuamente de
θ. De fato, como hu0 e´ func¸a˜o de Morse, temos pelo Lema 2.13 que K(pi) 6= 0 para i = 1, 2, 3.
Assim, em uma vizinhanc¸a W de {p1, p2, p3} (W = ∪Ui com os Ui dados pela Proposic¸a˜o 2.9)
∂Sv(θ) = Hv(θ) = N
−1(v⊥(θ)), onde v⊥(θ) denota o grande c´ırculo em S2 ortogonal a v(θ). Ja´
que, pela Proposic¸a˜o 2.3, v⊥(θ) depende continuamente de θ, segue que, em W , ∂Sv(θ) tambe´m
depende.
Seja T um triaˆngulo de Sv(θ0) com ve´rtices em {p1, p2, p3}. Ja´ que Sv(θ0) e´ aberto por definic¸a˜o,
depois de uma perturbac¸a˜o em T podemos assumir que os arcos de T sa˜o suaves e encontram
∂Sv(θ0) transversalmente. Como ∂Sv(θ) depende continuamente de θ, se |θ−θ0| < �1 para algum
�1 > 0 suficientemente pequeno, enta˜o T tambe´m encontra ∂Sv(θ) transversalmente. Enta˜o, para
alguma vizinhanc¸a W˜ ⊂ W de {p1, p2, p3}, (T−{p1, p2, p3})∩W˜ ⊂ Sv(θ) ∀ θ tal que |θ−θ0| < �1.
Note que T − W˜ e´ compacto pois e´ fechado em M (ja´ que T fechado e W˜ aberto) e esta´
contido no compacto T (T e´ limitado e fechado, portanto, compacto). Ale´m disso, a func¸a˜o
θ 7→ σv(θ) e´ cont´ınuo (pois e´ dado pelo produto interno de duas func¸o˜es cont´ınuas). Como T e´
triaˆngulo de Sv(θ0), σv(θ0)(p) = 〈N(p), v(θ0)〉 > 0,∀p ∈ T − W˜ , segue da continuidade de σv(θ)
que existe �2 > 0 tal que σv(θ)(p) > 0 para todo p ∈ T − W˜ se |θ − θ0| < �2. Isto significa que
T − W˜ ⊂ Sv(θ) ∀ θ tal que |θ − θ0| < �2.
Tomando � = min{�1, �2}, segue dos dois u´ltimos para´grafos que T − {p1, p2, p3} ⊂ Sv(θ) ∀ θ
tal que |θ − θ0| < �. Portanto, T e´ um triaˆngulo comum a Sv(θ) e Sv(θ0), para todo θ ∈ R tal
que |θ − θ0| < �, o que termina a demonstrac¸a˜o. �
26
Observamos que o Teorema 1 na˜o permanece va´lido sem a suposic¸a˜o de compacidade: o
parabolo´ide hiperbo´lico (vide figura 12), dado pelo gra´fico de z = y2−x2 e´ um contra-exemplo;
na˜o e´ convexo nem compacto, mas Su = {p; 〈N(p), u〉 > 0} e´ simplesmente conexo ∀u. Isso
ocorre porque a Aplicac¸a˜o Normal de Gauss N e´ um homeomorfismo entre o parabolo´ide
hiperbo´lico e o hemisfe´rio superior (aberto), S2+. De fato, sendo S o parabolo´ide hiperbo´lico,
uma parametrizac¸a˜o para S e´ X(θ, φ) = (θ, φ, φ2 − θ2), donde
N =
 θ√
θ2 + φ2 + 1
4
,
φ√
θ2 + φ2 + 1
4
,
1
2
√
θ2 + φ2 + 1
4
 .
Enta˜o:
i) Claramente, N e´ cont´ınua,
ii) N(S) esta´ contido no hemisfe´rio superior,
iii) N e´ injetiva, pois se N(X(θ1, φ1)) = N(X(θ2, φ2)),enta˜o φ1 = φ2 e θ1 = θ2,
iv) N e´ sobrejetiva, pois dado (a, b, c) pertencente ao hemisfe´rio superior (aberto) de S2, isto
e´, c > 0, enta˜o θ = a
2c
e φ = b
2c
,
v) Claramente, N−1 : S2+ → S, dada por N−1(a, b, c) = ( a2c , b2c) e´ cont´ınua.
Figura 12: Parabolo´ide Hiperbo´lico
27
4 Demonstrac¸a˜o do Teorema 2
Para a demonstrac¸a˜o do Teorema 2 precisamos da definic¸a˜o de skew loop: uma curva
diferencia´vel γ : S1 ' R/2pi → R3 e´ um skew loop se na˜o tem nenhum par de retas tangentes
paralelas, isto e´,
γ′(p)× γ′(q) 6= 0
para todo p, q ∈ [0, 2pi), p 6= q.
Um exemplo de um skew loop, formulado por Ralph Howard e´ o seguinte:
Exemplo 6. Seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), onde
x(t) := − cos(t)− 1
20
cos(4t) +
1
10
cos(2t),
y(t) := sin(t) +
1
10
sin(2t) +
1
20
sin(4t),
z(t) := −46
75
sin(3t)− 2
15
cos(3t) sin(3t),
e t ∈ [0, 2pi]. Como γ(0) = γ(2pi), γ e´ uma func¸a˜o de S1 em R3. Representac¸o˜es de γ(t) esta˜o
na figura 13. Um ca´lculo da indicatriz tangente T (t) := γ′(t)/‖γ′(t)‖ mostra que T (t) 6= ±T (s)
para todos t, s ∈ [0, 2pi), t 6= s, ja´ que
x′(t) = sin(t) +
1
5
sin(4t)− 1
5
sin(2t)
y′(t) = cos(t) +
1
5
cos(2t) +
1
5
cos(4t)
z′(t) = −46
25
cos(3t)− 4
5
cos(6t).
Logo γ e´ um skew loop.
Seja γ : S1 → R3 uma curva diferencia´vel. Para cada p ∈ S1, temos a decomposic¸a˜o
TpS
1⊕(TpS1)⊥ = TpR3 com dim(TpS1) = 1 (TpS1 e´ a reta tangente a S1 em p) e dim(TpS1)⊥ = 2.
Como γ′(p) depende continuamente de p, o plano normal (TpS1)⊥ tambe´m varia continuamente
em relac¸a˜o a p. Podemos enta˜o tomar uma base ortonormal {v(p), w(p)} de (TpS1)⊥, variando
continuamente em relac¸a˜o a p. Considere (UTS1)⊥ = {(p, ν) ∈ R3; p ∈ S1, ν ∈ (TpS1)⊥, ‖ν‖ =
28
Figura 13: Skew loop
1} o fibrado normal unita´rio de γ. Fixando p0 ∈ S1, a aplicac¸a˜o
S1 × S1 ϕ→ (UTS1)⊥
(p, cos(θ)v(p0) + sin(θ)w(p0))
ϕ7→ (p, cos(θ)v(p) + sin(θ)w(p))
e´ um homeomorfismo entre o toro S1 × S1 e o fibrado normal unita´rio de γ, (UTS1)⊥. Assim,
a seguinte proposic¸a˜o prova o Teorema 2.
Proposic¸a˜o 4.1. Seja γ : S1 → R3 um skew loop e M o fibrado normal unita´rio de γ. Para
� > 0 defina f� : M → R3
f�(p, ν) := γ(p) + �ν.
Enta˜o para � suficientemente pequeno, f� e´ uma imersa˜o C
∞, e para todo u ∈ S2, Su e´ conexo.
Se γ e´ megulho, enta˜o f� tambe´m e´ mergulho.
Demonstrac¸a˜o: Segue do Teorema da Vizinhanc¸a Tubular (vide Apeˆndice e [9, pag. 106])
que f� e´ uma imersa˜o C
∞ e que e´ um mergulho quando γ o e´. Sejam N : M → S2 o campo
vetorial normal unita´rio dado por N(p, ν) = ν e pi : M → S1 dado por pi(p, ν) = p. Para todo
p ∈ S1, seja Fp := pi−1(p) a fibra correspondente (para cada p, Fp e´ um c´ırculo). Observe que
N leva Fp em um grande c´ırculo de S
2 (o “mesmo”c´ırculo que Fp e´) que e´ perpendicular a
T (p) (tangente no ponto p). Ale´m disso, lembramos que Su = N
−1(S2u), onde S
2
u e´ o hemisfe´rio
determinado por u, conforme Proposic¸a˜o 2.9.
Enta˜o ha´ somente duas possibilidades para cada p ∈ S1: ou Fp intersepta Su em um semi-
c´ırculo aberto; ou Fp e´ disjunto de Su. Esse u´ltimo caso ocorre se, e somente se, T (p) e´ paralelo
a u, e como γ e´ skew loop pode ocorrer no ma´ximo uma vez.
Assim,
29
i)se ∀p ∈ M , existe C(p) = {semi-c´ırculo de ν ′s} tal que (p, C(p)) ⊂ Su, enta˜o Su e´ homeo-
morfo a um anel.
ii) se existe p (u´nico) tal que T (p) ‖ u, enta˜o (p, ν) /∈ Su, ∀ ν ∈ S1(p) (“fibra”corresponde a p)
mas se q 6= p enta˜o (q, C(q)) ⊂ Su e Su e´ homeomorfo a um disco.
Em ambos os casos, Su e´ conexo. �
Demonstrac¸a˜o do Teorema 2: A curva γ do Exemplo 6 e´ um mergulho e, portanto, f�
considerando tal curva tambe´m e´ um mergulho. Mas f� esta´ definida no fibrado normal de γ
que, pela observac¸a˜o anterior a` Proposic¸a˜o 4.1, e´ homeomorfo ao toro S1 × S1. Temos enta˜o
S1 × S1 ϕ→ (UTS1)⊥ f�→ R3
Desde que ϕ e´ um mergulho, segue que f� ◦ ϕ : S1 × S1 → R3 e´ um mergulho do toro tal
que Su e´ conexo para todo u ∈ S2. �
A seguir mostramos um procedimento geral para construc¸a˜o de skew loops.
Seja T ⊂ S2 uma curva suave fechada simples C∞ tal que:
i) a origem esta´ contida no interior da ca´psula convexa de T , isto e´, (0, 0, 0) ∈ int(conv(T )).
ii) T na˜o conte´m nenhum par de pontos antipodais, isto e´, T ∩ (−T ) = ∅.
Seja T (s), s ∈ R uma parametrizac¸a˜o perio´dica de T pelo comprimento de arco. Enta˜o,
supondo que T tenha comprimento total L, T (s + L) = T (s). Como (0, 0, 0) ∈ int(conv(T )),
existe, por [7, pag. 168], uma func¸a˜o ρ(s) com per´ıodo L tal que∫ L
0
ρ(s)T (s)ds = 0.
Defina
γ(t) =
∫ t
0
ρ(s)T (s)ds.
Enta˜o
γ(t+ L) =
∫ t+L
0
ρ(s)T (s)ds =∫ t
0
ρ(s)T (s)ds+
∫ t+L
t
ρ(s)T (s)ds = γ(t) +
∫ L
0
ρ(u+ t)T (u+ t)du = γ(t).
30
Ale´m disso,
γ′(t)
‖γ′(t)‖ =
ρ(t)T (t)
‖ρ(t)T (t)‖ =
ρ(t)T (t)
|ρ(t)|‖T (t)‖ = ±T (t).
Como γ e´ uma curva fechada e a indicatriz tangente de γ coincide com ±T , e T (s) 6=
T (t)∀ t, s ∈ [0, 2pi), t 6= s, γ e´ skew loop.
Em [8] prova-se que se M e´ uma superf´ıcie conexa imersa em R3 com Curvatura Gaussiana
positiva em pelo menos um ponto de M , enta˜o M na˜o conte´m skew loop se, e somente se,
M (identificando M com sua imagem em R3) e´ parte de uma qua´drica - em particular, M e´
mergulhada.
Segue enta˜o que, com excec¸a˜o da esfera e do elipso´ide, toda superf´ıcie compacta imersa em
R3 admite skew loop.
31
5 Demonstrac¸a˜o do Teorema 3
Essa demonstrac¸a˜o segue por contradic¸a˜o, como a do Teorema 1. Suponha, enta˜o, que
M e´ homeomorfa a S2, Su e´ conexo ∀ u ∈ S2 e f na˜o e´ um mergulho convexo. Sejam
u0 e v0 dados pelo Lema 3.1 e v(θ) definido por (4). Assim, hu0 e´ func¸a˜o de Morse com pelo
menos treˆs pontos cr´ıticos, v0 ⊥ u0, Hv0 , ∂Sv0 , ∂S−v0 sa˜o curvas regulares, v(θ) parametriza o
grande c´ırculo de S2 ortogonal a u0 e {p1, p2, p3} sa˜o treˆs pontos cr´ıticos distintos de hu0 .
Definimos a sombra aumentada S˜v(θ) como a unia˜o de Sv(θ) com toda componente conexa
Xi de Hv(θ) tal que Ui − Xi ⊂ Sv(θ) para alguma vizinhanc¸a aberta Ui de Xi, isto e´, S˜v(θ) =
Sv(θ) ∪ (
⋃
iXi).
Como Ui ⊃ Xi, claramente S˜v(θ) ⊂ Sv(θ)∪(
⋃
i Ui). Por outro lado, como Ui = Xi∪(Ui−Xi) ⊂
Xi ∪ Sv(θ), Sv(θ) ∪ (
⋃
i Ui) ⊂ S˜v(θ). Logo, S˜v(θ) = Sv(θ) ∪ (
⋃
i Ui). Ja´ que os conjuntos Ui
sa˜o abertos conexos e interceptam Sv(θ), que tambe´m e´ conexo, segue que S˜v(θ) e´ aberto conexo
(pois unia˜o de conjuntos conexos com um ponto em comum e´ um conjunto conexo).
Enta˜o S˜v(θ) satisfaz as condic¸o˜es da Proposic¸a˜o 2.1, pois, S˜v(θ) e´ aberto, conexo e na˜o-vazio
(por conter Sv(θ)) e, como S˜v(θ) e´ conexo ∀ θ ∈ R, S2− S˜v(θ) = S˜−v(θ)∪∂S˜−v(θ) tambe´m e´ conexo;
e o fato de Sv(θ) ser aberto e na˜o-vazio para todo θ ∈ R implica que S˜v(θ) (por conter Sv(θ)) e´
tambe´m na˜o-vazio para todo θ. Assim, ja´ que S˜−v(θ) e´ aberto e na˜o-vazio, S2− S˜v(θ) e´ na˜o-vazio
e tem ponto interior.
Logo, S˜v(θ) e´ simplesmente conexo.
O Lema seguinte e´ ana´logo ao Lema 3.2:
Lema 5.1. Para todo θ ∈ R, S˜v(θ) e´ domı´nio adjacente e regular pro´ximo a pi.
Demonstrac¸a˜o: Como pi e´ ponto cr´ıtico de hu0 , pela Proposic¸a˜o 2.9, ∂Sv(θ) = Hv(θ) = ∂S−v(θ)
e´ uma curva regular em determinada vizinhanc¸a Vi de pi, para i = 1, 2, 3. Mas, nessa vizin-
hanc¸a, ∂S˜v(θ) = ∂Sv(θ). Enta˜o, pelo Lema 3.2, pi ∈ ∂S˜v(θ) e, como ∂S˜v(θ) ∩ Vi = ∂Sv(θ) ∩ Vi e´
curva regular, S˜v(θ) e´ domı´nio adjacente e regular pro´ximo a pi. �
Assim, cada θ ∈ R induz uma permutac¸a˜o α˜θ := αS˜v(θ) de {p1, p2, p3} que satisfaz as pro-
32
priedades enumeradas na Proposic¸a˜o 2.6. Como S˜v(θ) e´ simplesmente conexo, segue do Lema
3.1 que ∂S˜v(0) = S˜−v(0) e´ curva regular; assim, segue da Proposic¸a˜o 2.6 que α˜0 6= α˜pi.
No entanto, o Lema 5.2 (seguinte), ana´logo ao Lema 3.3, mostra que o mapa θ 7→ α˜θ e´
localmente constante, (pois, uma vez que S˜v(θ) e S˜v(θ0) teˆm um triaˆngulo em comum, segue da
Proposic¸a˜o 2.6 que α˜θ = α˜θ0). Como [0, pi] e´ conexo, conclu´ımos que α˜0 = α˜pi e obtemos uma
contradic¸a˜o. Logo, se M e´ homeomorfa a uma esfera e ∀u ∈ S2, Su e´ conexo, enta˜o f e´ um
mergulho convexo.
Lema 5.2. Para cada θ0 ∈ R, existe � > 0 tal que se |θ − θ0| < � enta˜o S˜v(θ) e S˜v(θ0) teˆm um
triaˆngulo em comum (com ve´rtices em {p1, p2, p3}).
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o e´ imediata do Lema 3.3, no qual mostramos que Sv(θ) e
Sv(θ0) teˆm um triaˆngulo comum. Pois, como Sv(θ) ⊂ S˜v(θ) e ∂Sv(θ) = ∂S˜v(θ) em vizinhanc¸as
abertas de pi, conclu´ımos que S˜v(θ) e S˜v(θ0) tambe´m teˆm um triaˆngulo em comum (o mesmo
que e´ comum a Sv(θ) e Sv(θ0)). �
33
6 Apeˆndice
Nesta sec¸a˜o, vamos enunciar e comentar alguns resultados importantes e conhecidos de
nossa literatura que foram utilizados neste trabalho.
Utilizando a notac¸a˜o deste texto e considerando o caso particular aqui tratado, os Teoremas
1 e 3 do artigo The Total Curvature of Immersed Manifolds, de Chern e Lashof, expressam o
seguinte:
Teorema A. Se f : M → R3 e´ uma imersa˜o isome´trica, sendo M uma variedade de
dimensa˜o 2 compacta e orientada e K sua Curvatura Gaussiana, enta˜o∫
M
|K|dM ≥ 4pi,
e a igualdade ocorre se, e somente se, f e´ um mergulho convexo.
Vamos enunciar o Teorema da Vizinhanc¸a Tubular para superf´ıcies compactas M ⊂ R3, C∞,
que utilizamos na demonstrac¸a˜o do Teorema 2. Identificamos M com f(M), onde f : M → R3
e´ um mergulho. Uma demonstrac¸a˜o do caso geral (M compacta de dimensa˜o m imersa em
Rm+n) pode ser encontrada em [9, pag. 106]. Antes de enuncia´-lo faremos algumas definic¸o˜es.
A bola (de dimensa˜o 1) normal a M no ponto p e´ definida por B⊥(p, �) := {x ∈ R3; |x − p| <
�, 〈x− p, v〉 = 0,∀ v ∈ TpM}, onde � e´ um nu´mero real positivo.
Teorema B. (Teorema da Vizinhanc¸a Tubular) Seja M ⊂ R3 superf´ıcie compacta de di-
mensa˜o 2 e classe C∞. Enta˜o:
i) existe � > 0 tal que p 6= q ∈M =⇒ B⊥(p, �) ∩B⊥(q, �) = ∅;
ii) V� :=
⋃
p∈M B
⊥(p, �) e´ um aberto de R3 chamado a vizinhanc¸a tubular de M de raio �;
iii) A aplicac¸a˜o Π : V�(M) → M que associa a cada ponto q ∈ V�(M) o centro da u´nica bola
normal que o conte´m e´ de classe C∞.
Agora enunciaremos o Teorema de Sard, que foi utilizado para provar algumas proposic¸o˜es.
Uma demonstrac¸a˜o pode ser encontrada em [5, pag. 359].
Teorema C. (Teorema de Sard) Seja f : M → N uma aplicac¸a˜o de classe C1 entre
34
variedades de mesma dimensa˜o m. Seja S o conjunto dos pontos x ∈ M nos quais a derivada
dfx : TxM → Tf(x)N na˜o e´ um isomorfismo. Enta˜o f(S) tem medida nula em N .
Como o conjunto S e´ o conjunto dos pontos cr´ıticos de f , N −f(S) e´ o conjunto dos valores
regulares. Uma consequ¨eˆncia importante desse teorema e´ que f(S) tem interior vazio, donde
N − f(S) e´ denso em N , isto e´, dado y ∈ N , toda vizinhanc¸a de y em N conte´m pontos de
N − f(S); em outras palavras, “quase todos”os pontos y ∈ N sa˜o valores regulares de f .
Vamos enunciar o Teorema da Alfaˆndega, que foi utilizado na demonstrac¸a˜o do Teorema 1.
Uma demonstrac¸a˜o pode ser encontrada em [5, pag. 57, teo. 32].
Teorema D. (Teorema da Alfaˆndega) Seja C ⊂ Rn um conjuntoarbitra´rio. Se um conjunto
conexo A ⊂ Rn conte´m um ponto a ∈ C e um ponto b /∈ C, enta˜o A conte´m algum ponto da
fronteira de C.
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Refereˆncias
[1] Ghomi, M. Shadow and Convexity of Surfaces. Ann. of Math., 155 (2002) 281-293.
[2] Chern, S. & Lashof, R. K. On the total curvature of immersed manifolds. Amer. J. Math.,
79:306-318, 1957.
[3] Guillemin, V & Pollack, A. Differential topology. New Jersey: 1974.
[4] Carmo, M. do. Geometria Riemanniana. Projeto Euclides. 3.ed. IMPA. 2005.
[5] Lima, Elon. Curso de Ana´lise vol. 2. Projeto Euclides. 8.ed. IMPA. 2005.
[6] Newman, M. H. A. Elements of the topology of plane sets of points. 2.ed. Cambridge:
University Press, 1951.
[7] Gromov, M. Partial differential relations. Springer-Verlag, Berlin, 1986.
[8] Ghomi, M. & Solomon, B. Skew loops and quadric surfaces. Comment. Math. Helv., 77:767-
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[9] Lima, E. L. Variedades diferenciaveis. Rio de Janeiro: IMPA, 1973.
[10] Matsushima, Yozo, Differentiable manifolds, New York: 1972.
[11] Spivak, Michael. A comprehensive introduction to diferential geometry vol. 3. 2.ed. Berke-
ley: 1979.
36